高中人教版新课标B1.3.1正弦函数的图像与性质第2课时一课一练

这是一份高中人教版新课标B1.3.1正弦函数的图像与性质第2课时一课一练，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．(2015·潮州高一期末测试)已知f(x)＝sin(2x－eq \f(π,4))，则f(x)的最小正周期和一个单调增区间分别为( )
A．π，[－eq \f(π,4)，eq \f(π,4)] B．π，[－eq \f(π,8)，eq \f(3π,8)]
C．2π，[－eq \f(π,4)，eq \f(3π,4)] D．2π，[－eq \f(π,4)，eq \f(π,4)]
[答案] B
[解析] 函数f(x)的最小正周期T＝π.
令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
得－eq \f(π,8)＋kπ≤x≤eq \f(3π,8)＋kπ，k∈Z.
当k＝0时，得一个单调增区间[－eq \f(π,8)，eq \f(3π,8)]，故选B．
2．下列表示最大值是eq \f(1,2)，周期是6π的三角函数的表达式是( )
A．y＝eq \f(1,2)sin(eq \f(x,3)＋eq \f(π,6)) B．y＝eq \f(1,2)sin(3x＋eq \f(π,6))
C．y＝2sin(eq \f(x,3)－eq \f(π,6)) D．y＝eq \f(1,2)sin(x＋eq \f(π,6))
[答案] A
[解析] 函数y＝eq \f(1,2)sin(eq \f(x,3)＋eq \f(π,6))的最大值为eq \f(1,2)，周期为6π，初相为eq \f(π,6)，故选A．
3．下列四个函数中，最小正周期是π且图象关于x＝eq \f(π,3)对称的是( )
A．y＝sin(eq \f(x,2)＋eq \f(π,6)) B．y＝sin(2x＋eq \f(π,6))
C．y＝sin(2x－eq \f(π,3)) D．y＝sin(2x－eq \f(π,6))
[答案] D
[解析] ∵函数的最小正周期为π，排除A，又∵函数图象关于x＝eq \f(π,3)对称，∴当x＝eq \f(π,3)时，函数取最大值或最小值，只有选项D满足，故选D．
4．(2015·河南南阳高一期末测试)为得到函数y＝cs(x＋eq \f(π,3))的图象，只需将函数y＝sinx的图象( )
A．向左平移eq \f(π,6)个长度单位B．向右平移eq \f(π,6)个长度单位
C．向左平移eq \f(5π,6)个长度单位D．向右平移eq \f(5π,6)个长度单位
[答案] C
[解析] 将函数y＝sinx的图象向左平移eq \f(5π,6)个长度单位，得到y＝sin(x＋eq \f(5π,6))＝sin[eq \f(π,2)＋(x＋eq \f(π,3))]＝cs(x＋eq \f(π,3))，故选C．
5．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))在区间[0，π]内的一个单调递减区间是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5π,12))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(7π,12)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(11π,12))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))
[答案] B
[解析] 由eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)
得eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(7π,12)＋kπ(k∈Z)，∴选B．
6．设点P是函数f(x)＝sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是eq \f(π,4)，则f(x)的最小正周期是( )
A．2π B．π
C．eq \f(π,2) D．eq \f(π,4)
[答案] B
[解析] 由题意知eq \f(T,4)＝eq \f(π,4)，∴T＝π，故选B．
二、填空题
7．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)))＝________.
[答案] 0
[解析] 由图象知，T＝eq \f(2π,3)，
∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝0，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(π,3)))
＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(T,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝0.
8．已知ω>0,0<φ<π，直线x＝eq \f(π,4)和x＝eq \f(5π,4)是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝________.
[答案] eq \f(π,4)
[解析] 由题意可知，函数f(x)的最小周期T＝2(eq \f(5π,4)－eq \f(π,4))＝2π，∴ω＝1.
∴f(x)＝sin(x＋φ)．
又∵x＝eq \f(π,4)是函数f(x)的图象的一条对称轴，
∴eq \f(π,4)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
∴φ＝kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z.
∵0<φ<π，∴φ＝eq \f(π,4).
三、解答题
9．若函数f(x)＝3sin(3x＋eq \f(π,3))表示一个振动．
(1)求这个振动的振幅、周期、初相；
(2)说明函数y＝sinx的图象经过怎样的变换可得到函数f(x)的图象．
[解析] (1)振幅A＝3，周期T＝eq \f(2π,3)，初相φ＝eq \f(π,3).
(2)先将函数y＝sinx的图象向左平移eq \f(π,3)个单位，得到y＝sin(x＋eq \f(π,3))的图象；再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,3)倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(3x＋eq \f(π,3))的图象；最后将所得图象上所有点的纵坐标扩大到原来的3倍(横坐标不变)，即可得到f(x)＝3sin(3x＋eq \f(π,3))的图象．
10.(2015·湖北理，17)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0))，求θ的最小值．
[解析] (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－eq \f(π,6).数据补全如下表：
函数f(x)的表达式为f(x)＝5sin(2x－eq \f(π,6))．
(2)由(1)知f(x)＝5sin(2x－eq \f(π,6))，
故g(x)＝5sin(2x＋2θ－eq \f(π,6))．
因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
令2x＋2θ－eq \f(π,6)＝kπ，解得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)－θ，k∈Z.
又函数y＝g(x)的图象关于点(eq \f(5π,12)，0)中心对称，因此可以令eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)－θ＝eq \f(5π,12)，解得θ＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,3)，k∈Z.又θ＞0，
所以当k＝1时，θ取最小值eq \f(π,6).
一、选择题
1．函数y＝sin|x|的图象是( )
[答案] B
[解析] 令f(x)＝sin|x|，x∈R，
∴f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，
∴函数f(x)＝sin|x|为偶函数，排除A；
又当x＝eq \f(π,2)时，y＝sin|eq \f(π,2)|＝sineq \f(π,2)＝1，排除D；
当x＝eq \f(3π,2)时，y＝sin|eq \f(3π,2)|＝sineq \f(3π,2)＝－1，排除C，故选B．
2．(2015·河北正定高一期末测试)将函数y＝eq \r(3)csx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )
A．eq \f(π,12) B．eq \f(π,6)
C．－eq \f(π,3) D．eq \f(5π,6)
[答案] B
[解析] y＝eq \r(3)csx＋sinx＝2sin(x＋eq \f(π,3))，将其图象向左平移m(m>0)个单位长度后得到函数y＝2sin(x＋m＋eq \f(π,3))的图象，由题意得m＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，
∴m＝eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z，∴mmin＝eq \f(π,6).
3．将函数y＝sin(x－eq \f(π,3))图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移eq \f(π,3)个单位，得到图象的解析式是( )
A．y＝sin(2x＋eq \f(π,3)) B．y＝sin(eq \f(1,2)x－eq \f(π,2))
C．y＝sin(eq \f(1,2)x－eq \f(π,6)) D．y＝sin(2x－eq \f(π,6))
[答案] C
[解析] 将函数y＝sin(x－eq \f(π,3))图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(eq \f(x,2)－eq \f(π,3))的图象，再将所得函数图象向左平移eq \f(π,3)个单位，得到函数y＝sin[eq \f(1,2)(x＋eq \f(π,3))－eq \f(π,3)]＝sin(eq \f(x,2)－eq \f(π,6))的图象，故选C．
4．(2015·广州市高一期末测试)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|A．f(x)＝2sin(eq \f(10,11)x＋eq \f(π,6)) B．f(x)＝2sin(eq \f(10,11)x－eq \f(π,6))
C．f(x)＝2sin(2x＋eq \f(π,6)) D．f(x)＝2sin(2x－eq \f(π,6))
[答案] C
[解析] ∵f(0)＝1，∴2sinφ＝1，∴sinφ＝eq \f(1,2)，又∵|φ|二、填空题
5．(2015·河南新乡高一期末测试)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0,0<φ<π)，则该函数的表达式为________．
[答案] y＝10sin(eq \f(π,8)x＋eq \f(3π,4))＋20
[解析] 由题意可知，函数的周期T＝2(14－6)＝16，∴ω＝eq \f(2π,16)＝eq \f(π,8).
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(30－10,2)＝A,\f(30＋10,2)＝b))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝10,b＝20)).
∴y＝10sin(eq \f(π,8)x＋φ)＋20.
∴20＝10sin(eq \f(π,8)×10＋φ)＋20，
∴sin(eq \f(5π,4)＋φ)＝0，
∴eq \f(5π,4)＋φ＝kπ，k∈Z.
又∵0<φ<π，∴φ＝eq \f(3π,4).
∴y＝10sin(eq \f(π,8)x＋eq \f(3π,4))＋20.
6．函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象为C，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①图象C关于直线x＝eq \f(11π,12)对称；
②图象C关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))对称；
③函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))内是增函数；
④由y＝3sin2x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度可以得到图象C．
[答案] ①②③
[解析] feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,12)))＝3sineq \f(3π,2)＝－3，①正确；
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝3sinπ＝0，②正确；
f(x)的增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)，令k＝0得增区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))，③正确；
由y＝3sin2x的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度可以得到图象C，④错误．
三、解答题
7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|[解析] 已知函数最高点为 (2,2eq \r(2))，∴A＝2eq \r(2).
又由题意知从最高点到相邻最低点，图象与x轴相交于点(6,0)，而最高点与此交点沿横轴方向的距离正好为eq \f(1,4)个周期长度，∴eq \f(T,4)＝6－2＝4，即T＝16.
∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,8).
∴y＝2eq \r(2)sin(eq \f(π,8)x＋φ)．
将点(6,0)的坐标代入，有2eq \r(2)(eq \f(π,8)×6＋φ)＝0，
∴sin(eq \f(3π,4)＋φ)＝0，
又∵|φ|∴函数的解析式为y＝2eq \r(2)sin(eq \f(π,8)x＋eq \f(π,4))．
8．已知函数f(x)＝2sin(2x＋eq \f(π,6))＋a＋1(其中a为常数)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若x∈[0，eq \f(π,2)]时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)求出使f(x)取最大值时x的取值集合．
[解析] (1)由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，
解得－eq \f(π,3)＋kπ≤x≤eq \f(π,6)＋kπ(k∈Z)．
∴函数f(x)的单调增区间为[－eq \f(π,3)＋kπ，eq \f(π,6)＋kπ](k∈Z)．
由eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，
解得eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(2π,3)＋kπ，k∈Z.
∴函数f(x)的单调减区间为[eq \f(π,6)＋kπ，eq \f(2π,3)＋kπ](k∈Z)．
(2)∵0≤x≤eq \f(π,2)，∴eq \f(π,6)≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(7π,6)，
∴－eq \f(1,2)≤sin(2x＋eq \f(π,6))≤1，
∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，
∴a＝1.
(3)当f(x)取最大值时，2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
∴2x＝eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z
∴x＝eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z.
∴当f(x)取最大值时，
x的取值集合是{x|x＝eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z}．
9.函数f(x)＝3sin(2x＋eq \f(π,6))的部分图象如图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0、y0的值；
(2)求f(x)在区间[－eq \f(π,2)，－eq \f(π,12)]上的最大值和最小值．
[解析] (1)f(x)的最小正周期为eq \f(2π,2)＝π.
∵(x0，y0)是最大值点，
令2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，结合图象得x0＝eq \f(7π,6)，y0＝3.
(2)因为x∈[－eq \f(π,2)，－eq \f(π,12)]，
所以2x＋eq \f(π,6)∈[－eq \f(5π,6)，0]．
于是，当2x＋eq \f(π,6)＝0，即x＝－eq \f(π,12)时，f(x)取得最大值0；
当2x＋eq \f(π,6)＝－eq \f(π,2)，即x＝－eq \f(π,3)时，f(x)取得最小值－3.
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
eq \f(π,3)
eq \f(5π,6)
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
eq \f(π,12)
eq \f(π,3)
eq \f(7π,12)
eq \f(5π,6)
eq \f(13π,12)
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0