高中数学人教版新课标B必修41.3.1正弦函数的图像与性质第1课时练习题

这是一份高中数学人教版新课标B必修41.3.1正弦函数的图像与性质第1课时练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．函数y＝sinax(a≠0)的最小正周期为π，则a的值为( )
A．2 B．－2
C．±2 D．eq \f(1,2)
[答案] C
[解析] 由题意，得eq \f(2π,|a|)＝π，∴a＝±2.
2．用五点法作y＝2sin2x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )
A．0、eq \f(π,2)、π、eq \f(3π,2)、2π B．0、eq \f(π,4)、eq \f(π,2)、eq \f(3π,4)、π
C．0、π、2π、3π、4π D．0、eq \f(π,4)、eq \f(π,3)、eq \f(π,2)、eq \f(2π,3)
[答案] B
[解析] 由2x＝0、eq \f(π,2)、π、eq \f(3π,2)、2π，得x＝0、eq \f(π,4)、eq \f(π,2)、eq \f(3π,4)、π，故选B．
3．y＝2sinx2的值域是( )
A．[－2,2] B．[0,2]
C．[－2,0] D．R
[答案] A
[解析] ∵x2≥0，∴sinx2∈[－1,1]，∴y＝2sinx2∈[－2,2]．
4．设函数f(x)＝sin(eq \f(x,2)＋π)，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为4π的奇函数D．最小正周期为4π的偶函数
[答案] C
[解析] f(x)＝sin(eq \f(x,2)＋π)＝－sineq \f(x,2).
f(－x)＝－sin(－eq \f(x,2))＝sineq \f(x,2)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
又最小正周期T＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π.
5．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为：s＝6sin(2πt＋eq \f(π,6))，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A．2π s B．π s
C．0.5 s D．1 s
[答案] D
[解析] ∵函数s＝6 sin(2πt＋eq \f(π,6))的最小周期T＝eq \f(2π,2π)＝1，
∴单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.
6．函数y＝sin2x的单调减区间是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(3π,4)))(k∈Z)
C．[π＋2kπ，3π＋2kπ](k∈Z)D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)
[答案] B
[解析] 由2kπ＋eq \f(π,2)≤2x≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z得
y＝sin2x的单调减区间是[kπ＋eq \f(π,4)，kπ＋eq \f(3π,4)](k∈Z)．
二、填空题
7．f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－sinx，则当x<0时，f(x)＝________.
[答案] －x2－sinx
[解析] ∵x<0，∴－x>0，
∴f(－x)＝(－x)2－sin(－x)＝x2＋sinx，
∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－x2－sinx.
8．函数y＝sin(eq \f(1,2)x－eq \f(π,3))的对称轴方程为________，对称中心坐标为________．
[答案] x＝2kπ＋eq \f(5π,3)，k∈Z (2kπ＋eq \f(2π,3)，0)，k∈Z
[解析] 由eq \f(1,2)x－eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
得x＝2kπ＋eq \f(5π,3)，k∈Z.
由eq \f(1,2)x－eq \f(π,3)＝kπ，k∈Z，得
x＝2kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z.
∴函数y＝sin(eq \f(1,2)x－eq \f(π,3))的对称轴方程为x＝2kπ＋eq \f(5π,3)，k∈Z；
对称中心坐标为(2kπ＋eq \f(2π,3)，0)k∈Z.
三、解答题
9．不通过求值，你能判断下列每组中两个三角函数值的大小吗？
(1)sin(－3)与sin(－2)；
(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)))与sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,8)))；
(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,7)))与cseq \f(37π,14).
[解析] 应用函数y＝sinx的单调性求解．
(1)y＝sinx在[－eq \f(3π,2)，－eq \f(π,2)]上是减函数，
∵－eq \f(3π,2)<－3<－2<－eq \f(π,2)，∴sin(－3)>sin(－2)．
(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,8)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2π＋\f(π,8)))＝sineq \f(π,8)，
∵y＝sinx在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数，且－eq \f(π,2)<－eq \f(π,8)∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8))).
(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,7)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6π＋\f(11π,7)))＝sineq \f(11π,7)
＝－sineq \f(4π,7)，cseq \f(37π,14)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(9π,14)))＝cseq \f(9π,14)
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－\f(6π,7)))＝－sineq \f(6π,7)，
∵eq \f(π,2)sineq \f(6π,7)，∴－sineq \f(4π,7)<－sineq \f(6π,7)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,7)))10. 求函数y＝7－6sinx－2cs2x的最值．
[解析] y＝7－6sinx－2cs2x＝2sin2x－6sinx＋5
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinx－\f(3,2)))2＋eq \f(1,2).
由于二次函数y＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinx－\f(3,2)))2＋eq \f(1,2)的二次项系数为2>0，所以抛物线开口向上，顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2))).
又sinx∈[－1,1]，故当x＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)，即sinx＝－1时，y有最大值13；
当x＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即sinx＝1时，y有最小值1.
一、选择题
1．函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为( )
A．3 B．0
C．－1 D．－2
[答案] B
[解析] f(a)＝a3＋sina＋1＝2.
f(－a)＝－a3－sina＋1＝－f(a)＋2＝0.
2．y＝sinx－|sinx|的值域是( )
A．[－1,0] B．[0,1]
C．[－1,1] D．[－2,0]
[答案] D
[解析] 当sinx≥0即2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z时，
y＝0；
当sinx<0，即2kπ＋π∴－2≤y<0.综上，y∈[－2,0]．
3．函数f(x)＝1－sinx，x∈[0,2π]的大致图象是( )
[答案] B
[解析] 当x＝0时，f(0)＝1－sin0＝1，排除C、D；当x＝eq \f(π,2)时，f(eq \f(π,2))＝1－sineq \f(π,2)＝1－1＝0，排除A，故选B．
4．若A、B是钝角△ABC的两个锐角，则点P(csB－sinA，sinB－csA)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] D
[解析] ∵A、B是钝角△ABC的两个锐角，∴A＋B∵y＝sinx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函数，
∴sinA∴sinA二、填空题
5．函数y＝a＋bsinx的最大值是eq \f(3,2)，最小值为－eq \f(1,2)，则a＝________，b＝________.
[答案] eq \f(1,2) ±1
[解析] 当b>0时，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝\f(3,2),a－b＝－\f(1,2)))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2),b＝1)).
当b<0时，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＝\f(3,2),a＋b＝－\f(1,2)))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2),b＝－1)).
6．若函数f(x)＝2sinx＋2a－b是定义在[－b,2b－1]上的奇函数，则eq \f(b,a)的值为________．
[答案] 2
[解析] 由题意，得－b＋2b－1＝0，
∴b＝1.又∵函数f(x)＝2sinx＋2a－1是奇函数，
∴2a－1＝0，∴a＝eq \f(1,2).
∴eq \f(b,a)＝eq \f(1,\f(1,2))＝2.
三、解答题
7．用五点法画出函数f(x)＝3sin(eq \f(x,2)＋eq \f(π,6))＋3在一个周期内的图象．
[解析] 列表如下：
描点连线：
8．(1)若sinx＝eq \f(a＋1,a－2)，求实数a的取值范围；
(2)求函数y＝cs2x＋2sinx－2的值域．
[解析] (1)∵|sinx|≤1，∴－1≤eq \f(a＋1,a－2)≤1，
由eq \f(a＋1,a－2)≤1得a<2，
由eq \f(a＋1,a－2)≥－1得a≤eq \f(1,2)或a>2，∴a≤eq \f(1,2).
(2)y＝cs2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1
＝－(sinx－1)2.
∵－1≤sinx≤1，∴y∈[－4,0]．
∴函数y＝cs2x＋2sinx－2的值域为[－4,0]．
9. 已知函数f(x)＝lgeq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin2x)).
(1)求f(x)的定义域、值域和单调区间；
(2)判断f(x)的奇偶性．
[解析] (1)要使函数有意义，须sin2x>0，
∴2kπ<2x<2kπ＋π，
∴kπ∴f(x)定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z.
∵0∴lgeq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin2x))≥1，即值域为[1，＋∞)．
令y＝sin2x，则函数y＝sin2x的增区间即为函数f(x)的减区间，函数y＝sin2x的减区间即为函数f(x)的增区间．
∴函数f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)，
单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．
(2)定义域关于原点不对称，故既不是奇函数，也不是偶函数．
x
－eq \f(π,3)
eq \f(2π,3)
eq \f(5π,3)
eq \f(8π,3)
eq \f(11π,3)
eq \f(x,2)＋eq \f(π,6)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
y
3
6
3
0
3