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2023年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（二）
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这是一份2023年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（二），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（二）
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在数轴上表示下列四个数：﹣1，，，π，则距离原点最远的数是（ ）
A．﹣1 B． C． D．π
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B．5m+5n＝5mn
C．（﹣mn2）3＝﹣m3n6 D． m2•m4＝m8
3．（3分）碳纳米管是一种一维量子材料，与传统金属、高分子材料相比，碳纳米管的电、热力学性能优异，凭借突出性能，碳纳米管逐渐成为场发射电子源中最常用的纳米材料，我国已具备研制直径为0.0000000049米的碳纳米管．数据0.0000000049用科学记数法表示为（ ）
A．0.49×10﹣9 B．4.9×10﹣9 C．0.49×10﹣8 D．4.9×10﹣10
4．（3分）如图，直线DE∥FG，AC平分∠DAB，∠ACB＝70°，则∠ABC的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
5．（3分）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠OAB＝55°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．35° C．37.5° D．40°
6．（3分）如图是由7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在空白部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）“喜迎二十大，永远跟党走，奋进新征程．”在中国共产主义青年团成立100周年之际，为响应共青团中央号召，长沙某校团委开展了“青年大学习”活动．为了解学习情况，学校随机抽取了部分学生进行了问卷调查，统计了他们在某一个月的学习时长，整理成如下表格：
学习时长t（分钟）
50≤t＜60
60≤t＜70
70≤t≤80
80≤t＜90
人数（人）
9
30
41
20
则关于这组数据的结论正确的是（ ）
A．中位数是75
B．众数是70
C．平均数是72.2
D．学习时长70≤t＜80的人数占41%
8．（3分）如图，点B在y轴的正半轴上，点C在反比例函数（x＜0）的图象上，菱形OABC的面积为12，则k的值为 （ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
9．（3分）《九章算术》中记载：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤．问玉、石重各几何？大意是：若有玉1立方寸，重7两；石1立方寸，重6两．今有石为棱长3寸的正方体（体积为27立方寸），其中含有玉，总重11斤（注：1斤＝16两）．问玉、石各重多少？若设玉重x两，石重y两，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，按如下步骤作图：①连接AC，BD相交于A点O；②分别以点B，C为圆心、大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③连接OE交BC于点F；④连接AF交BO于点G．若，则OG的长度为（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：（a+3）2﹣16＝ ．
12．（3分）已知近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.5米的眼镜了，则现在小慧所戴的眼镜为 度．
13．（3分）某校举行了“珍爱生命，预防漏水”为主题的演讲比赛，提高学生的安全意识．演讲者的最终比赛成绩按照演讲内容、现场效果、外在形象三项得分分别占40%，40%，20%的比例折算．已知李明同学的三项原始得分分别是90分，95分，90分，那么李明同学最终比赛成绩为 分．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，∠ABC＜90°，⊙O与它的边BA，BC相切，射线BO交边AD于点E．当AB＝6，AD＝8时，DE的长等于 ．
15．（3分）为了健康和环保，某超市提供了一种尖底圆锥形纸杯供顾客饮水，如图所示．经过测量，纸杯口的直径为8cm，母线长为10cm，则生产100个这种纸杯需要原纸 cm2．（结果保留π）
16．（3分）如图，点G是矩形ABCD的边AD的中点，点H是BC边上的动点，将矩形沿GH折叠，点A，B的对应点分别是点E，F，且点E在矩形内部，过点E作MN∥AB分别交AD，BC于点M，N，连接AE．
（1）若∠FEN＝36°，则∠AEM＝ °；
（2）若AD＝6，AB＝4，当G，E，C三点在同一条直线上时，GH的长为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：，其中．
19．（6分）如图，在网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣4，0），C（1，0）．
（1）在坐标平面内画△PAC，使得△PAC≌△BCA，且点P在第一象限，并写出点P的坐标；
（2）在坐标平面内画△ABC关于BC成轴对称的△QBC，并直接写出四边形ABQC的周长．
20．（8分）大数据时代下初中生信息素养的提升，是实施国家信息化战略、参与国际市场上人才竞争的一项基础性工程，某校为了解本校学生信息素养情况，从本校全体学生中，随机抽取部分学生，进行了在线测试，并将测试成绩（满分100分）收集，分成五组（用x分表示）：A组为“x＜60”，B组为“60≤x＜70”，C组为“70≤x＜80°，D组为“80≤x＜90”，E组为“90≤x≤100”．将收集的数据整理后，绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）这次调查的样本容量是 ，m＝ ，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，E组所在扇形的圆心角度数是多少度？本次调查成绩合格的学生人数所占的百分比是多少？（注：成绩大于或等于60分为合格）
（3）若该校学生有2000人，请你估计该校学生信息素养水平不低于70分的学生人数，并对该校学生的信息素养提升提出合理化建议．
21．（8分）如图，将△ABC沿着直线BC向右平移，得到△DEF，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F，且点E是BC边的中点．
（1）求证：AC与DE互相平分；
（2）连接AD，当BA＝BC＝6，DF＝4时，求四边形ABFD的面积．
22．（9分）2022年秋季，中小学开始实施《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，传递了“双减”背景下加强劳动教育的鲜明信号，某校准备利用学校劳动实践基地，开展劳动教育．现欲购进甲、乙两种菜苗供学生栽种．已知用300元购进甲种菜苗的数量比用300元购进乙种菜苗的数量多300棵，单独购一棵甲种菜苗和一棵乙种菜苗共需1.5元．
（1）求购进一棵甲种菜苗和一棵乙种菜苗各需要多少元；
（2）学校准备购进两种菜苗共600棵，甲种菜苗不少于200棵，不多于320棵，则购买总费用最少需要多少元？
23．（9分）如图，点A，B，C是⊙O上三点，且点A是弦BC所对优弧的中点，过点A作EF∥BC．
（1）如图1，求证：EF是⊙O的切线；
（2）如图2，作射线BO交AC于点G，交⊙O于点I，交直线EF于点H，当AG＝3，CG＝5时，求sin∠AHB的值．
24．（10分）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为“融通角”．
（1）①如图1，在△ABC中，CA＝CB，D是AB上任意一点，则△ACD与△BCD “融通三角形”；（填“是”或“不是”）
②如图2，△ABC与△DEF是“融通三角形”，其中∠A＝∠D，AC＝DF，BC＝EF，则∠B+∠E＝ ．
（2）若互为“融通三角形”的两个三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度数．
（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC＝4，∠CAB＝30°，∠B＝105°，∠D+∠B＝180°，且△ADC与△ABC是“融通三角形”，AD＞CD，求AD的长．
25．（10分）如图，二次函数y＝（x﹣1）2+a与x轴相交于点A，B，点A在x轴负半轴，过点A的直线y＝x+b交该抛物线于另一点D，交y轴正半轴于点H．
（1）如图1，若OH＝1，求该抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段HD上一点，当时，求点P的坐标（用含b的代数式表示）；
（3）如图2，在（1）的条件下，设抛物线交y轴于点C，过A，B，C三点作⊙Q，经过点Q的直线y＝hx+q交⊙Q于点F，I，交抛物线于点E，G．当EI＝GI+FI时，求2h2的值．
2023年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（二）
（参考答案）
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在数轴上表示下列四个数：﹣1，，，π，则距离原点最远的数是（ ）
A．﹣1 B． C． D．π
【解答】解：|﹣1|＝1，||＝，|﹣|＝，|π|＝π，
∵，
∴距离原点最远的数是π，
故选：D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B．5m+5n＝5mn
C．（﹣mn2）3＝﹣m3n6 D． m2•m4＝m8
【解答】解：A．2﹣＝，故此选项不合题意；
B．5m+5n无法合并，故此选项不合题意；
C．（﹣mn2）3＝﹣m3n6，故此选项符合题意；
D．m2•m4＝m6，故此选项不合题意．
故选：C．
3．（3分）碳纳米管是一种一维量子材料，与传统金属、高分子材料相比，碳纳米管的电、热力学性能优异，凭借突出性能，碳纳米管逐渐成为场发射电子源中最常用的纳米材料，我国已具备研制直径为0.0000000049米的碳纳米管．数据0.0000000049用科学记数法表示为（ ）
A．0.49×10﹣9 B．4.9×10﹣9 C．0.49×10﹣8 D．4.9×10﹣10
【解答】解：0.0000000049＝1.9×10﹣9，
故选：B．
4．（3分）如图，直线DE∥FG，AC平分∠DAB，∠ACB＝70°，则∠ABC的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【解答】解：∵DE∥FG，∠ACB＝70°，
∴∠DAC＝∠ACB＝70°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAB＝2∠DAC＝140°，
∵DE∥FG，
∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝40°，
故选：A．
5．（3分）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠OAB＝55°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．35° C．37.5° D．40°
【解答】解：∵OA＝OB，∠OAB＝55°，
∴∠OBA＝∠OAB＝55°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝70°，
∴∠C＝∠AOB＝35°．
故选：B．
6．（3分）如图是由7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在空白部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由图知，空白部分的面积占图案面积的，即这个点取在空白部分的概率是．
故选：A．
7．（3分）“喜迎二十大，永远跟党走，奋进新征程．”在中国共产主义青年团成立100周年之际，为响应共青团中央号召，长沙某校团委开展了“青年大学习”活动．为了解学习情况，学校随机抽取了部分学生进行了问卷调查，统计了他们在某一个月的学习时长，整理成如下表格：
学习时长t（分钟）
50≤t＜60
60≤t＜70
70≤t≤80
80≤t＜90
人数（人）
9
30
41
20
则关于这组数据的结论正确的是（ ）
A．中位数是75
B．众数是70
C．平均数是72.2
D．学习时长70≤t＜80的人数占41%
【解答】解：从频数（率）分布表可得这组数据的中位数为70≤t≤80，无法得到众数，
这组数的平均数（组中值）为＝72.2，
学习时长70≤t＜80的人数占41÷100×100%＝41%．
故选：D．
8．（3分）如图，点B在y轴的正半轴上，点C在反比例函数（x＜0）的图象上，菱形OABC的面积为12，则k的值为 （ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
【解答】解：在菱形OABC中，OC＝BC，
∴OD＝BD，
∵菱形OABC的面积为12，点B在y轴的正半轴上，
∴△OCB的面积为6，
∴△OCD的面积为3，
∴|k|＝3，
∴|k|＝6，
∵k＜0，
∴k＝﹣6．
故选：A．
9．（3分）《九章算术》中记载：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤．问玉、石重各几何？大意是：若有玉1立方寸，重7两；石1立方寸，重6两．今有石为棱长3寸的正方体（体积为27立方寸），其中含有玉，总重11斤（注：1斤＝16两）．问玉、石各重多少？若设玉重x两，石重y两，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵石头总重11斤，
∴x+y＝11×16，即x+y＝176；
∵石头的体积为27立方寸，
∴+＝27．
∴根据题意可列出方程组．
故选：B．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，按如下步骤作图：①连接AC，BD相交于A点O；②分别以点B，C为圆心、大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③连接OE交BC于点F；④连接AF交BO于点G．若，则OG的长度为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，∠BAD＝90°，OA＝OC＝OB＝OD，
∴BD＝＝＝8，
∴OB＝OD＝4，
由作图可知OE垂直平分线段BC，
∴BF＝CF，
∴OC＝OA，
∴OF∥AB，FO＝AB，
∴＝＝，
∴OG＝OB＝．
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：（a+3）2﹣16＝ （a+7）（a﹣1） ．
【解答】解：（a+3）2﹣16
＝（a+3）2﹣42
＝（a+3+4）（a+3﹣4）
＝（a+7）（a﹣1）．
故答案为：（a+7）（a﹣1）．
12．（3分）已知近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.5米的眼镜了，则现在小慧所戴的眼镜为 200 度．
【解答】解：设函数的解析式为y＝（x＞0），
∵400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，
∴k＝400×0.25＝100，
∴解析式为y＝，
∴当y＝0.5时，x＝＝200，
∵小慧原来戴400度的近视眼镜，
∴小慧所戴眼镜的度数降低了400﹣200＝200度．
故答案为：200．
13．（3分）某校举行了“珍爱生命，预防漏水”为主题的演讲比赛，提高学生的安全意识．演讲者的最终比赛成绩按照演讲内容、现场效果、外在形象三项得分分别占40%，40%，20%的比例折算．已知李明同学的三项原始得分分别是90分，95分，90分，那么李明同学最终比赛成绩为 92 分．
【解答】解：李明的最终成绩为90×40%+95×40%+90×20%＝92（分），
故答案为：92．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，∠ABC＜90°，⊙O与它的边BA，BC相切，射线BO交边AD于点E．当AB＝6，AD＝8时，DE的长等于 2 ．
【解答】解：如图，过O分别作OP⊥AB于P，OQ⊥BC于Q，
∵⊙O与它的边BA，BC相切，
∴OP＝OQ，
∴OB平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵四边形ABCD为▱ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AB＝6，AD＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝8﹣6＝2．
故答案为：2．
15．（3分）为了健康和环保，某超市提供了一种尖底圆锥形纸杯供顾客饮水，如图所示．经过测量，纸杯口的直径为8cm，母线长为10cm，则生产100个这种纸杯需要原纸 4000π cm2．（结果保留π）
【解答】解：∵纸杯口的直径为8cm，
∴纸杯口的周长为π×8＝8π（cm），
∵母线长为10cm，
∴纸杯展开后所得扇形的面积＝＝40π（cm2），
∴生产100个这种纸杯需要原纸为100×40π＝4000π（cm2）．
故答案为：4000π．
16．（3分）如图，点G是矩形ABCD的边AD的中点，点H是BC边上的动点，将矩形沿GH折叠，点A，B的对应点分别是点E，F，且点E在矩形内部，过点E作MN∥AB分别交AD，BC于点M，N，连接AE．
（1）若∠FEN＝36°，则∠AEM＝ 72 °；
（2）若AD＝6，AB＝4，当G，E，C三点在同一条直线上时，GH的长为 2 ．
【解答】解：（1）∵将矩形沿GH折叠，点A，B的对应点分别是点E，F，
∴∠FEG＝∠BAD＝90°，AG＝GE，
∵∠FEN＝36°，
∴∠AEM＝180°﹣∠FEN﹣∠FEG＝54°，
∵MN∥AB，
∴MN⊥AD，
∴∠AME＝90°，
∴∠MGE＝＝36°，
∵AG＝GE，
∴∠GAE＝∠AEG，
∵∠MGE＝∠GAE+∠GEA＝36°，
∴∠AEG＝MGE＝18°，
∴∠AEM＝∠AEG+∠GEM＝18°+54°＝72°；
故答案为：72；
（2）如图，
∵点G是矩形ABCD的边AD的中点，
∴AG＝DG＝AD＝＝3，
∵∠D＝90°，CD＝4，
∴CG＝＝5，
∵AD∥BC，
∴∠AGH＝∠CHG，
∵将矩形沿GH折叠，点A，B的对应点分别是点E，F，
∴∠AGH＝∠CGH，
∴∠CGH＝∠CHG，
∴CH＝CG＝5，
∴BH＝BC﹣CH＝1，
过H作HP⊥AD于P，
则四边形ABHP是矩形，∠HPG＝90°，
∴AP＝BH＝1，PH＝AB＝4，
∴GH＝＝＝2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
【解答】解：原式＝﹣2×+4+1
＝﹣+4+1
＝5．
18．（6分）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：
＝•﹣（x2+2x+1）
＝x（x﹣1）﹣x2﹣2x﹣1
＝x2﹣x﹣x2﹣2x﹣1
＝﹣3x﹣1，
当x＝﹣时，原式＝﹣3×（﹣）﹣1＝1．
19．（6分）如图，在网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣4，0），C（1，0）．
（1）在坐标平面内画△PAC，使得△PAC≌△BCA，且点P在第一象限，并写出点P的坐标；
（2）在坐标平面内画△ABC关于BC成轴对称的△QBC，并直接写出四边形ABQC的周长．
【解答】解：（1）∵△PAC≌△BCA，
∴AP＝BC，AB＝PC．
如图，△PAC即为所求．
点P坐标为（3，3）．
（2）如图，△QBC即为所求．
由勾股定理得，AB＝BQ＝，AC＝CQ＝＝，
∴四边形ABQC的周长为AB+BQ+CQ+AC＝．
20．（8分）大数据时代下初中生信息素养的提升，是实施国家信息化战略、参与国际市场上人才竞争的一项基础性工程，某校为了解本校学生信息素养情况，从本校全体学生中，随机抽取部分学生，进行了在线测试，并将测试成绩（满分100分）收集，分成五组（用x分表示）：A组为“x＜60”，B组为“60≤x＜70”，C组为“70≤x＜80°，D组为“80≤x＜90”，E组为“90≤x≤100”．将收集的数据整理后，绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）这次调查的样本容量是 80 ，m＝ 31.25 ，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，E组所在扇形的圆心角度数是多少度？本次调查成绩合格的学生人数所占的百分比是多少？（注：成绩大于或等于60分为合格）
（3）若该校学生有2000人，请你估计该校学生信息素养水平不低于70分的学生人数，并对该校学生的信息素养提升提出合理化建议．
【解答】解：（1）这次调查的样本容量是35÷43.75%＝80，
D组人数为80﹣（4+7+35+9）＝25（人），
所以m%＝25÷80×100%＝31.25%，即m＝31.25，
补全条形图如下：
故答案为：80，31.25；
（2）E组所在扇形的圆心角度数360°×＝40.5°，
本次调查成绩合格的学生人数所占的百分比是×100%＝95%；
（3）2000×＝1725（人），
答：估计该校学生信息素养水平不低于70分的学生人数大约为1725人，建议学校加大对学生的信息素养提升力度，把学生信息素养水平提高一个层次．
21．（8分）如图，将△ABC沿着直线BC向右平移，得到△DEF，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F，且点E是BC边的中点．
（1）求证：AC与DE互相平分；
（2）连接AD，当BA＝BC＝6，DF＝4时，求四边形ABFD的面积．
【解答】（1）证明：如图1，连接AE、CD，
由平移的性质得：AD∥BC，AD＝BE，
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝CE，
∴AD＝CE，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AC与DE互相平分；
（2）解：由平移的性质得：AD＝CF，AD∥CF，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴AC＝DF，
如图2，过A作AM⊥BC于点M，
设CM＝x，则BM＝6﹣x，
在Rt△ABM和Rt△ACM中，AM2＝AB2﹣BM2＝62﹣（6﹣x）2，AM2＝AC2﹣CM2＝42﹣x2，
∴62﹣（6﹣x）2＝42﹣x2，
解得：x＝，
∴AM＝＝，
∵CF＝AD＝BE＝BC＝3，
∴BF＝BC+CF＝9，
∴S梯形ABFD＝（AD+BF）•AM＝×（3+9）×＝16．
22．（9分）2022年秋季，中小学开始实施《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，传递了“双减”背景下加强劳动教育的鲜明信号，某校准备利用学校劳动实践基地，开展劳动教育．现欲购进甲、乙两种菜苗供学生栽种．已知用300元购进甲种菜苗的数量比用300元购进乙种菜苗的数量多300棵，单独购一棵甲种菜苗和一棵乙种菜苗共需1.5元．
（1）求购进一棵甲种菜苗和一棵乙种菜苗各需要多少元；
（2）学校准备购进两种菜苗共600棵，甲种菜苗不少于200棵，不多于320棵，则购买总费用最少需要多少元？
【解答】解：（1）设购进一棵甲种菜苗需要x元，则购进一棵乙种菜苗需要（1.5﹣x）元，
根据题意得：﹣＝300，
整理得：2x2﹣7x+3＝0，
解得：x1＝0.5，x2＝3，
经检验，x1＝0.5，x2＝3均为所列方程的解，x1＝0.5符合题意，x2＝3不符合题意，舍去，
∴1.5﹣x＝1.5﹣0.5＝1．
答：购进一棵甲种菜苗需要0.5元，一棵乙种菜苗需要1元；
（2）设购进甲种菜苗m棵，购买总费用为w元，则购买乙种菜苗（600﹣m）棵，
根据题意得：w＝0.5m+1×（600﹣m），
即w＝﹣0.5m+600．
∵﹣0.5＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵200≤m≤320，
∴当m＝320时，w取得最小值，最小值为﹣0.5×320+600＝440．
答：购买总费用最少需要440元．
23．（9分）如图，点A，B，C是⊙O上三点，且点A是弦BC所对优弧的中点，过点A作EF∥BC．
（1）如图1，求证：EF是⊙O的切线；
（2）如图2，作射线BO交AC于点G，交⊙O于点I，交直线EF于点H，当AG＝3，CG＝5时，求sin∠AHB的值．
【解答】（1，）证明：如图1，连接AO，BO，CO，
∵点A是弦BC所对优弧的中点，
∴，
∴AB＝AC，
∵BO＝CO，AO＝AO，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠BAO＝∠CAO，
∴AO⊥BC，
∵EF∥BC，
∴AO⊥EF，
∵AO是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AO，并延长交BC于M，
∵AM⊥BC，AB＝AC，
∴BM＝MC，
∵EF∥BC，
∴∠MBO＝∠AHB，△AGH∽△CGB，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
∵△AOH∽△MOB，
∴＝＝，
∴＝，
∴sin∠MBO＝＝
∴sin∠AHB＝sin∠MBO＝．
24．（10分）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为“融通角”．
（1）①如图1，在△ABC中，CA＝CB，D是AB上任意一点，则△ACD与△BCD 是 “融通三角形”；（填“是”或“不是”）
②如图2，△ABC与△DEF是“融通三角形”，其中∠A＝∠D，AC＝DF，BC＝EF，则∠B+∠E＝ 180° ．
（2）若互为“融通三角形”的两个三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度数．
（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC＝4，∠CAB＝30°，∠B＝105°，∠D+∠B＝180°，且△ADC与△ABC是“融通三角形”，AD＞CD，求AD的长．
【解答】解：（1）①∵CA＝CB，
∴∠A＝∠B．
又∵DC＝DC，
∴△ACD与△BCD是“融通三角形”，
故答案为：是；
②如图，在线段DE上取点G，使DG＝AB，连接FG．
由题意可知在△ABC和△DGF中，
，
∴△ABC≌△DGF（SAS），
∴∠B＝∠DGF，BC＝GF．
又∵BC＝EF，
∴GF＝EF，
∴∠E＝∠FGE．
∵∠DGF+∠FGE＝180°，
∴∠B+∠E＝180°，
故答案为：180°；
（2）由题意可知，AB＝BC，DE＝DF，
在线段DE上取点G，使DG＝AB，连接FG．
由（1）可知△ABC≌△DGF，
∴BC＝GF，∠ABC＝∠DGF，AB＝DG，
∴DF＝DG，
∴∠D＝∠DFG，
设∠D＝∠DFG＝x，
∴∠FGE＝∠D+∠DFG＝2x，
∵BC＝EF＝GF，
∴∠E＝∠FGE＝2x，
∵DF＝DE，
∴∠E＝∠DFE＝2x，
∵∠D+∠DFE+∠E＝180°，
∴x+2x+x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝∠D＝36°，
∴“融通角”是36°．
故答案为：36°；
（3）分两种情况：①当BC＝CD时，如图4，
∵BC＝CD，∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝30°．
∵∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠ADC＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠ADC＝∠ACD，∠ACD＞∠DAC，
∴AD＞CD符合题意，
∴AD＝AC＝4；
②当AB＝CD时，
如图5，过点D作DE⊥AC于点E，
∵AB＝CD，∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝45°，
∴∠DAC＝45°，
∴AE＝DE，∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠ADC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
又∵∠DAC＝30°，
∴∠ACD＞∠DAC，
∴AD＞CD，符合题意．
设CE＝x，则AE＝DE＝x，
∵AC＝AE+CE，即4＝x+x，
∴x＝2﹣2，
∴AE＝DE＝×（2﹣2）＝6﹣2，
∴AD＝AE＝×（6﹣2）＝6﹣2．
综上可知AD的值为4或6﹣2．
25．（10分）如图，二次函数y＝（x﹣1）2+a与x轴相交于点A，B，点A在x轴负半轴，过点A的直线y＝x+b交该抛物线于另一点D，交y轴正半轴于点H．
（1）如图1，若OH＝1，求该抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段HD上一点，当时，求点P的坐标（用含b的代数式表示）；
（3）如图2，在（1）的条件下，设抛物线交y轴于点C，过A，B，C三点作⊙Q，经过点Q的直线y＝hx+q交⊙Q于点F，I，交抛物线于点E，G．当EI＝GI+FI时，求2h2的值．
【解答】解：（1）∵OH＝1，
∴H（0，1），
把H（0，1）代入y＝x+b，得b＝1，
∴y＝x+1，
令y＝0，得x+1＝0，
解得：x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
把A（﹣1，0）代入y＝（x﹣1）2+a，得0＝（﹣1﹣1）2+a，
解得：a＝﹣4，
∴y＝（x﹣1）2﹣4，
即该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）在y＝x+b中，令x＝0，得y＝b，令y＝0，得x＝﹣b，
∴A（﹣b，0），H（0，b），
∴OA＝OH＝b，
∴△AOH是等腰直角三角形，
∴∠HAO＝45°，AH＝b，
如图1，设P（x，x+b），过点P作PK⊥AB于点K，
则PK＝x+b，∠AKP＝∠ALD＝90°，
∴△APK和△ADL均为等腰直角三角形，
∴AP＝PK＝（x+b），AD＝AL＝（xD﹣xA），
由y＝（x﹣1）2+a和y＝x+b联立，
得：（x﹣1）2+a＝x+b，
整理得：x2﹣3x+a﹣b+1＝0，
∴xA+xD＝3，
∴xD＝3﹣xA＝3+b，
∴xD﹣xA＝3+b﹣（﹣b）＝3+2b，
即AD＝（3+2b），
∵，
∴+＝，
∴x＝，x+b＝，
∴点P的坐标为（，）；
（3）由题意得：y＝x2﹣2x﹣3，C（0，﹣3），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵⊙Q经过A、B、C三点，
∴点Q在线段AB的垂直平分线上，即点Q的横坐标为＝1，
∵点Q也在线段BC的垂直平分线上，OB＝OC＝3，
∴点Q在第二、四象限角平分线上，即点Q的横纵坐标互为相反数，
∴Q（1，﹣1），
如图，过点Q作QH⊥x轴于点H，连接BQ，
则QH＝1，BH＝3﹣1＝2，
∴BQ＝＝＝，
∴FI＝2BQ＝2，
∵EI＝GI+FI，EI＝EF+FI，
∴EF＝GI，
∴EF+FG＝FG+GI，即EG＝FI＝2，
∴EG2＝20，
∵直线y＝hx+q经过点Q（1，﹣1），
∴﹣1＝h+q，
∴q＝﹣h﹣1，
∴y＝hx﹣h﹣1，与y＝x2﹣2x﹣3联立，
得x2﹣2x﹣3＝hx﹣h﹣1，
整理得：x2﹣（h+2）x+h﹣2＝0，
∴xE+xG＝h+2，xE•xG＝h﹣2，
∴yE＝h•xE﹣h﹣1，yG＝h•xG﹣h﹣1，
∵EG2＝（xE﹣xG）2+（yE﹣yG）2
＝（1+h2）（xE﹣xG）2
＝（1+h2）[（xE+xG）2﹣4xE•xG]
＝（1+h2）[（h+2）2﹣4（h﹣2）]
＝（h2+1）（h2+12），
∴（h2+1）（h2+12）＝20，
∴h2＝，
∴2h2＝﹣13．
2023年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（二）
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在数轴上表示下列四个数：﹣1，，，π，则距离原点最远的数是（ ）
A．﹣1 B． C． D．π
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B．5m+5n＝5mn
C．（﹣mn2）3＝﹣m3n6 D． m2•m4＝m8
3．（3分）碳纳米管是一种一维量子材料，与传统金属、高分子材料相比，碳纳米管的电、热力学性能优异，凭借突出性能，碳纳米管逐渐成为场发射电子源中最常用的纳米材料，我国已具备研制直径为0.0000000049米的碳纳米管．数据0.0000000049用科学记数法表示为（ ）
A．0.49×10﹣9 B．4.9×10﹣9 C．0.49×10﹣8 D．4.9×10﹣10
4．（3分）如图，直线DE∥FG，AC平分∠DAB，∠ACB＝70°，则∠ABC的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
5．（3分）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠OAB＝55°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．35° C．37.5° D．40°
6．（3分）如图是由7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在空白部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）“喜迎二十大，永远跟党走，奋进新征程．”在中国共产主义青年团成立100周年之际，为响应共青团中央号召，长沙某校团委开展了“青年大学习”活动．为了解学习情况，学校随机抽取了部分学生进行了问卷调查，统计了他们在某一个月的学习时长，整理成如下表格：
学习时长t（分钟）
50≤t＜60
60≤t＜70
70≤t≤80
80≤t＜90
人数（人）
9
30
41
20
则关于这组数据的结论正确的是（ ）
A．中位数是75
B．众数是70
C．平均数是72.2
D．学习时长70≤t＜80的人数占41%
8．（3分）如图，点B在y轴的正半轴上，点C在反比例函数（x＜0）的图象上，菱形OABC的面积为12，则k的值为 （ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
9．（3分）《九章算术》中记载：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤．问玉、石重各几何？大意是：若有玉1立方寸，重7两；石1立方寸，重6两．今有石为棱长3寸的正方体（体积为27立方寸），其中含有玉，总重11斤（注：1斤＝16两）．问玉、石各重多少？若设玉重x两，石重y两，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，按如下步骤作图：①连接AC，BD相交于A点O；②分别以点B，C为圆心、大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③连接OE交BC于点F；④连接AF交BO于点G．若，则OG的长度为（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：（a+3）2﹣16＝ ．
12．（3分）已知近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.5米的眼镜了，则现在小慧所戴的眼镜为 度．
13．（3分）某校举行了“珍爱生命，预防漏水”为主题的演讲比赛，提高学生的安全意识．演讲者的最终比赛成绩按照演讲内容、现场效果、外在形象三项得分分别占40%，40%，20%的比例折算．已知李明同学的三项原始得分分别是90分，95分，90分，那么李明同学最终比赛成绩为 分．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，∠ABC＜90°，⊙O与它的边BA，BC相切，射线BO交边AD于点E．当AB＝6，AD＝8时，DE的长等于 ．
15．（3分）为了健康和环保，某超市提供了一种尖底圆锥形纸杯供顾客饮水，如图所示．经过测量，纸杯口的直径为8cm，母线长为10cm，则生产100个这种纸杯需要原纸 cm2．（结果保留π）
16．（3分）如图，点G是矩形ABCD的边AD的中点，点H是BC边上的动点，将矩形沿GH折叠，点A，B的对应点分别是点E，F，且点E在矩形内部，过点E作MN∥AB分别交AD，BC于点M，N，连接AE．
（1）若∠FEN＝36°，则∠AEM＝ °；
（2）若AD＝6，AB＝4，当G，E，C三点在同一条直线上时，GH的长为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：，其中．
19．（6分）如图，在网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣4，0），C（1，0）．
（1）在坐标平面内画△PAC，使得△PAC≌△BCA，且点P在第一象限，并写出点P的坐标；
（2）在坐标平面内画△ABC关于BC成轴对称的△QBC，并直接写出四边形ABQC的周长．
20．（8分）大数据时代下初中生信息素养的提升，是实施国家信息化战略、参与国际市场上人才竞争的一项基础性工程，某校为了解本校学生信息素养情况，从本校全体学生中，随机抽取部分学生，进行了在线测试，并将测试成绩（满分100分）收集，分成五组（用x分表示）：A组为“x＜60”，B组为“60≤x＜70”，C组为“70≤x＜80°，D组为“80≤x＜90”，E组为“90≤x≤100”．将收集的数据整理后，绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）这次调查的样本容量是 ，m＝ ，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，E组所在扇形的圆心角度数是多少度？本次调查成绩合格的学生人数所占的百分比是多少？（注：成绩大于或等于60分为合格）
（3）若该校学生有2000人，请你估计该校学生信息素养水平不低于70分的学生人数，并对该校学生的信息素养提升提出合理化建议．
21．（8分）如图，将△ABC沿着直线BC向右平移，得到△DEF，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F，且点E是BC边的中点．
（1）求证：AC与DE互相平分；
（2）连接AD，当BA＝BC＝6，DF＝4时，求四边形ABFD的面积．
22．（9分）2022年秋季，中小学开始实施《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，传递了“双减”背景下加强劳动教育的鲜明信号，某校准备利用学校劳动实践基地，开展劳动教育．现欲购进甲、乙两种菜苗供学生栽种．已知用300元购进甲种菜苗的数量比用300元购进乙种菜苗的数量多300棵，单独购一棵甲种菜苗和一棵乙种菜苗共需1.5元．
（1）求购进一棵甲种菜苗和一棵乙种菜苗各需要多少元；
（2）学校准备购进两种菜苗共600棵，甲种菜苗不少于200棵，不多于320棵，则购买总费用最少需要多少元？
23．（9分）如图，点A，B，C是⊙O上三点，且点A是弦BC所对优弧的中点，过点A作EF∥BC．
（1）如图1，求证：EF是⊙O的切线；
（2）如图2，作射线BO交AC于点G，交⊙O于点I，交直线EF于点H，当AG＝3，CG＝5时，求sin∠AHB的值．
24．（10分）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为“融通角”．
（1）①如图1，在△ABC中，CA＝CB，D是AB上任意一点，则△ACD与△BCD “融通三角形”；（填“是”或“不是”）
②如图2，△ABC与△DEF是“融通三角形”，其中∠A＝∠D，AC＝DF，BC＝EF，则∠B+∠E＝ ．
（2）若互为“融通三角形”的两个三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度数．
（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC＝4，∠CAB＝30°，∠B＝105°，∠D+∠B＝180°，且△ADC与△ABC是“融通三角形”，AD＞CD，求AD的长．
25．（10分）如图，二次函数y＝（x﹣1）2+a与x轴相交于点A，B，点A在x轴负半轴，过点A的直线y＝x+b交该抛物线于另一点D，交y轴正半轴于点H．
（1）如图1，若OH＝1，求该抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段HD上一点，当时，求点P的坐标（用含b的代数式表示）；
（3）如图2，在（1）的条件下，设抛物线交y轴于点C，过A，B，C三点作⊙Q，经过点Q的直线y＝hx+q交⊙Q于点F，I，交抛物线于点E，G．当EI＝GI+FI时，求2h2的值．
2023年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（二）
（参考答案）
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在数轴上表示下列四个数：﹣1，，，π，则距离原点最远的数是（ ）
A．﹣1 B． C． D．π
【解答】解：|﹣1|＝1，||＝，|﹣|＝，|π|＝π，
∵，
∴距离原点最远的数是π，
故选：D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B．5m+5n＝5mn
C．（﹣mn2）3＝﹣m3n6 D． m2•m4＝m8
【解答】解：A．2﹣＝，故此选项不合题意；
B．5m+5n无法合并，故此选项不合题意；
C．（﹣mn2）3＝﹣m3n6，故此选项符合题意；
D．m2•m4＝m6，故此选项不合题意．
故选：C．
3．（3分）碳纳米管是一种一维量子材料，与传统金属、高分子材料相比，碳纳米管的电、热力学性能优异，凭借突出性能，碳纳米管逐渐成为场发射电子源中最常用的纳米材料，我国已具备研制直径为0.0000000049米的碳纳米管．数据0.0000000049用科学记数法表示为（ ）
A．0.49×10﹣9 B．4.9×10﹣9 C．0.49×10﹣8 D．4.9×10﹣10
【解答】解：0.0000000049＝1.9×10﹣9，
故选：B．
4．（3分）如图，直线DE∥FG，AC平分∠DAB，∠ACB＝70°，则∠ABC的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【解答】解：∵DE∥FG，∠ACB＝70°，
∴∠DAC＝∠ACB＝70°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAB＝2∠DAC＝140°，
∵DE∥FG，
∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝40°，
故选：A．
5．（3分）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠OAB＝55°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．35° C．37.5° D．40°
【解答】解：∵OA＝OB，∠OAB＝55°，
∴∠OBA＝∠OAB＝55°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝70°，
∴∠C＝∠AOB＝35°．
故选：B．
6．（3分）如图是由7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在空白部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由图知，空白部分的面积占图案面积的，即这个点取在空白部分的概率是．
故选：A．
7．（3分）“喜迎二十大，永远跟党走，奋进新征程．”在中国共产主义青年团成立100周年之际，为响应共青团中央号召，长沙某校团委开展了“青年大学习”活动．为了解学习情况，学校随机抽取了部分学生进行了问卷调查，统计了他们在某一个月的学习时长，整理成如下表格：
学习时长t（分钟）
50≤t＜60
60≤t＜70
70≤t≤80
80≤t＜90
人数（人）
9
30
41
20
则关于这组数据的结论正确的是（ ）
A．中位数是75
B．众数是70
C．平均数是72.2
D．学习时长70≤t＜80的人数占41%
【解答】解：从频数（率）分布表可得这组数据的中位数为70≤t≤80，无法得到众数，
这组数的平均数（组中值）为＝72.2，
学习时长70≤t＜80的人数占41÷100×100%＝41%．
故选：D．
8．（3分）如图，点B在y轴的正半轴上，点C在反比例函数（x＜0）的图象上，菱形OABC的面积为12，则k的值为 （ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
【解答】解：在菱形OABC中，OC＝BC，
∴OD＝BD，
∵菱形OABC的面积为12，点B在y轴的正半轴上，
∴△OCB的面积为6，
∴△OCD的面积为3，
∴|k|＝3，
∴|k|＝6，
∵k＜0，
∴k＝﹣6．
故选：A．
9．（3分）《九章算术》中记载：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤．问玉、石重各几何？大意是：若有玉1立方寸，重7两；石1立方寸，重6两．今有石为棱长3寸的正方体（体积为27立方寸），其中含有玉，总重11斤（注：1斤＝16两）．问玉、石各重多少？若设玉重x两，石重y两，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵石头总重11斤，
∴x+y＝11×16，即x+y＝176；
∵石头的体积为27立方寸，
∴+＝27．
∴根据题意可列出方程组．
故选：B．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，按如下步骤作图：①连接AC，BD相交于A点O；②分别以点B，C为圆心、大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③连接OE交BC于点F；④连接AF交BO于点G．若，则OG的长度为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，∠BAD＝90°，OA＝OC＝OB＝OD，
∴BD＝＝＝8，
∴OB＝OD＝4，
由作图可知OE垂直平分线段BC，
∴BF＝CF，
∴OC＝OA，
∴OF∥AB，FO＝AB，
∴＝＝，
∴OG＝OB＝．
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：（a+3）2﹣16＝ （a+7）（a﹣1） ．
【解答】解：（a+3）2﹣16
＝（a+3）2﹣42
＝（a+3+4）（a+3﹣4）
＝（a+7）（a﹣1）．
故答案为：（a+7）（a﹣1）．
12．（3分）已知近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.5米的眼镜了，则现在小慧所戴的眼镜为 200 度．
【解答】解：设函数的解析式为y＝（x＞0），
∵400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，
∴k＝400×0.25＝100，
∴解析式为y＝，
∴当y＝0.5时，x＝＝200，
∵小慧原来戴400度的近视眼镜，
∴小慧所戴眼镜的度数降低了400﹣200＝200度．
故答案为：200．
13．（3分）某校举行了“珍爱生命，预防漏水”为主题的演讲比赛，提高学生的安全意识．演讲者的最终比赛成绩按照演讲内容、现场效果、外在形象三项得分分别占40%，40%，20%的比例折算．已知李明同学的三项原始得分分别是90分，95分，90分，那么李明同学最终比赛成绩为 92 分．
【解答】解：李明的最终成绩为90×40%+95×40%+90×20%＝92（分），
故答案为：92．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，∠ABC＜90°，⊙O与它的边BA，BC相切，射线BO交边AD于点E．当AB＝6，AD＝8时，DE的长等于 2 ．
【解答】解：如图，过O分别作OP⊥AB于P，OQ⊥BC于Q，
∵⊙O与它的边BA，BC相切，
∴OP＝OQ，
∴OB平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵四边形ABCD为▱ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AB＝6，AD＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝8﹣6＝2．
故答案为：2．
15．（3分）为了健康和环保，某超市提供了一种尖底圆锥形纸杯供顾客饮水，如图所示．经过测量，纸杯口的直径为8cm，母线长为10cm，则生产100个这种纸杯需要原纸 4000π cm2．（结果保留π）
【解答】解：∵纸杯口的直径为8cm，
∴纸杯口的周长为π×8＝8π（cm），
∵母线长为10cm，
∴纸杯展开后所得扇形的面积＝＝40π（cm2），
∴生产100个这种纸杯需要原纸为100×40π＝4000π（cm2）．
故答案为：4000π．
16．（3分）如图，点G是矩形ABCD的边AD的中点，点H是BC边上的动点，将矩形沿GH折叠，点A，B的对应点分别是点E，F，且点E在矩形内部，过点E作MN∥AB分别交AD，BC于点M，N，连接AE．
（1）若∠FEN＝36°，则∠AEM＝ 72 °；
（2）若AD＝6，AB＝4，当G，E，C三点在同一条直线上时，GH的长为 2 ．
【解答】解：（1）∵将矩形沿GH折叠，点A，B的对应点分别是点E，F，
∴∠FEG＝∠BAD＝90°，AG＝GE，
∵∠FEN＝36°，
∴∠AEM＝180°﹣∠FEN﹣∠FEG＝54°，
∵MN∥AB，
∴MN⊥AD，
∴∠AME＝90°，
∴∠MGE＝＝36°，
∵AG＝GE，
∴∠GAE＝∠AEG，
∵∠MGE＝∠GAE+∠GEA＝36°，
∴∠AEG＝MGE＝18°，
∴∠AEM＝∠AEG+∠GEM＝18°+54°＝72°；
故答案为：72；
（2）如图，
∵点G是矩形ABCD的边AD的中点，
∴AG＝DG＝AD＝＝3，
∵∠D＝90°，CD＝4，
∴CG＝＝5，
∵AD∥BC，
∴∠AGH＝∠CHG，
∵将矩形沿GH折叠，点A，B的对应点分别是点E，F，
∴∠AGH＝∠CGH，
∴∠CGH＝∠CHG，
∴CH＝CG＝5，
∴BH＝BC﹣CH＝1，
过H作HP⊥AD于P，
则四边形ABHP是矩形，∠HPG＝90°，
∴AP＝BH＝1，PH＝AB＝4，
∴GH＝＝＝2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
【解答】解：原式＝﹣2×+4+1
＝﹣+4+1
＝5．
18．（6分）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：
＝•﹣（x2+2x+1）
＝x（x﹣1）﹣x2﹣2x﹣1
＝x2﹣x﹣x2﹣2x﹣1
＝﹣3x﹣1，
当x＝﹣时，原式＝﹣3×（﹣）﹣1＝1．
19．（6分）如图，在网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣4，0），C（1，0）．
（1）在坐标平面内画△PAC，使得△PAC≌△BCA，且点P在第一象限，并写出点P的坐标；
（2）在坐标平面内画△ABC关于BC成轴对称的△QBC，并直接写出四边形ABQC的周长．
【解答】解：（1）∵△PAC≌△BCA，
∴AP＝BC，AB＝PC．
如图，△PAC即为所求．
点P坐标为（3，3）．
（2）如图，△QBC即为所求．
由勾股定理得，AB＝BQ＝，AC＝CQ＝＝，
∴四边形ABQC的周长为AB+BQ+CQ+AC＝．
20．（8分）大数据时代下初中生信息素养的提升，是实施国家信息化战略、参与国际市场上人才竞争的一项基础性工程，某校为了解本校学生信息素养情况，从本校全体学生中，随机抽取部分学生，进行了在线测试，并将测试成绩（满分100分）收集，分成五组（用x分表示）：A组为“x＜60”，B组为“60≤x＜70”，C组为“70≤x＜80°，D组为“80≤x＜90”，E组为“90≤x≤100”．将收集的数据整理后，绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）这次调查的样本容量是 80 ，m＝ 31.25 ，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，E组所在扇形的圆心角度数是多少度？本次调查成绩合格的学生人数所占的百分比是多少？（注：成绩大于或等于60分为合格）
（3）若该校学生有2000人，请你估计该校学生信息素养水平不低于70分的学生人数，并对该校学生的信息素养提升提出合理化建议．
【解答】解：（1）这次调查的样本容量是35÷43.75%＝80，
D组人数为80﹣（4+7+35+9）＝25（人），
所以m%＝25÷80×100%＝31.25%，即m＝31.25，
补全条形图如下：
故答案为：80，31.25；
（2）E组所在扇形的圆心角度数360°×＝40.5°，
本次调查成绩合格的学生人数所占的百分比是×100%＝95%；
（3）2000×＝1725（人），
答：估计该校学生信息素养水平不低于70分的学生人数大约为1725人，建议学校加大对学生的信息素养提升力度，把学生信息素养水平提高一个层次．
21．（8分）如图，将△ABC沿着直线BC向右平移，得到△DEF，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F，且点E是BC边的中点．
（1）求证：AC与DE互相平分；
（2）连接AD，当BA＝BC＝6，DF＝4时，求四边形ABFD的面积．
【解答】（1）证明：如图1，连接AE、CD，
由平移的性质得：AD∥BC，AD＝BE，
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝CE，
∴AD＝CE，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AC与DE互相平分；
（2）解：由平移的性质得：AD＝CF，AD∥CF，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴AC＝DF，
如图2，过A作AM⊥BC于点M，
设CM＝x，则BM＝6﹣x，
在Rt△ABM和Rt△ACM中，AM2＝AB2﹣BM2＝62﹣（6﹣x）2，AM2＝AC2﹣CM2＝42﹣x2，
∴62﹣（6﹣x）2＝42﹣x2，
解得：x＝，
∴AM＝＝，
∵CF＝AD＝BE＝BC＝3，
∴BF＝BC+CF＝9，
∴S梯形ABFD＝（AD+BF）•AM＝×（3+9）×＝16．
22．（9分）2022年秋季，中小学开始实施《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，传递了“双减”背景下加强劳动教育的鲜明信号，某校准备利用学校劳动实践基地，开展劳动教育．现欲购进甲、乙两种菜苗供学生栽种．已知用300元购进甲种菜苗的数量比用300元购进乙种菜苗的数量多300棵，单独购一棵甲种菜苗和一棵乙种菜苗共需1.5元．
（1）求购进一棵甲种菜苗和一棵乙种菜苗各需要多少元；
（2）学校准备购进两种菜苗共600棵，甲种菜苗不少于200棵，不多于320棵，则购买总费用最少需要多少元？
【解答】解：（1）设购进一棵甲种菜苗需要x元，则购进一棵乙种菜苗需要（1.5﹣x）元，
根据题意得：﹣＝300，
整理得：2x2﹣7x+3＝0，
解得：x1＝0.5，x2＝3，
经检验，x1＝0.5，x2＝3均为所列方程的解，x1＝0.5符合题意，x2＝3不符合题意，舍去，
∴1.5﹣x＝1.5﹣0.5＝1．
答：购进一棵甲种菜苗需要0.5元，一棵乙种菜苗需要1元；
（2）设购进甲种菜苗m棵，购买总费用为w元，则购买乙种菜苗（600﹣m）棵，
根据题意得：w＝0.5m+1×（600﹣m），
即w＝﹣0.5m+600．
∵﹣0.5＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵200≤m≤320，
∴当m＝320时，w取得最小值，最小值为﹣0.5×320+600＝440．
答：购买总费用最少需要440元．
23．（9分）如图，点A，B，C是⊙O上三点，且点A是弦BC所对优弧的中点，过点A作EF∥BC．
（1）如图1，求证：EF是⊙O的切线；
（2）如图2，作射线BO交AC于点G，交⊙O于点I，交直线EF于点H，当AG＝3，CG＝5时，求sin∠AHB的值．
【解答】（1，）证明：如图1，连接AO，BO，CO，
∵点A是弦BC所对优弧的中点，
∴，
∴AB＝AC，
∵BO＝CO，AO＝AO，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠BAO＝∠CAO，
∴AO⊥BC，
∵EF∥BC，
∴AO⊥EF，
∵AO是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AO，并延长交BC于M，
∵AM⊥BC，AB＝AC，
∴BM＝MC，
∵EF∥BC，
∴∠MBO＝∠AHB，△AGH∽△CGB，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
∵△AOH∽△MOB，
∴＝＝，
∴＝，
∴sin∠MBO＝＝
∴sin∠AHB＝sin∠MBO＝．
24．（10分）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为“融通角”．
（1）①如图1，在△ABC中，CA＝CB，D是AB上任意一点，则△ACD与△BCD 是 “融通三角形”；（填“是”或“不是”）
②如图2，△ABC与△DEF是“融通三角形”，其中∠A＝∠D，AC＝DF，BC＝EF，则∠B+∠E＝ 180° ．
（2）若互为“融通三角形”的两个三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度数．
（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC＝4，∠CAB＝30°，∠B＝105°，∠D+∠B＝180°，且△ADC与△ABC是“融通三角形”，AD＞CD，求AD的长．
【解答】解：（1）①∵CA＝CB，
∴∠A＝∠B．
又∵DC＝DC，
∴△ACD与△BCD是“融通三角形”，
故答案为：是；
②如图，在线段DE上取点G，使DG＝AB，连接FG．
由题意可知在△ABC和△DGF中，
，
∴△ABC≌△DGF（SAS），
∴∠B＝∠DGF，BC＝GF．
又∵BC＝EF，
∴GF＝EF，
∴∠E＝∠FGE．
∵∠DGF+∠FGE＝180°，
∴∠B+∠E＝180°，
故答案为：180°；
（2）由题意可知，AB＝BC，DE＝DF，
在线段DE上取点G，使DG＝AB，连接FG．
由（1）可知△ABC≌△DGF，
∴BC＝GF，∠ABC＝∠DGF，AB＝DG，
∴DF＝DG，
∴∠D＝∠DFG，
设∠D＝∠DFG＝x，
∴∠FGE＝∠D+∠DFG＝2x，
∵BC＝EF＝GF，
∴∠E＝∠FGE＝2x，
∵DF＝DE，
∴∠E＝∠DFE＝2x，
∵∠D+∠DFE+∠E＝180°，
∴x+2x+x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝∠D＝36°，
∴“融通角”是36°．
故答案为：36°；
（3）分两种情况：①当BC＝CD时，如图4，
∵BC＝CD，∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝30°．
∵∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠ADC＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠ADC＝∠ACD，∠ACD＞∠DAC，
∴AD＞CD符合题意，
∴AD＝AC＝4；
②当AB＝CD时，
如图5，过点D作DE⊥AC于点E，
∵AB＝CD，∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝45°，
∴∠DAC＝45°，
∴AE＝DE，∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠ADC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
又∵∠DAC＝30°，
∴∠ACD＞∠DAC，
∴AD＞CD，符合题意．
设CE＝x，则AE＝DE＝x，
∵AC＝AE+CE，即4＝x+x，
∴x＝2﹣2，
∴AE＝DE＝×（2﹣2）＝6﹣2，
∴AD＝AE＝×（6﹣2）＝6﹣2．
综上可知AD的值为4或6﹣2．
25．（10分）如图，二次函数y＝（x﹣1）2+a与x轴相交于点A，B，点A在x轴负半轴，过点A的直线y＝x+b交该抛物线于另一点D，交y轴正半轴于点H．
（1）如图1，若OH＝1，求该抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段HD上一点，当时，求点P的坐标（用含b的代数式表示）；
（3）如图2，在（1）的条件下，设抛物线交y轴于点C，过A，B，C三点作⊙Q，经过点Q的直线y＝hx+q交⊙Q于点F，I，交抛物线于点E，G．当EI＝GI+FI时，求2h2的值．
【解答】解：（1）∵OH＝1，
∴H（0，1），
把H（0，1）代入y＝x+b，得b＝1，
∴y＝x+1，
令y＝0，得x+1＝0，
解得：x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
把A（﹣1，0）代入y＝（x﹣1）2+a，得0＝（﹣1﹣1）2+a，
解得：a＝﹣4，
∴y＝（x﹣1）2﹣4，
即该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）在y＝x+b中，令x＝0，得y＝b，令y＝0，得x＝﹣b，
∴A（﹣b，0），H（0，b），
∴OA＝OH＝b，
∴△AOH是等腰直角三角形，
∴∠HAO＝45°，AH＝b，
如图1，设P（x，x+b），过点P作PK⊥AB于点K，
则PK＝x+b，∠AKP＝∠ALD＝90°，
∴△APK和△ADL均为等腰直角三角形，
∴AP＝PK＝（x+b），AD＝AL＝（xD﹣xA），
由y＝（x﹣1）2+a和y＝x+b联立，
得：（x﹣1）2+a＝x+b，
整理得：x2﹣3x+a﹣b+1＝0，
∴xA+xD＝3，
∴xD＝3﹣xA＝3+b，
∴xD﹣xA＝3+b﹣（﹣b）＝3+2b，
即AD＝（3+2b），
∵，
∴+＝，
∴x＝，x+b＝，
∴点P的坐标为（，）；
（3）由题意得：y＝x2﹣2x﹣3，C（0，﹣3），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵⊙Q经过A、B、C三点，
∴点Q在线段AB的垂直平分线上，即点Q的横坐标为＝1，
∵点Q也在线段BC的垂直平分线上，OB＝OC＝3，
∴点Q在第二、四象限角平分线上，即点Q的横纵坐标互为相反数，
∴Q（1，﹣1），
如图，过点Q作QH⊥x轴于点H，连接BQ，
则QH＝1，BH＝3﹣1＝2，
∴BQ＝＝＝，
∴FI＝2BQ＝2，
∵EI＝GI+FI，EI＝EF+FI，
∴EF＝GI，
∴EF+FG＝FG+GI，即EG＝FI＝2，
∴EG2＝20，
∵直线y＝hx+q经过点Q（1，﹣1），
∴﹣1＝h+q，
∴q＝﹣h﹣1，
∴y＝hx﹣h﹣1，与y＝x2﹣2x﹣3联立，
得x2﹣2x﹣3＝hx﹣h﹣1，
整理得：x2﹣（h+2）x+h﹣2＝0，
∴xE+xG＝h+2，xE•xG＝h﹣2，
∴yE＝h•xE﹣h﹣1，yG＝h•xG﹣h﹣1，
∵EG2＝（xE﹣xG）2+（yE﹣yG）2
＝（1+h2）（xE﹣xG）2
＝（1+h2）[（xE+xG）2﹣4xE•xG]
＝（1+h2）[（h+2）2﹣4（h﹣2）]
＝（h2+1）（h2+12），
∴（h2+1）（h2+12）＝20，
∴h2＝，
∴2h2＝﹣13．
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