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2021年湖南省长沙市中考数学仿真模拟试卷（word版 含答案）
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这是一份2021年湖南省长沙市中考数学仿真模拟试卷（word版 含答案），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖南省长沙市中考数学仿真模拟试卷
一、单选题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．下列各组数中，不相等的一组是（ ）
A．（﹣2）3和﹣23 B．（﹣2）2和﹣22 C．+（﹣2）和﹣2 D．|﹣2|3和|2|3
2．如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．新型冠状病毒肺炎是21世纪全人类面临的灾难，面对突发的疫情，我国政府积极开展防疫工作，经过全国人民艰苦卓绝的努力，防疫工作取得了重大战略成果，截止到2020年12月24日，我国累计确诊96074例，累计治愈89743例，将96074用科学记数法表示应为（ ）
A．9.6074×105 B．9.6074×104
C．96.074×103 D．0.96074×105
4．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a4＝a6 B．2a•4a＝8a C．（a2）3＝a6 D．a8÷a2＝a4
5．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也随之改变．密度ρ（单位：kg/m3）与体积V（单位：m3）满足函数关系式ρ＝（k为常数，k≠0），其图象如图所示，则k的值为（ ）
A．9 B．﹣9 C．4 D．﹣4
6．直升飞机在离地面2000米的上空测得上海东方明珠底部的俯角为30°，此时直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是（ ）
A．2000米 B．米 C．4000米 D．米
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意掷一枚骰子一定出现奇数点
B．彩票中奖率20%，买5张一定中奖
C．晚间天气预报说明天有小到中雪
D．在13个同学中至少有2人生肖相同
9．下列说法：①﹣a必是负数；②绝对值最小的数是0；③在数轴上，原点两旁的两个点表示的数必互为相反数；④在数轴上，左边的点比右边的点所表示的数大，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B＝80°，∠C＝（ ）度．
A．40 B．45 C．50 D．55
11．为了加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区要对全长4000米的道路进行改造，为了尽量减少施工对交通的影响，施工队的工作效率增加了30%，结果提前7天完成，设施工队原计划每天铺x米，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图所示，已知△ABC与△DEF均为等边三角形，且AB＝2，DB＝1，现△ABC静止不动，△DEF沿着直线EC以每秒1个单位的速度向右移动设△DEF移动的时间为x，△DEF与△ABC重合的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．如图，国内截至目前部分地区新冠肺炎治愈出院人数，则这组数据的中位数是 ．
地区
湖北省
中国香港
中国台湾
上海市
北京市
删东省
河北省
浙江省
治愈
63612
173
50
348
434
1368
310
1228
14．我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行驶，从而减小阻力，因此列车时速可超过400公里．现在一个轨道长为180cm的“磁悬浮”轨道架上做钢球碰撞实验，如图所示，轨道架上安置三个大小、质量完全相同的钢球A、B、C、左右各有一个钢制挡板D和E，其中C到左挡板的距离为40cm，B到右挡板的距离为50cm，A、B两球相距30cm．碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不记），钢球的运动都是匀速的，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动，现A球以每秒10cm的速度向右匀速运动．
（1） 秒后B球第二次撞向右挡板E；
（2） 秒后B球第n（n为正整数）次撞向右挡板E．
15．已知圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是 ．
16．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD，AC＝8，BC＝BD，则CE＝ ．
三、解答题（本大题共9个小题，共分）
17．（8分）计算：（1﹣π）0﹣|﹣|+（﹣1）2018﹣（）﹣1．
18．（8分）先化简，再求值：（）×，其中a＝2．
19．（8分）如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD′．
（1）求∠DAD′的度数．
（2）当∠DAE＝45°时，求证：DE＝D′E；
20．（8分）某数学小组将课外书大概分四类：“文学名著”、“科普”、“人文社科”和“猎奇类”，在校内对你最喜欢读的一类书进行调查，随机调查了若干人（每名学生必选一种且只能从这四项中选择一项），并将调查结果绘制成不完整的统计图．
（1）求本次共抽查了多少名学生；
（2）请补全条形统计图，并求出“科普”类书在扇形统计图中圆心角的度数；
（3）若该学校共有2000名学生，请你估计最喜欢读“猎奇类”书的学生有多少名？
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线．
（2）若AD＝3，DC＝，求⊙O的半径．
22．（8分）一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的运货情况如表：
第一次
第二次
甲种货车数量
2辆
5辆
乙种货车数量
3辆
6辆
累计运货重量
14吨
32吨
（1）分别求甲、乙两种货车每辆载重多少吨？
（2）现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车刚好一次运完这批货物，如果按每吨付运费120元计算，货主应付运费多少元？
23．（8分）如图，将一个正方形纸片AOBC放置在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（6，0）．动点E在边AO上，点F在边BC上，沿EF折叠该纸片，使点O的对应点M始终落在边AC上（点M不与A，C重合），点B落在点N处，MN与BC交于点P．
（1）求点C的坐标；
（2）当点M落在AC的中点时，求点E的坐标；
（3）当点M在边AC上移动时，设AM＝t，求点E的坐标（用t表示）．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴，交抛物线于点D，连接AD．
（1）点P为线段AD上方抛物线上的一动点，点E是线段AD上一动点，连接PA，PD，PE，当△PAD面积最大时，求PE+AE的最小值；
（2）在（1）中，PE+AE取得最小值时，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，将△AEF绕点F顺时针旋转90°后得到△A′E′F，点A、E的对应点分别为A′、E′，在直线AD上是否存在一点Q，使得△DE′Q为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：AD2＝AB•AF；
（3）若BE＝8，sinB＝，求AD的长，
2021年湖南省长沙市中考数学仿真模拟试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．下列各组数中，不相等的一组是（ ）
A．（﹣2）3和﹣23 B．（﹣2）2和﹣22 C．+（﹣2）和﹣2 D．|﹣2|3和|2|3
【分析】根据有理数的乘方法则和绝对值的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、∵（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，
∴（﹣2）3和﹣23相等；
B、∵（﹣2）2＝4，﹣22＝﹣4，
∴（﹣2）2和﹣22不相等；
C、∵+（﹣2）＝﹣2，
∴+（﹣2）和﹣2相等；
D、∵|﹣2|3＝8，|2|3＝8，
∴|﹣2|3和|2|3相等；
故选：B．
2．如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意；
C．既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：C．
3．新型冠状病毒肺炎是21世纪全人类面临的灾难，面对突发的疫情，我国政府积极开展防疫工作，经过全国人民艰苦卓绝的努力，防疫工作取得了重大战略成果，截止到2020年12月24日，我国累计确诊96074例，累计治愈89743例，将96074用科学记数法表示应为（ ）
A．9.6074×105 B．9.6074×104
C．96.074×103 D．0.96074×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：96074＝9.6074×104．
故选：B．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a4＝a6 B．2a•4a＝8a C．（a2）3＝a6 D．a8÷a2＝a4
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则、单项式乘单项式的运算法则，以及合并同类项法则和幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a2+a4无法计算，故此选项错误；
B、2a•4a＝8a2，故此选项错误；
C、（a2 ）3＝a6，故此选项正确；
D、a8÷a2＝a6，故选项错误．
故选：C．
5．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也随之改变．密度ρ（单位：kg/m3）与体积V（单位：m3）满足函数关系式ρ＝（k为常数，k≠0），其图象如图所示，则k的值为（ ）
A．9 B．﹣9 C．4 D．﹣4
【分析】由图象可知，反比例函数图象经过点（6，1.5），利用待定系数法求出函数解形式即可求得k值．
【解答】解：由图象可知，函数图象经过点（6，1.5），
设反比例函数为ρ＝，
则1.5＝，
解得k＝9，
故选：A．
6．直升飞机在离地面2000米的上空测得上海东方明珠底部的俯角为30°，此时直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是（ ）
A．2000米 B．米 C．4000米 D．米
【分析】由题意可知，在直角三角形中，已知角的对边求斜边，可以用正弦函数来计算．
【解答】解：根据题意得：直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是 ＝＝4000米．
故选：C．
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，结合各选项中解集在数轴上的表示即可．
【解答】解：解不等式﹣2x+5≤3，得：x≥1，
解不等式3（x﹣1）＜2x，得：x＜3，
故原不等式组的解集是1≤x＜3，
在数轴上表示如下所示，
故选：A．
8．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意掷一枚骰子一定出现奇数点
B．彩票中奖率20%，买5张一定中奖
C．晚间天气预报说明天有小到中雪
D．在13个同学中至少有2人生肖相同
【分析】根据理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
【解答】解：A、任意掷一枚骰子一定出现奇数点，是随机事件；
B、彩票中奖率20%，买5张一定中奖，是随机事件；
C、晚间天气预报说明天有小到中雪，是随机事件；
D、在13名同学中至少有2人生肖相同，是必然事件，
故选：D．
9．下列说法：①﹣a必是负数；②绝对值最小的数是0；③在数轴上，原点两旁的两个点表示的数必互为相反数；④在数轴上，左边的点比右边的点所表示的数大，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据数轴的性质，相反数的定义，绝对值的意义对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①﹣a可能是正数，也可能是负数或0，错误；
②绝对值最小的数是0，正确；
③应为在数轴上，原点两旁的到原点距离相等的两个点所表示的数都是互为相反数，错误；
④在数轴上，左边的点比右边的点所表示的数小，错误；
综上所述，判断正确的是②．
故选：B．
10．如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B＝80°，∠C＝（ ）度．
A．40 B．45 C．50 D．55
【分析】先根据平行线的性质得出∠BAF的度数，再由AC平分∠BAF求出∠CAF的度数，根据平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠BAF＝180°﹣∠B＝100°．
∵AC平分∠BAF，
∴∠CAF＝∠BAF＝50°，
∵EF∥BC，
∴∠C＝∠CAF＝50°．
故选：C．
11．为了加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区要对全长4000米的道路进行改造，为了尽量减少施工对交通的影响，施工队的工作效率增加了30%，结果提前7天完成，设施工队原计划每天铺x米，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据为了尽量减少施工对交通的影响，施工队的工作效率增加了30%，结果提前7天完成，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
＝7，
故选：D．
12．如图所示，已知△ABC与△DEF均为等边三角形，且AB＝2，DB＝1，现△ABC静止不动，△DEF沿着直线EC以每秒1个单位的速度向右移动设△DEF移动的时间为x，△DEF与△ABC重合的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】要找出准确反映y与x之间对应关系的图象，需分析在不同阶段中y随x变化的情况，由题意知，在△DEF移动的过程中，重叠部分总为等腰三角形；据此根据重合部分的边长的不同分情况讨论求解．
【解答】解：由题意知：在△DEF移动的过程中，重叠部分总为等腰三角形．
当0＜x≤1时，如图所示：
此时重合部分（BH）的边长为x，则y＝；
当1＜x≤2时，如图所示：
此时重合部分的边长为1，则y＝；
当2＜x≤3时，如图所示：
此时重合部分的边长为3﹣x，则y＝．
由以上分析可知，这个分段函数的图象左边为抛物线的一部分且开口向上，中间为一条线段，右边为抛物线的一部分且开口向上．
故选：A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．如图，国内截至目前部分地区新冠肺炎治愈出院人数，则这组数据的中位数是 391 ．
地区
湖北省
中国香港
中国台湾
上海市
北京市
删东省
河北省
浙江省
治愈
63612
173
50
348
434
1368
310
1228
【分析】根据中位数的定义，把8个数据从大到小排列后，中位数是第4和第5个数的平均数．
【解答】解：把8个数据从大到小排列为63612，1368，1228，434，348，310，173，50，
第4和第5个数分别是434，348，
故中位数为（434+348）÷2＝391．
故答案为：391．
14．我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行驶，从而减小阻力，因此列车时速可超过400公里．现在一个轨道长为180cm的“磁悬浮”轨道架上做钢球碰撞实验，如图所示，轨道架上安置三个大小、质量完全相同的钢球A、B、C、左右各有一个钢制挡板D和E，其中C到左挡板的距离为40cm，B到右挡板的距离为50cm，A、B两球相距30cm．碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不记），钢球的运动都是匀速的，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动，现A球以每秒10cm的速度向右匀速运动．
（1） 44 秒后B球第二次撞向右挡板E；
（2） （36n+8） 秒后B球第n（n为正整数）次撞向右挡板E．
【分析】（1）设t秒后第二次撞向右挡板，根据速度×时间＝路程，列方程求解即可；
（2）由（1）得出第二次撞向右挡板的时间，根据题意后面再撞向右挡板的间隔时间相同，即可得出第n次撞向右挡板的时间．
【解答】解：（1）设t秒后第二次撞向右挡板，
由题意得：10t＝30+50+180×2，
解得t＝44，
故答案为：44；
（2）由题知每相邻两次撞击间隔时间相等，
为：180×2÷10＝36（秒），
由（1）知第二次撞击时间为44秒，
∴第n次撞击右挡板的时间为（36n+44﹣36）＝（36n+8），
故答案为：36n+8．
15．已知圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是 18π ．
【分析】易得圆锥的底面半径及母线长，那么圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：∵圆锥的轴截面是一个边长为6的等边三角形，
∴底面半径＝3，底面周长＝6π，
∴圆锥的侧面积＝×6π×6＝18π．
故答案为：18π．
16．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD，AC＝8，BC＝BD，则CE＝ ．
【分析】延长CE交AB于F，过点D作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，过点A作AM⊥BC于M，由ASA证得△AEF≌△AEC，得出AF＝AC＝8，∠AFE＝∠ACE，EF＝CE，证明∠B＝∠ECD，得出CF＝BF，由BC＝BD，得出＝，由三角形面积得出＝＝，求出AB＝AC＝，即可得出结果．
【解答】解：延长CE交AB于F，过点D作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，过点A作AM⊥BC于M，如图所示：
∵CE⊥AD，
∴∠AEF＝∠AEC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAE＝∠CAE，DH＝DN，
在△AEF与△AEC中，，
∴△AEF≌△AEC（ASA），
∴AF＝AC＝8，∠AFE＝∠ACE，EF＝CE，
∵∠AFC＝∠B+∠ECD，
∴∠ACF＝∠B+∠ECD，
∴∠ACB＝2∠ECD+∠B，
∵∠ACB＝3∠B，
∴2∠ECD+∠B＝3∠B，
∴∠B＝∠ECD，
∴CF＝BF，
∵BC＝BD，
∴＝，
S△ADB＝DH•AB＝AM•BD，S△ACD＝DN•AC＝AM•CD，
∴＝，
即＝＝，
∴AB＝AC＝，
∴CF＝BF＝﹣8＝，
∴CE＝CF＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9个小题，共分）
17．（8分）计算：（1﹣π）0﹣|﹣|+（﹣1）2018﹣（）﹣1．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及乘方的意义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝1﹣2+1﹣2＝﹣2．
18．（8分）先化简，再求值：（）×，其中a＝2．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝×
＝
＝，
当a＝2时，
原式＝＝4．
19．（8分）如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD′．
（1）求∠DAD′的度数．
（2）当∠DAE＝45°时，求证：DE＝D′E；
【分析】（1）旋转的性质即可得到结论；
（2）利用旋转的性质得AD＝AD′，∠DAD′＝∠BAC＝90°，再计算出∠EAD′＝∠DAE＝45°，则利用“SAS”可判断△AED≌△AED′，所以DE＝D′E．
【解答】解：（1）∵将△ABD绕点A旋转，得到△ACD′
∴∠DAD′＝∠BAC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAD′＝90°；
（2）证明：∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD′，
∴AD＝AD′，∠DAD′＝∠BAC＝90°，
∵∠DAE＝45°
∴∠EAD′＝∠DAD′﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAD′＝∠DAE，
在△AED与△AED′中，
∴△AED≌△AED′（SAS），
∴DE＝D′E．
20．（8分）某数学小组将课外书大概分四类：“文学名著”、“科普”、“人文社科”和“猎奇类”，在校内对你最喜欢读的一类书进行调查，随机调查了若干人（每名学生必选一种且只能从这四项中选择一项），并将调查结果绘制成不完整的统计图．
（1）求本次共抽查了多少名学生；
（2）请补全条形统计图，并求出“科普”类书在扇形统计图中圆心角的度数；
（3）若该学校共有2000名学生，请你估计最喜欢读“猎奇类”书的学生有多少名？
【分析】（1）根据人文社科的人数和所占的百分比求出总人数；
（2）用总人数减去其它项目的人数求出科普的人数，补全统计图；用360°乘以“科普”所占的百分比即可得出“科普”类书在扇形统计图中圆心角的度数；
（3）用总人数乘以“猎奇类”所占的百分比即可．
【解答】解：（1）本次共抽查的学生有：35÷35%＝100（名）；
（2）选择“科普”的人数有：100﹣15﹣35﹣10＝40（人），
补全统计图如下：
“科普”类书在扇形统计图中圆心角的度数是360°×＝144°；
（3）2000×＝200（名），
答：最喜欢读“猎奇类”书的学生有200名．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线．
（2）若AD＝3，DC＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）如图，连接OC，根据已知条件可以证明∠OCA＝∠DAC，得AD∥OC，由AD⊥DC，得OC⊥DC，进而可得DC为⊙O的切线；
（2）过点O作OE⊥AC于点E，根据Rt△ADC中，AD＝3，DC＝，可得∠DAC＝30°，再根据垂径定理可得AE的长，进而可得⊙O的半径．
【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DC，
∴OC⊥DC，
又OC是⊙O的半径，
∴DC为⊙O的切线；
（2）过点O作OE⊥AC于点E，
在Rt△ADC中，AD＝3，DC＝，
∴tan∠DAC＝＝，
∴∠DAC＝30°，
∴AC＝2DC＝2，
∵OE⊥AC，
根据垂径定理，得
AE＝EC＝AC＝，
∵∠EAO＝∠DAC＝30°，
∴OA＝＝2，
∴⊙O的半径为2．
22．（8分）一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的运货情况如表：
第一次
第二次
甲种货车数量
2辆
5辆
乙种货车数量
3辆
6辆
累计运货重量
14吨
32吨
（1）分别求甲、乙两种货车每辆载重多少吨？
（2）现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车刚好一次运完这批货物，如果按每吨付运费120元计算，货主应付运费多少元？
【分析】（1）设甲种货车每辆载重x吨，乙种货车每辆载重y吨，根据过去两次租用这两种货车的运货情况表中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总运费＝每吨货物所需运费×（甲种货车每辆载重×租用甲种货车的数量+乙种货车每辆载重×租用乙种货车的数量），即可求出结论．
【解答】解：（1）设甲种货车每辆载重x吨，乙种货车每辆载重y吨，
依题意得：，
解得：．
答：甲种货车每辆载重4吨，乙种货车每辆载重2吨．
（2）120×（4×3+2×5）＝120×（12+10）＝120×22＝2640（元）．
答：货主应付运费2640元．
23．（8分）如图，将一个正方形纸片AOBC放置在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（6，0）．动点E在边AO上，点F在边BC上，沿EF折叠该纸片，使点O的对应点M始终落在边AC上（点M不与A，C重合），点B落在点N处，MN与BC交于点P．
（1）求点C的坐标；
（2）当点M落在AC的中点时，求点E的坐标；
（3）当点M在边AC上移动时，设AM＝t，求点E的坐标（用t表示）．
【分析】（1）由正方形的性质可得OB＝OA＝6＝BC＝AC，AC∥OB，AO∥BC，即可求解；
（2）设OE＝x，则EM＝OE＝x，AE＝6﹣x，在直角三角形AEM中，由勾股定理可求解；
（3）设OE＝m，则EM＝OE＝m，AE＝6﹣m，在直角三角形AEM中，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵四边形AOBC是正方形，点A（0，6），B（6，0），
∴OB＝OA＝6＝BC＝AC，AC∥OB，AO∥BC，
∴点C（6，6）；
（2）∵点M是边AC的中点，
∴AM＝AC＝3，
由折叠可得EM＝OE，
设OE＝x，则EM＝OE＝x，AE＝6﹣x，
在Rt△AEM中，EM2＝AM2+AE2，
即x2＝32+（6﹣x）2，解得x＝．
∴E（0，）；
（3）设OE＝m，则EM＝OE＝m，AE＝6﹣m，
在Rt△AEM中，EM2＝AM2+AE2，
即m2＝t2+（6﹣m）2，解得x＝，
∴E（0，）．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴，交抛物线于点D，连接AD．
（1）点P为线段AD上方抛物线上的一动点，点E是线段AD上一动点，连接PA，PD，PE，当△PAD面积最大时，求PE+AE的最小值；
（2）在（1）中，PE+AE取得最小值时，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，将△AEF绕点F顺时针旋转90°后得到△A′E′F，点A、E的对应点分别为A′、E′，在直线AD上是否存在一点Q，使得△DE′Q为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点A，B，C，D的坐标，进而求出直线AD的解析式，设P（m，﹣m2+2m+3），PQ＝﹣m2+2m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2，进而用△PAD面积最大，求出点P的坐标，再判断出∠BAD＝45°，进而判断出EF＝AE，得出点P，E，F在同一条线上时，PE+AE取得最小值，即可得出结论；
（2）借助（1）的结论判断出DE'⊥x轴于E，再分三种情况利用等腰三角形的性质求解，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，针对于抛物线y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵CD⊥y轴，
∴D（2，3），
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
设点P（m，﹣m2+2m+3），
过点P作PQ∥y轴交AD于H，则Q（m，m+1），
∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2，
∴S△PAD＝PQ（xD﹣xA）＝（﹣m2+m+2）×（2+1）＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，△PAD的面积最大，
∴P（，），
过点D作DG⊥x轴于G，
∴DG＝3，OG＝2，
∴AG＝3，
∴AG＝DG，
∴∠DAG＝45°，
过点E作EF⊥x轴于F，则EF＝AE，
要PE+AE最小，则PE+EF最小，
∴点P，E，F在同一条线上时，
∴PE+EF最小值＝yP＝，
即PE+AE最小值为；
（2）如图2，
由（1）知，点P，E，F在同一条线上，
∵EF⊥x轴，
∴F（，0），
∴EF＝AF＝﹣（﹣1）＝，
由旋转知，E'F＝EF＝，
∴OE'＝OF+E'F＝2，
∴E'（2，0），∵D（2，3），
∴DE'⊥x轴，
∵△DE′Q为等腰三角形，
∴①当QD＝QE'时，
由旋转知，∠AEF＝∠E'EF＝45°，
∴∠DEE'＝90°，
∵∠ADE'＝45°，
∴DE＝EE'，
∴点P和点E重合，
∵E（，），
∴Q（，），
②当DE'＝QE'时，由（1）知，AE'＝DE'，
∴点Q和点A重合，
∴Q（﹣1，0），
③当DQ＝DE'时，设点Q（n，n+1），
∴＝3，
∴n＝2±，
∴Q（2﹣，3﹣）或（2+，3+），
即满足条件的点Q的坐标为（，）或（﹣1，0）或（2﹣，3﹣）或（2+，3+）．
25．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：AD2＝AB•AF；
（3）若BE＝8，sinB＝，求AD的长，
【分析】（1）先判断出OD∥AC，得出∠ODB＝90°，即可得出结论；
（2）先判断出∠AEF＝∠B．再判断出∠AEF＝∠ADF，进而得出∠B＝∠ADF，进而判断出△ABD∽△ADF，即可得出结论；
（3）先利用三角函数求出⊙O的半径，进而求出AE，AB，再判断出∠AEF＝∠B，进而利用三角函数求出AF，最后借助（2）的结论即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，连接OD，则OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
（2）如图2，
连接OD，DF，EF，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠AFE＝90°＝∠C，
∴EF∥BC，
∴∠B＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠ADF，
∴∠B＝∠ADF，
由（1）知，∠BAD＝∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，
∴，
∴AD2＝AB•AF；
（3）如图3，
连接OD，由（1）知，OD⊥BC，
∴∠BDO＝90°，
设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝OE＝R，
∵BE＝8，
∴OB＝BE+OE＝8+R，
在Rt△BDO中，sinB＝，
∴sinB＝＝，
∴R＝5，
∴AE＝2OE＝10，AB＝BE+2OE＝18，
连接EF，由（2）知，∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C＝90°，
∴sin∠AEF＝sinB＝，
在Rt△AFE中，sin∠AEF＝＝＝，
∴AF＝
由（2）知，AD2＝AB•AF＝18×＝，
∴AD＝＝．
2021年湖南省长沙市中考数学仿真模拟试卷
一、单选题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．下列各组数中，不相等的一组是（ ）
A．（﹣2）3和﹣23 B．（﹣2）2和﹣22 C．+（﹣2）和﹣2 D．|﹣2|3和|2|3
2．如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．新型冠状病毒肺炎是21世纪全人类面临的灾难，面对突发的疫情，我国政府积极开展防疫工作，经过全国人民艰苦卓绝的努力，防疫工作取得了重大战略成果，截止到2020年12月24日，我国累计确诊96074例，累计治愈89743例，将96074用科学记数法表示应为（ ）
A．9.6074×105 B．9.6074×104
C．96.074×103 D．0.96074×105
4．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a4＝a6 B．2a•4a＝8a C．（a2）3＝a6 D．a8÷a2＝a4
5．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也随之改变．密度ρ（单位：kg/m3）与体积V（单位：m3）满足函数关系式ρ＝（k为常数，k≠0），其图象如图所示，则k的值为（ ）
A．9 B．﹣9 C．4 D．﹣4
6．直升飞机在离地面2000米的上空测得上海东方明珠底部的俯角为30°，此时直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是（ ）
A．2000米 B．米 C．4000米 D．米
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意掷一枚骰子一定出现奇数点
B．彩票中奖率20%，买5张一定中奖
C．晚间天气预报说明天有小到中雪
D．在13个同学中至少有2人生肖相同
9．下列说法：①﹣a必是负数；②绝对值最小的数是0；③在数轴上，原点两旁的两个点表示的数必互为相反数；④在数轴上，左边的点比右边的点所表示的数大，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B＝80°，∠C＝（ ）度．
A．40 B．45 C．50 D．55
11．为了加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区要对全长4000米的道路进行改造，为了尽量减少施工对交通的影响，施工队的工作效率增加了30%，结果提前7天完成，设施工队原计划每天铺x米，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图所示，已知△ABC与△DEF均为等边三角形，且AB＝2，DB＝1，现△ABC静止不动，△DEF沿着直线EC以每秒1个单位的速度向右移动设△DEF移动的时间为x，△DEF与△ABC重合的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．如图，国内截至目前部分地区新冠肺炎治愈出院人数，则这组数据的中位数是 ．
地区
湖北省
中国香港
中国台湾
上海市
北京市
删东省
河北省
浙江省
治愈
63612
173
50
348
434
1368
310
1228
14．我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行驶，从而减小阻力，因此列车时速可超过400公里．现在一个轨道长为180cm的“磁悬浮”轨道架上做钢球碰撞实验，如图所示，轨道架上安置三个大小、质量完全相同的钢球A、B、C、左右各有一个钢制挡板D和E，其中C到左挡板的距离为40cm，B到右挡板的距离为50cm，A、B两球相距30cm．碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不记），钢球的运动都是匀速的，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动，现A球以每秒10cm的速度向右匀速运动．
（1） 秒后B球第二次撞向右挡板E；
（2） 秒后B球第n（n为正整数）次撞向右挡板E．
15．已知圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是 ．
16．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD，AC＝8，BC＝BD，则CE＝ ．
三、解答题（本大题共9个小题，共分）
17．（8分）计算：（1﹣π）0﹣|﹣|+（﹣1）2018﹣（）﹣1．
18．（8分）先化简，再求值：（）×，其中a＝2．
19．（8分）如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD′．
（1）求∠DAD′的度数．
（2）当∠DAE＝45°时，求证：DE＝D′E；
20．（8分）某数学小组将课外书大概分四类：“文学名著”、“科普”、“人文社科”和“猎奇类”，在校内对你最喜欢读的一类书进行调查，随机调查了若干人（每名学生必选一种且只能从这四项中选择一项），并将调查结果绘制成不完整的统计图．
（1）求本次共抽查了多少名学生；
（2）请补全条形统计图，并求出“科普”类书在扇形统计图中圆心角的度数；
（3）若该学校共有2000名学生，请你估计最喜欢读“猎奇类”书的学生有多少名？
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线．
（2）若AD＝3，DC＝，求⊙O的半径．
22．（8分）一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的运货情况如表：
第一次
第二次
甲种货车数量
2辆
5辆
乙种货车数量
3辆
6辆
累计运货重量
14吨
32吨
（1）分别求甲、乙两种货车每辆载重多少吨？
（2）现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车刚好一次运完这批货物，如果按每吨付运费120元计算，货主应付运费多少元？
23．（8分）如图，将一个正方形纸片AOBC放置在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（6，0）．动点E在边AO上，点F在边BC上，沿EF折叠该纸片，使点O的对应点M始终落在边AC上（点M不与A，C重合），点B落在点N处，MN与BC交于点P．
（1）求点C的坐标；
（2）当点M落在AC的中点时，求点E的坐标；
（3）当点M在边AC上移动时，设AM＝t，求点E的坐标（用t表示）．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴，交抛物线于点D，连接AD．
（1）点P为线段AD上方抛物线上的一动点，点E是线段AD上一动点，连接PA，PD，PE，当△PAD面积最大时，求PE+AE的最小值；
（2）在（1）中，PE+AE取得最小值时，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，将△AEF绕点F顺时针旋转90°后得到△A′E′F，点A、E的对应点分别为A′、E′，在直线AD上是否存在一点Q，使得△DE′Q为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：AD2＝AB•AF；
（3）若BE＝8，sinB＝，求AD的长，
2021年湖南省长沙市中考数学仿真模拟试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．下列各组数中，不相等的一组是（ ）
A．（﹣2）3和﹣23 B．（﹣2）2和﹣22 C．+（﹣2）和﹣2 D．|﹣2|3和|2|3
【分析】根据有理数的乘方法则和绝对值的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、∵（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，
∴（﹣2）3和﹣23相等；
B、∵（﹣2）2＝4，﹣22＝﹣4，
∴（﹣2）2和﹣22不相等；
C、∵+（﹣2）＝﹣2，
∴+（﹣2）和﹣2相等；
D、∵|﹣2|3＝8，|2|3＝8，
∴|﹣2|3和|2|3相等；
故选：B．
2．如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意；
C．既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：C．
3．新型冠状病毒肺炎是21世纪全人类面临的灾难，面对突发的疫情，我国政府积极开展防疫工作，经过全国人民艰苦卓绝的努力，防疫工作取得了重大战略成果，截止到2020年12月24日，我国累计确诊96074例，累计治愈89743例，将96074用科学记数法表示应为（ ）
A．9.6074×105 B．9.6074×104
C．96.074×103 D．0.96074×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：96074＝9.6074×104．
故选：B．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a4＝a6 B．2a•4a＝8a C．（a2）3＝a6 D．a8÷a2＝a4
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则、单项式乘单项式的运算法则，以及合并同类项法则和幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a2+a4无法计算，故此选项错误；
B、2a•4a＝8a2，故此选项错误；
C、（a2 ）3＝a6，故此选项正确；
D、a8÷a2＝a6，故选项错误．
故选：C．
5．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也随之改变．密度ρ（单位：kg/m3）与体积V（单位：m3）满足函数关系式ρ＝（k为常数，k≠0），其图象如图所示，则k的值为（ ）
A．9 B．﹣9 C．4 D．﹣4
【分析】由图象可知，反比例函数图象经过点（6，1.5），利用待定系数法求出函数解形式即可求得k值．
【解答】解：由图象可知，函数图象经过点（6，1.5），
设反比例函数为ρ＝，
则1.5＝，
解得k＝9，
故选：A．
6．直升飞机在离地面2000米的上空测得上海东方明珠底部的俯角为30°，此时直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是（ ）
A．2000米 B．米 C．4000米 D．米
【分析】由题意可知，在直角三角形中，已知角的对边求斜边，可以用正弦函数来计算．
【解答】解：根据题意得：直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是 ＝＝4000米．
故选：C．
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，结合各选项中解集在数轴上的表示即可．
【解答】解：解不等式﹣2x+5≤3，得：x≥1，
解不等式3（x﹣1）＜2x，得：x＜3，
故原不等式组的解集是1≤x＜3，
在数轴上表示如下所示，
故选：A．
8．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意掷一枚骰子一定出现奇数点
B．彩票中奖率20%，买5张一定中奖
C．晚间天气预报说明天有小到中雪
D．在13个同学中至少有2人生肖相同
【分析】根据理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
【解答】解：A、任意掷一枚骰子一定出现奇数点，是随机事件；
B、彩票中奖率20%，买5张一定中奖，是随机事件；
C、晚间天气预报说明天有小到中雪，是随机事件；
D、在13名同学中至少有2人生肖相同，是必然事件，
故选：D．
9．下列说法：①﹣a必是负数；②绝对值最小的数是0；③在数轴上，原点两旁的两个点表示的数必互为相反数；④在数轴上，左边的点比右边的点所表示的数大，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据数轴的性质，相反数的定义，绝对值的意义对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①﹣a可能是正数，也可能是负数或0，错误；
②绝对值最小的数是0，正确；
③应为在数轴上，原点两旁的到原点距离相等的两个点所表示的数都是互为相反数，错误；
④在数轴上，左边的点比右边的点所表示的数小，错误；
综上所述，判断正确的是②．
故选：B．
10．如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B＝80°，∠C＝（ ）度．
A．40 B．45 C．50 D．55
【分析】先根据平行线的性质得出∠BAF的度数，再由AC平分∠BAF求出∠CAF的度数，根据平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠BAF＝180°﹣∠B＝100°．
∵AC平分∠BAF，
∴∠CAF＝∠BAF＝50°，
∵EF∥BC，
∴∠C＝∠CAF＝50°．
故选：C．
11．为了加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区要对全长4000米的道路进行改造，为了尽量减少施工对交通的影响，施工队的工作效率增加了30%，结果提前7天完成，设施工队原计划每天铺x米，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据为了尽量减少施工对交通的影响，施工队的工作效率增加了30%，结果提前7天完成，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
＝7，
故选：D．
12．如图所示，已知△ABC与△DEF均为等边三角形，且AB＝2，DB＝1，现△ABC静止不动，△DEF沿着直线EC以每秒1个单位的速度向右移动设△DEF移动的时间为x，△DEF与△ABC重合的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】要找出准确反映y与x之间对应关系的图象，需分析在不同阶段中y随x变化的情况，由题意知，在△DEF移动的过程中，重叠部分总为等腰三角形；据此根据重合部分的边长的不同分情况讨论求解．
【解答】解：由题意知：在△DEF移动的过程中，重叠部分总为等腰三角形．
当0＜x≤1时，如图所示：
此时重合部分（BH）的边长为x，则y＝；
当1＜x≤2时，如图所示：
此时重合部分的边长为1，则y＝；
当2＜x≤3时，如图所示：
此时重合部分的边长为3﹣x，则y＝．
由以上分析可知，这个分段函数的图象左边为抛物线的一部分且开口向上，中间为一条线段，右边为抛物线的一部分且开口向上．
故选：A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．如图，国内截至目前部分地区新冠肺炎治愈出院人数，则这组数据的中位数是 391 ．
地区
湖北省
中国香港
中国台湾
上海市
北京市
删东省
河北省
浙江省
治愈
63612
173
50
348
434
1368
310
1228
【分析】根据中位数的定义，把8个数据从大到小排列后，中位数是第4和第5个数的平均数．
【解答】解：把8个数据从大到小排列为63612，1368，1228，434，348，310，173，50，
第4和第5个数分别是434，348，
故中位数为（434+348）÷2＝391．
故答案为：391．
14．我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行驶，从而减小阻力，因此列车时速可超过400公里．现在一个轨道长为180cm的“磁悬浮”轨道架上做钢球碰撞实验，如图所示，轨道架上安置三个大小、质量完全相同的钢球A、B、C、左右各有一个钢制挡板D和E，其中C到左挡板的距离为40cm，B到右挡板的距离为50cm，A、B两球相距30cm．碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不记），钢球的运动都是匀速的，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动，现A球以每秒10cm的速度向右匀速运动．
（1） 44 秒后B球第二次撞向右挡板E；
（2） （36n+8） 秒后B球第n（n为正整数）次撞向右挡板E．
【分析】（1）设t秒后第二次撞向右挡板，根据速度×时间＝路程，列方程求解即可；
（2）由（1）得出第二次撞向右挡板的时间，根据题意后面再撞向右挡板的间隔时间相同，即可得出第n次撞向右挡板的时间．
【解答】解：（1）设t秒后第二次撞向右挡板，
由题意得：10t＝30+50+180×2，
解得t＝44，
故答案为：44；
（2）由题知每相邻两次撞击间隔时间相等，
为：180×2÷10＝36（秒），
由（1）知第二次撞击时间为44秒，
∴第n次撞击右挡板的时间为（36n+44﹣36）＝（36n+8），
故答案为：36n+8．
15．已知圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是 18π ．
【分析】易得圆锥的底面半径及母线长，那么圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：∵圆锥的轴截面是一个边长为6的等边三角形，
∴底面半径＝3，底面周长＝6π，
∴圆锥的侧面积＝×6π×6＝18π．
故答案为：18π．
16．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD，AC＝8，BC＝BD，则CE＝ ．
【分析】延长CE交AB于F，过点D作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，过点A作AM⊥BC于M，由ASA证得△AEF≌△AEC，得出AF＝AC＝8，∠AFE＝∠ACE，EF＝CE，证明∠B＝∠ECD，得出CF＝BF，由BC＝BD，得出＝，由三角形面积得出＝＝，求出AB＝AC＝，即可得出结果．
【解答】解：延长CE交AB于F，过点D作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，过点A作AM⊥BC于M，如图所示：
∵CE⊥AD，
∴∠AEF＝∠AEC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAE＝∠CAE，DH＝DN，
在△AEF与△AEC中，，
∴△AEF≌△AEC（ASA），
∴AF＝AC＝8，∠AFE＝∠ACE，EF＝CE，
∵∠AFC＝∠B+∠ECD，
∴∠ACF＝∠B+∠ECD，
∴∠ACB＝2∠ECD+∠B，
∵∠ACB＝3∠B，
∴2∠ECD+∠B＝3∠B，
∴∠B＝∠ECD，
∴CF＝BF，
∵BC＝BD，
∴＝，
S△ADB＝DH•AB＝AM•BD，S△ACD＝DN•AC＝AM•CD，
∴＝，
即＝＝，
∴AB＝AC＝，
∴CF＝BF＝﹣8＝，
∴CE＝CF＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9个小题，共分）
17．（8分）计算：（1﹣π）0﹣|﹣|+（﹣1）2018﹣（）﹣1．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及乘方的意义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝1﹣2+1﹣2＝﹣2．
18．（8分）先化简，再求值：（）×，其中a＝2．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝×
＝
＝，
当a＝2时，
原式＝＝4．
19．（8分）如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD′．
（1）求∠DAD′的度数．
（2）当∠DAE＝45°时，求证：DE＝D′E；
【分析】（1）旋转的性质即可得到结论；
（2）利用旋转的性质得AD＝AD′，∠DAD′＝∠BAC＝90°，再计算出∠EAD′＝∠DAE＝45°，则利用“SAS”可判断△AED≌△AED′，所以DE＝D′E．
【解答】解：（1）∵将△ABD绕点A旋转，得到△ACD′
∴∠DAD′＝∠BAC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAD′＝90°；
（2）证明：∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD′，
∴AD＝AD′，∠DAD′＝∠BAC＝90°，
∵∠DAE＝45°
∴∠EAD′＝∠DAD′﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAD′＝∠DAE，
在△AED与△AED′中，
∴△AED≌△AED′（SAS），
∴DE＝D′E．
20．（8分）某数学小组将课外书大概分四类：“文学名著”、“科普”、“人文社科”和“猎奇类”，在校内对你最喜欢读的一类书进行调查，随机调查了若干人（每名学生必选一种且只能从这四项中选择一项），并将调查结果绘制成不完整的统计图．
（1）求本次共抽查了多少名学生；
（2）请补全条形统计图，并求出“科普”类书在扇形统计图中圆心角的度数；
（3）若该学校共有2000名学生，请你估计最喜欢读“猎奇类”书的学生有多少名？
【分析】（1）根据人文社科的人数和所占的百分比求出总人数；
（2）用总人数减去其它项目的人数求出科普的人数，补全统计图；用360°乘以“科普”所占的百分比即可得出“科普”类书在扇形统计图中圆心角的度数；
（3）用总人数乘以“猎奇类”所占的百分比即可．
【解答】解：（1）本次共抽查的学生有：35÷35%＝100（名）；
（2）选择“科普”的人数有：100﹣15﹣35﹣10＝40（人），
补全统计图如下：
“科普”类书在扇形统计图中圆心角的度数是360°×＝144°；
（3）2000×＝200（名），
答：最喜欢读“猎奇类”书的学生有200名．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线．
（2）若AD＝3，DC＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）如图，连接OC，根据已知条件可以证明∠OCA＝∠DAC，得AD∥OC，由AD⊥DC，得OC⊥DC，进而可得DC为⊙O的切线；
（2）过点O作OE⊥AC于点E，根据Rt△ADC中，AD＝3，DC＝，可得∠DAC＝30°，再根据垂径定理可得AE的长，进而可得⊙O的半径．
【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DC，
∴OC⊥DC，
又OC是⊙O的半径，
∴DC为⊙O的切线；
（2）过点O作OE⊥AC于点E，
在Rt△ADC中，AD＝3，DC＝，
∴tan∠DAC＝＝，
∴∠DAC＝30°，
∴AC＝2DC＝2，
∵OE⊥AC，
根据垂径定理，得
AE＝EC＝AC＝，
∵∠EAO＝∠DAC＝30°，
∴OA＝＝2，
∴⊙O的半径为2．
22．（8分）一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的运货情况如表：
第一次
第二次
甲种货车数量
2辆
5辆
乙种货车数量
3辆
6辆
累计运货重量
14吨
32吨
（1）分别求甲、乙两种货车每辆载重多少吨？
（2）现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车刚好一次运完这批货物，如果按每吨付运费120元计算，货主应付运费多少元？
【分析】（1）设甲种货车每辆载重x吨，乙种货车每辆载重y吨，根据过去两次租用这两种货车的运货情况表中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总运费＝每吨货物所需运费×（甲种货车每辆载重×租用甲种货车的数量+乙种货车每辆载重×租用乙种货车的数量），即可求出结论．
【解答】解：（1）设甲种货车每辆载重x吨，乙种货车每辆载重y吨，
依题意得：，
解得：．
答：甲种货车每辆载重4吨，乙种货车每辆载重2吨．
（2）120×（4×3+2×5）＝120×（12+10）＝120×22＝2640（元）．
答：货主应付运费2640元．
23．（8分）如图，将一个正方形纸片AOBC放置在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（6，0）．动点E在边AO上，点F在边BC上，沿EF折叠该纸片，使点O的对应点M始终落在边AC上（点M不与A，C重合），点B落在点N处，MN与BC交于点P．
（1）求点C的坐标；
（2）当点M落在AC的中点时，求点E的坐标；
（3）当点M在边AC上移动时，设AM＝t，求点E的坐标（用t表示）．
【分析】（1）由正方形的性质可得OB＝OA＝6＝BC＝AC，AC∥OB，AO∥BC，即可求解；
（2）设OE＝x，则EM＝OE＝x，AE＝6﹣x，在直角三角形AEM中，由勾股定理可求解；
（3）设OE＝m，则EM＝OE＝m，AE＝6﹣m，在直角三角形AEM中，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵四边形AOBC是正方形，点A（0，6），B（6，0），
∴OB＝OA＝6＝BC＝AC，AC∥OB，AO∥BC，
∴点C（6，6）；
（2）∵点M是边AC的中点，
∴AM＝AC＝3，
由折叠可得EM＝OE，
设OE＝x，则EM＝OE＝x，AE＝6﹣x，
在Rt△AEM中，EM2＝AM2+AE2，
即x2＝32+（6﹣x）2，解得x＝．
∴E（0，）；
（3）设OE＝m，则EM＝OE＝m，AE＝6﹣m，
在Rt△AEM中，EM2＝AM2+AE2，
即m2＝t2+（6﹣m）2，解得x＝，
∴E（0，）．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴，交抛物线于点D，连接AD．
（1）点P为线段AD上方抛物线上的一动点，点E是线段AD上一动点，连接PA，PD，PE，当△PAD面积最大时，求PE+AE的最小值；
（2）在（1）中，PE+AE取得最小值时，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，将△AEF绕点F顺时针旋转90°后得到△A′E′F，点A、E的对应点分别为A′、E′，在直线AD上是否存在一点Q，使得△DE′Q为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点A，B，C，D的坐标，进而求出直线AD的解析式，设P（m，﹣m2+2m+3），PQ＝﹣m2+2m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2，进而用△PAD面积最大，求出点P的坐标，再判断出∠BAD＝45°，进而判断出EF＝AE，得出点P，E，F在同一条线上时，PE+AE取得最小值，即可得出结论；
（2）借助（1）的结论判断出DE'⊥x轴于E，再分三种情况利用等腰三角形的性质求解，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，针对于抛物线y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵CD⊥y轴，
∴D（2，3），
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
设点P（m，﹣m2+2m+3），
过点P作PQ∥y轴交AD于H，则Q（m，m+1），
∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2，
∴S△PAD＝PQ（xD﹣xA）＝（﹣m2+m+2）×（2+1）＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，△PAD的面积最大，
∴P（，），
过点D作DG⊥x轴于G，
∴DG＝3，OG＝2，
∴AG＝3，
∴AG＝DG，
∴∠DAG＝45°，
过点E作EF⊥x轴于F，则EF＝AE，
要PE+AE最小，则PE+EF最小，
∴点P，E，F在同一条线上时，
∴PE+EF最小值＝yP＝，
即PE+AE最小值为；
（2）如图2，
由（1）知，点P，E，F在同一条线上，
∵EF⊥x轴，
∴F（，0），
∴EF＝AF＝﹣（﹣1）＝，
由旋转知，E'F＝EF＝，
∴OE'＝OF+E'F＝2，
∴E'（2，0），∵D（2，3），
∴DE'⊥x轴，
∵△DE′Q为等腰三角形，
∴①当QD＝QE'时，
由旋转知，∠AEF＝∠E'EF＝45°，
∴∠DEE'＝90°，
∵∠ADE'＝45°，
∴DE＝EE'，
∴点P和点E重合，
∵E（，），
∴Q（，），
②当DE'＝QE'时，由（1）知，AE'＝DE'，
∴点Q和点A重合，
∴Q（﹣1，0），
③当DQ＝DE'时，设点Q（n，n+1），
∴＝3，
∴n＝2±，
∴Q（2﹣，3﹣）或（2+，3+），
即满足条件的点Q的坐标为（，）或（﹣1，0）或（2﹣，3﹣）或（2+，3+）．
25．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：AD2＝AB•AF；
（3）若BE＝8，sinB＝，求AD的长，
【分析】（1）先判断出OD∥AC，得出∠ODB＝90°，即可得出结论；
（2）先判断出∠AEF＝∠B．再判断出∠AEF＝∠ADF，进而得出∠B＝∠ADF，进而判断出△ABD∽△ADF，即可得出结论；
（3）先利用三角函数求出⊙O的半径，进而求出AE，AB，再判断出∠AEF＝∠B，进而利用三角函数求出AF，最后借助（2）的结论即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，连接OD，则OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
（2）如图2，
连接OD，DF，EF，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠AFE＝90°＝∠C，
∴EF∥BC，
∴∠B＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠ADF，
∴∠B＝∠ADF，
由（1）知，∠BAD＝∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，
∴，
∴AD2＝AB•AF；
（3）如图3，
连接OD，由（1）知，OD⊥BC，
∴∠BDO＝90°，
设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝OE＝R，
∵BE＝8，
∴OB＝BE+OE＝8+R，
在Rt△BDO中，sinB＝，
∴sinB＝＝，
∴R＝5，
∴AE＝2OE＝10，AB＝BE+2OE＝18，
连接EF，由（2）知，∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C＝90°，
∴sin∠AEF＝sinB＝，
在Rt△AFE中，sin∠AEF＝＝＝，
∴AF＝
由（2）知，AD2＝AB•AF＝18×＝，
∴AD＝＝．
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