2021年山东省聊城市冠县中考一模数学试题（word版 含答案）

这是一份2021年山东省聊城市冠县中考一模数学试题（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年山东省聊城市冠县中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．实数0、、、中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图使用五个相同的立方体搭成的几何体，其主视图是（ ）

A． B． C． D．
3．是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．函数y=的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥-1 B．x≥-1且x≠2 C．x≠±2 D．x＞-1且x≠2
5．分解因式结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．商店某天销售了14件衬衫，其领口尺寸统计如表：
领口尺寸（单位：cm）
38
39
40
41
42
件数
1
5
3
3
2
则这14件衬衫领口尺寸的众数与中位数分别是（　　）
A．39cm、39cm B．39cm、39.5cm C．39cm、40cm D．40cm、40cm
7．如图，直线，一块含60°角的直角三角板ABC(∠A＝60°)按如图所示放置．若∠1＝55°，则∠2的度数为( )

A．105° B．110°
C．115° D．120°
8．关于x的不等式组恰有四个整数解，那么m的取值范围为（　　）
A．m≥﹣1 B．m＜0 C．﹣1≤m＜0 D．﹣1＜m＜0
9．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D，C．若∠ACB=30°，AB=，则阴影部分的面积是( )

A． B． C．﹣ D．﹣
10．方程有两个相等的实数根，且满足则m的值是（ ）
A．-2或3 B．3 C．-2 D．-3或2
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2， 0），则点C的坐标为（ ）

A．（﹣1，） B．（﹣2，） C．（，1） D．（，2）
12．如图，点在半径为2的上，过线段上的一点作直线，与过点的切线交于点，且，设，则的面积关于的函数图象大致是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题
13．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则 的值是________．
14．三棱柱的三视图如图所示，EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EGF=30°，则AB的长为_______cm．

15．如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底面半径为_____．

16．如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是_____．

17．如图，在平面内直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点点，，，…在轴上，点，，，…在直线上．若，，，…均为等边三角形，则的长是______．


三、解答题
18．计算：
19．为了解今年初三学生的数学学习情况，某校对上学期的数学成绩作了统计分析，绘制得到如下图表．请结合图表所给出的信息解答下列问题：
成绩
频数
频率
优秀
45
b
良好
a
0.3
合格
105
0.35
不合格
60
c
（1）该校初三学生共有多少人？
（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．
（3）初三（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

20．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：DE∥AC．

21．如图，某数学兴趣小组想测量一棵树的高度，他们先在点处测得树顶的仰角为，然后沿方向前行，到达点，在处测得树项的仰角高度为(、、三点在同一直线上)．请你根据他们测量数据计算这棵树的高度(结果精确到)．(参考数据：，)

22．某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：

甲
乙
进价（元/部）
4000
2500
售价（元/部）
4300
3000
该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后可获毛利润共2.1万元．
（毛利润=（售价﹣进价）×销售量）
（1）该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？
（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数(m≠0)的图象交于点A(3，1)，且过点B(0，-2)．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式．
(2)如果点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，且ΔABP的面积是3，求点P的坐标．
24．如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点作，垂足为，连接．

（1）求证：直线与相切；
（2）若，，求的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴交于点M．

（1）求此抛物线的解析式和对称轴；
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案
1．B
【分析】
根据无理数的概念进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：实数0、、、中，和是无理数，共有2个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了无理数，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．
2．D
【详解】
解：主视图是从物体的正面看得到的视图，从正面看：共两层，上边一层最右边有1个正方形，下边一层有3个正方形．
故选D．
【点睛】
本题考查简单组合体的三视图．

3．B
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：0.0000025=，
故选B．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．B
【分析】
本题有二次根式和分式，则要使式子有意义，则必须满足二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零.
【详解】
解：由题意得：x+10且0，
解得：x-1且x2.
故选：B
5．A
【分析】
先提公因式，再利用平方差公式继续分解，即可得出结论．
【详解】
解：．
故选：A．
【点睛】
本题考查了因式分解，掌握因式分解的基本方法及步骤是解题的关键．
6．C
【分析】
根据中位数的定义与众数的定义，结合图表信息解答．
【详解】
同一尺寸最多的是39cm，共有5件，
所以，众数是39cm，
14件衬衫按照尺寸从小到大排列，第7，8件的尺寸是40cm，
所以中位数是40cm.
故选C
【点睛】
本题主要考查了众数的概念和平均数的计算,注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据,它反映了一组数据的多数水平,一组数据的众数可能不是唯一的.
7．C
【分析】
如图（见解析），先根据对顶角相等可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据平行线的性质即可得．
【详解】
如图，，
，
，
，
，
，
故选：C．

【点睛】
本题考查了对顶角相等、三角形的外角性质、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
8．C
【分析】
可先用m表示出不等式组的解集，再根据恰有四个整数解可得到关于m的不等组，可求得m的取值范围．
【详解】
解：在中，
解不等式①可得x＞m，
解不等式②可得x≤3，
由题意可知原不等式组有解，
∴原不等式组的解集为m＜x≤3，
∵该不等式组恰好有四个整数解，
∴整数解为0，1，2，3，
∴﹣1≤m＜0，
故选：C．
【点睛】
本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
9．C
【详解】
试题分析：连接OB，根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得：∠BOD=60°，根据切线可得：∠OBA=90°，根据AB=可得：OB=1，OA=2，则阴影部分的面积=1×÷2-.

10．C
【分析】
根据根与系数的关系有：x1+x2=m+6，x1x2=m2，再根据x1+x2=x1x2得到m的方程，解方程即可，进一步由方程x2-（m+6）+m2=0有两个相等的实数根得出b2-4ac=0，求得m的值，由相同的解解决问题．
【详解】
解：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，
∴m+6=m2，
解得m=3或m=-2，
∵方程x2-（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，
∴△=b2-4ac=（m+6）2-4m2=-3m2+12m+36=0
解得m=6或m=-2
∴m=-2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1•x2=．
11．A
【分析】
作CH⊥x轴于H，如图，先根据一次函数图象上点的坐标特征确定A（2，2），再利用旋转的性质得BC=BA=2，∠ABC=60°，则∠CBH=30°，然后在Rt△CBH中，利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出CH=BC=，BH=CH=3，所以OH=BH-OB=3-2=1，于是可写出C点坐标．
【详解】
作CH⊥x轴于H，如图，

∵点B的坐标为（2，0），AB⊥x轴于点B，
∴A点横坐标为2，
当x=2时，y=x=2，
∴A（2，2），
∵△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，
∴BC=BA=2，∠ABC=60°，
∴∠CBH=30°，
在Rt△CBH中，CH=BC=，
BH=CH=3，
OH=BH-OB=3-2=1，
∴C（-1，）．
故选A．
12．D
【分析】
根据已知得出S与x之间的函数关系式，进而得出函数是二次函数，当x= 时，S取到最小值为：即可得出图象．
【详解】
∵A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，
∴AO=2，OP=，则AP=2-，
∴tan60°=
解得：AB=
∴S△ABP=
故此函数为二次函数，
∵＞0
∴当x=时，S取到最小值为：
根据图象得出只有D符合要求．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了动点函数的图象，根据已知得出S与x之间的函数解析式是解题关键．
13．5
【详解】
试题解析：由题意可得：根据题意，得
a+b=0，cd=1，m=±2.
则
故答案为
14．6
【详解】
试题分析：过点E作EQ⊥FG于点Q，

由题意可得出：FQ=AB，
∵EG=12cm，∠EGF=30°，∴EQ=AB=×12=6（cm）．
15．．
【分析】
利用弧长公式计算．
【详解】
解：由图可知，OA＝OB＝，
而AB＝4，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠O＝90°，
OB＝；
则弧AB的长为＝，
设底面半径为r，
则2πr＝，
r＝（cm）．
这个圆锥的底面半径为cm．
故答案为 cm
【点睛】
解答本题需要准确掌握扇形的弧长公式，并且要善于读图．
16．x＞3.
【详解】
∵直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），
∴由图象可得，当x＞3时，x+b＞kx+6，
即不等式x+b＞kx+6的解集为x＞3．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
17．
【分析】
根据一次函数图象上点的坐标可得出点A的坐标，由一次函数的解析式可得出∠BAO＝30°，结合等边三角形及三角形外角的性质即可得出∠AB1O＝∠AB2A1＝∠AB3A2＝…＝30°，进而即可得出OA1、OA2、OA3、OA4的长度，再根据边的变化找出变化规律“OAn＝（2n−1）OA=（2n−1）= ”，此题得解．
【详解】
解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，
∴∠BAO＝30°，点A（−，0）．
∵，，，…均为等边三角形，
∴∠AB1O＝∠AB2A1＝∠AB3A2＝…＝30°，
∴OA1＝OA，OA2＝OA1＋AA1＝3OA，OA3＝OA2＋AA2＝7OA，OA4＝OA3＋AA3＝15OA，…，
∴OAn＝（2n−1）OA=（2n−1）=．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及规律型中数的变化，根据边的变化找出变化规律“OAn＝（2n−1）OA=（2n−1）=”是解题的关键．
18．
【详解】
试题分析：首先将括号里面的分式进行通分，然后将各分式的分子和分母进行因式分解，最后将除法改成乘法进行约分计算.
试题解析：原式=
= .
=-
19．（1）300人（2）b=0.15，c=0.2；（3）
【详解】
分析：(1)利用合格的人数除以该组频率进而得出该校初四学生总数;
(2)利用(1)中所求,结合频数÷总数=频率,进而求出答案;
(3)根据题意画出树状图,然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.
详解：（1）由题意可得：该校初三学生共有：105÷0.35=300（人），
答：该校初三学生共有300人；
（2）由（1）得：a=300×0.3=90（人），
b==0.15，
c==0.2；
如图所示：

（3）画树形图得：

∵一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，
∴P（抽到甲和乙）==．
点睛：此题主要考查了树状图法求概率以及条形统计图的应用,根据题意利用树状图得出所有情况是解题关键.
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】
（1）∵ 四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD.
又∵AC是折痕，∴BC = CE = AD ，AB =AE =CD.
又∵DE = ED，∴ΔADE ≌ΔCED（SSS）；
（2）∵ΔADE ≌ΔCED，∴∠EDC =∠DEA，
又∵ΔACE与ΔACB关于AC所在直线对称，∴∠OAC =∠CAB.
又∵∠OCA =∠CAB，∴∠OAC =∠OCA.
∵∠DOE = ∠COA，
∴∠OAC =∠DEA，
∴DE∥AC.
考点：1.折叠问题；2.矩形的性质；3.折叠对称的性质；4.全等三角形的判定和性质；5. 平行的判定.

21．这棵树的高度约为米．
【分析】
首先利用三角形外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，解直角三角形即可求解．
【详解】
解：∵∠CBD＝60°，∠CBD＝∠A＋∠ACB，
∴∠ACB＝∠CBD−∠A＝60°−30°＝30°，
∵∠A＝30°，
∴∠A＝∠ACB，
∵AB＝10m，
∴BC＝AB＝10m，
在Rt△BCD中，CD＝BC•sin∠CBD＝10×m．
答：这棵树的高度约为米．
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是三角形的外角、特殊角的三角函数值、等腰三角形的性质，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
22．（1）商场计划购进甲种手机20部，乙种手机30部．
（2）当该商场购进甲种手机15部，乙种手机40部时，全部销售后获利最大．最大毛利润为2.45万元．
【分析】
（1）设商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，根据两种手机的购买金额为15.5万元和两种手机的销售利润为2.1万元建立方程组求出其解即可．
（2）设甲种手机减少a部，则乙种手机增加2a部，表示出购买的总资金，由总资金部超过16万元建立不等式就可以求出a的取值范围，再设销售后的总利润为W元，表示出总利润与a的关系式，由一次函数的性质就可以求出最大利润．
【详解】
解：（1）设商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，根据题意，得

解得：．
答：商场计划购进甲种手机20部，乙种手机30部．
（2）设甲种手机减少a部，则乙种手机增加2a部，根据题意，得
，解得：a≤5．
设全部销售后获得的毛利润为W元，由题意，得
．
∵k=0.07＞0，∴W随a的增大而增大．
∴当a=5时，W最大=2.45．
答：当该商场购进甲种手机15部，乙种手机40部时，全部销售后获利最大．最大毛利润为2.45万元．
23．（1），y=x-2；（2）点P的坐标为(4，0).
【分析】
(1)利用待定系数法，确定二函数的解析式即可；
(2)运用图形分割法，利用点P的坐标表示三角形的面积，求解即可.
【详解】
（1）∵反比例函数（m≠0）的图象过点A(3，1)，
∴，
∴ m=3，
∴反比例函数的表达式为．

∵一次函数y=kx+b的图象过点A(3，1)和B(0，-2)，
∴解得
∴一次函数的表达式y=x-2．
(2)如图，设一次函数y=x-2的图象与x轴的交点为C，
令y=0，则x-2=0，x=2，
∴点C的坐标为(2，0)．
∵
∴
∴PC=2
∵点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，
∴点P的坐标为(4，0)．
【点睛】
本题考查了待定系数法确定函数的解析式，交点的意义，用点的坐标表示三角形的面积，熟练使用待定系数法，灵活运用图形的分割法表示三角形的面积是解题的关键.
24．（1）证明见解析；（2）9．
【分析】
（1）连接，利用，，证得，易证，故为的切线；
（2）证得，求得，利用求得答案即可．
【详解】
证明： 连接OD．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠C，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴OD⊥DF，
∵点D在⊙O上，
∴直线DF与⊙O相切；
（2）解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ACD=180°，
∵∠AED+∠BED=180°，
∴∠BED=∠ACD，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴，
∵OD∥AB，AO=CO，
∴，
又∵AE=7，
∴，
∴BE=2，
∴AC=AB=AE+BE=7+2=9．

【点睛】
此题考查了切线的判定，三角形相似的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
25．（1）y= ，抛物线的对称轴是 x=3；
（2）存在；P点坐标为（3，）．
（3）在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．N（，-3）
【详解】
(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－5)．
把点A(0，4)代入上式，解得a＝．
∴y＝(x－1)(x－5)＝x2－x＋4＝(x－3)2－．
∴抛物线的对称轴是x＝3．
(2)存在，P点的坐标是(3，)．如图1，连接AC交对称轴于点P，连接BP，AB．
∵点B与点C关于对称轴对称，
∴PB＝PC．
∴AB＋AP＋PB＝AB＋AP＋PC＝AB＋AC．
∴此时△PAB的周长最小．
设直线AC的解析式为y＝kx＋b．把A(0，4)，C(5，0)代入y＝kx＋b，得
解得
∴y＝－x＋4．
∵点P的横坐标为3，
∴y＝－×3＋4＝．
∴P(3，)．

(3)在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC的面积最大．
如图2，设N点的横坐标为tt，此时点N(t，t2－t＋4)(0＜t＜5)．
过点N作y轴的平行线，分别交x轴，AC于点F，G，过点A作AD⊥NG，垂足为D．
由(2)可知直线AC的解析式为y＝－x＋4．
把x＝t代入y＝－x＋4，得y＝－t＋4．
∴G(t，－t＋4)．
∴NG＝－t＋4－(t2－t＋4)＝－t2＋4t．
∵AD＋CF＝OC＝5，
∴S△NAC＝S△ANG＋S△CGN＝NG·AD＋NG·CF＝NG·OC
＝×(－t2＋4t)×5＝－2t2＋10t＝－2(t－)2＋．
∵当t＝时，△NAC面积的最大值为．
由t＝，得y＝×()2－×＋4＝－3．
∴N(，－3)．