2021年山东省聊城市东昌府区中考一模数学试题（word版 含答案）

这是一份2021年山东省聊城市东昌府区中考一模数学试题（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年山东省聊城市东昌府区中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．1 B． C．2021 D．
2．沿圆柱体上底面直径截去一部分的物体如图所示，它的俯视图是（ ）

A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，．若，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．某校男子足球队的年龄分布情况如下表：
年龄（岁）
13
14
15
16
17
18
人数
2
6
8
3
2
1
则这些队员年龄的众数和中位数分别是（　　）
A．15，15 B．15，14 C．16，15 D．14，15
7．一元二次方程配方后可化为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，将沿直线折叠，使点与点重合，折痕为，若，，那么线段的长为（ ）


A． B． C． D．
9．将不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知是二元一次方程组的解，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
11．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝，则△CEF的周长为（ ）

A．8 B．9.5 C．10 D．11.5
12．已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1，其中正确的项是（ ）

A．①⑤ B．①②⑤ C．②⑤ D．①③④

二、填空题
13．因式分解：xy2﹣9x＝_____．
14．在市区内，我市乘坐出租车的价格(元)与路程(km)的函数关系图像如图所示．出差归来的小李从火车站乘坐出租车回家用了18元，火车站到小李家的路程为____________km．

15．某班准备同时在，两地开展数学综合实践活动，每位同学由抽签确定去其中一个地方，则甲、乙、丙三位同学恰好都抽到去同一个地点的概率是___________．
16．把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点顺时针旋转得到如图乙．这时与相交于点，与相交于点．线段的长为___________．

17．观察下列等式：
第一行：
第二行：
第三行：
第四行：
按照上述规律，第行的等式为___________．

三、解答题
18．先化简，求值：，其中，．
19．某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的条形统计图．请结合统计图回答下列问题：

（1）该校对多少名学生进行了抽样调查？
（2）本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？
（3）若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？．
20．甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，若甲单独整理需要40分钟完工，若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工.
⑴问乙单独整理多少分钟完工？
⑵若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
21．如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连结．

（1）求证：．
（2）若时，试证明四边形是矩形．
22．某路边的路灯的灯柱垂直于地面，灯杆与灯柱成角，灯杆的长为2米，其顶端处的LED灯发出的光线与垂直，光线投射到地面的点处，如果要使得点到灯柱的底端点的距离为12米，那么灯柱的需要设计多高？（结果保留根号）

23．如图，一次函数与反比例函数（）的图象相交于点、点，与轴交于点，其中点的横坐你为，点的纵坐标为2，

（1）求一次函数的关系式；
（2）求的面积．
24．如图，是半圆的直径，过点作弦的垂线交于，且交切线于点，与半圆交于点，连结，．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于经过A（﹣3，0），C（4，0）两点，其与y轴的交点为点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知AD＝AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，在抛物线的对称轴上求一点M，使MQ+MC的值最小？



参考答案
1．A
【分析】
根据2021是奇数即可得到(-1)2021的值为-1，再根据相反数的概念即可得到答案．
【详解】
解：∵(-1)2021=-1，
∴(-1)2021的相反数是1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了-1的整数幂以及相反数的概念，准确把握概念的实质是解决问题的关键．
2．B
【分析】
找到从上面看所得到的图形即可．
【详解】
解：从上面看依然可得到两个半圆的组合图形，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，注意看得到的棱画实线．
3．C
【分析】
分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方运算法则以及合并同类项法则逐一判断即可．
【详解】
解：A、a2•a3=a5，原计算错误，故本选项不合题意；
B、a6÷a2=a4，原计算错误，故本选项不合题意；
C、(-a)2•a3=a5，正确，故本选项符合题意；
D、x3+x3=2x3，原计算错误，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
4．C
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠CAB+∠CBA=90°，根据平行线的性质得出∠DBC+∠CBA+∠CAB+∠CAE=180°，即可求出答案．
【详解】
解：∵在△ACB中，∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵BD∥AE，
∴∠DBC+∠CBA+∠CAB+∠CAE=180°，
∴∠CAE=180°-90°-70°=20°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
5．B
【分析】
本题需先利用二次根式的基本性质进行化简和二次根式的加减运算．
【详解】
解：A、原计算错误，不符合题意；
B、正确，符合题意；
C、原计算错误，不符合题意；
D、原计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次根式化简和二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．A
【详解】
试题解析：根据图表数据，同一年龄人数最多的是15岁，共8人，所以众数是15；
22名队员中，按照年龄从小到大排列，第11名队员与第12名队员的年龄都是15岁，所以，中位数是（15+15）÷2=15．
故选A．
考点：1.众数；2.中位数．
7．B
【分析】
先把常数项移到方程的右边，再把二次项系数化为1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方的形式即可．
【详解】
解：∵，
∴，
则，
∴，即，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程-配方法，解题的关键是熟练运用完全平方公式进行配方，本题属于基础题型．
8．B
【分析】
首先根据勾股定理求出AC的长，再根据折叠前后的两个三角形全等得到CD的长以及∠CDE=90°，然后证明△CDE∽△CBA，根据相似三角形的对应边成比例求出DE的长．
【详解】
解：连接AE，


在Rt△ABC中，根据勾股定理得：，
∵将Rt△ABC沿直线DE折叠使点A与点C重合，折痕为DE，
∴△CDE≌△ADE，
∴CD=AD=AC=，∠CDE=90°，
∵△ABC是直角三角形，∠B=90°，
∴∠CDE=∠B，
又∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBA，
∴，
∴，
∴DE=．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了三角形相似的判定和性质，能够识别常见的三角形相似的模型是解题的关键．
9．C
【分析】
分别把两个不等式解出来，然后判断哪个选项的表示正确．
【详解】
解：由x+8＜4x-1得x＞3，
由得x≤4．
所以3＜x≤4．
故选C．
【点睛】
本题考查不等式组的解法和在数轴上的表示法，如果是表“＞”或“＜”号的点要用空心，如果是表示“”或“”号的点用实心．
10．B
【分析】
将代入原方程组得出关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出a，b的值，再代入所求式子计算即可．
【详解】
解：将代入方程组，
得，
解得，
所以5a-3b=10-9=1．
故选：B．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解的定义，本题属于基础题型．
11．A
【分析】
在▱ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，可得△ADF是等腰三角形，AD＝DF＝9；△ABE是等腰三角形，AB＝BE＝6，所以CF＝3；在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝4，可得AG＝2，又△ADF是等腰三角形，BG⊥AE，所以AE＝2AG＝4，所以△ABE的周长等于16，又由▱ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比为1：2，所以△CEF的周长为8，因此选A．
【详解】
解：∵在▱ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵AB∥DC，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠DAF＝∠F，
∴AD＝FD，
∴△ADF是等腰三角形，
同理△ABE是等腰三角形，
AD＝DF＝9；
∵AB＝BE＝6，
∴CF＝3；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝4，可得：AG＝2，
又BG⊥AE，
∴AE＝2AG＝4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故选：A．
【点睛】
本题考查勾股定理、平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，求出△ABE的周长是解题关键．
12．A
【分析】
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，
∵对称轴为x=-＞0，
∴a、b异号，即b＜0，
又∵c＜0，∴abc＞0，
故本选项正确；
②∵对称轴为x=-＞0，a＞0，
-＜1，
∴-b＜2a，
∴2a+b＞0；
故本选项错误；
③当x=1时，y1=a+b+c；
当x=m时，y2=m（am+b）+c，当m＞1，y2＞y1；当m＜1，y2＜y1，所以不能确定；
故本选项错误；
④当x=1时，a+b+c=0；
当x=-1时，a-b+c＞0；
∴（a+b+c）（a-b+c）=0，即（a+c）2-b2=0，
∴（a+c）2=b2
故本选项错误；
⑤当x=-1时，a-b+c=2；
当x=1时，a+b+c=0，
∴a+c=1，
∴a=1+（-c）＞1，即a＞1；
故本选项正确；
综上所述，正确的是①⑤．
故选A．
13．x（y+3）（y﹣3）
【分析】
先提公因式，再用平方差公式分解因式.
【详解】
xy2﹣9x＝x（-9）＝x（y+3）（y﹣3）.
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用公式分解因式是解题关键
14．15
【分析】
由图象可知，当x≤3时，出租车收费为6元，超出3km时，每千米收费为1元，据此列式计算即可．
【详解】
解：由题意可知，当x≤3时，出租车收费为6元，超出3km时，每千米收费为：(7-6)÷(4-3)=1(元)，
所以火车站到小李家的路程为：3+(18-6)÷1=15(km )．
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了函数的图象，理清分段函数的意义是解答本题的关键．
15．
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙、丙三位同学抽到去同一个地方的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：画树状图得：

∵共有8种等可能的结果，甲、乙、丙三位同学抽到去同一个地方的有2种情况，
∴甲、乙、丙三位同学抽到去同一个地方的概率是：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是用树状图法求概率的知识．注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
16．5
【分析】
首先由旋转的角度为15°，可知∠AC=45°．已知∠CAO=45°，即可得AO⊥C，然后可在Rt△AOC和Rt△AO中，通过解直角三角形求得A的长．
【详解】
解：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．
若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．
∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．
在等腰Rt△ABC中，AB=6，则AC=BC=AB•=3．
同理可求得：AO=OC=3．
在Rt△AO中，OA=3，O=C-OC=4，
由勾股定理得：A==5．
故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形的综合应用，能够发现AO⊥OC是解决此题的关键．
17．
【分析】
把被减数变形为完全平方数发现，被减数的底数比行数多1，且减数的底数等于行数，而计算结果是从3开始的奇数，根据上述规律，猜想得到第n行的等式．
【详解】
解：把原等式变形得：
第一行 （1+1）2-12=4-1=3=2×1+1；
第二行 （2+1）2-22=9-4=5=2×2+1；
第三行 （3+1）2-32=16-9=7=2×3+1；
第四行 （4+1）2-42=25-16=9=2×4+1；
⋯⋯
∴第n行的等式为：，
故答案为：
【点睛】
此题考查了平方差公式的灵活运用，考查了学生提出猜想，证明猜想，归纳总结得出结论的能力，是一道规律型的基础题．
18．；
【分析】
首先根据分式的混合运算法则化简此分式，然后将a=，b=2代入求值即可求得答案．
【详解】
解：



，
当，时
原式．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值问题，以及二次根式的化简．注意解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
19．（1）50名；（2）18人；36%；（3）160人
【分析】
（1）根据条形图的意义，将各组人数依次相加可得答案；
（2）根据表中的数据计算可得答案；
（3）用样本估计总体，按比例计算可得．
【详解】
（1）由图1知：（名）
答：该校对50名学生进行了机样调查．
（2）本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人．
∴最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的36%．
（3）
（人）
（人）
答：估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160人．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（1）乙单独整理80分钟完工.（2）甲至少整理25分钟完工.
【分析】
（1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可；
（2）设甲整理y分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可．
【详解】
（1）设乙单独整理x分钟完工，根据题意得：
，
解得x=80，
经检验x=80是原分式方程的解．
答：乙单独整理80分钟完工．
（2）设甲整理y分钟完工，根据题意，得
≥1，
解得：y≥25，
答：甲至少整理25分钟完工．
【点睛】
分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量=工作效率×工作时间．
21．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）先由AF∥BC，利用平行线的性质可证∠AFE=∠DCE，而E是AD中点，那么AE=DE，∠AEF=∠DEC，利用AAS可证△AEF≌△DEC，那么有AF=DC，又AF=BD，从而有BD=CD；
（2）四边形AFBD是矩形．由于AF平行等于BD，易得四边形AFBD是平行四边形，又AB=AC，BD=CD，利用等腰三角形三线合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可证四边形AFBD是矩形．
【详解】
证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=DC，
∵AF=BD，
∴BD=CD；

（2）∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AF=BD，
∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
又∵∠ADB=90°，
∴四边形AFBD是矩形．
【点睛】
本题考查矩形的判定，关键是利用了矩形的判定、全等三角形的判定和性质、等量代换、平行四边形的判定、等腰三角形三线合一定理、矩形的判定等知识．
22．（）米
【分析】
设灯柱BC的长为h米，过点A作AH⊥CD于点H，过点B作BE⊥AH于点E，构造出矩形BCHE，Rt△AEB，然后解直角三角形求解．
【详解】
解：设灯柱的长为米，过点作于点，过作于点，

∴四边形为矩形，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，，
∴，又，
∴，
在中，，
解得，（米），
∴灯柱的高需要设计为（）米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．（1）；（2）6
【分析】
（1）由点A的横坐标利用反比例函数解析式，求得纵坐标，由点B的纵坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出点B的坐标，再根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）求出直线与x轴的交点坐标后，即可求出和．继而求出△AOB的面积．
【详解】
（1）由已知点的横坐标为，
∴，
∴点A的坐标为（-2，4），
又∵点的纵坐标为2.
∴，解得
∴点B的坐标为（-4，2），
∵点A（-2，4）、B（-4，2）在直线上，
∴，
解得，
∴一次函数的关系式为；
（2）令时，可得到与轴的交点坐标C（-6，0）．
∴


．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用分割图形求面积法求出△AOB的面积．
24．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由切线的性质得∠1+∠2=90°；由同角的余角相等得∠C=∠2，由圆周角定理知∠BED=∠2，故∠BED=∠C．
（2）由直径所对的圆周角是直角，利用勾股定理求出BD，再根据三角形相似，求出OC和OM，再求MC即可．
【详解】
（1）∵是的切线，是直径，

∴，即，
又∵，
∴，
∴，
而，
∴；
（2）连接，
∵是的直径，，
∴，AB=10，
∵，
又∵，且，
∴ ．
∴，
∴，即，
∴．
∴，即，
∴．
∴．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，三角形相似等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
25．（1）y＝﹣x2+x+4；（2）t＝ ；（3）M（）．
【分析】
（1）已知抛物线图象上的三点坐标，可利用待定系数法求出该抛物线的解析式；
（2）根据A、B的坐标，易求得AD=AB=5，则CD=AC-AD=2，连接DQ，由于BD垂直平分PQ，那么DP=DQ，根据等腰三角形三线合一的性质知：∠PDB=∠QDB=∠ABD，即，此时△CDQ∽△CAB，利用相似三角形得到的比例线段即可求得DQ、PD的长，从而求得AP的值，进而可求得t的值．
（3）根据轴对称的最短路径先作C关于对称轴的对称点，即点A，连接AQ与对称轴的交点就是所求的M，先求Q的坐标，求直线AQ的解析式，因为对称轴是：，即M的横坐标就是，代入AQ的解析式求y即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）C（4，0）两点，
∴，
解这个方程，得．
∴该抛物线解析式是y＝﹣x2+x+4；
（2）∵A（﹣3，0），C（4，0），
∴0A＝3，OB＝OC＝4，
则AB＝5，AC＝7，CD＝2；
如图1，连接DQ，由于BD垂直平分PQ，则DP＝DQ，

∴∠PDB＝∠QDB，
而AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB，
故∠QDB＝∠ABD，
∴，
∴△CDQ∽△CAB，则有
，
∴，
PD＝DQ＝，
AP＝AD﹣PD＝5﹣＝
故t＝；
（3）存在，
如图2，连接AQ交对称轴于M，此时MQ+MC为最小，

过Q作QN⊥x轴于N，
∵DQ∥AB，
∴∠QDN＝∠BAC，
sin∠QDN＝sin∠BAC＝，
∴，
∴QN＝，
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，k≠0，
把B（0，4）和C（4，0）代入得：
，
解得，
直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，
y＝时，，
x＝，
∴Q（），
同理可得：AQ的解析式为：y＝，
抛物线的对称轴为：
当x＝时，y＝，
∴M（）．
【点睛】
此题属于二次函数综合题型，主要考查了二次函数和一次函数解析式的确定、轴对称的最短路径问题、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质、三角函数等重要知识，难度较大．