2021年人教版数学八年级下册期末《勾股定理与四边形证明题专项》复习卷（含答案）

这是一份2021年人教版数学八年级下册期末《勾股定理与四边形证明题专项》复习卷（含答案），共13页。试卷主要包含了∴ME=DF，PE=MF.等内容，欢迎下载使用。

如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点，
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）若DE=13，BD=12，求线段AB的长．
如图，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：2CD2=AD2+DB2．
已知在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径长为CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时,如图,试说明MN2=AM2＋BN2的理由．

如图，在△ABC中，D是BC上一点，且满足AC=AD，请你说明AB2=AC2+BC·BD.

如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，过点F作FG∥CE，且FG=CE，连结DG，EG，BG，CG.
(1)试判断四边形EGFC的形状；
(2)求证：△DCG≌△BEG；
(3)试求出∠BDG的度数．
如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°．
（1）直接写出∠ADE的度数（用含α的式子表示）；
（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，
①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF．
如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线与BE的延长线相交于点F,连接CF．
（1）求证：四边形CDAF为平行四边形；
（2）若∠BAC=90°，AC=AF，且AE=2，求线段BF的长．
如图,已知在等边△ABC中,D、F分别为CB、BA上的点,且CD＝BF,以AD为边作等边三角形ADE．
求证：(1)△ACD≌△CBF；
(2)四边形CDEF为平行四边形．

如图,将□ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,折痕l交CD边于点E,连接BE.
(1)求证：四边形BCED′是平行四边形；
(2)若BE平分∠ABC.求证：AB2＝AE2＋BE2.

如图,四边形ABCD中,BD垂直平分AC,垂足为点F,E为四边形ABCD外一点,且∠ADE=∠BAD,AE⊥AC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如果DA平分∠BDE,AB=5,AD=6,求AC的长．

如图，在Rt△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连结EC．
（1）求证：AD=EC；
（2）求证：四边形ADCE是菱形；
（3）若AB=AO，求OD:OA的值．

如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连结PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
(1)如图,纸片▱ABCD中,AD=5,S▱ABCD=15.过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D,则四边形AEE'D的形状为( )
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
(2)如图,在(1)中的四边形纸片AEE/D中,在EE/上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DE/F/的位置,拼成四边形AFF/D.
①求证:四边形AFF'D是菱形;
②求四边形AFF'D的两条对角线的长.
图1 图2
如图，点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形．
（1）试判断四边形ABCD的形状，并加以证明；
（2）若菱形AECF的周长为20，BD为24，试求四边形ABCD的面积．
如图，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点．求证：MN⊥BD．

如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点(不与A，B重合)，连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ.
(1)当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；
(2)取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．

如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证：OE=OF；
(2)若CE=12，CF=5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）
如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AE(1)求证:OM=ON;
(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.
如图所示，在正方形ABCD中，M是CD的中点，E是CD上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．
如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）证明：∠BAE=∠FEC；
（2）证明：△AGE≌△ECF；
（3）求△AEF的面积．
如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．
（1）请判断：FG与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请出判断判断并给予证明．
\s 0 参考答案
（1）证明：∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，
∴CE=CD，AC=BC，∠ACB=∠ECD=90°，∠B=∠BAC=45°，∴∠ACE=∠BCD=90°﹣∠ACD，
在△ACE和△BCD中∴△ACE≌△BCD；
（2）解：∵△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∠EAC=∠B=45°，
∵BD=12，∴∠EAD=45°+45°=90°，AE=12，
在Rt△EAD中，∠EAD=90°，DE=13，AE=12，由勾股定理得：AD=5，
∴AB=BD+AD=12+5=17．
证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△AEC≌△BDC（SAS）；
（2）∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45度．
∵△ACE≌△BCD，
∴∠B=∠CAE=45°
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，
∴AD2+AE2=DE2．
由（1）知AE=DB，
∴AD2+DB2=DE2，
即2CD2=AD2+DB2．
证明：

证明：作AE⊥BC于E，如图所示：

则∠AEB=∠AEC=90°，
由勾股定理得：AB2=AE2+BE2，AE2=AD2-DE2，
∵AC=AD，AE⊥DC，
∴DE=CE，
∴AB2=AC2+BE2-DE2=AC2+(BE+DE)(BE-DE)=AC2+BC•BD．
(1)解：∵FG∥CE且FG=CE，
∴四边形EGFC是平行四边形．
(2)证明：∵在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，AF平分∠BAD，
AD∥BC，
∴∠BAE=∠DAE=∠AEB=30°，∴AB=BE，∠CEF=30°.
又∵∠DCB=180°－120°=60°，∴∠CFE=30°.
∴∠CEF=∠CFE.
∴CF=CE.
∵四边形EGFC是平行四边形，
∴CF∥EG，CF=EG.
∴∠CEG=∠DCB=60°，CE=EG.
∴△CEG是等边三角形，∠BEG=120°.
∴CG=EG，∠ECG=60°.∴∠DCG=120°，∴∠DCG=∠BEG.
又 ∵DC=AB=BE，
∴△DCG≌△BEG.
(3)解：∵△DCG≌△BEG，
∴DG=BG，∠CGD=∠EGB，
∴∠BGD=∠EGB＋∠DGE=∠CGD＋∠EGD=∠EGC=60°，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG=60°
解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，∴∠BAC=180°﹣2α，
∵∠DAE+∠BAC=180°，∴∠DAE=2α，∵AE=AD，∴∠ADE=90°﹣α；
（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，∴AB∥EF．∴∠EDC=∠ABC=α，
由（1）知，∠ADE=90°﹣α，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，∴AD⊥BC．
∵AB=AC，∴BD=CD；
②证明：∵AB=AC，∠ABC=α，∴∠C=∠B=α．
∵四边形ABFE是平行四边形，∴AE∥BF，AE=BF．∴∠EAC=∠C=α，
解：（1）∵E是AD的中点，
∴AE=ED，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE，
∴△AFE≌△DBE，
∴AF=BD，
∵AD是BC边中线，
∴CD=BD，
∴AF=CD，
∴四边形CDAF是平行四边形，
（2）如图过F点作FG⊥AB交BA的延长线于点G．
∵∠CAB=90°，AD是BC边中线，
∴AD=CD
又∵AC=AF，AF=CD，
∴AC=AD=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ABC=30°，
又∵AF∥BC，
∴∠ABC=∠FAG=30°
∵AE=2，
∴AD=AC=AF=4，
∴在Rt△FAG和Rt△CAB中，
FG=FA×sin∠FAG=4sin30°=2，AG=FA×cs∠FAG=4cs30°=2，
AB=AC×tan∠ACB=AC×tan60°=4，
∴GB=AG+BG=6
∴在Rt△FBG中，BF==4．
提示：(1)∵△ABC为等边三角形，∴AC=CB，∠ACD=∠CBF=60°．
又∵CD=BF，∴△ACD≌△CBF．
(2)∵△ACD≌△CBF，∴AD=CF，∠CAD=∠BCF．
∵△AED为等边三角形，∴∠ADE=60°，且AD=DE．∴FC=DE．
∵∠EDB＋60°=∠BDA=∠CAD＋∠ACD=∠BCF＋60°，∴∠EDB=∠BCF．∴ED∥FC．
∵ED//=FC，∴四边形CDEF为平行四边形.
证明：(1)∵将□ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，
∴∠DAE＝∠D′AE，∠DEA＝∠D′EA，∠D＝∠AD′E.
∵DE∥AD′，∴∠DEA＝∠EAD′.∴∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA.
∴∠DAD′＝∠DED′.∴四边形DAD′E是平行四边形．∴DE＝AD′.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB平行且等于DC.
∴CE平行且等于D′B.∴四边形BCED′是平行四边形．
(2)∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠EBA.∵AD∥BC，∴∠DAB＋∠CBA＝180°.
∵∠DAE＝∠BAE，∴∠EAB＋∠EBA＝90°.∴∠AEB＝90°.∴AB2＝AE2＋BE2.

【解答】（1）证明：∵AE⊥AC，BD垂直平分AC，∴AE∥BD，
∵∠ADE=∠BAD，∴DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：∵DA平分∠BDE，∴∠BAD=∠ADB，∴AB=BD=5，
设BF=x，则52﹣x2=62﹣（5﹣x）2，解得，x=，∴AF==，∴AC=2AF=．
解：
（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE=BD，
∵在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的中线，∴AD=CD=BD，∴AE=CD，.Cm]
又∵AE∥CD，∴四边形ADCE为平行四边形，∴AD=EC；
（2）由（1）可知，四边形ADCE为平行四边形，且AD=CD，
∴平行四边形ADCE为菱形；
（3）∵四边形ADCE为平行四边形，∴AC与ED互相平分，
∴点O为AC的中点，
∵AD是边BC上的中线，∴点D为BC边中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∵AB=AO，∴AO=2OD，即OD:OA的值为1：2．

解：（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，即：t=8﹣t，解得t=4．
答：当t=4时，四边形ABQP是矩形；
（2）设t秒后，四边形AQCP是菱形
当AQ=CQ，即=8﹣t时，四边形AQCP为菱形．解得：t=3．
答：当t=3时，四边形AQCP是菱形；
（3）当t=3时，CQ=5，则周长为：4CQ=20cm，面积为：4×8﹣2××3×4=20（cm2）．
解：(1)C.
(2)①证明:∵AD=BC=5,S▱ABCD=15,AE⊥BC,∴AE=3.
如图,∵EF=4,∴在Rt△AEF中,AF=5.∴AF=AD=5.
又△AEF经平移得到△DE'F',∴AF∥DF',AF=DF',
∴四边形AFF'D是平行四边形.
又AF=AD,∴四边形AFF'D是菱形.
②如图,连接AF',DF.
在Rt△DE'F中,∵E'F=E'E-EF=5-4=1,DE'=3,∴DF= SKIPIF 1 < 0 .
在Rt△AEF'中,∵EF'=E'E+E'F'=5+4=9,AE=3,∴AF'=3 SKIPIF 1 < 0 .
∴四边形AFF'D的两条对角线长分别为 SKIPIF 1 < 0 ,3 SKIPIF 1 < 0 .
解：
（1）四边形ABCD为菱形．
理由如下：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥BD，AO=OC，EO=OF，
又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，∴BE=FD，∴BO=OD，
∵AO=OC，∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形；
（2）∵四边形AECF为菱形，且周长为20，∴AE=5，
∵BD=24，∴EF=8，OE=EF=×8=4，
由勾股定理得，AO===3，∴AC=2AO=2×3=6，
∴S四边形ABCD=BD•AC=×24×6=72．
证明：连接BM、DM，∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，∴BM=DM=0.5AC，
∵点N是BD的中点，∴MN⊥BD．
(1)当△CDQ≌△CPQ时，DQ=PQ，CP=CD=5，在Rt△BCP中，有PB=4，∴AP=1.
在Rt△APQ中，设AQ＝x，则PQ=DQ=3－x.
根据勾股定理，得AQ2＋AP2=PQ2，即x2＋12=(3－x)2.解得x=4/3，即AQ=4/3.
（2）过M作EF⊥CD于F，交AB于点E，则EF⊥AB.
∵MD⊥MP，∴∠PMD=90°.∴∠PME＋∠DMF=90°.
∵∠FDM＋∠DMF=90°，∴∠MDF=∠PME.∵M是QC的中点，∴DM=PM=0.5QC.
在△MDF和△PME中，∴△MDF≌△PME(AAS)．∴ME=DF，PE=MF.
∵EF⊥CD，AD⊥CD，∴EF∥AD.∵QM=MC，∴DF=CF=0.5DC=2.5，
∴ME=2.5，FM=3-2.5=0.5.∵FM是△CDQ的中位线，∴DQ=1.∴AQ=3－1=2.
（1）证明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，∴∠ACF=∠FCD=∠CFO.∴OF=OC.同理：OC=OE.∴OE=OF.
（2）由(1)知：OF=OC，OC=OE，∴∠OCF=∠OFC，∠OCE=∠OEC.∴∠OCF＋∠OCE=∠OFC＋∠OEC.
而∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC=180°，∴∠ECF=∠OCF＋∠OCE=90°.∴EF=13.∴OC=0.5EF=6.5.
（3）连接AE、AF.当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形．
理由如下：由(1)知OE=OF，当点O移动到AC中点时，有OA=OC，∴四边形AECF为平行四边形．
又∵∠ECF=90°，∴四边形AECF为矩形．
【解答】（1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，
∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO=∠CEO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
∴AF=CF=CE=AE，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=，
在Rt△CDF中，cs∠DCF=，∠DCF=30°，
∴CF==2，
∵四边形AECF是菱形，
∴CE=CF=2，
∴四边形AECF是的面积为：EC•AB=2．
解:(1)证明:正方形ABCD中,AC=BD,OA=0.5AC,OB=OD=0.5BD,
所以OA=OB=OD,
因为AC⊥BD,
所以∠AOB=∠AOD=90°,
所以∠OAD=∠OBA=45°,
所以∠OAM=∠OBN,
又因为∠EOF=90°,
所以∠AOM=∠BON,
所以△AOM≌△BON,
所以OM=ON.
(2)如图,过点O作OP⊥AB于P,
所以∠OPA=90°,∠OPA=∠MAE,
因为E为OM中点,
所以OE=ME,
又因为∠AEM=∠PEO,
所以△AEM≌△PEO,
所以AE=EP,
因为OA=OB,OP⊥AB,
所以AP=BP=0.5AB=2,
所以EP=1.
Rt△OPB中,∠OBP=45°,
所以OP=PB=2,
Rt△OEP中,OE= SKIPIF 1 < 0 ,
所以OM=2OE=2 SKIPIF 1 < 0 ,
Rt△OMN中,OM=ON,所以MN= SKIPIF 1 < 0 OM=2 SKIPIF 1 < 0 .