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2020-2021学年浙江省宁波市鄞州区八年级（下）期中数学试卷
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这是一份2020-2021学年浙江省宁波市鄞州区八年级（下）期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年浙江省宁波市鄞州区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．4 B． C．2＝ D．3
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）某校八（5）为筹备班级端午节纪念爱国诗人屈原联谊会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调查，最终买哪些水果，下面的调查数据中您认为最值得关注的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．加权平均数
4．（3分）某多边形的每个内角均为120°，则此多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（3分）用反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，首先应该假设这个四边形中（ ）
A．有一个角是钝角或直角 B．每一个角都是钝角
C．每一个角都是直角 D．每一个角都是锐角
6．（3分）小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D，则直线CD即为所求，根据他的作图方法可知四边形ADBC一点是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
7．（3分）如图，在长为32m，宽为20m的矩形空地上修建同样宽的道路（图中阴影部分），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为540m2．设道路的宽为xm，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．32x+20x﹣2x2＝540
B．32x+20x＝32×20﹣540
C．（32﹣x）（20﹣x）＝540
D．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣540
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（ ）
A．7 B．3+ C．8 D．3+
9．（3分）如图，OA＝AB，∠OAB＝90°，双曲线y＝经过点A，双曲线y＝﹣经过点B，已知点A的纵坐标为﹣2，则点B的坐标为（ ）
A．（+3，﹣1） B．（4，1） C．（2+，﹣1） D．（2，﹣1）
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点A（3，3），C（﹣1，﹣1），对角线BD交AC于点M，交x轴于点N，若BN＝2ND，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，4）
二、填空题
11．（4分）二次根式中字母x的取值范围是 ．
12．（4分）我市某一周每天的最低气温统计如下（单位：℃）：﹣1，4，6，0，﹣1，1，﹣1，则这组数据的平均数为 ．
13．（4分）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，则m＝ ．
14．（4分）一次函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象的一个交点是M（﹣3，2），若y2＜y1＜5，则x的取值范围是 ．
15．（4分）已知：如图，在▱ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别与线段BC相交于点E，F，AE与DF相交于点G．若AD＝10，AB＝6，AE＝4，则DF的长为 ．
16．（4分）如图，曲线l是由函数y＝在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（﹣4，4），B（2，2）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为 ．
三、解答题
17．（6分）计算：
（1）；
（2）×．
18．（6分）解方程：
（1）2x（x﹣1）＝3（x﹣1）；
（2）x2+2x﹣5＝0．
19．（8分）在抗击“新冠肺炎疫情”的日子里，某校积极开展“停课不停学”的线上教学活动．为了解全校1200名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，随机调查了该校100名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，结果如表：
时间（分）
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
人数
16
24
14
10
8
6
8
4
6
4
完成下列问题：
（1）根据统计表信息，写出这100名学生一周内平均每天在家体育锻炼时间的中位数和众数．
（2）请估计该校一周内平均每天在家体育锻炼时间不少于35分钟的学生大约有多少人？
20．（8分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠BAE：∠EAD＝2：3，求∠EAO的度数．
21．（8分）在水果销售旺季，某水果店购进一种优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量（千克）与该天的售价x（元/千克）满足的关系为一次函数y＝﹣2x+80．
（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量；
（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？
22．（8分）已知一次函数y＝（m﹣1）x+m﹣2与反比例函数y＝（k≠0）．
（1）若一次函数与反比例函数的图象都经过点A（m，﹣1），求m与k的值．
（2）已知点B（x1，y1），C（x2，y2）在该一次函数图象上，设k＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），判断反比例函数y＝的图象所在的象限，说明理由．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，有大正方形AOBC与小正方形CDEF，其中点A落在y轴上，点B落在x轴上，若反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过点E，则称满足条件的k值为两正方形的和谐值．已知反比例函数图象与AF交于点G，请解答下列各题．
（1）概念理解 若图中大正方形的边长为2，小正方形的边长为1，求这两个正方形的和谐值．
（2）性质探究 记图中两正方形面积分别为S1，S2，（S1＞S2），
求证：两个正方形的和谐值k＝S1﹣S2．
（3）性质应用 若图中大正方形的边长为6，点G恰好是AC的三等分点，求小正方形的边长．
24．（12分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”．
（1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD中，BC≠AB，BD⊥CD，AB＝3，BD＝4，求BC的长；
（2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；
（3）如图2，在△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝90°．在AB的垂直平分线上是否存在点P，使得以A，B，C，P为顶点的四边形为“准等边四边形”．若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年浙江省宁波市鄞州区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．4 B． C．2＝ D．3
【分析】根据二次根式的化简及同类二次根式的合并，分别进行各选项的判断即可．
【解答】解：A、4﹣3＝，原式计算错误，故本选项错误；
B、与不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；
C、2＝，计算正确，故本选项正确；
D、3+2≠5，原式计算错误，故本选项错误；
故选：C．
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：A．
3．（3分）某校八（5）为筹备班级端午节纪念爱国诗人屈原联谊会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调查，最终买哪些水果，下面的调查数据中您认为最值得关注的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．加权平均数
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行分析选择．
【解答】解：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．
既然是为筹备班级端午节纪念爱国诗人屈原联谊会做准备，那么买的水果肯定是大多数人爱吃的才行，
故最值得关注的是众数．
故选：C．
4．（3分）某多边形的每个内角均为120°，则此多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】首先可求得每个外角为60°，然后根据外角和为360°即可求得多边形的边数．
【解答】解：180°﹣120°＝60°，
360°÷60°＝6．
故选：B．
5．（3分）用反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，首先应该假设这个四边形中（ ）
A．有一个角是钝角或直角 B．每一个角都是钝角
C．每一个角都是直角 D．每一个角都是锐角
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【解答】解：反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，假设这个四边形中每一个角都是锐角，
故选：D．
6．（3分）小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D，则直线CD即为所求，根据他的作图方法可知四边形ADBC一点是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【分析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形．
【解答】解：∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC＝AD＝BD＝BC，
∴四边形ADBC一定是菱形，
故选：B．
7．（3分）如图，在长为32m，宽为20m的矩形空地上修建同样宽的道路（图中阴影部分），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为540m2．设道路的宽为xm，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．32x+20x﹣2x2＝540
B．32x+20x＝32×20﹣540
C．（32﹣x）（20﹣x）＝540
D．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣540
【分析】把道路进行平移，可得草坪面积＝长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形面积，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：把道路进行平移，可得草坪面积为一个矩形，长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m，
∴可列方程为：（32﹣x）（20﹣x）＝540．
故选：C．
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（ ）
A．7 B．3+ C．8 D．3+
【分析】根据阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，得出阴影部分的面积为6，空白部分的面积为3，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长．
【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为×9＝6，
∴空白部分的面积为9﹣6＝3，
由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3＝，
∠CBE＝∠DCF，
∵∠DCF+∠BCG＝90°，
∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，
设BG＝a，CG＝b，则ab＝，
又∵a2+b2＝32，
∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，
即（a+b）2＝15，
∴a+b＝，即BG+CG＝，
∴△BCG的周长＝+3，
故选：D．
9．（3分）如图，OA＝AB，∠OAB＝90°，双曲线y＝经过点A，双曲线y＝﹣经过点B，已知点A的纵坐标为﹣2，则点B的坐标为（ ）
A．（+3，﹣1） B．（4，1） C．（2+，﹣1） D．（2，﹣1）
【分析】如图2中，作AH⊥OF于H，BG⊥AH于G．首先证明△OHA≌△AGB，推出OH＝AG，AH＝BG＝2，设OH＝AG＝m，推出B（m+2，m﹣2），把点B（m+2，m﹣2）代入y＝﹣求出m即可解决问题．
【解答】解：如图中，作AH⊥x轴于H，BG⊥AH于G．
∵∠OAB＝90°，
∴∠OAH+∠GAB＝90°，∠GAB+∠ABG＝90°，
∴∠OAH＝∠ABG，
同理得∠AOH＝∠BAG，
在△OHA和△AGB中，
∴△OHA≌△AGB，
∴OH＝AG，AH＝BG＝2，
设OH＝AG＝m，则B（m+2，m﹣2），
把点B坐标（m+2，m﹣2）代入y＝﹣得（m﹣2）（m+2）＝﹣k①
把点A坐标（m，﹣2）代入y＝得﹣2m＝k②
联立①②
解得：，（舍去）
∴将m1＝1+代入得：
B（3+，）
故选：A．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点A（3，3），C（﹣1，﹣1），对角线BD交AC于点M，交x轴于点N，若BN＝2ND，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，4）
【分析】过点M作MF⊥ON于N，过点B作BE⊥x轴于E，由菱形的性质可得AC⊥BD，AM＝CM，BM＝DM，由中点坐标公式可求点M坐标，由BN＝2ND，可求BN＝4，即可求解．
【解答】解：如图，过点M作MF⊥ON于N，过点B作BE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AM＝CM，BM＝DM，
∵点A（3，3），C（﹣1，﹣1），
∴M（1，1），
∴OF＝1，MF＝1，
∴∠MON＝45°＝∠OMF，
∴∠FMN＝45°＝∠FNM，
∴MF＝FN＝1，
∴MN＝，
∵BN＝2ND，
∴BD＝3DN，BM＝DN，
∴MN＝＝，
∴DN＝2，
∴BN＝4，
∵BE⊥x轴，
∴∠EBN＝∠BNE＝45°，
∴BE＝EN，BN＝BE，
∴BE＝EN＝4，
∴EO＝2，
∴点B（﹣2，4），
故选：D．
二、填空题
11．（4分）二次根式中字母x的取值范围是 x≤0 ．
【分析】根据二次根式有意义得出﹣5x≥0，求出不等式的解集即可．
【解答】解：要使二次根式有意义，必须﹣5x≥0，
解得：x≤0，
故答案为：x≤0．
12．（4分）我市某一周每天的最低气温统计如下（单位：℃）：﹣1，4，6，0，﹣1，1，﹣1，则这组数据的平均数为 ．
【分析】根据算术平均数的计算公式直接计算即可．
【解答】解：这组数据的平均数为：（﹣1+4+6+0﹣1+1﹣1）÷7＝．
故答案为：．
13．（4分）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，则m＝ 2 ．
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，
∴m2﹣2m＝0且m≠0，
解得，m＝2．
故答案是：2．
14．（4分）一次函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象的一个交点是M（﹣3，2），若y2＜y1＜5，则x的取值范围是 ﹣＜x＜﹣3或0＜x＜3 ．
【分析】如图，一次函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象相交于点M、N，则N（3，﹣2），利用待定系数法求出一次函数解析式为y1＝﹣x，则可计算出当y＝5时，x＝﹣，然后结合函数图象，写出y2＜y1＜5对应的x的取值范围．
【解答】解：如图，一次函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象相交于点M、N，
∴M、N点关于原点对称，
∴N（3，﹣2），
把M（﹣3，2）代入y1＝k1x得﹣3k1＝2，解得k1＝﹣，
∴一次函数解析式为y1＝﹣x，
当y＝5时，﹣x＝5，解得x＝﹣，
∴若y2＜y1＜5，则x的取值范围是﹣＜x＜﹣3或0＜x＜3．
故答案为﹣＜x＜﹣3或0＜x＜3．
15．（4分）已知：如图，在▱ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别与线段BC相交于点E，F，AE与DF相交于点G．若AD＝10，AB＝6，AE＝4，则DF的长为 8 ．
【分析】如图，过点C作CK∥AE交AD于K．证明CF＝CD，CI⊥DF，推出DI＝IF，再证明IK＝IC＝2，利用勾股定理求出DI即可解决问题．
【解答】解：如图，过点C作CK∥AE交AD于K．
在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC＝180°．AB＝CD＝6，
∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE＝∠BAD，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC．
∴∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°．
∴∠AGD＝90°．
∵AK∥EC，AE∥CK，
∴四边形AECK是平行四边形，∠AGD＝∠KID＝90°，
∴AE＝CK＝4，
∵∠KDI+∠DKI＝90°，∠DIC+∠DCI＝90°，∠IDK＝∠IDC，
∴∠DKI＝∠DCI，
∴DK＝DC，
∴KI＝CI＝2，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC＝∠CDF，
∴CF＝CD，
∵CI⊥DF，
∴FI＝DI，
∵DI＝＝＝4，
∴DF＝2DI＝8，
∴故答案为8．
16．（4分）如图，曲线l是由函数y＝在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（﹣4，4），B（2，2）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为 8 ．
【分析】由题意A（﹣4，4），B（2，2），可知OA⊥OB，建立如图新的坐标系（OB为x′轴，OA为y′轴，利用方程组求出M、N的坐标，根据S△OMN＝S△OBM﹣S△OBN计算即可．
【解答】解：∵A（﹣4，4），B（2，2），
∴OA⊥OB，
建立如图新的坐标系，OB为x′轴，OA为y′轴．
在新的坐标系中，A（0，8），B（4，0），
∴直线AB解析式为y′＝﹣2x′+8，
由，解得或，
∴M（1，6），N（3，2），
∴S△OMN＝S△OBM﹣S△OBN＝•4•6﹣•4•2＝8，
故答案为8．
三、解答题
17．（6分）计算：
（1）；
（2）×．
【分析】（1）先化成最简二次根式，再根据二次根式加减法则进行计算即可；
（2）先根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则进行计算，再算加法即可．
【解答】解：（1）﹣
＝3﹣2
＝；
（2）+2×
＝3+2
＝5．
18．（6分）解方程：
（1）2x（x﹣1）＝3（x﹣1）；
（2）x2+2x﹣5＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用公式法求解可得．
【解答】解：（1）∵2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（2x﹣3）＝0，
则x﹣1＝0或2x﹣3＝0，
解得x＝1或x＝1.5；
（2）∵a＝，b＝2，c＝﹣5，
∴△＝（2）2﹣4××（﹣5）＝18＞0，
则x＝＝﹣2±3，
即x1＝，x2＝﹣5．
19．（8分）在抗击“新冠肺炎疫情”的日子里，某校积极开展“停课不停学”的线上教学活动．为了解全校1200名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，随机调查了该校100名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，结果如表：
时间（分）
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
人数
16
24
14
10
8
6
8
4
6
4
完成下列问题：
（1）根据统计表信息，写出这100名学生一周内平均每天在家体育锻炼时间的中位数和众数．
（2）请估计该校一周内平均每天在家体育锻炼时间不少于35分钟的学生大约有多少人？
【分析】（1）找出表格中按大小次序排好后位于中间的数和出现次数最多的数即可求解．
（2）借助表格查找时间不少于35分钟的学生的人数，除以样本容量，然后乘全校人数即可求解．
【解答】解：（1）由表格知，中位数是25，众数是20．
（2）×1200＝432（人）．
故估计该校一周内平均每天在家体育锻炼时间不少于35分钟的学生大约有432人．
20．（8分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠BAE：∠EAD＝2：3，求∠EAO的度数．
【分析】（1）证△AEO≌△DFO（AAS），得出OA＝OD，则AC＝BD，即可得出四边形ABCD是矩形．
（2）由矩形的性质得出∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB，则∠OAB＝∠OBA，求出∠BAE＝36°，则∠OBA＝∠OAB＝54°，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEO＝∠DFO＝90°，
在△AEO和△DFO中，，
∴△AEO≌△DFO（AAS），
∴OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠BAE：∠EAD＝2：3，
∴∠BAE＝36°，
∴∠OBA＝∠OAB＝90°﹣36°＝54°，
∴∠EAO＝∠OAB﹣∠BAE＝54°﹣36°＝18°．
21．（8分）在水果销售旺季，某水果店购进一种优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量（千克）与该天的售价x（元/千克）满足的关系为一次函数y＝﹣2x+80．
（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量；
（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？
【分析】（1）把x＝23.5代入函数式即可求出结论；
（2）根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80．
∴当x＝23.5时，y＝﹣2x+80＝33．
答：当天该水果的销售量为33千克．
（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，
解得：x1＝35，x2＝25．
∵20≤x≤32，
∴x＝25．
答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．
22．（8分）已知一次函数y＝（m﹣1）x+m﹣2与反比例函数y＝（k≠0）．
（1）若一次函数与反比例函数的图象都经过点A（m，﹣1），求m与k的值．
（2）已知点B（x1，y1），C（x2，y2）在该一次函数图象上，设k＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），判断反比例函数y＝的图象所在的象限，说明理由．
【分析】（1）把A（m，﹣1）代入y＝（m﹣1）x+m﹣2，即可求得m的值，然后根据待定系数法求得k的值；
（2）根据题意可以判断m﹣1的正负，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）一次函数的图象都经过点A（m，﹣1），
∴﹣1＝m（m﹣1）+m﹣2且m﹣1≠0，
∴m＝﹣1，
∴A（﹣1，﹣1），
∵反比例函数的图象都经过点A（﹣1，﹣1），
∴k＝1；
（2）∵点B（x1，y1），C（x2，y2）在该一次函数图象上，
∴
①﹣②得y1﹣y2＝（m﹣1）（x1﹣x2），
∵k＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），
∴k＝（m﹣1）（x1﹣x2）2，
∴当m＞1时，k＞0，反比例函数的图象在一三象限；当m＜1时，k＜0，反比例函数的图象在二四象限．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，有大正方形AOBC与小正方形CDEF，其中点A落在y轴上，点B落在x轴上，若反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过点E，则称满足条件的k值为两正方形的和谐值．已知反比例函数图象与AF交于点G，请解答下列各题．
（1）概念理解 若图中大正方形的边长为2，小正方形的边长为1，求这两个正方形的和谐值．
（2）性质探究 记图中两正方形面积分别为S1，S2，（S1＞S2），
求证：两个正方形的和谐值k＝S1﹣S2．
（3）性质应用 若图中大正方形的边长为6，点G恰好是AC的三等分点，求小正方形的边长．
【分析】（1）如图1，延长FE交x轴于点H，则PH⊥x轴，则四边形AOHF和四边形DBHE是矩形，求得AF＝OH，EH＝DB，得到E（3，1），于是得到结论；
（2）设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则同（1）可得，E（a+b，a﹣b），根据题意即可得到结论；
（3）①如图2，当AG＝AC时，此时，G（2，6），②如图3，当AG＝AC时，此时，G（4，6），k＝24，根据k＝S1﹣S2，代入数据即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，延长FE交x轴于点H，则PH⊥x轴，
则四边形AOHF和四边形DBHE是矩形，
∴AF＝OH，EH＝DB，
由题意得，AC＝BC＝2，CF＝CD＝1，
∴AF＝AC+CF＝3，BD＝BC﹣CD＝1，
即OH＝3，EH＝1，
∴E（3，1），
∴k＝3，
∴两个正方形的和谐值为3；
（2）证明：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
则同（1）可得，E（a+b，a﹣b），
∴k＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
∵S1＝a2，S2＝b2，S1﹣S2＝a2﹣b2，
∴k＝S1﹣S2；
（3）①如图2，当AG＝AC时，此时，G（2，6），
∴k＝12，
由（2）知k＝S1﹣S2，
∴小正方形的面积S2＝S1﹣12＝62﹣12＝24，
∴小正方形的边长为2，
②如图3，当AG＝AC时，此时，G（4，6），k＝24，
∵k＝S1﹣S2，
∴小正方形的面积S2＝S1﹣24＝62﹣24＝12，
∴小正方形的边长＝2，
综上所述，小正方形的边长为2或2．
24．（12分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”．
（1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD中，BC≠AB，BD⊥CD，AB＝3，BD＝4，求BC的长；
（2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；
（3）如图2，在△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝90°．在AB的垂直平分线上是否存在点P，使得以A，B，C，P为顶点的四边形为“准等边四边形”．若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据勾股定理计算BC的长；
（2）正确，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可得结论；
（3）有四种情况：作辅助线，将四边形分成两个三角形和一个四边形或两个三角形，相加可得结论．
【解答】解：（1）如图1，Rt△ACB中，∵BD＝4，CD＝AB＝3，
∴BC＝＝＝5．
（2）正确，理由是：
如图3，AB＝AD＝BC，AC⊥BD，
∴AO＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴▱ABCD是菱形；
（3）存在四种情况，
①如图3﹣1，四边形ABPC是“准等边四边形”，过C作CF⊥PE于F，则∠CFE＝90°，
∵EP是AB的垂直平分线，
∴∠AEF＝∠A＝90°，
∴四边形AEFC是矩形，
Rt△ABC中，AC＝BC＝，
∴BC＝＝＝2，
∴CF＝AE＝BE＝，
∵AB＝PC＝，
∴PF＝＝＝，
∴S四边形ABPC＝S△BEP+S矩形AEFC+S△CFP，
＝××（+）+×+××
＝++1+
＝．
②如图3﹣2，四边形APBC是“准等边四边形”，
∵AP＝BP＝AC＝＝AB，
∴△ABP是等边三角形，
∴S四边形ACBP＝S△APB+S△ABC＝×（）2+××＝+1；
③如图3﹣3，四边形ACBP是“准等边四边形”，
∵AP＝BP＝BC＝2，
∵PE是AB的垂直平分线，
∴PD⊥AB，E是AB的中点，
∴BE＝AB＝，
∴PE＝＝＝，
∴S四边形ACBP＝S△APB+S△ABC＝××+××＝+1；
④如图3﹣4，四边形ABPC是“准等边四边形”，过P作PF⊥AC于F，连接AP，
∵AB＝AC＝PB＝，
∴PE＝，
S四边形ABPC＝S△APB+S△APC＝××+××＝．
综上所述，满足条件的四边形的面积为：或或 或 ．
2020-2021学年浙江省宁波市鄞州区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．4 B． C．2＝ D．3
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）某校八（5）为筹备班级端午节纪念爱国诗人屈原联谊会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调查，最终买哪些水果，下面的调查数据中您认为最值得关注的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．加权平均数
4．（3分）某多边形的每个内角均为120°，则此多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（3分）用反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，首先应该假设这个四边形中（ ）
A．有一个角是钝角或直角 B．每一个角都是钝角
C．每一个角都是直角 D．每一个角都是锐角
6．（3分）小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D，则直线CD即为所求，根据他的作图方法可知四边形ADBC一点是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
7．（3分）如图，在长为32m，宽为20m的矩形空地上修建同样宽的道路（图中阴影部分），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为540m2．设道路的宽为xm，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．32x+20x﹣2x2＝540
B．32x+20x＝32×20﹣540
C．（32﹣x）（20﹣x）＝540
D．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣540
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（ ）
A．7 B．3+ C．8 D．3+
9．（3分）如图，OA＝AB，∠OAB＝90°，双曲线y＝经过点A，双曲线y＝﹣经过点B，已知点A的纵坐标为﹣2，则点B的坐标为（ ）
A．（+3，﹣1） B．（4，1） C．（2+，﹣1） D．（2，﹣1）
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点A（3，3），C（﹣1，﹣1），对角线BD交AC于点M，交x轴于点N，若BN＝2ND，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，4）
二、填空题
11．（4分）二次根式中字母x的取值范围是 ．
12．（4分）我市某一周每天的最低气温统计如下（单位：℃）：﹣1，4，6，0，﹣1，1，﹣1，则这组数据的平均数为 ．
13．（4分）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，则m＝ ．
14．（4分）一次函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象的一个交点是M（﹣3，2），若y2＜y1＜5，则x的取值范围是 ．
15．（4分）已知：如图，在▱ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别与线段BC相交于点E，F，AE与DF相交于点G．若AD＝10，AB＝6，AE＝4，则DF的长为 ．
16．（4分）如图，曲线l是由函数y＝在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（﹣4，4），B（2，2）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为 ．
三、解答题
17．（6分）计算：
（1）；
（2）×．
18．（6分）解方程：
（1）2x（x﹣1）＝3（x﹣1）；
（2）x2+2x﹣5＝0．
19．（8分）在抗击“新冠肺炎疫情”的日子里，某校积极开展“停课不停学”的线上教学活动．为了解全校1200名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，随机调查了该校100名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，结果如表：
时间（分）
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
人数
16
24
14
10
8
6
8
4
6
4
完成下列问题：
（1）根据统计表信息，写出这100名学生一周内平均每天在家体育锻炼时间的中位数和众数．
（2）请估计该校一周内平均每天在家体育锻炼时间不少于35分钟的学生大约有多少人？
20．（8分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠BAE：∠EAD＝2：3，求∠EAO的度数．
21．（8分）在水果销售旺季，某水果店购进一种优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量（千克）与该天的售价x（元/千克）满足的关系为一次函数y＝﹣2x+80．
（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量；
（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？
22．（8分）已知一次函数y＝（m﹣1）x+m﹣2与反比例函数y＝（k≠0）．
（1）若一次函数与反比例函数的图象都经过点A（m，﹣1），求m与k的值．
（2）已知点B（x1，y1），C（x2，y2）在该一次函数图象上，设k＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），判断反比例函数y＝的图象所在的象限，说明理由．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，有大正方形AOBC与小正方形CDEF，其中点A落在y轴上，点B落在x轴上，若反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过点E，则称满足条件的k值为两正方形的和谐值．已知反比例函数图象与AF交于点G，请解答下列各题．
（1）概念理解 若图中大正方形的边长为2，小正方形的边长为1，求这两个正方形的和谐值．
（2）性质探究 记图中两正方形面积分别为S1，S2，（S1＞S2），
求证：两个正方形的和谐值k＝S1﹣S2．
（3）性质应用 若图中大正方形的边长为6，点G恰好是AC的三等分点，求小正方形的边长．
24．（12分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”．
（1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD中，BC≠AB，BD⊥CD，AB＝3，BD＝4，求BC的长；
（2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；
（3）如图2，在△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝90°．在AB的垂直平分线上是否存在点P，使得以A，B，C，P为顶点的四边形为“准等边四边形”．若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年浙江省宁波市鄞州区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．4 B． C．2＝ D．3
【分析】根据二次根式的化简及同类二次根式的合并，分别进行各选项的判断即可．
【解答】解：A、4﹣3＝，原式计算错误，故本选项错误；
B、与不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；
C、2＝，计算正确，故本选项正确；
D、3+2≠5，原式计算错误，故本选项错误；
故选：C．
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：A．
3．（3分）某校八（5）为筹备班级端午节纪念爱国诗人屈原联谊会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调查，最终买哪些水果，下面的调查数据中您认为最值得关注的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．加权平均数
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行分析选择．
【解答】解：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．
既然是为筹备班级端午节纪念爱国诗人屈原联谊会做准备，那么买的水果肯定是大多数人爱吃的才行，
故最值得关注的是众数．
故选：C．
4．（3分）某多边形的每个内角均为120°，则此多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】首先可求得每个外角为60°，然后根据外角和为360°即可求得多边形的边数．
【解答】解：180°﹣120°＝60°，
360°÷60°＝6．
故选：B．
5．（3分）用反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，首先应该假设这个四边形中（ ）
A．有一个角是钝角或直角 B．每一个角都是钝角
C．每一个角都是直角 D．每一个角都是锐角
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【解答】解：反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，假设这个四边形中每一个角都是锐角，
故选：D．
6．（3分）小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D，则直线CD即为所求，根据他的作图方法可知四边形ADBC一点是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【分析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形．
【解答】解：∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC＝AD＝BD＝BC，
∴四边形ADBC一定是菱形，
故选：B．
7．（3分）如图，在长为32m，宽为20m的矩形空地上修建同样宽的道路（图中阴影部分），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为540m2．设道路的宽为xm，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．32x+20x﹣2x2＝540
B．32x+20x＝32×20﹣540
C．（32﹣x）（20﹣x）＝540
D．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣540
【分析】把道路进行平移，可得草坪面积＝长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形面积，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：把道路进行平移，可得草坪面积为一个矩形，长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m，
∴可列方程为：（32﹣x）（20﹣x）＝540．
故选：C．
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（ ）
A．7 B．3+ C．8 D．3+
【分析】根据阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，得出阴影部分的面积为6，空白部分的面积为3，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长．
【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为×9＝6，
∴空白部分的面积为9﹣6＝3，
由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3＝，
∠CBE＝∠DCF，
∵∠DCF+∠BCG＝90°，
∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，
设BG＝a，CG＝b，则ab＝，
又∵a2+b2＝32，
∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，
即（a+b）2＝15，
∴a+b＝，即BG+CG＝，
∴△BCG的周长＝+3，
故选：D．
9．（3分）如图，OA＝AB，∠OAB＝90°，双曲线y＝经过点A，双曲线y＝﹣经过点B，已知点A的纵坐标为﹣2，则点B的坐标为（ ）
A．（+3，﹣1） B．（4，1） C．（2+，﹣1） D．（2，﹣1）
【分析】如图2中，作AH⊥OF于H，BG⊥AH于G．首先证明△OHA≌△AGB，推出OH＝AG，AH＝BG＝2，设OH＝AG＝m，推出B（m+2，m﹣2），把点B（m+2，m﹣2）代入y＝﹣求出m即可解决问题．
【解答】解：如图中，作AH⊥x轴于H，BG⊥AH于G．
∵∠OAB＝90°，
∴∠OAH+∠GAB＝90°，∠GAB+∠ABG＝90°，
∴∠OAH＝∠ABG，
同理得∠AOH＝∠BAG，
在△OHA和△AGB中，
∴△OHA≌△AGB，
∴OH＝AG，AH＝BG＝2，
设OH＝AG＝m，则B（m+2，m﹣2），
把点B坐标（m+2，m﹣2）代入y＝﹣得（m﹣2）（m+2）＝﹣k①
把点A坐标（m，﹣2）代入y＝得﹣2m＝k②
联立①②
解得：，（舍去）
∴将m1＝1+代入得：
B（3+，）
故选：A．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点A（3，3），C（﹣1，﹣1），对角线BD交AC于点M，交x轴于点N，若BN＝2ND，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，4）
【分析】过点M作MF⊥ON于N，过点B作BE⊥x轴于E，由菱形的性质可得AC⊥BD，AM＝CM，BM＝DM，由中点坐标公式可求点M坐标，由BN＝2ND，可求BN＝4，即可求解．
【解答】解：如图，过点M作MF⊥ON于N，过点B作BE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AM＝CM，BM＝DM，
∵点A（3，3），C（﹣1，﹣1），
∴M（1，1），
∴OF＝1，MF＝1，
∴∠MON＝45°＝∠OMF，
∴∠FMN＝45°＝∠FNM，
∴MF＝FN＝1，
∴MN＝，
∵BN＝2ND，
∴BD＝3DN，BM＝DN，
∴MN＝＝，
∴DN＝2，
∴BN＝4，
∵BE⊥x轴，
∴∠EBN＝∠BNE＝45°，
∴BE＝EN，BN＝BE，
∴BE＝EN＝4，
∴EO＝2，
∴点B（﹣2，4），
故选：D．
二、填空题
11．（4分）二次根式中字母x的取值范围是 x≤0 ．
【分析】根据二次根式有意义得出﹣5x≥0，求出不等式的解集即可．
【解答】解：要使二次根式有意义，必须﹣5x≥0，
解得：x≤0，
故答案为：x≤0．
12．（4分）我市某一周每天的最低气温统计如下（单位：℃）：﹣1，4，6，0，﹣1，1，﹣1，则这组数据的平均数为 ．
【分析】根据算术平均数的计算公式直接计算即可．
【解答】解：这组数据的平均数为：（﹣1+4+6+0﹣1+1﹣1）÷7＝．
故答案为：．
13．（4分）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，则m＝ 2 ．
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，
∴m2﹣2m＝0且m≠0，
解得，m＝2．
故答案是：2．
14．（4分）一次函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象的一个交点是M（﹣3，2），若y2＜y1＜5，则x的取值范围是 ﹣＜x＜﹣3或0＜x＜3 ．
【分析】如图，一次函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象相交于点M、N，则N（3，﹣2），利用待定系数法求出一次函数解析式为y1＝﹣x，则可计算出当y＝5时，x＝﹣，然后结合函数图象，写出y2＜y1＜5对应的x的取值范围．
【解答】解：如图，一次函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象相交于点M、N，
∴M、N点关于原点对称，
∴N（3，﹣2），
把M（﹣3，2）代入y1＝k1x得﹣3k1＝2，解得k1＝﹣，
∴一次函数解析式为y1＝﹣x，
当y＝5时，﹣x＝5，解得x＝﹣，
∴若y2＜y1＜5，则x的取值范围是﹣＜x＜﹣3或0＜x＜3．
故答案为﹣＜x＜﹣3或0＜x＜3．
15．（4分）已知：如图，在▱ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别与线段BC相交于点E，F，AE与DF相交于点G．若AD＝10，AB＝6，AE＝4，则DF的长为 8 ．
【分析】如图，过点C作CK∥AE交AD于K．证明CF＝CD，CI⊥DF，推出DI＝IF，再证明IK＝IC＝2，利用勾股定理求出DI即可解决问题．
【解答】解：如图，过点C作CK∥AE交AD于K．
在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC＝180°．AB＝CD＝6，
∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE＝∠BAD，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC．
∴∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°．
∴∠AGD＝90°．
∵AK∥EC，AE∥CK，
∴四边形AECK是平行四边形，∠AGD＝∠KID＝90°，
∴AE＝CK＝4，
∵∠KDI+∠DKI＝90°，∠DIC+∠DCI＝90°，∠IDK＝∠IDC，
∴∠DKI＝∠DCI，
∴DK＝DC，
∴KI＝CI＝2，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC＝∠CDF，
∴CF＝CD，
∵CI⊥DF，
∴FI＝DI，
∵DI＝＝＝4，
∴DF＝2DI＝8，
∴故答案为8．
16．（4分）如图，曲线l是由函数y＝在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（﹣4，4），B（2，2）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为 8 ．
【分析】由题意A（﹣4，4），B（2，2），可知OA⊥OB，建立如图新的坐标系（OB为x′轴，OA为y′轴，利用方程组求出M、N的坐标，根据S△OMN＝S△OBM﹣S△OBN计算即可．
【解答】解：∵A（﹣4，4），B（2，2），
∴OA⊥OB，
建立如图新的坐标系，OB为x′轴，OA为y′轴．
在新的坐标系中，A（0，8），B（4，0），
∴直线AB解析式为y′＝﹣2x′+8，
由，解得或，
∴M（1，6），N（3，2），
∴S△OMN＝S△OBM﹣S△OBN＝•4•6﹣•4•2＝8，
故答案为8．
三、解答题
17．（6分）计算：
（1）；
（2）×．
【分析】（1）先化成最简二次根式，再根据二次根式加减法则进行计算即可；
（2）先根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则进行计算，再算加法即可．
【解答】解：（1）﹣
＝3﹣2
＝；
（2）+2×
＝3+2
＝5．
18．（6分）解方程：
（1）2x（x﹣1）＝3（x﹣1）；
（2）x2+2x﹣5＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用公式法求解可得．
【解答】解：（1）∵2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（2x﹣3）＝0，
则x﹣1＝0或2x﹣3＝0，
解得x＝1或x＝1.5；
（2）∵a＝，b＝2，c＝﹣5，
∴△＝（2）2﹣4××（﹣5）＝18＞0，
则x＝＝﹣2±3，
即x1＝，x2＝﹣5．
19．（8分）在抗击“新冠肺炎疫情”的日子里，某校积极开展“停课不停学”的线上教学活动．为了解全校1200名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，随机调查了该校100名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，结果如表：
时间（分）
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
人数
16
24
14
10
8
6
8
4
6
4
完成下列问题：
（1）根据统计表信息，写出这100名学生一周内平均每天在家体育锻炼时间的中位数和众数．
（2）请估计该校一周内平均每天在家体育锻炼时间不少于35分钟的学生大约有多少人？
【分析】（1）找出表格中按大小次序排好后位于中间的数和出现次数最多的数即可求解．
（2）借助表格查找时间不少于35分钟的学生的人数，除以样本容量，然后乘全校人数即可求解．
【解答】解：（1）由表格知，中位数是25，众数是20．
（2）×1200＝432（人）．
故估计该校一周内平均每天在家体育锻炼时间不少于35分钟的学生大约有432人．
20．（8分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠BAE：∠EAD＝2：3，求∠EAO的度数．
【分析】（1）证△AEO≌△DFO（AAS），得出OA＝OD，则AC＝BD，即可得出四边形ABCD是矩形．
（2）由矩形的性质得出∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB，则∠OAB＝∠OBA，求出∠BAE＝36°，则∠OBA＝∠OAB＝54°，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEO＝∠DFO＝90°，
在△AEO和△DFO中，，
∴△AEO≌△DFO（AAS），
∴OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠BAE：∠EAD＝2：3，
∴∠BAE＝36°，
∴∠OBA＝∠OAB＝90°﹣36°＝54°，
∴∠EAO＝∠OAB﹣∠BAE＝54°﹣36°＝18°．
21．（8分）在水果销售旺季，某水果店购进一种优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量（千克）与该天的售价x（元/千克）满足的关系为一次函数y＝﹣2x+80．
（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量；
（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？
【分析】（1）把x＝23.5代入函数式即可求出结论；
（2）根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80．
∴当x＝23.5时，y＝﹣2x+80＝33．
答：当天该水果的销售量为33千克．
（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，
解得：x1＝35，x2＝25．
∵20≤x≤32，
∴x＝25．
答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．
22．（8分）已知一次函数y＝（m﹣1）x+m﹣2与反比例函数y＝（k≠0）．
（1）若一次函数与反比例函数的图象都经过点A（m，﹣1），求m与k的值．
（2）已知点B（x1，y1），C（x2，y2）在该一次函数图象上，设k＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），判断反比例函数y＝的图象所在的象限，说明理由．
【分析】（1）把A（m，﹣1）代入y＝（m﹣1）x+m﹣2，即可求得m的值，然后根据待定系数法求得k的值；
（2）根据题意可以判断m﹣1的正负，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）一次函数的图象都经过点A（m，﹣1），
∴﹣1＝m（m﹣1）+m﹣2且m﹣1≠0，
∴m＝﹣1，
∴A（﹣1，﹣1），
∵反比例函数的图象都经过点A（﹣1，﹣1），
∴k＝1；
（2）∵点B（x1，y1），C（x2，y2）在该一次函数图象上，
∴
①﹣②得y1﹣y2＝（m﹣1）（x1﹣x2），
∵k＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），
∴k＝（m﹣1）（x1﹣x2）2，
∴当m＞1时，k＞0，反比例函数的图象在一三象限；当m＜1时，k＜0，反比例函数的图象在二四象限．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，有大正方形AOBC与小正方形CDEF，其中点A落在y轴上，点B落在x轴上，若反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过点E，则称满足条件的k值为两正方形的和谐值．已知反比例函数图象与AF交于点G，请解答下列各题．
（1）概念理解 若图中大正方形的边长为2，小正方形的边长为1，求这两个正方形的和谐值．
（2）性质探究 记图中两正方形面积分别为S1，S2，（S1＞S2），
求证：两个正方形的和谐值k＝S1﹣S2．
（3）性质应用 若图中大正方形的边长为6，点G恰好是AC的三等分点，求小正方形的边长．
【分析】（1）如图1，延长FE交x轴于点H，则PH⊥x轴，则四边形AOHF和四边形DBHE是矩形，求得AF＝OH，EH＝DB，得到E（3，1），于是得到结论；
（2）设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则同（1）可得，E（a+b，a﹣b），根据题意即可得到结论；
（3）①如图2，当AG＝AC时，此时，G（2，6），②如图3，当AG＝AC时，此时，G（4，6），k＝24，根据k＝S1﹣S2，代入数据即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，延长FE交x轴于点H，则PH⊥x轴，
则四边形AOHF和四边形DBHE是矩形，
∴AF＝OH，EH＝DB，
由题意得，AC＝BC＝2，CF＝CD＝1，
∴AF＝AC+CF＝3，BD＝BC﹣CD＝1，
即OH＝3，EH＝1，
∴E（3，1），
∴k＝3，
∴两个正方形的和谐值为3；
（2）证明：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
则同（1）可得，E（a+b，a﹣b），
∴k＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
∵S1＝a2，S2＝b2，S1﹣S2＝a2﹣b2，
∴k＝S1﹣S2；
（3）①如图2，当AG＝AC时，此时，G（2，6），
∴k＝12，
由（2）知k＝S1﹣S2，
∴小正方形的面积S2＝S1﹣12＝62﹣12＝24，
∴小正方形的边长为2，
②如图3，当AG＝AC时，此时，G（4，6），k＝24，
∵k＝S1﹣S2，
∴小正方形的面积S2＝S1﹣24＝62﹣24＝12，
∴小正方形的边长＝2，
综上所述，小正方形的边长为2或2．
24．（12分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”．
（1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD中，BC≠AB，BD⊥CD，AB＝3，BD＝4，求BC的长；
（2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；
（3）如图2，在△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝90°．在AB的垂直平分线上是否存在点P，使得以A，B，C，P为顶点的四边形为“准等边四边形”．若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据勾股定理计算BC的长；
（2）正确，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可得结论；
（3）有四种情况：作辅助线，将四边形分成两个三角形和一个四边形或两个三角形，相加可得结论．
【解答】解：（1）如图1，Rt△ACB中，∵BD＝4，CD＝AB＝3，
∴BC＝＝＝5．
（2）正确，理由是：
如图3，AB＝AD＝BC，AC⊥BD，
∴AO＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴▱ABCD是菱形；
（3）存在四种情况，
①如图3﹣1，四边形ABPC是“准等边四边形”，过C作CF⊥PE于F，则∠CFE＝90°，
∵EP是AB的垂直平分线，
∴∠AEF＝∠A＝90°，
∴四边形AEFC是矩形，
Rt△ABC中，AC＝BC＝，
∴BC＝＝＝2，
∴CF＝AE＝BE＝，
∵AB＝PC＝，
∴PF＝＝＝，
∴S四边形ABPC＝S△BEP+S矩形AEFC+S△CFP，
＝××（+）+×+××
＝++1+
＝．
②如图3﹣2，四边形APBC是“准等边四边形”，
∵AP＝BP＝AC＝＝AB，
∴△ABP是等边三角形，
∴S四边形ACBP＝S△APB+S△ABC＝×（）2+××＝+1；
③如图3﹣3，四边形ACBP是“准等边四边形”，
∵AP＝BP＝BC＝2，
∵PE是AB的垂直平分线，
∴PD⊥AB，E是AB的中点，
∴BE＝AB＝，
∴PE＝＝＝，
∴S四边形ACBP＝S△APB+S△ABC＝××+××＝+1；
④如图3﹣4，四边形ABPC是“准等边四边形”，过P作PF⊥AC于F，连接AP，
∵AB＝AC＝PB＝，
∴PE＝，
S四边形ABPC＝S△APB+S△APC＝××+××＝．
综上所述，满足条件的四边形的面积为：或或 或 ．
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