2022-2023学年浙江省宁波市鄞州区七年级（下）期中数学试卷(含解析)

这是一份2022-2023学年浙江省宁波市鄞州区七年级（下）期中数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年浙江省宁波市鄞州区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，本题有10小题，共30分）
1．下列各式中，属于二元一次方程的是（　　）
A．3x+7＝4y B．5x﹣π＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x﹣2xy＝6
2．下列计算正确的是（　　）
A．a3+a3＝a6 B．a3•a2＝a6 C．a3÷a＝a2 D．（﹣a3）2＝﹣a6
3．下列图形中，∠1与∠2不属于同位角的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知甲型流感病毒直径约为0.000000081米，把0.000000081用科学记数法表示为（　　）
A．8.1×10﹣7 B．8.1×10﹣8 C．8.1×10﹣9 D．﹣8.1×10﹣9
5．下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（　　）
A．x（a﹣b）＝ax﹣bx
B．6ab＝2a•3b
C．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x
D．a2﹣b2+b﹣a＝（a﹣b）（a+b﹣1）
6．如图所示，在下列四组条件中，能判定AB∥CD的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠ABD＝∠BDC
C．∠3＝∠4 D．∠BAD+∠ABC＝180°
7．宁波市出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费．小明乘坐这种出租车走了8km，付了23元；小红乘坐这种出租车走了13km，付了35元．设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，则下列方程组正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．下列结论正确的是（　　）
A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．两直线被第三条直线所截，同位角相等
C．不相交的两条直线叫做平行线
D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
9．已知方程组中的x，y互为相反数，则m的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．11 D．﹣11
10．聪明的你请思考下列问题，其中正确的有（　　）
①已知多项式x2+mx+4是完全平方式，则常数m＝4；
②若x＝22m﹣2，y＝3﹣4m，则用含x的代数式表示y为y＝﹣4x+3；
③若（1﹣2x）x+2＝1，则满足条件x的值有3个；
④若a2+b2＝53，ab＝14，则a+b的值为9；
⑤新运算“△”定义为（a，b）△（c，d）＝（ac+bd，ad+bc），如果对于任意数a，b都有（a，b）△（x，y）＝（a，b），则（x，y）＝（1，0）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，本题有6小题，共18分）
11．因式分解：2x3﹣8x＝　 　．
12．若2x+y﹣3＝0，则52x•5y＝　 　．
13．如图，若△DEF是由△ABC经过平移后得到，已知A，D之间的距离为1，CE＝2，则BF的长是 　 　．

14．已知a，b是常数，若化简（﹣x+a）（2x2+bx﹣3）的结果不含x的二次项，则2b﹣4a＝　 　．
15．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝15°，则∠2的度数是 　 　．

16．如图，长方形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，正方形AEHG，正方形EBKF和正方形NKCM都在它内部，且BK＞KC．记AE＝x，CM＝y，若x2+y2＝10，则长方形PFQD的面积是 　 　．

三、解答题（本题有7小题，共52分）
17．（1）解方程组：
①；
②．
（2）计算：
①﹣22﹣；
②（8x3y﹣4x2）÷（﹣2x）2
18．（1）（a﹣2）（a+2）+3（a+2）2﹣6a（a+2），其中a＝﹣1；
（2）已知x+y＝3，且xy＝1，求代数式（5﹣x）（5﹣y）的值．
19．在网格上，平移△ABC，并将△ABC的一个顶点A平移到点D处，
（1）请你作出平移后的图形△DEF；
（2）请求出△DEF的面积（每个网格是边长为1的正方形）．

20．如图，AC∥EF，∠1+∠2＝180°．
（1）AF与CD是否平行？请说明理由；
（2）若AC平分∠FAB，AC⊥EB于点C，∠3＝76°，求∠BCD的度数．

21．为了让我们的校园更加整洁，需要购买甲、乙两种类型的分类垃圾桶替换原来的垃圾桶，A，B，C，D四所学校所购买的数量和总价如表所示．

甲型垃圾桶数量（套）
乙型垃圾桶数量（套）
总价（元）
A
10
8
332
B
5
9
286
C
20
16
p
D
m
n
350
（1）请求出甲型垃圾桶、乙型垃圾桶的单价分别是每套多少元？
（2）求p，m，n的值．（注：每所学校甲、乙两种垃圾桶都有购买）
22．著名数学家笛卡尔创立了虚数的概念：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，数学上把形如a+bi（a，b为实数，且b≠0）的数叫作虚数，其中a叫作这个数的实部，b叫作这个数的虚部，它的运算与实数的运算类似．例如：（2﹣i）（5+3i）＝10+6i﹣5i﹣3i2＝10+（6﹣5）i﹣3×（﹣1）＝13+i．
根据上述信息，完成下列问题：
（1）填空：i3＝　 　；i4＝　 　；
（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）；
（3）计算：i+i2+i3+…+i2023．
23．已知点C在射线OA上．
（1）如图①，CD∥OE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；
（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）；
（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系．



参考答案
一、选择题（每题3分，本题有10小题，共30分）
1．下列各式中，属于二元一次方程的是（　　）
A．3x+7＝4y B．5x﹣π＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x﹣2xy＝6
【分析】利用二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程是二元一次方程判断即可．
解：A、3x+7＝4y是一元一次方程，
故符合题意；
B、5x﹣π＝0不是二元一次方程，
故不符合题意；
C、x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，
故不符合题意；
D、x﹣2xy＝6是二元二次方程，
故不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2．下列计算正确的是（　　）
A．a3+a3＝a6 B．a3•a2＝a6 C．a3÷a＝a2 D．（﹣a3）2＝﹣a6
【分析】分别根据合并同类项、幂的乘方法则、同底数幂的乘法及除法法则进行逐一解答．
解：A、由于a3和a3是同类项，可以合并，a3+a3＝2a3，原计算错误，故本选项不符合题意；
B、根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加可知a3•a2＝a5，原计算错误，故本选项不符合题意；
C、根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减可知a3÷a＝a2，原计算正确，故本选项符合题意；
D、根据幂的乘方的运算法则底数不变，指数相乘可知，（﹣a3）2＝a6，原计算错误，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘法与除法，合并同类项及幂的乘方的运算法则，熟知以上知识是解答此题的关键．
3．下列图形中，∠1与∠2不属于同位角的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据同位角的特征：两条直线被第三条直线所截形成的角中，两个角都在两条被截直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，由此判断即可．
解：根据同位角的特征得A、B、C是同位角，D不是同位角．
故选：D．
【点评】本题考查三线八角中的某两个角是不是同位角，同位角完全由两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别同位角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形．
4．已知甲型流感病毒直径约为0.000000081米，把0.000000081用科学记数法表示为（　　）
A．8.1×10﹣7 B．8.1×10﹣8 C．8.1×10﹣9 D．﹣8.1×10﹣9
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
解：0.000000081＝8.1×10﹣8．
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
5．下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（　　）
A．x（a﹣b）＝ax﹣bx
B．6ab＝2a•3b
C．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x
D．a2﹣b2+b﹣a＝（a﹣b）（a+b﹣1）
【分析】根据因式分解的定义和因式分解的方法逐个判断即可．
解：A．x（a﹣b）＝ax﹣bx，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．（2x+3）2＝4x2+12x+9，等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x，等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．a2﹣b2+b﹣a＝（a﹣b）（a+b﹣1），从左到右的变形属于因式分解且分解彻底，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
6．如图所示，在下列四组条件中，能判定AB∥CD的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠ABD＝∠BDC
C．∠3＝∠4 D．∠BAD+∠ABC＝180°
【分析】根据内错角相等两直线平行分别得出即可．
解：A、∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；
B、∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故此选项符合题意；
C、∵∠3＝∠4，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；
D、∵∠BAD+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，根据内错角相等两直线平行得出是解题关键．
7．宁波市出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费．小明乘坐这种出租车走了8km，付了23元；小红乘坐这种出租车走了13km，付了35元．设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，则下列方程组正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，由题意得等量关系：①起步价x元+超过3km后的费用＝23元；②起步价x元+超过3km后的费用＝35元，再列出方程组即可．
解：设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，
由题意得：．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
8．下列结论正确的是（　　）
A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．两直线被第三条直线所截，同位角相等
C．不相交的两条直线叫做平行线
D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
【分析】利用平行线的判定以及平行公理相交线等知识分别判断即可．
解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，符合题意；
B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误，不符合题意；
C、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，原说法错误，不符合题意；
D、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原说法错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的平行线的性质，涉及到平行公理及推论等知识，熟知以上知识是解题的关键．
9．已知方程组中的x，y互为相反数，则m的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．11 D．﹣11
【分析】①﹣②得出2x+2y＝2m+4，求出x+y＝m+2，根据互为相反数的两个数的和为0得出m+2＝0，再求出m即可．
解：，
①﹣②，得（4x+y）﹣（2x﹣yy）＝3m+3﹣（m﹣1），
整理得：2x+2y＝2m+4，
即x+y＝m+2，
∵x、y互为相反数，
∴x+y＝0，
∴m+2＝0，
解得：m＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能得出关于m的一元一次方程是解此题的关键．
10．聪明的你请思考下列问题，其中正确的有（　　）
①已知多项式x2+mx+4是完全平方式，则常数m＝4；
②若x＝22m﹣2，y＝3﹣4m，则用含x的代数式表示y为y＝﹣4x+3；
③若（1﹣2x）x+2＝1，则满足条件x的值有3个；
④若a2+b2＝53，ab＝14，则a+b的值为9；
⑤新运算“△”定义为（a，b）△（c，d）＝（ac+bd，ad+bc），如果对于任意数a，b都有（a，b）△（x，y）＝（a，b），则（x，y）＝（1，0）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据完全平方式确定常数m；
②先应用同底数幂的除法法则的逆运算，再用幂的乘方法则，最后等量代换；
③分三种情况分别计算；
④用配方的方法解决此题；
⑤根据新运算写出等式，然后分析确定y的值，进而确定x的值．
解：①∵x2+mx+4是完全平方式，
∴常数m＝±4，
∴不符合题意；
②∵x＝22m﹣2，y＝3﹣4m，
∴x＝，
∴4m＝4x．
∴y＝3﹣4m
＝3﹣4x，
∴符合题意；
③∵（1﹣2x）x+2＝1，
∴＜1＞当1﹣2x＝1时，x＝0，x+2＝2，
＜2＞当1﹣2x＝﹣1时，x＝1，x+2＝3，不合题意，
＜3＞当x+2＝0时，x＝2，1﹣2x≠0．
综上所述：满足条件x的值有2个，
∴不符合题意；
④∵a2+b2＝53，ab＝14，
∴a2+2ab+b2﹣2ab＝53，
∴（a+b）2﹣28＝53，
∴（a+b）2＝81，
∴a+b的值为±9，
∴不符合题意；
⑤∵（a，b）△（c，d）＝（ac+bd，ad+bc），
∴（a，b）△（x，y）
＝（ax+by）（ab+xy）
＝（a，b），
∴，
当y＝0时，上式成立，
∴x＝1，
∴符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂等考点的运算．
二、填空题（每题3分，本题有6小题，共18分）
11．因式分解：2x3﹣8x＝　2x（x+2）（x﹣2）　．
【分析】先提公因式2x，分解成2x（x2﹣4），而x2﹣4可利用平方差公式分解．
解：2x3﹣8x＝2x（x2﹣4）＝2x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：2x（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．
12．若2x+y﹣3＝0，则52x•5y＝　125　．
【分析】由已知条件得2x+y＝3，再利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
解：∵2x+y﹣3＝0，
∴2x+y＝3，
∴52x•5y
＝52x+y
＝53
＝125．
故答案为：125．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
13．如图，若△DEF是由△ABC经过平移后得到，已知A，D之间的距离为1，CE＝2，则BF的长是 　4　．

【分析】根据平移的性质，结合图形可直接求解．
解：观察图形可知：△DEF是由△ABC沿BC向右移动BE的长度后得到的，根据对应点所连的线段平行且相等，得BE＝AD＝CF＝1．
所以BF＝BE+CE+CF＝1+2+1＝4．
故答案为：4．
【点评】此题考查的是平移的性质，关键是利用了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
14．已知a，b是常数，若化简（﹣x+a）（2x2+bx﹣3）的结果不含x的二次项，则2b﹣4a＝　0　．
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合条件进行求解即可．
解：（﹣x+a）（2x2+bx﹣3）
＝﹣2x3﹣bx2+3x+2ax2+abx﹣3a
＝﹣2x3+（﹣b+2a）x2+（3+ab）x﹣3a，
∵结果不含x的二次项，
∴﹣b+2a＝0，
∴2b﹣4a
＝﹣2（﹣b+2a）
＝﹣2×0
＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
15．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝15°，则∠2的度数是 　30°　．

【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到∠1＝∠3＝∠4＝15°，进而得出∠2＝30°．
解：如图，分别延长EB、DB到F，G，

由于纸带对边平行，
∴∠1＝∠4＝15°，
∵纸带翻折，
∴∠3＝∠4＝15°，
∴∠DBF＝∠3+∠4＝30°，
∵CD∥BE，
∴∠2＝∠DBF＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查平行线的性质和折叠的性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，内错角相等．
16．如图，长方形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，正方形AEHG，正方形EBKF和正方形NKCM都在它内部，且BK＞KC．记AE＝x，CM＝y，若x2+y2＝10，则长方形PFQD的面积是 　cm2　．

【分析】根据图形中各个正方形边长之间的关系得出x﹣y＝﹣1，再利用x2+y2＝（x﹣y）2+2xy求出xy即可．
解：阴影部分是长为ycm，宽为xcm的长方形，因此面积为xycm2，
∵AB＝3cm，BC＝4cm，正方形AEHG，正方形EBKF，正方形NKCM，即AE＝xcm，CM＝ycm，
∴BK＝BC﹣KC＝4﹣y＝KF＝KP﹣PF＝3﹣x，
即x﹣y＝﹣1，
又∵x2+y2＝10＝（x﹣y）2+2xy，
∴1+2xy＝10，
即xy＝，
因此阴影部分的面积为cm2，
故答案为：cm2．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
三、解答题（本题有7小题，共52分）
17．（1）解方程组：
①；
②．
（2）计算：
①﹣22﹣；
②（8x3y﹣4x2）÷（﹣2x）2
【分析】（1）根据解二元一次方程组的步骤解方程组；
（2）①先算零指数幂、负整数指数幂、乘方运算，最后算加减；
②用多项式除以单项式法则计算．
解：（1）①，
把②代入①，得2（y+1）﹣y＝5，
解得y＝3，
把y＝3代入②得x＝4，
∴此方程组的解；
②原方程组可化为，
①×2﹣②×3，得x＝﹣6，
把x＝﹣6代入①，得y＝﹣16，
∴此方程组的解；
（2）①﹣22﹣
＝﹣4﹣1+9
＝4；
②（8x3y﹣4x2）÷（﹣2x）2
＝（8x3y﹣4x2）÷（4x2）
＝2xy﹣1．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组、多项式除以单项式、零指数幂、负整数指数幂，掌握运算法则和解二元一次方程组的步骤是解题关键．
18．（1）（a﹣2）（a+2）+3（a+2）2﹣6a（a+2），其中a＝﹣1；
（2）已知x+y＝3，且xy＝1，求代数式（5﹣x）（5﹣y）的值．
【分析】（1）原式利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则计算，再去括号，合并同类项即可化简，再将a的值代入即可求解；
（2）先根据多项式乘多项式法则计算，再提取公因式，最后将x+y，xy的值代入即可求解．
解：（1）原式＝a2﹣22+3（a2+4a+4）﹣（6a2+12a）
＝a2﹣4+3a2+12a+12﹣6a2﹣12a
＝﹣2a2+8，
当a＝﹣1时，原式＝﹣2×（﹣1）2+8＝6；
（2）（5﹣x）（5﹣y）
＝25﹣5y﹣5x+xy
＝25﹣5（x+y）+xy，
当x+y＝3，且xy＝1时，原式＝25﹣5×3+1＝11．
【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
19．在网格上，平移△ABC，并将△ABC的一个顶点A平移到点D处，
（1）请你作出平移后的图形△DEF；
（2）请求出△DEF的面积（每个网格是边长为1的正方形）．

【分析】（1）根据网格结构找出点B、C的对应点E、F的位置，然后与点D顺次连接即可；
（2）利用△DEF所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
解：（1）△DEF如图所示；


（2）由图可知，
S△DEF
＝3×4﹣×2×4﹣×2×3﹣×2×1，
＝12﹣4﹣3﹣1，
＝4．
【点评】本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
20．如图，AC∥EF，∠1+∠2＝180°．
（1）AF与CD是否平行？请说明理由；
（2）若AC平分∠FAB，AC⊥EB于点C，∠3＝76°，求∠BCD的度数．

【分析】（1）由已知可证得∠2＝∠FAC，根据平行线的判定得到FA∥CD，根据平行线的性质即可得到∠FAB＝∠BDC；
（2）根据角平分线的定义得到∠FAD＝2∠FAC，即∠FAD＝2∠2，由平行线的性质可求得∠2，再平行线的判定和性质定理求出∠ACB，继而求出∠BCD．
解：（1）AF∥CD，理由如下：
∵AC∥EF，
∴∠1+∠FAC＝180°，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠FAC＝∠2，
∴AF∥CD；
（3）∵AF∥CD，∠3＝76°，
∴∠FAB＝∠3＝76°，
∵AC 平分∠FAB，
∴∠FCA＝∠CAD＝38°，
∵AF∥CD
∴∠2＝∠FCA＝38°，
∵AC⊥EB，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣38°＝52°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能够正确掌握角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
21．为了让我们的校园更加整洁，需要购买甲、乙两种类型的分类垃圾桶替换原来的垃圾桶，A，B，C，D四所学校所购买的数量和总价如表所示．

甲型垃圾桶数量（套）
乙型垃圾桶数量（套）
总价（元）
A
10
8
332
B
5
9
286
C
20
16
p
D
m
n
350
（1）请求出甲型垃圾桶、乙型垃圾桶的单价分别是每套多少元？
（2）求p，m，n的值．（注：每所学校甲、乙两种垃圾桶都有购买）
【分析】（1）设甲型垃圾桶的单价是x元/套，乙型垃圾桶的单价是y元/套．根据图表中的甲型、乙型垃圾桶的数量和它们的总价列出方程组并解答；
（2）根据（1）求得的单价即可求得p，再根据图表中的数据列出关于m、n的二元一次方程，结合m、n的取值范围来求它们的值即可．
解：（1）设甲型垃圾桶的单价是x元/套，乙型垃圾桶的单价是y元/套．
依题意得：，
解得，
答：甲型垃圾桶的单价是14元/套，乙型垃圾桶的单价是24元/套；
（2）由题意得：p＝20×14+16×24＝664，
∵14m+24n＝350，
整理，得7m+12n＝175，
因为m、n都是正整数，
所以或．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程的应用，弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程（组）是解题的关键．
22．著名数学家笛卡尔创立了虚数的概念：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，数学上把形如a+bi（a，b为实数，且b≠0）的数叫作虚数，其中a叫作这个数的实部，b叫作这个数的虚部，它的运算与实数的运算类似．例如：（2﹣i）（5+3i）＝10+6i﹣5i﹣3i2＝10+（6﹣5）i﹣3×（﹣1）＝13+i．
根据上述信息，完成下列问题：
（1）填空：i3＝　﹣i　；i4＝　1　；
（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）；
（3）计算：i+i2+i3+…+i2023．
【分析】（1）根据i2＝﹣1进行计算即可；
（2）根据多项式的乘法进行计算即可；
（3）把i2＝﹣1代入，找出规律即可．
解：（1）i3＝﹣i；i4＝1．
故答案为：﹣i，1；
（2）（1+i）×（3﹣4i）
＝3﹣4i+3i﹣4i2
＝3﹣4i+3i+4
＝7﹣i；
（1）i+i2+i3+...+i2023
＝（i﹣1﹣i+1）+（i﹣1﹣i+1）...+（i﹣1﹣i+1）+i﹣1﹣i
＝﹣1．
【点评】本题考查的是实数的运算及数字的变化类，根据题意找出数字的变化规律是解题的关键．
23．已知点C在射线OA上．
（1）如图①，CD∥OE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；
（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）；
（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系．

【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE的度数；
（2）如图②，过O点作OF∥CD，根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO′E′的数量关系；
（3）由已知推出CP∥OB，得到∠AOB+∠PCO＝180°，结合角平分线的定义可推出∠OCD＝2∠PCO＝360°﹣2∠AOB，根据（2）∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣∠AOB，进而推出∠AOB＝∠BO′E′．
解：（1）∵CD∥OE，
∴∠AOE＝∠OCD＝120°，
∴∠BOE＝360°﹣∠AOE﹣∠AOB＝360°﹣90°﹣120°＝150°；
（2）∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣α．
证明：如图②，过O点作OF∥CD，
∵CD∥O′E′，
∴OF∥O′E′，
∴∠AOF＝180°﹣∠OCD，∠BOF＝∠E′O′O＝180°﹣∠BO′E′，
∴∠AOB＝∠AOF+∠BOF＝180°﹣∠OCD+180°﹣∠BO′E′＝360°﹣（∠OCD+∠BO′E′）＝α，
∴∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣α；
（3）∠AOB＝∠BO′E′．
证明：∵∠CPO′＝90°，
∴PO′⊥CP，
∵PO′⊥OB，
∴CP∥OB，
∴∠PCO+∠AOB＝180°，
∴2∠PCO＝360°﹣2∠AOB，
∵CP是∠OCD的平分线，
∴∠OCD＝2∠PCO＝360°﹣2∠AOB，
∵由（2）知，∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣α＝360°﹣∠AOB，
∴360°﹣2∠AOB+∠BO′E′＝360°﹣∠AOB，
∴∠AOB＝∠BO′E′．

【点评】此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出辅助线是解决问题的关键．