2022-2023学年浙江省宁波市鄞州区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省宁波市鄞州区七年级（下）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式中，属于二元一次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列图形中，与不属于同位角的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知甲型流感病毒直径约为米，把用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图所示，在下列四组条件中，能判定的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  宁波市出租车起步价所包含的路程为，超过的部分按每千米另收费小明乘坐这种出租车走了，付了元；小红乘坐这种出租车走了，付了元设这种出租车的起步价为元，超过后每千米收费元，则下列方程组正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  下列结论正确的是(    )

A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
B. 两直线被第三条直线所截，同位角相等
C. 不相交的两条直线叫做平行线
D. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行

9.  已知方程组中的，互为相反数，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  聪明的你请思考下列问题，其中正确的有(    )
已知多项式是完全平方式，则常数；
若，，则用含的代数式表示为；
若，则满足条件的值有个；
若，，则的值为；
新运算“”定义为，如果对于任意数，都有，则．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  因式分解：______．

12.  若，则 ______ ．

13.  如图，若是由经过平移后得到，已知，之间的距离为，，则的长是______ ．

14.  已知，是常数，若化简的结果不含的二次项，则 ______ ．

15.  如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，，则的度数是______．

16.  如图，长方形中，，，正方形，正方形和正方形都在它内部，且记，，若，则长方形的面积是______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解方程组：
；
．
计算：
；
 

18.  本小题分
，其中；
已知，且，求代数式的值．

19.  本小题分
在网格上，平移，并将的一个顶点平移到点处，

请你作出平移后的图形点、的对应点、；
请求出的面积每个网格是边长为的正方形．

20.  本小题分
如图，，．
与是否平行？请说明理由；
若平分，于点，，求的度数．

21.  本小题分
为了让我们的校园更加整洁，需要购买甲、乙两种类型的分类垃圾桶替换原来的垃圾桶，，，，四所学校所购买的数量和总价如表所示．

请求出甲型垃圾桶、乙型垃圾桶的单价分别是每套多少元？
求，，的值注：每所学校甲、乙两种垃圾桶都有购买

22.  本小题分
著名数学家笛卡尔创立了虚数的概念：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，数学上把形如为实数，且的数叫作虚数，其中叫作这个数的实部，叫作这个数的虚部，它的运算与实数的运算类似例如：．
根据上述信息，完成下列问题：
填空： ______ ； ______ ；
计算：；
计算：．

23.  本小题分
已知点在射线上．
如图，，若，，求的度数；
在中，将射线沿射线平移得如图，若，探究与的关系用含的代数式表示；
在中，过点作的垂线，与的平分线交于点如图，若，探究与的关系．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是一元一次方程，
故符合题意；
B、不是二元一次方程，
故不符合题意；
C、是一元二次方程，
故不符合题意；
D、是二元二次方程，
故不符合题意．
故选：．
利用二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的方程是二元一次方程判断即可．
此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、由于和是同类项，可以合并，，原计算错误，故本选项不符合题意；
B、根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加可知，原计算错误，故本选项不符合题意；
C、根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减可知，原计算正确，故本选项符合题意；
D、根据幂的乘方的运算法则底数不变，指数相乘可知，，原计算错误，故本选项不符合题意．
故选：．
分别根据合并同类项、幂的乘方法则、同底数幂的乘法及除法法则进行逐一解答．
本题考查的是同底数幂的乘法与除法，合并同类项及幂的乘方的运算法则，熟知以上知识是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据同位角的特征得、、是同位角，不是同位角．
故选：．
根据同位角的特征：两条直线被第三条直线所截形成的角中，两个角都在两条被截直线的同侧，并且在第三条直线截线的同旁，由此判断即可．
本题考查三线八角中的某两个角是不是同位角，同位角完全由两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别同位角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成““形．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.，等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.，等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.，从左到右的变形属于因式分解且分解彻底，故本选项符合题意．
故选：．
根据因式分解的定义和因式分解的方法逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，
内错角相等，两直线平行，故此选项错误；
B、，
内错角相等，两直线平行，故此选项正确；
C、，
内错角相等，两直线平行，故此选项错误；
D、，
内错角相等，两直线平行，故此选项错误．
故选：．
根据内错角相等两直线平行分别得出即可．
此题主要考查了平行线的判定，根据内错角相等两直线平行得出是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设这种出租车的起步价为元，超过后每千米收费元，
由题意得：．
故选：．
设这种出租车的起步价为元，超过后每千米收费元，由题意得等量关系：起步价元超过后的费用元；起步价元超过后的费用元，再列出方程组即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
 

8.【答案】 

【解析】解：、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，符合题意；
B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误，不符合题意；
C、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，原说法错误，不符合题意；
D、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原说法错误，不符合题意．
故选：．
利用平行线的判定以及平行公理相交线等知识分别判断即可．
本题考查的平行线的性质，涉及到平行公理及推论等知识，熟知以上知识是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，得，
整理得：，
即，
、互为相反数，
，
，
解得：，
故选：．
得出，求出，根据互为相反数的两个数的和为得出，再求出即可．
本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：是完全平方式，
常数，
不符合题意；
，，
，
．

，
符合题意；
，
当时，，，
当时，，，不合题意，
当时，，．
综上所述：满足条件的值有个，
不符合题意；
，，
，
，
，
的值为，
不符合题意；
，


，
，
当时，上式成立，
，
符合题意；
故选：．
根据完全平方式确定常数；
先应用同底数幂的除法法则的逆运算，再用幂的乘方法则，最后等量代换；
分三种情况分别计算；
用配方的方法解决此题；
根据新运算写出等式，然后分析确定的值，进而确定的值．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂等考点的运算．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
先提公因式，分解成，而可利用平方差公式分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．
【解答】
解：．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：，
，



．
故答案为：．
由已知条件得，再利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

13.【答案】 

【解析】解：观察图形可知：是由沿向右移动的长度后得到的，根据对应点所连的线段平行且相等，得．
所以．
故答案为：．
根据平移的性质，结合图形可直接求解．
此题考查的是平移的性质，关键是利用了平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
 

14.【答案】 

【解析】解：

，
结果不含的二次项，
，



．
故答案为：．
利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合条件进行求解即可．
本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，分别延长、到，，

由于纸带对边平行，
，
纸带翻折，
，
，
，
．
故答案为：．
利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到，进而得出．
本题考查平行线的性质和折叠的性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，内错角相等．
 

16.【答案】 

【解析】解：阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，
，，正方形，正方形，正方形，即，，
，
即，
又，
，
即，
因此阴影部分的面积为，
故答案为：．
根据图形中各个正方形边长之间的关系得出，再利用求出即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
 

17.【答案】解：，
把代入，得，
解得，
把代入得，
此方程组的解；
原方程组可化为，
，得，
把代入，得，
此方程组的解；


；


． 

【解析】根据解二元一次方程组的步骤解方程组；
先算零指数幂、负整数指数幂、乘方运算，最后算加减；
用多项式除以单项式法则计算．
本题主要考查解二元一次方程组、多项式除以单项式、零指数幂、负整数指数幂，掌握运算法则和解二元一次方程组的步骤是解题关键．
 

18.【答案】解：原式

，
当时，原式；


，
当，且时，原式． 

【解析】原式利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则计算，再去括号，合并同类项即可化简，再将的值代入即可求解；
先根据多项式乘多项式法则计算，再提取公因式，最后将，的值代入即可求解．
本题主要考查整式的混合运算化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
 

19.【答案】解：如图所示；

由图可知，，
，
． 

【解析】本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
根据网格结构找出点、的对应点、的位置，然后与点顺次连接即可；
利用所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
 

20.【答案】解：，理由如下：
，
，
，
，
；
，，
，
 平分，
，

，
，
，
． 

【解析】由已知可证得，根据平行线的判定得到，根据平行线的性质即可得到；
根据角平分线的定义得到，即，由平行线的性质可求得，再平行线的判定和性质定理求出，继而求出．
本题考查了平行线的性质和判定，能够正确掌握角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
 

21.【答案】解：设甲型垃圾桶的单价是元套，乙型垃圾桶的单价是元套．
依题意得：，
解得，
答：甲型垃圾桶的单价是元套，乙型垃圾桶的单价是元套；
由题意得：，
，
整理，得，
因为、都是正整数，
所以或． 

【解析】设甲型垃圾桶的单价是元套，乙型垃圾桶的单价是元套．根据图表中的甲型、乙型垃圾桶的数量和它们的总价列出方程组并解答；
根据求得的单价即可求得，再根据图表中的数据列出关于、的二元一次方程，结合、的取值范围来求它们的值即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程的应用，弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程组是解题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：；．
故答案为：，；



；


．
根据进行计算即可；
根据多项式的乘法进行计算即可；
把代入，找出规律即可．
本题考查的是实数的运算及数字的变化类，根据题意找出数字的变化规律是解题的关键．
 

23.【答案】解：，
，
；
．
证明：如图，过点作，
，
，
，，
，
；
．
证明：，
，
，
，
，
，
是的平分线，
，
由知，，
，
． 

【解析】此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解决问题的关键．
先根据平行线的性质得到的度数，再根据周角的定义即可求得的度数；
如图，过点作，根据平移的性质和平行线的判定和性质可得、的数量关系；
由已知推出，得到，结合角平分线的定义可推出，根据，进而推出．