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陕西省西安市西工大附中中考数学模试卷
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这是一份陕西省西安市西工大附中中考数学模试卷，共27页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．在3.5，﹣0.5，0，4这四个数中，绝对值最小的一个数是（ ）
A．3.5B．﹣0.5C．0D．4
2．函数y=中自变量x的取值范围为（ ）
A．x≥0B．x≥﹣2C．x≥2D．x≤﹣2
3．取1张红桃，2张黑桃扑克牌，洗匀后，从这3张牌中任取1张牌恰好是黑桃的概率是（ ）
A．B．C．D．1
4．小明在参加区运动会前刻苦进行100米跑训练，老师对他10次的训练成绩进行统计分析，判断他的成绩是否稳定，则老师需要知道他这10次成绩的（ ）
A．众数B．方差C．平均数D．频数
5．下列各式运算结果为x8的是（ ）
A．x4•x4B．（x4）4C．x16÷x2D．x4+x4
6．如图，△DEF与△ABC是位似图形，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ）
A．1：6B．1：5C．1：4D．1：2
7．下面图形中，不能折成无盖的正方体盒子的是（ ）
A．B．C．D．
8．下面的条形统计图描述了某车间工人日加工零件的情况，则下列说法正确的是（ ）
A．这些工人日加工零件数的众数是9，中位数是6
B．这些工人日加工零件数的众数是6，中位数是6
C．这些工人日加工零件数的众数是9，中位数是5.5
D．这些工人日加工零件数的众数是6，中位数是5.5
9．一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ）
A．2012B．2013C．2014D．2015
10．图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB=6，AC=2．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3），当点B滑动至与点O重合时运动结束． 在整个运动过程中，点C运动的路程是（ ）
A．4B．6C．4﹣2D．10﹣4
二．填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．计算：﹣2﹣（﹣3）= ．
12．因式分解：2x3﹣8x= ．
13．太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为 ．
14．假定甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间T的关系在平面直角坐标系中所示，如图，请结合图形和数据回答问题：甲到达终点时，乙离终点还有 米．
15．如图，已知：直线y=﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，矩形ABCD对称中心为M，双曲线y=（x＞0）正好经过C，M两点，则k= ．
16．如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且csα=，则线段CE的最大值为 ．
三．解答题（共72分）
17．已知：一次函数y=kx+b中，当自变量x=3时，函数值y=5；当x=﹣4时，y=﹣9．
（1）求这个一次函数解析式；
（2）解关于x的不等式kx+b≤7的解集．
18．如图，点B、E、F、C在一条直线上，AB=DE=10，AC=DF，BE=CF=CE．
（1）求证：AB∥DE；
（2）求EG的长．
19．四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．
（1）随机抽取一张卡片，求恰好抽到数字2的概率；
（2）小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则如图所示．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
20．如图，在正方形网络中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣2，0）、（﹣4，1），将△ABC绕原点O旋转180度得到△A1B1C1．结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△A1B1C1；
（2）画出一个△A2B2C2，使它分别与△ABC，△A1B1C1轴对轴（其中点A，B，C与点A2，B2，C2对应）；
（3）在（2）的条件下，若过点B的直线平分四边形ACC2A2的面积，请直接写出该直线的函数解析式．
21．如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若=，求cs∠DAB．
22．某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店．该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元/件．销售结束后，得知日销售量P（件）与销售时间x（天）之间有如下关系：P=﹣2x+80（1≤x≤30，且x为整数）；又知前20天的销售价格Q1（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q1=x+30（1≤x≤20，且x为整数），后10天的销售价格Q2（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q2=45（21≤x≤30，且x为整数）．
（1）试写出该商店前20天的日销售利润R1（元）和后10天的日销售利润R2（元）分别与销售时间x（天）之间的函数关系式；
（2）请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润．
注：销售利润=销售收入﹣购进成本．
23．在△ABC中，∠ACB=90°．经过点B的直线l（l不与直线AB重合）与直线BC的夹角等于∠ABC，分别过点C、点A作直线l的垂线，垂足分别为点D、点E．
（1）若∠ABC=45°，CD=1（如图），则AE的长为 ；
（2）写出线段AE、CD之间的数量关系，并加以证明；
（3）若直线CE、AB交于点F，，CD=4，求BD的长．
24．如图1，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，E是线段DM上一点，DE=1，且∠DBE=∠BMD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一点，且△PBE是以BE为一条直角边的直角三角形，请求出所有符合条件的P点的坐标；
（3）如图2，N为线段MD上一个动点，以N为等腰三角形顶角顶点，NA为腰构造等腰△NAG，且G点落在直线CM上，若在直线CM上满足条件的G点有且只有一个时，求点N的坐标．
2016年陕西省西安市西工大附中中考数学模试卷参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．在3.5，﹣0.5，0，4这四个数中，绝对值最小的一个数是（ ）
A．3.5B．﹣0.5C．0D．4
【考点】有理数大小比较；绝对值．
【分析】首先根据绝对值的含义和求法，求出每个数的绝对值各是多少；然后根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，判断出绝对值最小的一个数是多少即可．
【解答】解：|3.5|=3.5，|﹣0.5|=0.5，|0|=0，|4|=4，
因为0＜0.5＜3.5＜4，
所以在3.5，﹣0.5，0，4这四个数中，绝对值最小的一个数是0．
故选：C．
【点评】（1）此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
（2）此题还考查了绝对值的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零．
2．函数y=中自变量x的取值范围为（ ）
A．x≥0B．x≥﹣2C．x≥2D．x≤﹣2
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0即可列不等式求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，
∴x≥2，
故选：C．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3．取1张红桃，2张黑桃扑克牌，洗匀后，从这3张牌中任取1张牌恰好是黑桃的概率是（ ）
A．B．C．D．1
【考点】概率公式．
【专题】计算题．
【分析】直接根据概率公式求解．
【解答】解：从这3张牌中任取1张牌恰好是黑桃的概率=．
故选C．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
4．小明在参加区运动会前刻苦进行100米跑训练，老师对他10次的训练成绩进行统计分析，判断他的成绩是否稳定，则老师需要知道他这10次成绩的（ ）
A．众数B．方差C．平均数D．频数
【考点】统计量的选择．
【专题】应用题．
【分析】根据众数、平均数、频数、方差的概念分析．
【解答】解：众数、平均数是反映一组数据的集中趋势，而频数是数据出现的次数，只有方差是反映数据的波动大小的．故为了判断成绩是否稳定，需要知道的是方差．
故选B．
【点评】此题考查统计学的相关知识．注意：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．下列各式运算结果为x8的是（ ）
A．x4•x4B．（x4）4C．x16÷x2D．x4+x4
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；合并同类项法则，对各选项计算后利用排除法求解．
【解答】解：A、x4•x4=x8，故选项A正确；
B、（x4）4=x16，故选项B错误；
C、x16÷x2=x14，故选项C错误；
D、x4+x4=2x4，故选项D错误；
故选A．
【点评】本题考查同底数幂乘法法则，幂的乘方法则为，同底数幂除法法则，合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．如图，△DEF与△ABC是位似图形，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ）
A．1：6B．1：5C．1：4D．1：2
【考点】位似变换．
【专题】计算题．
【分析】根据两三角形为位似图形，且点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，求出两三角形的位似比，根据面积之比等于位似比的平方即可求出面积之比．
【解答】解：∵△DEF与△ABC是位似图形，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，
∴两图形的位似之比为1：2，
则△DEF与△ABC的面积比是1：4．
故选C．
【点评】此题考查了位似变换，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
7．下面图形中，不能折成无盖的正方体盒子的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】展开图折叠成几何体．
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【解答】解：A、折叠后缺少一个侧面，故不能折叠成无盖的正方体盒子；
B、C、D都可以折叠成一个无盖的正方体盒子．
故选A．
【点评】本题考查了展开图折叠成几何体．只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．
8．下面的条形统计图描述了某车间工人日加工零件的情况，则下列说法正确的是（ ）
A．这些工人日加工零件数的众数是9，中位数是6
B．这些工人日加工零件数的众数是6，中位数是6
C．这些工人日加工零件数的众数是9，中位数是5.5
D．这些工人日加工零件数的众数是6，中位数是5.5
【考点】条形统计图；中位数；众数．
【专题】图表型．
【分析】众数就是出现次数最多的数，中位数是大小处于中间位置的数，根据众数和中位数的概念求得即可．
【解答】解：在3到8这几个数中，6出现的次数最多，是9次，因而众数是6；
中位数是大小处于中间位置的数，共有38个数，中间位置的是第19个，与第20个的平均数，这两个分别是5和6，因而中位数是这两个数的平均数是5.5；
这些工人日加工零件数的众数是6，中位数是5． 5．
故选D．
【点评】本题主要考查了众数与中位数的概念和从统计图中获取信息的能力．
9．一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ）
A．2012B．2013C．2014D．2015
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】该纸链是5的倍数，剩下部分有12个，12=5×2+2，所以中间截去的是3+5n，从选项中数减3为5的倍数即得到答案．
【解答】解：由题意，可知中间截去的是5n+3（n为正整数），
由5n+3=2013，解得n=402，
其余选项求出的n不为正整数，则选项B正确．
故选B．
【点评】本题考查了图形的变化规律，从整体是5个不同颜色环的整数倍数，截去部分去3后为5的倍数，从而得到答案．
10．图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB=6，AC=2．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3），当点B滑动至与点O重合时运动结束． 在整个运动过程中，点C运动的路程是（ ）
A．4B．6C．4﹣2D．10﹣4
【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理；圆周角定理；弧长的计算．
【专题】压轴题；动点型．
【分析】由于在运动过程中，原点O始终在⊙G上，则弧AC的长保持不变，弧AC所对应的圆周角∠AOC保持不变，等于∠XOC，故点C在与x轴夹角为∠ABC的射线上运动．顶点C的运动轨迹应是一条线段，且点C移动到图中C2位置最远，然后又慢慢移动到C3结束，点C经过的路程应是线段C1C2+C2C3．
【解答】解：如图3，连接OG．
∵∠AOB是直角，G为AB中点，
∴GO=AB=半径，
∴原点O始终在⊙G上．
∵∠ACB=90°，AB=6，AC=2，∴BC=4．
连接OC．则∠AOC=∠ABC，∴tan∠AOC==，
∴点C在与x轴夹角为∠AOC的射线上运动．
如图4，C1C2=OC2﹣OC1=6﹣2=4；
如图5，C2C3=OC2﹣OC3=6﹣4；
∴总路径为：C1C2+C2C3=4+6﹣4=10﹣4．
故选：D．
【点评】主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．
二．填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．计算：﹣2﹣（﹣3）= 1 ．
【考点】有理数的减法．
【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．
【解答】解：﹣2﹣（﹣3），
=﹣2+3，
=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
12．因式分解：2x3﹣8x= 2x（x+2）（x﹣2） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解．
【分析】先提公因式2x，分解成2x（x2﹣4），而x2﹣4可利用平方差公式分解．
【解答】解：2x3﹣8x=2x（x2﹣4）=2x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：2x（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．
13．太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为 6.96×105 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】应用题．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．本题中696 000有6位整数，n=6﹣1=5．
【解答】解：696 000=6.96×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．假定甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间T的关系在平面直角坐标系中所示，如图，请结合图形和数据回答问题：甲到达终点时，乙离终点还有 4 米．
【考点】一次函数的应用．
【分析】根据图象可知乙到达终点时，横坐标t=12.5秒，纵坐标s=100，所以乙的速度为：100÷12.5=8（米/秒），甲到达终点时，乙离终点还有：100﹣12×8=4（米）．
【解答】解：∵乙到达终点时，横坐标t=12.5秒，纵坐标s=100，
∴乙的速度为：100÷12.5=8（米/秒），
甲到达终点时，乙离终点还有：100﹣12×8=4（米），
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
15．如图，已知：直线y=﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，矩形ABCD对称中心为M，双曲线y=（x＞0）正好经过C，M两点，则k= 4 ．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】根据一次函数的解析式y=﹣x+1得到A（3，0），B（0，1），求得OA=3，OB=1，过C作CE⊥y轴于E，由四边形ABCD是矩形，得到∠CBA=90°，推出△BCE∽△ABO，得到比例式=，设OC=x，则BE=3x，C（x，3x+1），由于矩形ABCD对称中心为M，得到M（x+，），根据反比例函数图象上点的坐标特征列方程x（3x+1）=（x+）（），解得x=1，求得C（1，4），即可得到结果．
【解答】解：在y=﹣x+1中，令x=0，得y=1，令y=0，x=3，
∴A（3，0），B（0，1），
∴OA=3，OB=1，
过C作CE⊥y轴于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CBA=90°，
∴∠CBE+∠OBA=∠OBA+∠BAO=90°，
∴∠CBE=∠BAO，
∵∠BEC=∠AOB=90°，
∴△BCE∽△ABO，
∴=，
设OC=x，则BE=3x，
∴C（x，3x+1），
∵矩形ABCD对称中心为M，
∴M（x+，），
∵双曲线y=（x＞0）正好经过C，M两点，
∴x（3x+1）=（x+）（），
解得：x=1，
∴C（1，4），
∴k=1×4=4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了矩形的性质，求直线与坐标轴的交点，相似三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且csα=，则线段CE的最大值为 6.4 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】计算题．
【分析】作AG⊥BC于G，如图，根据等腰三角形的性质得BG=CG，再利用余弦的定义计算出BG=8，则BC=2BG=16，设BD=x，则CD=16﹣x，证明△ABD∽△DCE，利用相似比可表示出CE=﹣x2+x，然后利用二次函数的性质求CE的最大值．
【解答】解：作AG⊥BC于G，如图，
∵AB=AC，
∴BG=CG，
∵∠ADE=∠B=α，
∴csB=csα==，
∴BG=×10=8，
∴BC=2BG=16，
设BD=x，则CD=16﹣x，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，即α+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠CDE=∠BAD，
而∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴=，即=，
∴CE=﹣x2+x
=﹣（x﹣8）2+6.4，
当x=8时，CE最大，最大值为6.4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了二次函数的性质．
三．解答题（共72分）
17．已知：一次函数y=kx+b中，当自变量x=3时，函数值y=5；当x=﹣4时，y=﹣9．
（1）求这个一次函数解析式；
（2）解关于x的不等式kx+b≤7的解集．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次不等式．
【专题】计算题．
【分析】（1）把两组对应值分别代入y=kx+b得到关于k、b的方法组，然后解方程组求出k和b，从而可确定一次函数解析式；
（2）解一元一次不等式2x﹣1≤7即可．
【解答】解：（1）根据题意得，解得，
所以一次函数解析式为y=2x﹣1；
（2）解2x﹣1≤7得x≤4．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
18．如图，点B、E、F、C在一条直线上，AB=DE=10，AC=DF，BE=CF=CE．
（1）求证：AB∥DE；
（2）求EG的长．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】计算题．
【分析】（1）由BE=CF，利用等式的性质得到BC=EF，利用SSS得到三角形ABC与三角形DEF全等，利用全等三角形对应角相等得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证；
（2）由BE=CE得到E为BC中点，再由GE与AB平行，利用平行线等分线段定理得到G为AC中点，即GE为中位线，利用中位线定理得到AB=2EG，即可求出EG的长．
【解答】解：（1）∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B=∠DEF，
∴AB∥DE；
（2）∵GE∥AB，E为BC中点，
∴G为AC中点，即GE为△ABC中位线，
∴EG=AB=5．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
19．四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．
（1）随机抽取一张卡片，求恰好抽到数字2的概率；
（2）小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则如图所示．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】（1）根据概率公式即可求解；
（2）利用列表法，求得小贝胜与小晶胜的概率，比较即可游戏是否公平．
【解答】解：（1）P（抽到数字2）==．
（2）公平．
列表：
由上表可以看出，可能出现的结果共有16种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足两位数不超过30的结果有8种．
所以P（小贝胜）=，P（小晶胜）=．所以游戏公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
20．如图，在正方形网络中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣2，0）、（﹣4，1），将△ABC绕原点O旋转180度得到△A1B1C1．结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△A1B1C1；
（2）画出一个△A2B2C2，使它分别与△ABC，△A1B1C1轴对轴（其中点A，B，C与点A2，B2，C2对应）；
（3）在（2）的条件下，若过点B的直线平分四边形ACC2A2的面积，请直接写出该直线的函数解析式．
【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．
【分析】（1）首先由旋转的性质求得对应点的坐标，然后画出图形即可；
（2）由轴对称图形的性质找出对应点的坐标，然后画出图形即可；
（3）分别画出三角形关于x轴对称和关于y轴对称的图形，然后再找出过点B平分四边形面积的直线，最后求得解析式即可．
【解答】解：（1）如图1所示：
（2）如图1所示：直线解解析式为y=0；
如图2所示：
经过点B和（0，2.5）的直线平分四边形ACC2A2的面积，
设直线的解析式为y=kx+b，
将（﹣2，0）和（0，2.5）代入得：，
解得：
直线的解析式为y=．
综上所述：直线的解析式为y=0或y=．
【点评】本题主要考查的是旋转变换、轴对称变换以及求一次函数的表达式，掌握旋转、轴对称的性质是解题的关键．
21．如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若=，求cs∠DAB．
【考点】切线的判定；角平分线的性质；勾股定理；解直角三角形．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）连接OC，推出∠DAC=∠CAB，∠OAC=∠OCA，求出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，推出OC⊥DC，根据切线的判定判断即可；
（2）连接BC，可证明△ACD∽△ABC，得出比例式，求出BC，求出圆的直径AB，再根据勾股定理得出CE，即可求出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB，
∵=，
∴令CD=3，AD=4，得AC=5，
∴=，
=，
∴BC=，
由勾股定理得AB=，
∴OC=，
∵OC∥AD，
∴=，
∴=，
解得AE=，
∴cs∠DAB===．
【点评】本题考查了切线的判定以及角平分线的定义、勾股定理和解直角三角形，是中学阶段的重点内容．
22．某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店．该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元/件．销售结束后，得知日销售量P（件）与销售时间x（天）之间有如下关系：P=﹣2x+80（1≤x≤30，且x为整数）；又知前20天的销售价格Q1（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q1=x+30（1≤x≤20，且x为整数），后10天的销售价格Q2（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q2=45（21≤x≤30，且x为整数）．
（1）试写出该商店前20天的日销售利润R1（元）和后10天的日销售利润R2（元）分别与销售时间x（天）之间的函数关系式；
（2）请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润．
注：销售利润=销售收入﹣购进成本．
【考点】二次函数的应用．
【专题】应用题；压轴题．
【分析】（1）运用营销问题中的基本等量关系：销售利润=日销售量×一件销售利润．一件销售利润=一件的销售价﹣一件的进价，建立函数关系式；
（2）分析函数关系式的类别及自变量取值范围求最大值；其中R1是二次函数，R2是一次函数．
【解答】解：（1）根据题意，得
R1=P（Q1﹣20）=（﹣2x+80）[（x+30）﹣20]，
=﹣x2+20x+800（1≤x≤20，且x为整数），
R2=P（Q2﹣20）=（﹣2x+80）（45﹣20），
=﹣50x+2000（21≤x≤30，且x为整数）；
（2）在1≤x≤20，且x为整数时，
∵R1=﹣（x﹣10）2+900，
∴当x=10时，R1的最大值为900，
在21≤x≤30，且x为整数时，
∵R2=﹣50x+2000，﹣50＜0，R2随x的增大而减小，
∴当x=21时，R2的最大值为950，
∵950＞900，
∴当x=21即在第21天时，日销售利润最大，最大值为950元．
【点评】本题需要反复读懂题意，根据营销问题中的基本等量关系建立函数关系式，根据时间段列出分段函数，再结合自变量取值范围分别求出两个函数的最大值，并进行比较，得出结论．
23．在△ABC中，∠ACB=90°．经过点B的直线l（l不与直线AB重合）与直线BC的夹角等于∠ABC，分别过点C、点A作直线l的垂线，垂足分别为点D、点E．
（1）若∠ABC=45°，CD=1（如图），则AE的长为 2 ；
（2）写出线段AE、CD之间的数量关系，并加以证明；
（3）若直线CE、AB交于点F，，CD=4，求BD的长．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）首先在直角三角形CDB中利用CD求得BC，然后在直角三角形ABC中求得AE即可；
（2）根据上题得到的结论猜想两条线段之间具有二倍关系，证得△GCD∽△GAE后即可证明猜想正确．
（3）分当点F在线段AB上时和点F在线段BA的延长线上时利用△AGH∽△AEB求得线段BD的长即可．
【解答】（1）解：
∵∠ABC=45°，
∴∠CBD=45°，
∵CD=1，
∴BC=，
∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，
AE=2．
（2）线段AE、CD之间的数量关系为AE=2CD．
证明：如图1，延长AC与直线l交于点G．
依题意，可得∠1=∠2．
∵∠ACB=90°，
∴∠3=∠4．
∴BA=BG．∴CA=CG．…
∵AE⊥l，CD⊥l，
∴CD∥AE．
∴△GCD∽△GAE．
∴．
∴AE=2CD．
（3）解：当点F在线段AB上时，如图2，
过点C作CG∥l交AB于点H，交AE于点G．
∴∠2=∠HCB．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠HCB．
∴CH=BH．
∵∠ACB=90°，
∴∠3+∠1=∠HCB+∠4=90°．
∴∠3=∠4．
∴CH=AH=BH．
∵CG∥l，
∴△FCH∽△FEB．
∴．
设CH=5x，BE=6x，则AB=10x．
∴在△AEB中，∠AEB=90°，AE=8x．
由（2）得，AE=2CD．
∵CD=4，
∴AE=8．
∴x=1．
∴AB=10，BE=6，CH=5．
∵CG∥l，
∴△AGH∽△AEB．
∴．
∴HG=3．…
∴CG=CH+HG=8．
∵CG∥l，CD∥AE，
∴四边形CDEG为平行四边形．
∴DE=CG=8．
∴BD=DE﹣BE=2．…
当点F在线段BA的延长线上时，如图3，
同理可得CH=5，GH=3，BE=6．
∴DE=CG=CH﹣HG=2．
∴BD=DE+BE=8．
∴BD=2或8．
【点评】本题考查了相似形综合知识，题目中还涉及到了相似三角形的判定与性质及解直角三角形的知识，难度较大，此类题目应重点掌握．
24．如图1，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，E是线段DM上一点，DE=1，且∠DBE=∠BMD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一点，且△PBE是以BE为一条直角边的直角三角形，请求出所有符合条件的P点的坐标；
（3）如图2，N为线段MD上一个动点，以N为等腰三角形顶角顶点，NA为腰构造等腰△NAG，且G点落在直线CM上，若在直线CM上满足条件的G点有且只有一个时，求点N的坐标．
【考点】二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
【专题】综合题．
【分析】（1）由∠DBE=∠BMD可得△BDE∽△MDB，然后根据相似三角形的性质可求出DB，从而得到点B的坐标，然后把点B的坐标代入抛物线的解析式，就可解决问题；
（2）可分点E和点B为直角顶点两种情况进行讨论：①点E为直角顶点，作EF⊥EB交x轴于点F，交抛物线于点P1、P2，如图1，易证△FDE∽△EDB，根据相似三角形的性质可求出DF的值，从而可求出点F的坐标，然后用待定系数法求出直线EF的解析式，再求出直线EF与抛物线的交点，就可解决问题；②点B为直角顶点，先求出BP3的解析式，再求出直线BP3与抛物线的交点，就可解决问题；
（3）作NG⊥MC于G，作CH⊥MD于H，如图2．设N（1，n），易得NG=MN=（4﹣n），NA2=22+n2=4+n2，由题可得NG=NA，由此即可得到关于n的方程，解这个方程就可解决问题．
【解答】解：（1）由题可知：M（1，4），
则有OD=1，DM=4．
∵∠DBE=∠BMD，∠BDE=∠MDB，
∴△BDE∽△MDB，
∴=，
∵DE=1，DM=4，
∴=，
解得：DB=2，
∴OB=OD+DB=3，
∴B（3，0）．
把点B（3，0）代入y=a（x﹣1）2+4，得
a（3﹣1）2+4=0，
解得：a=﹣1．
∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；
（2）①当∠PEB=90°时，
作EF⊥EB交x轴于点F，交抛物线于点P1、P2，如图1，
则有∠FEB=∠FED+∠DEB=90°．
∵∠FED+∠EFD=90°，
∴∠EFD=∠DEB．
∵∠FDE=∠EDB=90°，
∴△FDE∽△EDB，
∴=，
∴=，
解得：DF=，
∴OF=OD﹣DF=1﹣=，
∴F（，0）．
设直线EF的解析式为y=kx+b，
则有，
解得：，
∴直线EF的解析式为：y=2x﹣1．
联立，
解得：或，
∴P1（2，3），P2（﹣2，﹣5）；
②当∠PBE=90°时，
可设直线BP3的解析式为：y=2x+n，
把B（3，0）代入y=2x+n，得
6+n=0，
解得：n=﹣6，
∴直线BP3的解析式为y=2x﹣6，
联立，
解得：或，
∴P3（﹣3，﹣12）．
综上所述：符合条件的P点的坐标为P1（2，3），P2（﹣2，﹣5），P3（﹣3，﹣12）；
（3）作NG⊥MC于G，作CH⊥MD于H，如图2．
则有∠MGN=∠MHC=90°．
设N（1，n），
当x=0时，y=3，点C（0，3）．
∵M（1，4），
∴CH=MH=1，
∴∠CMH=∠MCH=45°，
∴NG=MN=（4﹣n）．
在Rt△NAD中，
∵AD=DB=2，DN=n，
∴NA2=22+n2=4+n2．
当直线CM上满足条件的G点有且只有一个时，有NG=NA，
∴（4﹣n）2=4+n2
整理得：n2+8n﹣8=0，
解得：n1=﹣4+2，n2=﹣4﹣2（舍负），
∴N（1，﹣4+2）．
【点评】本题主要考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、勾股定理、求直线与抛物线的交点坐标等知识，用到了分类讨论的思想，利用NG=NA则是解决第（3）小题的关键．
2
2
3
6
2
（2，2）
（2，2）
（2，3）
（2，6）
2
（2，2）
（2，2）
（2，3）
（2，6）
3
（3，2）
（3，2）
（3，3）
（3，6）
6
（6，2）
（6，2）
（6，3）
（6，6）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．在3.5，﹣0.5，0，4这四个数中，绝对值最小的一个数是（ ）
A．3.5B．﹣0.5C．0D．4
2．函数y=中自变量x的取值范围为（ ）
A．x≥0B．x≥﹣2C．x≥2D．x≤﹣2
3．取1张红桃，2张黑桃扑克牌，洗匀后，从这3张牌中任取1张牌恰好是黑桃的概率是（ ）
A．B．C．D．1
4．小明在参加区运动会前刻苦进行100米跑训练，老师对他10次的训练成绩进行统计分析，判断他的成绩是否稳定，则老师需要知道他这10次成绩的（ ）
A．众数B．方差C．平均数D．频数
5．下列各式运算结果为x8的是（ ）
A．x4•x4B．（x4）4C．x16÷x2D．x4+x4
6．如图，△DEF与△ABC是位似图形，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ）
A．1：6B．1：5C．1：4D．1：2
7．下面图形中，不能折成无盖的正方体盒子的是（ ）
A．B．C．D．
8．下面的条形统计图描述了某车间工人日加工零件的情况，则下列说法正确的是（ ）
A．这些工人日加工零件数的众数是9，中位数是6
B．这些工人日加工零件数的众数是6，中位数是6
C．这些工人日加工零件数的众数是9，中位数是5.5
D．这些工人日加工零件数的众数是6，中位数是5.5
9．一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ）
A．2012B．2013C．2014D．2015
10．图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB=6，AC=2．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3），当点B滑动至与点O重合时运动结束． 在整个运动过程中，点C运动的路程是（ ）
A．4B．6C．4﹣2D．10﹣4
二．填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．计算：﹣2﹣（﹣3）= ．
12．因式分解：2x3﹣8x= ．
13．太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为 ．
14．假定甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间T的关系在平面直角坐标系中所示，如图，请结合图形和数据回答问题：甲到达终点时，乙离终点还有 米．
15．如图，已知：直线y=﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，矩形ABCD对称中心为M，双曲线y=（x＞0）正好经过C，M两点，则k= ．
16．如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且csα=，则线段CE的最大值为 ．
三．解答题（共72分）
17．已知：一次函数y=kx+b中，当自变量x=3时，函数值y=5；当x=﹣4时，y=﹣9．
（1）求这个一次函数解析式；
（2）解关于x的不等式kx+b≤7的解集．
18．如图，点B、E、F、C在一条直线上，AB=DE=10，AC=DF，BE=CF=CE．
（1）求证：AB∥DE；
（2）求EG的长．
19．四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．
（1）随机抽取一张卡片，求恰好抽到数字2的概率；
（2）小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则如图所示．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
20．如图，在正方形网络中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣2，0）、（﹣4，1），将△ABC绕原点O旋转180度得到△A1B1C1．结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△A1B1C1；
（2）画出一个△A2B2C2，使它分别与△ABC，△A1B1C1轴对轴（其中点A，B，C与点A2，B2，C2对应）；
（3）在（2）的条件下，若过点B的直线平分四边形ACC2A2的面积，请直接写出该直线的函数解析式．
21．如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若=，求cs∠DAB．
22．某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店．该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元/件．销售结束后，得知日销售量P（件）与销售时间x（天）之间有如下关系：P=﹣2x+80（1≤x≤30，且x为整数）；又知前20天的销售价格Q1（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q1=x+30（1≤x≤20，且x为整数），后10天的销售价格Q2（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q2=45（21≤x≤30，且x为整数）．
（1）试写出该商店前20天的日销售利润R1（元）和后10天的日销售利润R2（元）分别与销售时间x（天）之间的函数关系式；
（2）请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润．
注：销售利润=销售收入﹣购进成本．
23．在△ABC中，∠ACB=90°．经过点B的直线l（l不与直线AB重合）与直线BC的夹角等于∠ABC，分别过点C、点A作直线l的垂线，垂足分别为点D、点E．
（1）若∠ABC=45°，CD=1（如图），则AE的长为 ；
（2）写出线段AE、CD之间的数量关系，并加以证明；
（3）若直线CE、AB交于点F，，CD=4，求BD的长．
24．如图1，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，E是线段DM上一点，DE=1，且∠DBE=∠BMD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一点，且△PBE是以BE为一条直角边的直角三角形，请求出所有符合条件的P点的坐标；
（3）如图2，N为线段MD上一个动点，以N为等腰三角形顶角顶点，NA为腰构造等腰△NAG，且G点落在直线CM上，若在直线CM上满足条件的G点有且只有一个时，求点N的坐标．
2016年陕西省西安市西工大附中中考数学模试卷参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．在3.5，﹣0.5，0，4这四个数中，绝对值最小的一个数是（ ）
A．3.5B．﹣0.5C．0D．4
【考点】有理数大小比较；绝对值．
【分析】首先根据绝对值的含义和求法，求出每个数的绝对值各是多少；然后根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，判断出绝对值最小的一个数是多少即可．
【解答】解：|3.5|=3.5，|﹣0.5|=0.5，|0|=0，|4|=4，
因为0＜0.5＜3.5＜4，
所以在3.5，﹣0.5，0，4这四个数中，绝对值最小的一个数是0．
故选：C．
【点评】（1）此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
（2）此题还考查了绝对值的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零．
2．函数y=中自变量x的取值范围为（ ）
A．x≥0B．x≥﹣2C．x≥2D．x≤﹣2
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0即可列不等式求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，
∴x≥2，
故选：C．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3．取1张红桃，2张黑桃扑克牌，洗匀后，从这3张牌中任取1张牌恰好是黑桃的概率是（ ）
A．B．C．D．1
【考点】概率公式．
【专题】计算题．
【分析】直接根据概率公式求解．
【解答】解：从这3张牌中任取1张牌恰好是黑桃的概率=．
故选C．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
4．小明在参加区运动会前刻苦进行100米跑训练，老师对他10次的训练成绩进行统计分析，判断他的成绩是否稳定，则老师需要知道他这10次成绩的（ ）
A．众数B．方差C．平均数D．频数
【考点】统计量的选择．
【专题】应用题．
【分析】根据众数、平均数、频数、方差的概念分析．
【解答】解：众数、平均数是反映一组数据的集中趋势，而频数是数据出现的次数，只有方差是反映数据的波动大小的．故为了判断成绩是否稳定，需要知道的是方差．
故选B．
【点评】此题考查统计学的相关知识．注意：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．下列各式运算结果为x8的是（ ）
A．x4•x4B．（x4）4C．x16÷x2D．x4+x4
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；合并同类项法则，对各选项计算后利用排除法求解．
【解答】解：A、x4•x4=x8，故选项A正确；
B、（x4）4=x16，故选项B错误；
C、x16÷x2=x14，故选项C错误；
D、x4+x4=2x4，故选项D错误；
故选A．
【点评】本题考查同底数幂乘法法则，幂的乘方法则为，同底数幂除法法则，合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．如图，△DEF与△ABC是位似图形，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ）
A．1：6B．1：5C．1：4D．1：2
【考点】位似变换．
【专题】计算题．
【分析】根据两三角形为位似图形，且点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，求出两三角形的位似比，根据面积之比等于位似比的平方即可求出面积之比．
【解答】解：∵△DEF与△ABC是位似图形，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，
∴两图形的位似之比为1：2，
则△DEF与△ABC的面积比是1：4．
故选C．
【点评】此题考查了位似变换，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
7．下面图形中，不能折成无盖的正方体盒子的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】展开图折叠成几何体．
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【解答】解：A、折叠后缺少一个侧面，故不能折叠成无盖的正方体盒子；
B、C、D都可以折叠成一个无盖的正方体盒子．
故选A．
【点评】本题考查了展开图折叠成几何体．只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．
8．下面的条形统计图描述了某车间工人日加工零件的情况，则下列说法正确的是（ ）
A．这些工人日加工零件数的众数是9，中位数是6
B．这些工人日加工零件数的众数是6，中位数是6
C．这些工人日加工零件数的众数是9，中位数是5.5
D．这些工人日加工零件数的众数是6，中位数是5.5
【考点】条形统计图；中位数；众数．
【专题】图表型．
【分析】众数就是出现次数最多的数，中位数是大小处于中间位置的数，根据众数和中位数的概念求得即可．
【解答】解：在3到8这几个数中，6出现的次数最多，是9次，因而众数是6；
中位数是大小处于中间位置的数，共有38个数，中间位置的是第19个，与第20个的平均数，这两个分别是5和6，因而中位数是这两个数的平均数是5.5；
这些工人日加工零件数的众数是6，中位数是5． 5．
故选D．
【点评】本题主要考查了众数与中位数的概念和从统计图中获取信息的能力．
9．一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ）
A．2012B．2013C．2014D．2015
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】该纸链是5的倍数，剩下部分有12个，12=5×2+2，所以中间截去的是3+5n，从选项中数减3为5的倍数即得到答案．
【解答】解：由题意，可知中间截去的是5n+3（n为正整数），
由5n+3=2013，解得n=402，
其余选项求出的n不为正整数，则选项B正确．
故选B．
【点评】本题考查了图形的变化规律，从整体是5个不同颜色环的整数倍数，截去部分去3后为5的倍数，从而得到答案．
10．图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB=6，AC=2．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3），当点B滑动至与点O重合时运动结束． 在整个运动过程中，点C运动的路程是（ ）
A．4B．6C．4﹣2D．10﹣4
【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理；圆周角定理；弧长的计算．
【专题】压轴题；动点型．
【分析】由于在运动过程中，原点O始终在⊙G上，则弧AC的长保持不变，弧AC所对应的圆周角∠AOC保持不变，等于∠XOC，故点C在与x轴夹角为∠ABC的射线上运动．顶点C的运动轨迹应是一条线段，且点C移动到图中C2位置最远，然后又慢慢移动到C3结束，点C经过的路程应是线段C1C2+C2C3．
【解答】解：如图3，连接OG．
∵∠AOB是直角，G为AB中点，
∴GO=AB=半径，
∴原点O始终在⊙G上．
∵∠ACB=90°，AB=6，AC=2，∴BC=4．
连接OC．则∠AOC=∠ABC，∴tan∠AOC==，
∴点C在与x轴夹角为∠AOC的射线上运动．
如图4，C1C2=OC2﹣OC1=6﹣2=4；
如图5，C2C3=OC2﹣OC3=6﹣4；
∴总路径为：C1C2+C2C3=4+6﹣4=10﹣4．
故选：D．
【点评】主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．
二．填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．计算：﹣2﹣（﹣3）= 1 ．
【考点】有理数的减法．
【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．
【解答】解：﹣2﹣（﹣3），
=﹣2+3，
=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
12．因式分解：2x3﹣8x= 2x（x+2）（x﹣2） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解．
【分析】先提公因式2x，分解成2x（x2﹣4），而x2﹣4可利用平方差公式分解．
【解答】解：2x3﹣8x=2x（x2﹣4）=2x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：2x（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．
13．太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为 6.96×105 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】应用题．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．本题中696 000有6位整数，n=6﹣1=5．
【解答】解：696 000=6.96×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．假定甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间T的关系在平面直角坐标系中所示，如图，请结合图形和数据回答问题：甲到达终点时，乙离终点还有 4 米．
【考点】一次函数的应用．
【分析】根据图象可知乙到达终点时，横坐标t=12.5秒，纵坐标s=100，所以乙的速度为：100÷12.5=8（米/秒），甲到达终点时，乙离终点还有：100﹣12×8=4（米）．
【解答】解：∵乙到达终点时，横坐标t=12.5秒，纵坐标s=100，
∴乙的速度为：100÷12.5=8（米/秒），
甲到达终点时，乙离终点还有：100﹣12×8=4（米），
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
15．如图，已知：直线y=﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，矩形ABCD对称中心为M，双曲线y=（x＞0）正好经过C，M两点，则k= 4 ．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】根据一次函数的解析式y=﹣x+1得到A（3，0），B（0，1），求得OA=3，OB=1，过C作CE⊥y轴于E，由四边形ABCD是矩形，得到∠CBA=90°，推出△BCE∽△ABO，得到比例式=，设OC=x，则BE=3x，C（x，3x+1），由于矩形ABCD对称中心为M，得到M（x+，），根据反比例函数图象上点的坐标特征列方程x（3x+1）=（x+）（），解得x=1，求得C（1，4），即可得到结果．
【解答】解：在y=﹣x+1中，令x=0，得y=1，令y=0，x=3，
∴A（3，0），B（0，1），
∴OA=3，OB=1，
过C作CE⊥y轴于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CBA=90°，
∴∠CBE+∠OBA=∠OBA+∠BAO=90°，
∴∠CBE=∠BAO，
∵∠BEC=∠AOB=90°，
∴△BCE∽△ABO，
∴=，
设OC=x，则BE=3x，
∴C（x，3x+1），
∵矩形ABCD对称中心为M，
∴M（x+，），
∵双曲线y=（x＞0）正好经过C，M两点，
∴x（3x+1）=（x+）（），
解得：x=1，
∴C（1，4），
∴k=1×4=4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了矩形的性质，求直线与坐标轴的交点，相似三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且csα=，则线段CE的最大值为 6.4 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】计算题．
【分析】作AG⊥BC于G，如图，根据等腰三角形的性质得BG=CG，再利用余弦的定义计算出BG=8，则BC=2BG=16，设BD=x，则CD=16﹣x，证明△ABD∽△DCE，利用相似比可表示出CE=﹣x2+x，然后利用二次函数的性质求CE的最大值．
【解答】解：作AG⊥BC于G，如图，
∵AB=AC，
∴BG=CG，
∵∠ADE=∠B=α，
∴csB=csα==，
∴BG=×10=8，
∴BC=2BG=16，
设BD=x，则CD=16﹣x，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，即α+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠CDE=∠BAD，
而∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴=，即=，
∴CE=﹣x2+x
=﹣（x﹣8）2+6.4，
当x=8时，CE最大，最大值为6.4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了二次函数的性质．
三．解答题（共72分）
17．已知：一次函数y=kx+b中，当自变量x=3时，函数值y=5；当x=﹣4时，y=﹣9．
（1）求这个一次函数解析式；
（2）解关于x的不等式kx+b≤7的解集．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次不等式．
【专题】计算题．
【分析】（1）把两组对应值分别代入y=kx+b得到关于k、b的方法组，然后解方程组求出k和b，从而可确定一次函数解析式；
（2）解一元一次不等式2x﹣1≤7即可．
【解答】解：（1）根据题意得，解得，
所以一次函数解析式为y=2x﹣1；
（2）解2x﹣1≤7得x≤4．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
18．如图，点B、E、F、C在一条直线上，AB=DE=10，AC=DF，BE=CF=CE．
（1）求证：AB∥DE；
（2）求EG的长．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】计算题．
【分析】（1）由BE=CF，利用等式的性质得到BC=EF，利用SSS得到三角形ABC与三角形DEF全等，利用全等三角形对应角相等得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证；
（2）由BE=CE得到E为BC中点，再由GE与AB平行，利用平行线等分线段定理得到G为AC中点，即GE为中位线，利用中位线定理得到AB=2EG，即可求出EG的长．
【解答】解：（1）∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B=∠DEF，
∴AB∥DE；
（2）∵GE∥AB，E为BC中点，
∴G为AC中点，即GE为△ABC中位线，
∴EG=AB=5．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
19．四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．
（1）随机抽取一张卡片，求恰好抽到数字2的概率；
（2）小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则如图所示．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】（1）根据概率公式即可求解；
（2）利用列表法，求得小贝胜与小晶胜的概率，比较即可游戏是否公平．
【解答】解：（1）P（抽到数字2）==．
（2）公平．
列表：
由上表可以看出，可能出现的结果共有16种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足两位数不超过30的结果有8种．
所以P（小贝胜）=，P（小晶胜）=．所以游戏公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
20．如图，在正方形网络中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣2，0）、（﹣4，1），将△ABC绕原点O旋转180度得到△A1B1C1．结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△A1B1C1；
（2）画出一个△A2B2C2，使它分别与△ABC，△A1B1C1轴对轴（其中点A，B，C与点A2，B2，C2对应）；
（3）在（2）的条件下，若过点B的直线平分四边形ACC2A2的面积，请直接写出该直线的函数解析式．
【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．
【分析】（1）首先由旋转的性质求得对应点的坐标，然后画出图形即可；
（2）由轴对称图形的性质找出对应点的坐标，然后画出图形即可；
（3）分别画出三角形关于x轴对称和关于y轴对称的图形，然后再找出过点B平分四边形面积的直线，最后求得解析式即可．
【解答】解：（1）如图1所示：
（2）如图1所示：直线解解析式为y=0；
如图2所示：
经过点B和（0，2.5）的直线平分四边形ACC2A2的面积，
设直线的解析式为y=kx+b，
将（﹣2，0）和（0，2.5）代入得：，
解得：
直线的解析式为y=．
综上所述：直线的解析式为y=0或y=．
【点评】本题主要考查的是旋转变换、轴对称变换以及求一次函数的表达式，掌握旋转、轴对称的性质是解题的关键．
21．如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若=，求cs∠DAB．
【考点】切线的判定；角平分线的性质；勾股定理；解直角三角形．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）连接OC，推出∠DAC=∠CAB，∠OAC=∠OCA，求出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，推出OC⊥DC，根据切线的判定判断即可；
（2）连接BC，可证明△ACD∽△ABC，得出比例式，求出BC，求出圆的直径AB，再根据勾股定理得出CE，即可求出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB，
∵=，
∴令CD=3，AD=4，得AC=5，
∴=，
=，
∴BC=，
由勾股定理得AB=，
∴OC=，
∵OC∥AD，
∴=，
∴=，
解得AE=，
∴cs∠DAB===．
【点评】本题考查了切线的判定以及角平分线的定义、勾股定理和解直角三角形，是中学阶段的重点内容．
22．某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店．该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元/件．销售结束后，得知日销售量P（件）与销售时间x（天）之间有如下关系：P=﹣2x+80（1≤x≤30，且x为整数）；又知前20天的销售价格Q1（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q1=x+30（1≤x≤20，且x为整数），后10天的销售价格Q2（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q2=45（21≤x≤30，且x为整数）．
（1）试写出该商店前20天的日销售利润R1（元）和后10天的日销售利润R2（元）分别与销售时间x（天）之间的函数关系式；
（2）请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润．
注：销售利润=销售收入﹣购进成本．
【考点】二次函数的应用．
【专题】应用题；压轴题．
【分析】（1）运用营销问题中的基本等量关系：销售利润=日销售量×一件销售利润．一件销售利润=一件的销售价﹣一件的进价，建立函数关系式；
（2）分析函数关系式的类别及自变量取值范围求最大值；其中R1是二次函数，R2是一次函数．
【解答】解：（1）根据题意，得
R1=P（Q1﹣20）=（﹣2x+80）[（x+30）﹣20]，
=﹣x2+20x+800（1≤x≤20，且x为整数），
R2=P（Q2﹣20）=（﹣2x+80）（45﹣20），
=﹣50x+2000（21≤x≤30，且x为整数）；
（2）在1≤x≤20，且x为整数时，
∵R1=﹣（x﹣10）2+900，
∴当x=10时，R1的最大值为900，
在21≤x≤30，且x为整数时，
∵R2=﹣50x+2000，﹣50＜0，R2随x的增大而减小，
∴当x=21时，R2的最大值为950，
∵950＞900，
∴当x=21即在第21天时，日销售利润最大，最大值为950元．
【点评】本题需要反复读懂题意，根据营销问题中的基本等量关系建立函数关系式，根据时间段列出分段函数，再结合自变量取值范围分别求出两个函数的最大值，并进行比较，得出结论．
23．在△ABC中，∠ACB=90°．经过点B的直线l（l不与直线AB重合）与直线BC的夹角等于∠ABC，分别过点C、点A作直线l的垂线，垂足分别为点D、点E．
（1）若∠ABC=45°，CD=1（如图），则AE的长为 2 ；
（2）写出线段AE、CD之间的数量关系，并加以证明；
（3）若直线CE、AB交于点F，，CD=4，求BD的长．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）首先在直角三角形CDB中利用CD求得BC，然后在直角三角形ABC中求得AE即可；
（2）根据上题得到的结论猜想两条线段之间具有二倍关系，证得△GCD∽△GAE后即可证明猜想正确．
（3）分当点F在线段AB上时和点F在线段BA的延长线上时利用△AGH∽△AEB求得线段BD的长即可．
【解答】（1）解：
∵∠ABC=45°，
∴∠CBD=45°，
∵CD=1，
∴BC=，
∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，
AE=2．
（2）线段AE、CD之间的数量关系为AE=2CD．
证明：如图1，延长AC与直线l交于点G．
依题意，可得∠1=∠2．
∵∠ACB=90°，
∴∠3=∠4．
∴BA=BG．∴CA=CG．…
∵AE⊥l，CD⊥l，
∴CD∥AE．
∴△GCD∽△GAE．
∴．
∴AE=2CD．
（3）解：当点F在线段AB上时，如图2，
过点C作CG∥l交AB于点H，交AE于点G．
∴∠2=∠HCB．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠HCB．
∴CH=BH．
∵∠ACB=90°，
∴∠3+∠1=∠HCB+∠4=90°．
∴∠3=∠4．
∴CH=AH=BH．
∵CG∥l，
∴△FCH∽△FEB．
∴．
设CH=5x，BE=6x，则AB=10x．
∴在△AEB中，∠AEB=90°，AE=8x．
由（2）得，AE=2CD．
∵CD=4，
∴AE=8．
∴x=1．
∴AB=10，BE=6，CH=5．
∵CG∥l，
∴△AGH∽△AEB．
∴．
∴HG=3．…
∴CG=CH+HG=8．
∵CG∥l，CD∥AE，
∴四边形CDEG为平行四边形．
∴DE=CG=8．
∴BD=DE﹣BE=2．…
当点F在线段BA的延长线上时，如图3，
同理可得CH=5，GH=3，BE=6．
∴DE=CG=CH﹣HG=2．
∴BD=DE+BE=8．
∴BD=2或8．
【点评】本题考查了相似形综合知识，题目中还涉及到了相似三角形的判定与性质及解直角三角形的知识，难度较大，此类题目应重点掌握．
24．如图1，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，E是线段DM上一点，DE=1，且∠DBE=∠BMD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一点，且△PBE是以BE为一条直角边的直角三角形，请求出所有符合条件的P点的坐标；
（3）如图2，N为线段MD上一个动点，以N为等腰三角形顶角顶点，NA为腰构造等腰△NAG，且G点落在直线CM上，若在直线CM上满足条件的G点有且只有一个时，求点N的坐标．
【考点】二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
【专题】综合题．
【分析】（1）由∠DBE=∠BMD可得△BDE∽△MDB，然后根据相似三角形的性质可求出DB，从而得到点B的坐标，然后把点B的坐标代入抛物线的解析式，就可解决问题；
（2）可分点E和点B为直角顶点两种情况进行讨论：①点E为直角顶点，作EF⊥EB交x轴于点F，交抛物线于点P1、P2，如图1，易证△FDE∽△EDB，根据相似三角形的性质可求出DF的值，从而可求出点F的坐标，然后用待定系数法求出直线EF的解析式，再求出直线EF与抛物线的交点，就可解决问题；②点B为直角顶点，先求出BP3的解析式，再求出直线BP3与抛物线的交点，就可解决问题；
（3）作NG⊥MC于G，作CH⊥MD于H，如图2．设N（1，n），易得NG=MN=（4﹣n），NA2=22+n2=4+n2，由题可得NG=NA，由此即可得到关于n的方程，解这个方程就可解决问题．
【解答】解：（1）由题可知：M（1，4），
则有OD=1，DM=4．
∵∠DBE=∠BMD，∠BDE=∠MDB，
∴△BDE∽△MDB，
∴=，
∵DE=1，DM=4，
∴=，
解得：DB=2，
∴OB=OD+DB=3，
∴B（3，0）．
把点B（3，0）代入y=a（x﹣1）2+4，得
a（3﹣1）2+4=0，
解得：a=﹣1．
∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；
（2）①当∠PEB=90°时，
作EF⊥EB交x轴于点F，交抛物线于点P1、P2，如图1，
则有∠FEB=∠FED+∠DEB=90°．
∵∠FED+∠EFD=90°，
∴∠EFD=∠DEB．
∵∠FDE=∠EDB=90°，
∴△FDE∽△EDB，
∴=，
∴=，
解得：DF=，
∴OF=OD﹣DF=1﹣=，
∴F（，0）．
设直线EF的解析式为y=kx+b，
则有，
解得：，
∴直线EF的解析式为：y=2x﹣1．
联立，
解得：或，
∴P1（2，3），P2（﹣2，﹣5）；
②当∠PBE=90°时，
可设直线BP3的解析式为：y=2x+n，
把B（3，0）代入y=2x+n，得
6+n=0，
解得：n=﹣6，
∴直线BP3的解析式为y=2x﹣6，
联立，
解得：或，
∴P3（﹣3，﹣12）．
综上所述：符合条件的P点的坐标为P1（2，3），P2（﹣2，﹣5），P3（﹣3，﹣12）；
（3）作NG⊥MC于G，作CH⊥MD于H，如图2．
则有∠MGN=∠MHC=90°．
设N（1，n），
当x=0时，y=3，点C（0，3）．
∵M（1，4），
∴CH=MH=1，
∴∠CMH=∠MCH=45°，
∴NG=MN=（4﹣n）．
在Rt△NAD中，
∵AD=DB=2，DN=n，
∴NA2=22+n2=4+n2．
当直线CM上满足条件的G点有且只有一个时，有NG=NA，
∴（4﹣n）2=4+n2
整理得：n2+8n﹣8=0，
解得：n1=﹣4+2，n2=﹣4﹣2（舍负），
∴N（1，﹣4+2）．
【点评】本题主要考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、勾股定理、求直线与抛物线的交点坐标等知识，用到了分类讨论的思想，利用NG=NA则是解决第（3）小题的关键．
2
2
3
6
2
（2，2）
（2，2）
（2，3）
（2，6）
2
（2，2）
（2，2）
（2，3）
（2，6）
3
（3，2）
（3，2）
（3，3）
（3，6）
6
（6，2）
（6，2）
（6，3）
（6，6）
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