高中数学人教版新课标A选修1-1第一章 常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词课后测评

含有一个量词的命题的否定

[A组　学业达标]

1．下列命题中为全称命题的是(　　)

A．过直线外一点有一条直线和已知直线平行

B．矩形都有外接圆

C．存在一个实数与它的相反数的和为0

D．0没有倒数

解析：命题“矩形都有外接圆”可改写为“每一个矩形都有外接圆”，是全称命题．故选B.

答案：B

2．下列命题中为特称命题的是(　　)

A．所有的整数都是有理数

B．三角形的内角和都是180°

C．有些三角形是等腰三角形

D．正方形都是菱形

解析：A，B，D为全称命题，而C含有存在量词“有些”，故为特称命题．

答案：C

3．命题“∃x0∈R,2x0<或x>x0”的否定是(　　)

A．∃x0∈R,2x0≥或x≤x0

B．∀x∈R,2x≥或x2≤x

C．∀x∈R,2x≥且x2≤x

D．∃x0∈R,2x0≥且x≤x0

解析：原命题为特称命题，其否定为全称命题，应选C.

答案：C

4．下列四个命题中的真命题为(　　)

A．若sin A＝sin B，则A＝B

B．∀x∈R，都有x2＋1>0

C．若lg x2＝0，则x＝1

D．∃x0∈Z，使1<4x0<3

解析：A中，若sin A＝sin B，不一定有A＝B，故A为假命题，B显然是真命题；C中，若lg x2＝0，则x2＝1，解得x＝±1，故C为假命题；D中，解1<4x<3得<x<，故不存在这样的x∈Z，故D为假命题．

答案：B

5．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　)

A．a≥4　　　　　　 B．a≤4

C．a≥5  D．a≤5

解析：当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈[1,2]．因为y＝x2在[1,2]上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4⇒/ a≥5，a≥5⇒a≥4，故选C.

答案：C

6．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号)

①正方形的四条边相等；

②有两个角相等的三角形是等腰三角形；

③正数的平方根不等于0；

④至少有一个正整数是偶数．

解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”，是全称命题；④是特称命题．

答案：①②③　④

7．命题p：∃x0∈R，x＋2x0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定是綈p：____________，它是________命题(填“真”或“假”)．

解析：∵x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥0恒成立，∴命题p是假命题．

答案：特称命题　假　∀x∈R，x2＋2x＋5≥0　真

8．若命题“∃x0∈R，使得x＋(1－a)x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是________．

解析：由题意可知，Δ＝(1－a)2－4＝(a－3)(a＋1)>0，解得a<－1或a>3.

答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)

9．判断下列命题的真假，并说明理由．

(1)∀x∈R，都有x2－x＋1>；

(2)∃x0∈R使sin x0＋cos x0＝2；

(3)∀x，y∈N，都有(x－y)∈N；

(4)∃x0，y0∈Z，使x0＋y0＝3.

解析：(1)x2－x＋1>⇔x2－x＋>0，由于Δ＝1－4×＝－<0，∴不等式x2－x＋1>的解集是R，∴该命题是真命题．

(2)∵sin x0＋cos x0＝sin，

∴－≤sin x0＋cos x0≤<2，

∴该命题是假命题．

(3)当x＝2，y＝4时，x－y＝－2∉N，所以该命题是假命题．

(4)当x0＝0，y0＝3时，x0＋y0＝3，所以该命题是真命题．

10．已知命题p：∀a∈(0，b](b∈R且b>0)，函数f(x)＝sin的周期不大于4π.

(1)写出綈p；

(2)当綈p是假命题时，求实数b的最大值．

解析：(1)綈p：∃a0∈(0，b](b∈R且b>0)，函数f(x)＝sin的周期大于4π.

(2)因为綈p是假命题，所以p是真命题，所以∀a∈(0，b]，≤4π恒成立，解得a≤2，所以b≤2，所以实数b的最大值是2.

[B组　能力提升]

11．已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x0∈R，x＝1－x.则下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧q　　　　　　　 B．(綈p)∧q

C．p∧(綈q)  D．(綈p)∧(綈q)

解析：由20＝30知，p为假命题；令h(x)＝x3＋x2－1，则h(0)＝－1<0，h(1)＝1>0，∴方程x3＋x2－1＝0在(0,1)内有解，∴q为真命题，∴p∧q，p∧(綈q)，(綈p)∧(綈q)均为假命题，(綈p)∧q为真命题，故选B.

答案：B

12．命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,4]  B．[0,4]

C．(－∞，0]∪[4，＋∞)  D．(－∞，0)∪(4，＋∞)

解析：当a＝0时，不等式恒成立；

当a≠0时，要使不等式恒成立，

则有即

解得0<a≤4.

综上，0≤a≤4，则命题p：0≤a≤4，

所以綈p：a<0或a>4.

答案：D

13．命题“∀x∈R，x2－2x＋4≤0”的否定为____________________________________．

解析：根据命题的否定的概念，可得命题“∀x∈R，x2－2x＋4≤0”的否定为“∃x0∈R，x－2x0＋4>0”．

答案：∃x0∈R，x－2x0＋4>0

14．已知f(x)＝x2，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．

解析：因为当x1∈[－1,3]时，f(x1)∈[0,9]；当x2∈[0,2]时，g(x2)∈.由题意知只需－m≤0，即符合题意，即m≥.

答案：

15．若“∃x0∈，使得2x－λx0＋1<0成立”是假命题，求实数λ的取值范围．

解析：若“∃x0∈，使得2x－λx0＋1<0成立”是假命题，则∀x∈，使得2x2－λx＋1≥0成立等价于∀x∈，λ≤＝2x＋，2x＋≥2＝2，当且仅当x＝∈时等号成立，所以λ的取值范围为(－∞，2]．

16．已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“∃x0∈R，使得x＋4x0＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．

解析：若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由∃x0∈R，使x＋4x0＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e,4]．