2021学年1.1命题及其关系测试题

命题

[A组　学业达标]

1．给出下列语句：

①三角函数难道不是函数吗？

②和为有理数的两个数均为有理数．

③一条直线与一个平面不是平行就是相交．

④作△A′B′C′≌△ABC.

⑤这是一棵大树．

⑥求证是无理数．

⑦二次函数的图象太美啦！

⑧4是集合{1,2,3,4}中的元素．

其中命题的个数为(　　)

A．3　　　　　　　 B．4

C．6  D．7

解析：命题是指可以判断真假的陈述句，所以②③⑧是命题；①是反问句，不是命题；④⑥是祈使句，不是命题；⑤“大树”没有界定标准，不能判断真假，不是命题；⑦是感叹句，不是命题．

答案：A

2．下列语句是命题且为真命题的是(　　)

A．求证是无理数

B．若x∈R，则x2＋4x＋4≥0

C．若x＋y和xy都是有理数，则x，y都是有理数

D．60x＋9>4

解析：选项A：是祈使句，不是命题；选项B：对任意x，x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0都成立，是命题，且为真命题；选项C：＋(－)和×(－)都是有理数，但和－都是无理数，故是命题且为假命题；选项D：不是命题，因为无法判断其真假．

答案：B

3．下列命题中，为真命题的是(　　)

A．若x2＝1，则x＝1

B．若一个球的半径变为原来的2倍，则其体积变为原来的8倍

C．若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等

D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切

解析：若x2＝1，则x＝±1，故A中命题是假命题；由球的体积公式可知B中命题为真命题；C中命题为假命题，如“3,3,3”和“2,3,4”的平均数相等，但标准差显然不相等；圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝<1，故直线与圆相交，所以D中命题为假命题．

答案：B

4．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是(　　)

A．这个四边形的对角线互相平分

B．这个四边形的对角线互相垂直

C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直

D．这个四边形是平行四边形

解析：命题可改为“若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直．”故选C.

答案：C

5．下列命题中真命题的个数为(　　)

①面积相等的两个三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则a＋c>b＋c；④矩形的对角线互相垂直．

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：①错；②错，若xy＝0，则x，y至少有一个为0，而未必|x|＋|y|＝0；③对，不等式两边同时加上同一个常数，不等号方向不变；④错．故选A.

答案：A

6．命题“偶函数的图象关于y轴对称”写成“若p，则q”的形式为_________．

答案：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称

7．下列语句：

①三角形的内角和为π；

②0是最小的偶数吗？

③2不等于3；

④若两直线不平行，则它们相交．

其中，不是命题的序号为________，真命题的序号为________．

答案：②　①③

8．命题“函数y＝2x＋1是增函数”的条件是________，结论是________．

答案：函数y＝2x＋1　y是增函数

9．命题：3mx2＋mx＋1>0恒成立是真命题，求实数m的取值范围．

解析：“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．

当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；

当m>0，且Δ＝m2－12m<0，

即0<m<12时，3mx2＋mx＋1>0恒成立，

所以0<m<12满足题意．

综上所述，知0≤m<12.

[B组　能力提升]

10．给出下列命题：

p1：若α是锐角，则cos α>0；

p2：若cos α>0，则α是锐角；

p3：若sin 2α>0，则cos α>0；

p4：若tan α>0，则sin 2α>0.

其中真命题为(　　)

A．p1，p2　　　　　 B．p2，p3

C．p1，p4  D．p3，p4

解析：若α是锐角，则cos α>0，p1为真命题，排除B，D；若cos α>0，则α不一定是锐角，例如cos(－)＝>0，p2为假命题，排除A.故选C.

答案：C

11．设有不同的直线m，n和不同的平面α，β.下列四个命题中，正确的是(　　)

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β

C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β

D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α

解析：m与n可以相交，所以A不正确；B不正确；若α⊥β，则α中仍有不与β垂直的直线，C不正确；若α⊥β，则在α中可作与β垂直的直线n，又m⊥β，则m∥n，又m⊄α，所以m∥α，D正确．

答案：D

12．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)”的条件p：________，结论q：________________.

它是________命题(填“真”或“假”)．

解析：a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．

答案：a>0　二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)　真

13．下列命题是真命题的是________(填序号)．

①空集是任何一个集合的真子集；

②函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；

③若f(x)>M(M为常数)，则函数y＝f(x)的最小值为M；

④若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝的定义域为[0,1)．

解析：空集是任何一个非空集合的真子集，故①是假命题；函数y＝2x(x∈N)的图象是一群孤立的点，故②是假命题；若f(x)>M(M为常数)，则函数y＝f(x)的最小值一定不为M，故③是假命题；若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝中的x应满足解得0≤x<1，则g(x)的定义域为[0,1)，故④是真命题．

答案：④

14．把下列命题改写成“如果p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)两个周长相等的三角形面积相等；

(2)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；

(3)当m>1时，x2－2x＋m＝0无实根；

(4)当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.

解析：(1)如果两个三角形周长相等，则这两个三角形面积相等，假命题．

(2)已知x，y为正整数，如果y＝x＋1，则y＝3，x＝2，假命题．

(3)如果m>1，则x2－2x＋m＝0无实根，真命题．

(4)如果abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0，假命题．

15．已知命题p：方程x2－2x－a＝0没有实数根；命题q：不等式x2－ax＋4>0对一切实数x恒成立．若命题p和q都是真命题，求实数a的取值范围．

解析：当命题p为真命题时，应有4＋4a<0，解得a<－1；

命题q是真命题时，应有a2－16<0，解得－4<a<4.

所以当命题p和q都是真命题时，a应满足即－4<a<－1，

因此，实数a的取值范围是(－4，－1)．