高中人教版新课标A第一章 常用逻辑用语综合与测试当堂达标检测题

四种命题间的相互关系

 [A组　学业达标]

1．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是(　　)

A．若a≠－b，则|a|≠|b|

B．若a＝－b，则|a|≠|b|

C．若|a|≠|b|，则a≠－b

D．若|a|＝|b|，则a＝－b

解析：原命题的条件是a＝－b，把它作为逆命题的结论；原命题的结论是|a|＝|b|，把它作为逆命题的条件，即得逆命题“若|a|＝|b|，则a＝－b”，故选D.

答案：D

2．命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是(　　)

A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1

B．若－1<x<1，则x2<1

C．若x>1或x<－1，则x2>1

D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1

解析：注意：“<”的否定是“≥”而不是“>”．

∵“－1<x<1”的否定为“x≤－1或x≥1”，“x2<1”的否定为“x2≥1”，故此命题的逆否命题是：

若x≥1或x≤－1，则x2≥1，故选D.

答案：D

3．下列判断中不正确的是(　　)

A．命题“若A∩B＝B，则A∪B＝A”的逆否命题为真命题

B．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题

C．“已知a，b，m∈R，若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题

D．“若x∈N*，则(x－1)2>0”是假命题

解析：逐个写出命题，作出判断，再对照每个选项的判断，一致的是正确的，不一致的是不正确的．A中，逆否命题“若A∪B ≠A，则A∩B≠B”是真命题，正确；B中，否命题“不是矩形的四边形的两条对角线不相等”是假命题，正确；C中，逆命题“已知a，b，m∈R，若a<b，则am2<bm2”是假命题．

∴C错误．D中，∵x＝1时，(1－1)2＝0，所以是假命题，正确．

答案：C

4．命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(　　)

A．0　　　　　　　 B．2

C．3  D．4

解析：原命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”为假命题；

逆命题“若ac2>bc2，则a>b(a，b，c∈R)”为真命题；

否命题“若a≤b，则ac2≤bc2(a，b，c∈R)”为真命题；

逆否命题“若ac2≤bc2，则a≤b(a，b，c∈R)”为假命题．

答案：B

5．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是(　　)

A．能被3整除的整数，一定能被6整除

B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除

C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除

D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除

解析：由于逆否命题与原命题等价，故选B.

答案：B

6．命题“若x>0，则x2>0”的否命题是________命题(填“真”或“假”)．

解析：其否命题为“若x≤0，则x2≤0”，是假命题．

答案：假

7．下列命题：

①“等边三角形三内角都为60°”的逆命题；

②“若k>0，则x2＋2x－k＝0有实根”的逆否命题；

③“全等三角形的面积相等”的否命题；

④“若ab≠0，则a≠0”的否命题．

其中真命题的序号为________．

解析：①逆命题“三内角都为60°的三角形为等边三角形”，真命题；②逆否命题“若x2＋2x－k＝0没有实根，则k≤0”，令Δ＝4＋4k<0，得k<－1，满足k≤0，∴是真命题；③否命题“不全等的三角形的面积不相等”，是假命题；④否命题“若ab＝0，则a＝0”是假命题，故只有①②是真命题．

答案：①②

8．命题“若x＝3且y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是________；否命题是________，逆否命题是________．

解析：逆命题为把原命题的条件和结论对调，否命题是把原命题的条件和结论都否定，逆否命题是把原命题的条件和结论对调，然后再加以否定．

答案：若x＋y＝8，则x＝3且y＝5

若x≠3或y≠5，则x＋y≠8

若x＋y≠8，则x≠3或y≠5

9．已知命题：若m>2，则方程x2＋2x＋3m＝0无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．

解析：逆命题：若方程x2＋2x＋3m＝0无实根，则m>2，假命题．

否命题：若m≤2，则方程x2＋2x＋3m＝0有实根，假命题．

逆否命题：若方程x2＋2x＋3m＝0有实根，则m≤2，真命题．

10．判断命题“若x2＋x－2m＝0无实数根，则m≤0”的真假，并证明你的结论．

解析：真命题．证明如下：该命题的逆否命题为“若m>0，则x2＋x－2m＝0有实根”．

∵m>0，∴Δ＝1＋8m>0，

∴方程x2＋x－2m＝0有实根．

∴“若m>0，则x2＋x－2m＝0有实根”为真命题．

又∵原命题与它的逆否命题同真假．

∴“若x2＋x－2m＝0无实根，则m≤0”为真命题．

[B组　能力提升]

11．下列命题中，真命题是(　　)

A．命题“若|a|>b，则a>b”

B．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题

C．命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题

D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”

解析：当a＝－4，b＝3时，|a|>b成立，但a>b不成立，故选项A为假命题；选项B中，逆命题为“若|a|＝|b|，则a＝b”为假命题；选项C中，否命题为“当x≠2时，x2－5x＋6≠0”，为假命题；选项D是真命题．

答案：D

12．原命题为：“若α＋β≠，则sin α≠cos β”，则下列说法正确的是(　　)

A．与逆命题同为假命题

B．与否命题同为假命题

C．与否命题同为真命题

D．与逆否命题同为假命题

解析：原命题为假命题，故逆否命题为假命题．

否命题：“若α＋β＝，则sin α＝cos β ”为真命题．

逆命题与否命题互为逆否命题，它们同真假．

因此逆命题为真命题．

故选D.

答案：D

13．下列四个命题：

①一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；

②等差数列{an}中，a1＝2，a1，a3，a4成等比数列，则公差为－；

③已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为5＋2；

④在△ABC中，若sin2A<sin2B＋sin2C，则△ABC为锐角三角形．

其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)

解析：①一个命题的逆命题与其否命题为等价命题，故正确；②等差数列{an}中，a1＝2，a1，a3，a4成等比数列，则公差为－或0，故错误；③已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋＝＋＝5＋＋≥5＋2，故正确；④在△ABC中，若sin2A<sin2B＋sin2C，可推出a2<b2＋c2，A为锐角，但不能得出是锐角三角形，故错误．故答案为①③.

答案：①③

14．已知命题“若1<x<2，则m－1<x<m＋1”的逆否命题是真命题，则实数m的取值范围是________．

解析：∵原命题与逆否命题真假性相同，

∴原命题为真命题，即{x|1<x<2}⊆{x|m－1<x<m＋1}，

∴⇒1≤m≤2.

答案：[1,2]

15．给出两个命题：

命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅；

命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．

甲、乙中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围．

解析：对于甲有：Δ＝(a－1)2－4a2<0⇒a>或a<－1；

对于乙有：2a2－a>1⇒a>1或a<－.

∵甲、乙中有且只有一个是真命题，

∴当甲真乙假时⇒<a≤1；

当甲假乙真时⇒－1≤a<－.

综合得a∈∪.

16．求证：若a2＋2ab＋b2＋2a＋2b－3≠0，则a＋b≠1.

证明：构造命题p：若a2＋2ab＋b2＋2a＋2b－3≠0，则a＋b≠1.

其逆否命题为：若a＋b＝1，

则a2＋2ab＋b2＋2a＋2b－3＝0，

下面证明逆否命题为真命题．

因为a＋b＝1，

所以a2＋2ab＋b2＋2a＋2b－3＝(a＋b)2＋2(a＋b)－3＝12＋2－3＝0.

即逆否命题成立，所以原命题为真命题．