2020-2021学年1.3简单的逻辑联结词课堂检测

非（not）

[A组　学业达标]

1．已知命题p：对顶角相等，命题q：27是3的倍数，则p∧q表示(　　)

A．对顶角相等或27是3的倍数

B．对顶角相等

C．27是3的倍数

D．对顶角相等且27是3的倍数

解析：p∧q表示对顶角相等且27是3的倍数，故选D.答案：D

2．下列命题是“p∨q”形式的是(　　)

A．6≥6

B．3是奇数且3是质数

C.是无理数

D．3是6和9的约数

解析：6≥6⇔6>6或6＝6，所以A是“p∨q”形式的命题；B和D是“p∧q”形式的命题；C不包含任何逻辑联结词，所以B，C，D不正确，故选A.

答案：A

3．“p是真命题”是“p∧q为真命题”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：p是真命题p∧q为真命题，p∧q为真命题⇒p是真命题．故选B.

答案：B

4．已知命题p：若x>0，则ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧q　　　　　　 B．p∧(綈q)

C．(綈p)∧q  D．(綈p)∧(綈q)

解析：因为x>0时，x＋1>1，ln(x＋1)>0，所以p是真命题．取a＝－1，b＝－2，则－1>－2，(－1)2<(－2)2，所以q是假命题．即p和綈q是真命题，因此，p∧q是假命题，p∧(綈q)是真命题，(綈p)∧q是假命题，(綈p)∧(綈q)是假命题，故选B.

答案：B

5．已知命题p：在△ABC中，“C>B”是“sin C>sin B”的充分不必要条件；命题q：“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是(　　)

A．p真q假  B．p假q真

C．“p∨q”为假  D．“p∧q”为真

解析：在△ABC中，C>B等价于c>b，根据正弦定理＝可得，sin C>sin B，所以“C>B”是“sin C>sin B”的充分条件；反过来，在△ABC中，若“sin C>sin B”，则由正弦定理＝可得，c>b，于是C>B，则“C>B”是“sin C>sin B”的必要条件，故在△ABC中，“C>B”是“sin C>sin B”的充要条件，即命题p是假命题；若c＝0，则当满足a>b时，ac2>bc2不成立，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，故命题q是假命题．综上所述，可知“p∨q”为假命题，故选C.

答案：C

6．有以下四个命题：

①直线a平行于直线b；

②直线a平行于直线b或直线a平行于直线c；

③直线a平行于直线b且直线a平行于直线c；

④a2＋1≥1.

其中是“p∨q”形式的命题的序号为________，“p∧q”形式的命题的序号为________．

解析：①是简单命题；②是p∨q形式，其中p：直线a平行于直线b；q：直线a平行于直线c；③是p∧q的形式，其中p：直线a平行于直线b；q：直线a平行于直线c；④是p∨q形式，其中p：a2＋1>1，q：a2＋1＝1.

答案：②④　③

7．若命题p：不等式4x＋6>0的解集为，命题q：关于x的不等式(x－4)(x－6)<0的解集为{x|4<x<6}，则“p且q”“p或q”“綈p”中是真命题的是________．

解析：由4x＋6>0得x>－，所以命题p为真命题．由(x－4)(x－6)<0解得4<x<6，所以命题q为真命题．所以“綈p”为假命题，“p或q”“p且q”为真命题．

答案：p或q，p且q

8．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则命题p1∧p2是________命题(填“真”或“假”)．

解析：∵y＝2x在R上为增函数，y＝2－x＝x在R上为减函数，

∴y＝－2－x＝－x在R上为增函数，

∴y＝2x－2－x在R上为增函数，故p1是真命题．

y＝2x＋2－x在R上为减函数是错误的，故p2是假命题．

∴p1∧p2是假命题．

答案：假

9．分别写出下列命题构成的“p∧q”“p∨q”的形式，并判断它们的真假．

(1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；

(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；

(3)p：是无理数，q：是实数；

(4)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等．

解析：(1)p∧q：函数y＝3x2是偶函数且是增函数；

∵p真，q假，∴p∧q为假．

p∨q：函数y＝3x2是偶函数或是增函数；

∵p真，q假，∴p∨q为真．

(2)p∧q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；

∵p真，q真，∴p∧q为真．

p∨q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；

∵p真，q真，∴p∨q为真．

(3)p∧q：是无理数且是实数；

∵p真，q真，∴p∧q为真．

p∨q：是无理数或是实数；

∵p真，q真，∴p∨q为真．

(4)p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；

∵p真，q真，∴p∧q为真．

p∨q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；

∵p真，q真，∴p∨q为真．

10．已知命题p：直线x＋3y＝0与直线3x－y－＝0垂直；命题q：圆C1：(x－2)2＋y2＝1与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝16相交．判断下列命题的真假．

(1)p∧q；

(2)p∨q；

(3)綈p.

解析：由题意易知命题p是真命题．

因为C1(2,0)，C2(－1,4)，圆C1与圆C2的半径分别为1,4，

所以|C1C2|＝＝5＝1＋4.

所以圆C1与圆C2相切，

所以命题q是假命题．

(1)p∧q是假命题；

(2)p∨q是真命题；

(3)綈p是假命题．

[B组　能力提升]

11．已知命题p：函数y＝2－ax＋1(a>0，a≠1)的图象恒过定点(－1,1)；命题q：若函数f(x－1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝1对称．下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧q  B．(綈p)∧(綈q)

C．(綈p)∧q  D．p∧(綈q)

解析：令x＋1＝0，得x＝－1，所以函数y＝2－ax＋1(a>0，a≠1)的图象恒过定点(－1,1)，所以p为真命题；函数f(x－1)为偶函数，即f(x－1)的图象关于y轴对称，f(x)的图象可由f(x－1)的图象整体向左平移一个单位得到，所以f(x)的图象关于直线x＝－1对称，所以q为假命题，则綈q为真命题，故选D.

答案：D

12．已知命题p：对任意x∈R，不等式ax2＋2x＋1<0的解集为空集，命题q：f(x)＝(2a－5)x在R上为减函数．若命题p∧(綈q)是真命题，则实数a的取值范围是(　　)

A.  B．[3，＋∞)

C．[2,3]   D.∪[3，＋∞)

解析：命题p：对任意x∈R，不等式ax2＋2x＋1<0的解集为空集，当a＝0时，不满足题意；当a≠0时，必须满足，解得a≥2.

命题q：f(x)＝(2a－5)x在R上为减函数，

∴0<2a－5<1，

解得<a<3.

∵命题p∧(綈q)是真命题，

∴p为真命题，q为假命题．

∴解得2≤a≤或a≥3.则实数a的取值范围是∪[3，＋∞)．

答案：D

13．已知命题p：1∈{x|x2<a}，q：2∈{x|x2<a}，则当p∧q为真命题时，a的取值范围是________．

解析：p真时a>1，q真时a>4，

因此p∧q为真时，⇒a>4，故a的取值范围(4，＋∞)．

答案：(4，＋∞)

14．给出两个命题：p：函数y＝x2－x－1有两个不同的零点；q：若<1，则x>1，那么p∧q是________命题(填“真”或“假”)．

解析：对于p，函数对应的方程x2－x－1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×(－1)＝5>0.可知函数有两个不同的零点，故p为真命题．

当x<0时，不等式<1恒成立；

当x>0时，不等式的解为x>1.

故不等式<1的解为x<0或x>1.故命题q为假命题．

所以p∧q是假命题．

答案：假

15．设命题p：函数f(x)＝x是R上的减函数，命题q：函数f(x)＝x2－4x＋3在[0，a]上的值域是[－1,3]．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

解析：若命题p为真，则0<a－<1，得<a<.

若命题q为真，即f(x)＝(x－2)2－1在[0，a]上的值域是[－1,3]，得2≤a≤4.

因为“p∨q”为真，“p∧q”为假，得p，q中一真一假．

若p真，q假，则

解得<a<2；

若p假，q真，则

解得≤a≤4.

综上可知，实数a的取值范围为∪.

16．已知命题A：函数f(x)＝x2－4mx＋4m2＋2在区间[－1,3]上的最小值为2；

命题B：若g(x)＝且g(x)>1对任意x∈R恒成立；

命题C：{x|m≤x≤2m＋1}⊆{x|x2－4≥0}．

若A，B，C中至少有一个为真命题，试求实数m的取值范围．

解析：(1)因为f(x)＝x2－4mx＋4m2＋2＝(x－2m)2＋2，

所以只有当x＝2m时，f(x)的最小值为2.

又因为f(x)在区间[－1,3]上的最小值为2，

所以－1≤2m≤3，所以－≤m≤，

所以命题A为真的条件是－≤m≤.

因为g(x)＝

当x≥m时，g(x)＝2x－m在[m，＋∞)上单调递增，

g(x)min＝g(m)＝m；

当x<m时，g(x)＝m＝g(x)min，

所以x∈R时，g(x)的最小值为m，

所以命题B为真的条件是m>1.

因为{x|m≤x≤2m＋1}⊆{x|x2－4≥0}，

所以m>2m＋1或

或

所以m<－1或m≥2或m∈∅，

所以命题C为真的条件是m<－1或m≥2.

因为命题A，B，C都为假的条件是

⇒－1≤m<－，

所以命题A，B，C中至少有一个为真命题的条件是m<－1或m≥－.