全国统考2022版高考数学大一轮复习第7章不等式第3讲基本不等式1备考试题（含解析）

第七章　不等式

第三讲　基本不等式

练好题·考点自测 

1.[2021河南驻马店模拟]设0<a<b,则下列不等式正确的是 (　　)

A.a<b< B.a<<b

C.a<<b< D.<a<<b

2.下列结论正确的个数为 (　　)

①函数y=x+的最小值是2;

②函数f(x)=cos x+,x∈(0,)的最小值为4;

③“x>0且y>0”是“≥2”的充要条件;

④若a>0,则a3+的最小值为2;

⑤不等式a2+b2≥2ab与≥有相同的成立条件.

A.0 B.1 C.2 D.3

3.[2020天津,14,5分]已知a>0,b>0,且ab=1,则的最小值为　　　　. 

4.[2019天津,13,5分]设x>0,y>0,x+2y=5,则的最小值为　　　　. 

5.[2017 江苏,10,5分]某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是　　　　. 

拓展变式

1.(1)[2020江苏,12,5分]已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是　　　　. 

(2)[2017 山东,12,5分][文]若直线=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为　　　　. 

2.[2020安徽合肥二模]若a+b≠0,则a2+b2+的最小值为　　　　. 

答  案

第七章　不等式

第三讲　基本不等式

1.B　因为0<a<b,所以a()<0,故a<;因为b>0,所以b>;由基本不等式知.综上所述,a<<b,故选B.

2.A　当x<0时,y≤-2,故①错误;易知当且仅当cos x=2时f(x)取最小值,但cos x不可能为2,所以等号不可能成立,故②错误;当x<0且y<0时,不等式≥2也成立,故③错误;2不是定值,故④错误;a2+b2≥2ab对于a,b∈R都成立,而≥只有当a>0,b>0时才成立,故⑤错误.选A.

3.4　依题意得≥2=4,当且仅当即时取等号.因此的最小值为4.

4.4　因为x+2y=5,x>0,y>0,所以=2≥2=2=4,当且仅当即或时取等号,故原式取得的最小值为4.

5.30　一年购买 次,则总运费与总存储费用之和为×6+4x=4(+x)≥8=240,当且仅当x=30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.

1.(1)　解法一　由5x2y2+y4=1得x2=,则x2+y2=≥2,当且仅当,即y2=时取等号,则x2+y2的最小值是.

解法二　4=(5x2+y2)·4y2≤[]2=,则x2+y2≥,当且仅当5x2+y2=4y2=2,即x2=,y2=时取等号,则x2+y2的最小值是.

(2)8　∵直线=1(a>0,b>0)过点(1,2),∴=1.∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)()=4+≥4+2=8,当且仅当和=1同时成立,即a=2,b=4时等号成立,∴2a+b的最小值为8.

2.　解法一　因为2ab≤a2+b2,所以(a+b)2≤2(a2+b2).

由a+b≠0,知a2+b2+≥a2+b2+≥2,

当且仅当a=b且a2+b2=,即a=b=±时两个等号同时成立.故a2+b2+的最小值为.

解法二　因为a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥(a+b)2,

所以a2+b2≥,

所以a2+b2+≥≥2,

当且仅当a=b且,即a=b=±时两个等号同时成立.故a2+b2+的最小值为.