全国统考2022版高考数学大一轮复习第7章不等式第1讲不等关系与一元二次不等式2备考试题（含解析）

第七章　不等式

第一讲　不等关系与一元二次不等式

1.[2021湖南六校联考]已知集合A={x|x2-2x-3<0},集合B={x|log2(x-1)≥0},则A∩B= (　　)

A.{x|2≤x<3} B.{x|2<x≤3}

C.{x|1≤x<3} D.{x|-1≤x<2}

2.[2021福建五校联考]已知函数f(x)=|lgx|,若f(a)=f(b)且a<b,则不等式logax+logb(2x-1)>0的解集为 (　　)

A.(1,+∞) B.(0,1)

C.(,+∞) D.(,1)

3.[2021北京市海淀区期中考试]设a,b∈R,且a<b<0,则 (　　)

A. B.

C. D.>2

4.[2021广东省梅州市质检]若<0,则不等式①;②|a|+b>0;③a->b-;④ln a2>ln b2中,不正确的 (　　)

A.①④ B.②③ 

C.①③ D.②④

5.[2020合肥三检]若x,y∈R,则x2>y2是>1成立的 (　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

6.[2020陕西西工大附中4月模拟]不等式x2-2x+5>a2对任意的x∈(1,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是 (　　)

A.[-2,2] B.(-2,2)

C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞)

7.[2021苏州市吴江中学一检]已知角α,β满足-<α-β<,0<α+β<π,则3α-β的取值范围是　　　　. 

8.[2020海南中学4月模拟]当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+2>0恒成立,则m的取值范围是　　　　. 

9.在R上定义运算?:x?y=x(1-y).若不等式(x-a)?(x+a)<1对任意的x∈R恒成立,则实数a的取值范围是　　　　. 

10.使不等式x2+(a-6)x+9-3a>0(|a|≤1)恒成立的x的取值范围为　　　　. 

11.[2021黑龙江省六校联考]若2a+1=3,2b=,则有以下结论:①b-a<1;②>2;③ab>;④ b2>2a.其中正确的结论有 (　　)

A.1个 B.2个 

C.3个 D.4个

12.[2021浙江杭州质检]若a+b>0,则 (　　)

A.lna+lnb>0 B.a3+b3>0

C.tana+tanb>0 D.|a|>|b|

13.设0<b<1+a,若关于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集中的整数解恰有3个,则a的取值范围是 (　　)

A.(-1,0) B.(0,1) 

C.(1,3) D.(3,5)

14.已知函数f(x)=x2-ax+a+3,g(x)=ax-2a,若∃x0∈R,使f(x0)<0和g(x0)<0同时成立,则实数a的取值范围为 (　　)

A.(7,+∞) 

B.(-∞,-2)∪(6,+∞)

C.(-∞,-2) 

D.(-∞,-2)∪(7,+∞)

15.[2019河南南阳模拟]不等式x(sin θ-cos2θ+1)≥-3对任意的θ∈R恒成立,则实数x的取值范围是　　　　. 

答 案

第七章　不等式

第一讲　不等关系与一元二次不等式

1.A　解法一　由题意可得A={x|-1<x<3},B={x|x≥2},所以A∩B={x|2≤x<3},故选A.

解法二　因为对数中真数大于0,所以集合B中的元素大于1,

所以1∉B,则1∉A∩B,故排除选项C,D;又2∈A,2∈B,所以2∈A∩B,排除选项B.故选A.

2.A　f(a)=f(b)⇒|lga|=|lgb|⇒lga=±lgb⇒a=b或a=,因为a<b,所以0<a=<1,所以logax+logb(2x-1)=logax-loga(2x-1)=loga>0⇒⇒x>1.

3.D　∵a<b<0,∴,故A错;∵a<b<0,∴a2>b2,即b2-a2<0,ab>0,可得<0,∴,故B错;∵a<b<0,∴<0,而>0,则<ab,故C错;∵a<b<0,∴>0,>0,>2=2,等号取不到,故D正确.故选D.

4.D　由<0,得b<a<0.①因为a+b<0,ab>0,所以成立,即①正确;②因为b<a<0,所以-b>-a>0,则-b>|a|,即|a|+b<0,所以②错误;③因为b<a<0,且<0,所以 a>b,故③正确;④因为b<a<0,所以b2>a2,所以ln b2>ln a2成立,所以④错误.故不正确的是②④.故选D.

5.B　解法一　若x2>y2,令x=-3,y=1,则<1,所以“x2>y2”不是“>1”的充分条件.

若>1,则x,y同号,当x>0,y>0时,x>y>0,则可得x2>y2;当x<0,y<0时,x<y<0,则有-x>-y>0,所以有x2>y2.所以“x2>y2”是“>1”的必要条件.故选B.

解法二　x2>y2⇔|x|>|y|⇔>1⇔>1或<-1,所以“x2>y2”是“>1”的必要不充分条件.故选B.

6.A　由于直线x=1是y=x2-2x+5的图象的对称轴,所以当x>1时,x2-2x+5>12-2+5=4,所以a2≤4,解得-2≤a≤2.故选A.

7.(-π,2π)　设3α-β=m(α-β)+n(α+β)=(m+n)α+(n-m)β,

则解得因为<α-β<,0<α+β<π,所以-π<2(α-β)<π,故-π<3α-β<2π.

8.(-2,+∞)　(分离参数法)当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+2>0恒成立等价于m>-(x+)在x∈(1,2)时恒成立,即等价于m>[-(x+)]max.因为x∈(1,2),所以-(x+)≤-2=-2,当且仅当x=,即x=时取等号.故m>-2,所以实数m的取值范围为(-2,+∞).

9.(,)　由题意知,(x-a)?(x+a)<1可化为(x-a)(1-x-a)<1,即x2-x-a2+a+1>0,则不等式x2-x-a2+a+1>0对任意的x∈R恒成立.

则Δ=1+4a2-4a-4<0,即4a2-4a-3<0,解得<a<.所以实数a的取值范围是(,).

10.(-∞,2)∪(4,+∞)　将原不等式整理为形式上是关于a的不等式得(x-3)a+x2-6x+9>0.

令f(a)=(x-3)a+x2-6x+9,

因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立,所以

(1)若x=3,则f(a)=0,不符合题意,舍去;

(2)若x≠3,则由一次函数的单调性,可得即解得x<2或x>4.

综上可知,使原不等式恒成立的x的取值范围是(-∞,2)∪(4,+∞).

11.D　由2a+1=3,2b=,得2a+1·2b=8,所以a+1+b=3,则a+b=2.又2a+1=2·2a=3,所以<2a=<2,所以b>1>a>.对于①,因为=2b-a=<2,所以b-a<1,故①正确;对于②,,因为0<ab<()2=1,所以>2,故②正确;对于③,ab=a(2-a)=-(a-1)2+1,因为<a<1,所以-(a-1)2+1∈(,1),所以ab>,故③正确;对于④,因为23b=(2b)3=()3=>16=24,所以3b>4,b>,所以<a<.因为b2-2a=(2-a)2-2a=a2-6a+4=(a-3)2-5∈(,),所以b2>2a成立,故④正确.综上所述,正确的结论有4个,故选D.

12.B　取a=b=1,则ln a+lnb=0,|a|=|b|,排除A,D;取a=,b=,则tan a+tanb=0,排除C.选B.

13.C　关于x的不等式(x-b)2>(ax)2等价于(a2-1)x2+2bx-b2<0,即[(a+1)x-b]·[(a-1)x+b]<0.因为该不等式的解集中的整数解恰有3个,且a+1>0,所以a-1>0,即a>1.又0<b<1+a,所以该不等式的解集为<x<,且0<<1,所以解集中的3个整数解是-2,-1,0,所以-3≤<-2,即2<≤3,即2a-2<b≤3a-3.因为b<1+a,所以2a-2<1+a,解得a<3.故a的取值范围是(1,3).故选C.

14.A　解法一　(1)当a=0时,g(x)=0,不存在x0∈R,使得g(x0)<0.

(2)当a<0时,g(x)=ax-2a在R上单调递减,且其图象恒过点(2,0).当x>2时,g(x)=ax-2a<0.

易知函数f(x)在(,+∞)上单调递增,所以当x>2时,f(x)>7-a>0,不存在x0∈(2,+∞),使得f(x0)<0.

(3)当a>0时,g(x)=ax-2a在R上单调递增,且其图象恒过点(2,0).

当x<2时,g(x)=ax-2a<0,则命题转化为不等式x2-ax+a+3<0在(-∞,2)上有解.

①当<2,即0<a<4时,需满足f()=+a+3<0,无解;

②当≥2,即a≥4时,需满足f(2)=7-a<0,解得a>7.

综上可知,实数a的取值范围是(7,+∞).故选A.

解法二　由f(x)=x2-ax+a+3,知f(1)=4.

若存在x0∈R,使f(x0)<0,则对应方程的根的判别式Δ=a2-4(a+3)>0,即a<-2或a>6.

又g(x)=ax-2a的图象恒过点(2,0),

故当a>6时,作出函数f(x)和g(x)的大致图象如图D 7-1-2所示,当a<-2时,作出函数f(x)和g(x)的大致图象如图D 7-1-3所示.

由函数图象知,当a>6时,由g(x)<0可知x<2,所以解得a>7;

当a<-2时,由g(x)<0可知x>2,此时函数f(x)=x2-ax+a+3的图象的对称轴方程为x=,且<0,又函数f(x)的图象恒过点(1,4),所以不存在x0∈(2,+∞),使得f(x0)<0成立.

综上,实数a的取值范围为(7,+∞),故选A.

【解后反思】　本题中解法一是从代数的角度出发,通过分类讨论,并结合函数的单调性与图象特征求得最值,从而解决问题.解法二是从形的角度出发,通过数形结合,让问题直观获解.

15.[,12]　由题意知,sin θ-cos2θ+1=sin2θ+sin θ,令sin θ=t,则t∈[-1,1].

则不等式x(sin θ-cos2θ+1)≥-3对任意的θ∈R恒成立,等价于f(t)=xt2+xt+3≥0对任意的t∈[-1,1]恒成立.

又f(0)=3>0,易知二次函数y=xt2+xt+3,t∈R的图象的对称轴方程为t=,

所以或或

解得≤x<0或x=0或0<x≤12,

所以实数x的取值范围为[,12].