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2021年山东省聊城市东昌府区等四区中考数学一模试卷
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这是一份2021年山东省聊城市东昌府区等四区中考数学一模试卷，共25页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
2021年山东省聊城市东昌府区等四区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．（3分）（﹣1）2021的相反数是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021
2．（3分）如图为沿圆柱体上底面直径截去一部分得到的物体，则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a6÷a2＝a3
C．（﹣a）2•a3＝a5 D．x3+x3＝x6
4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若BD∥AE，∠CAE＝70°，则∠DBC的度数是（ ）
A．20° B．40° C．50° D．70°
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝2 B．﹣＝ C．﹣＝ D．＝±3
6．（3分）某校男子足球队的年龄分布情况如下表：
年龄（岁）
13
14
15
16
17
18
人数
2
6
8
3
2
1
则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15，15 B．15，14 C．16，15 D．14，15
7．（3分）一元二次方程4x2﹣4x﹣3＝0配方后可化为（ ）
A．（x+）2＝1 B．（x﹣）2＝1 C．（x+）2＝ D．（x﹣）2＝
8．（3分）如图，将Rt△ABC沿直线DE折叠使点A与点C重合，折痕为DE，若AB＝2，BC＝4，那么线段DE的长为（ ）
A． B． C． D．2
9．（3分）将不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）已知是二元一次方程组的解，则5a﹣3b的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
11．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝，则△CEF的周长为（ ）
A．8 B．9.5 C．10 D．11.5
12．（3分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是（ ）
A．①⑤ B．①②⑤ C．②⑤ D．①③④
二.填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分.只要求填写最后结果）
13．（3分）因式分解：xy2﹣9x＝ ．
14．（3分）在市区内，我市乘坐出租车的价格y（元）与路程x（km）的函数关系图象如图所示．出差归来的小李从火车站乘坐出租车回家用了18元，火车站到小李家的路程为 km．
15．（3分）某班准备同时在A，B两地开展数学活动，每位同学由抽签确定去其中一个地方，则甲、乙、丙三位同学抽到去同一个地方的概率是 ．
16．（3分）把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6厘米，DC＝7厘米．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图（2），这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．则AD1＝ cm．
17．（3分），观察下列等式：4﹣1＝3，9﹣4＝5，16﹣9＝7，25﹣16＝9，…．按照上述规律，第n个的等式为： ．
三.解答题（本题共8个小题.共69分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
18．（7分）先化简，再求值：[﹣]+[1+]，其中a＝，b＝2．
19．（8分）某九年级制学校围绕“每天30分钟的大课间，你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的条形统计图，请结合统计图回答下列问题：
（1）该校对多少学生进行了抽样调查？
（2）本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少？占被调查人数的百分比是多少？
（3）若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？
20．（8分）甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲、乙 共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．
（1）问乙单独整理多少分钟完工？
（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
21．（8分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝DC．
（2）若AB＝AC时，试证明四边形AFBD是矩形．
22．（8分）某路边的路灯的灯柱BC垂直于地面，灯杆BA与灯柱BC成120°角，灯杆BA的长为2米，其顶端A处的LED灯发出的光线AD与AB垂直，光线AD投射到地面的点D处，如果要使得D点到灯柱BC的底端C点的距离为12米，那么灯柱BC的需要设计多高？（结果保留根号）
23．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的横坐标为﹣2，点B的纵坐标为2．
（1）求一次函数的关系式；
（2）求△AOB的面积．
24．（8分）如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交AD于M，且交切线AC于点C，OC与半圆O交于点E，连接BE，DE．
（1）求证：∠BED＝∠C；
（2）若OA＝5，AD＝8，求MC的长．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于经过A（﹣3，0），C（4，0）两点，其与y轴的交点为点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知AD＝AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，在抛物线的对称轴上求一点M，使MQ+MC的值最小？
2021年山东省聊城市东昌府区等四区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．（3分）（﹣1）2021的相反数是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021
【分析】﹣1的奇数次方等于﹣1，﹣1的偶数次方等于1，根据2021是奇数即可得到（﹣1）2021的值为﹣1，再根据相反数的概念即可得到答案．
【解答】解：∵（﹣1）2021＝﹣1，
∴（﹣1）2021的相反数是1，
故选：A．
2．（3分）如图为沿圆柱体上底面直径截去一部分得到的物体，则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看依然可得到两个半圆的组合图形，
故选：C．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a6÷a2＝a3
C．（﹣a）2•a3＝a5 D．x3+x3＝x6
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方运算法则以及合并同类项法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
B、a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；
C、（﹣a）2•a3＝a5，故本选项符合题意；
D、x3+x3＝2x3，故本选项不合题意；
故选：C．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若BD∥AE，∠CAE＝70°，则∠DBC的度数是（ ）
A．20° B．40° C．50° D．70°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠CAB+∠CBA＝90°，根据平行线的性质得出∠DBC+∠CBA+∠CAB+∠CAE＝180°，即可求出答案．
【解答】解：∵在△ACB中，∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵BD∥AE，
∴∠DBC+∠CBA+∠CAB+∠CAE＝180°，
∴∠CAE＝180°﹣90°﹣70°＝20°．
故选：A．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝2 B．﹣＝ C．﹣＝ D．＝±3
【分析】本题需先利用二次根式的基本性质进行化简和二次根式的加减运算．
【解答】解：，故错误；
，故正确；
，故错误；
，故错误；
故选：B．
6．（3分）某校男子足球队的年龄分布情况如下表：
年龄（岁）
13
14
15
16
17
18
人数
2
6
8
3
2
1
则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15，15 B．15，14 C．16，15 D．14，15
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：根据图表数据，同一年龄人数最多的是15岁，共8人，所以众数是15；
22名队员中，按照年龄从小到大排列，第11名队员与第12名队员的年龄都是15岁，所以，中位数是（15+15）÷2＝15．
故选：A．
7．（3分）一元二次方程4x2﹣4x﹣3＝0配方后可化为（ ）
A．（x+）2＝1 B．（x﹣）2＝1 C．（x+）2＝ D．（x﹣）2＝
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤求解即可．
【解答】解：∵4x2﹣4x﹣3＝0，
∴4x2﹣4x＝3，
则x2﹣x＝，
∴x2﹣x+＝+，即（x﹣）2＝1，
故选：B．
8．（3分）如图，将Rt△ABC沿直线DE折叠使点A与点C重合，折痕为DE，若AB＝2，BC＝4，那么线段DE的长为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】首先根据勾股定理求出AC的长，再根据折叠前后的两个三角形全等得到CD的长以及∠CDE＝90°，然后证明△CDE∽△CBA，根据相似三角形的对应边成比例求出DE的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC＝＝2，
∵将Rt△ABC沿直线DE折叠使点A与点C重合，折痕为DE，
∴△CDE≌△ADE，
∴CD＝AD＝AC＝，∠CDE＝90°，
∵△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴∠CDE＝∠B，
又∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA，
∴，
∴，
∴DE＝．
故选：B．
9．（3分）将不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别把两条不等式解出来，然后判断哪个选项的表示正确．
【解答】解：由x+8＜4x﹣1得x＞3，由得x≤4．所以3＜x≤4．故选C．
10．（3分）已知是二元一次方程组的解，则5a﹣3b的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【分析】将代入原方程组得出关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出a，b的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：将代入方程组，
得，
解得，
所以5a﹣3b＝10﹣9＝1．
故选：B．
11．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝，则△CEF的周长为（ ）
A．8 B．9.5 C．10 D．11.5
【分析】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形、和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查．在▱ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，可得△ADF是等腰三角形，AD＝DF＝9；△ABE是等腰三角形，AB＝BE＝6，所以CF＝3；在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝，可得AG＝2，又△ADF是等腰三角形，BG⊥AE，所以AE＝2AG＝4，所以△ABE的周长等于16，又由▱ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比为1：2，所以△CEF的周长为8，因此选A．
【解答】解：∵在▱ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠DAF＝∠F，
∴AD＝FD，
∴△ADF是等腰三角形，
同理△ABE是等腰三角形，
AD＝DF＝9；
∵AB＝BE＝6，
∴CF＝3；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝，可得：AG＝2，
又BG⊥AE，
∴AE＝2AG＝4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵▱ABCD
∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故选：A．
12．（3分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是（ ）
A．①⑤ B．①②⑤ C．②⑤ D．①③④
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，
∵对称轴为x＝＞0，
∴a、b异号，即b＜0，
又∵c＜0，∴abc＞0，
故本选项正确；
②∵对称轴为x＝＞0，a＞0，
﹣＜1，
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0；
故本选项错误；
③当x＝1时，y1＝a+b+c；
当x＝m时，y2＝m（am+b）+c，当m＞1，y2＞y1；当m＜1，y2＜y1，所以不能确定；
故本选项错误；
④当x＝1时，a+b+c＝0；
当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0；
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＝0，即（a+c）2﹣b2＝0，
∴（a+c）2＝b2
故本选项错误；
⑤当x＝﹣1时，a﹣b+c＝2；
当x＝1时，a+b+c＝0，
∴a+c＝1，
∴a＝1+（﹣c）＞1，即a＞1；
故本选项正确；
综上所述，正确的是①⑤．
故选：A．
二.填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分.只要求填写最后结果）
13．（3分）因式分解：xy2﹣9x＝ x（y+3）（y﹣3） ．
【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝x（y2﹣9）
＝x（y+3）（y﹣3）．
故答案为：x（y+3）（y﹣3）．
14．（3分）在市区内，我市乘坐出租车的价格y（元）与路程x（km）的函数关系图象如图所示．出差归来的小李从火车站乘坐出租车回家用了18元，火车站到小李家的路程为 15 km．
【分析】由图象可知，当x≤3时，出租车收费为6元，超出3km时，每千米收费为1元，据此列式计算即可．
【解答】解：由题意可知，当x≤3时，出租车收费为6元，超出3km时，每千米收费为：（7﹣6）÷（4﹣3）＝1（元），
所以火车站到小李家的路程为：3+（18﹣6）÷1＝15（km ）．
故答案为：15．
15．（3分）某班准备同时在A，B两地开展数学活动，每位同学由抽签确定去其中一个地方，则甲、乙、丙三位同学抽到去同一个地方的概率是 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙、丙三位同学抽到去同一个地方的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有8种等可能的结果，甲、乙、丙三位同学抽到去同一个地方的有2种情况，
∴甲、乙、丙三位同学抽到去同一个地方的概率是：＝．
故答案为：．
16．（3分）把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6厘米，DC＝7厘米．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图（2），这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．则AD1＝ 5 cm．
【分析】首先由旋转的角度为15°，可知∠ACD1＝45°．已知∠CAO＝45°，即可得AO⊥CD1，然后可在Rt△AOC和Rt△AOD1中，通过解直角三角形求得AD1的长．
【解答】解：由题意易知：∠CAB＝45°，∠ACD＝30°．
若旋转角度为15°，则∠ACO＝30°+15°＝45°．
∴∠AOC＝180°﹣∠ACO﹣∠CAO＝90°．
在等腰Rt△ABC中，AB＝6，则AC＝BC＝3．
同理可求得：AO＝OC＝3．
在Rt△AOD1中，OA＝3，OD1＝CD1﹣OC＝4，
由勾股定理得：AD1＝5．
17．（3分），观察下列等式：4﹣1＝3，9﹣4＝5，16﹣9＝7，25﹣16＝9，…．按照上述规律，第n个的等式为： （n+1）2﹣n2＝2n+1 ．
【分析】从4﹣1＝3，9﹣4＝5，16﹣9＝7，25﹣16＝9，…．可以知道1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，而3，5，7，9…为等差数列，故此可以求出答案
【解答】解：因为第一项为4﹣1＝3可以表示为22﹣12＝2×1+1，
第二项为9﹣4＝5可以表示为32﹣22＝2×2+1，
第三项为16﹣9＝7可以表示为42﹣32＝2×3+1，
第四项为25﹣16＝9可以表示为52﹣42＝2×4+1，
故第n个等式可以表示为（n+1）2﹣n2＝2n+1．
三.解答题（本题共8个小题.共69分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
18．（7分）先化简，再求值：[﹣]+[1+]，其中a＝，b＝2．
【分析】首先根据分式的混合运算法则化简此分式，然后将a＝，b＝2代入求值即可求得答案．
【解答】解：[﹣]+[1+]
＝[﹣]+[1+]
＝+（1+）
＝+，
当a＝，b＝2时，原式＝+＝．
19．（8分）某九年级制学校围绕“每天30分钟的大课间，你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的条形统计图，请结合统计图回答下列问题：
（1）该校对多少学生进行了抽样调查？
（2）本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少？占被调查人数的百分比是多少？
（3）若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？
【分析】（1）根据条形图的意义，将各组人数依次相加可得答案；
（2）根据表中的数据计算可得答案；
（3）用样本估计总体，按比例计算可得．
【解答】解：（1）由图1知：4+8+10+18+10＝50名，
答：该校对50名学生进行了抽样调查．
（2）本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人
×100%＝36%
∴最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的36%．
（3）1﹣（30%+26%+24%）＝20%，
200÷20%＝1000人，
×100%×1000＝160人．
答：估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160人．
20．（8分）甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲、乙 共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．
（1）问乙单独整理多少分钟完工？
（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
【分析】（1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可；
（2）设甲整理y分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可．
【解答】解：（1）设乙单独整理x分钟完工，根据题意得：
，
解得x＝80，
经检验x＝80是原分式方程的解．
答：乙单独整理80分钟完工．
（2）设甲整理y分钟完工，根据题意，得
，
解得：y≥25，
答：甲至少整理25分钟完工．
21．（8分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝DC．
（2）若AB＝AC时，试证明四边形AFBD是矩形．
【分析】（1）先由AF∥BC，利用平行线的性质可证∠AFE＝∠DCE，而E是AD中点，那么AE＝DE，∠AEF＝∠DEC，利用AAS可证△AEF≌△DEC，那么有AF＝DC，又AF＝BD，从而有BD＝CD；
（2）四边形AFBD是矩形．由于AF平行等于BD，易得四边形AFBD是平行四边形，又AB＝AC，BD＝CD，利用等腰三角形三线合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB＝90°，那么可证四边形AFBD是矩形．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝DC，
∵AF＝BD，
∴BD＝CD；
（2）∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°
∵AF＝BD，
∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
又∵∠ADB＝90°，
∴四边形AFBD是矩形．
22．（8分）某路边的路灯的灯柱BC垂直于地面，灯杆BA与灯柱BC成120°角，灯杆BA的长为2米，其顶端A处的LED灯发出的光线AD与AB垂直，光线AD投射到地面的点D处，如果要使得D点到灯柱BC的底端C点的距离为12米，那么灯柱BC的需要设计多高？（结果保留根号）
【分析】设灯柱BC的长为h米，过点A作AH⊥CD于点H，过点B作BE⊥AH于点E，构造出矩形BCHE，Rt△AEB，然后解直角三角形求解．
【解答】解：设灯柱BC的长为h米，作AH⊥CD于点H，作BE⊥AH于点E．
∴四边形BCHE为矩形．
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABE＝30°．
又∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝60°．
在Rt△AEB中，
∴AE＝ABsin30°＝1米，
BE＝ABcos30°＝米，
∴CH＝米．
又∵CD＝12米，
∴DH＝（12﹣）米．
在Rt△AHD中，
tan∠ADH＝＝＝，
解得h＝12﹣4．
∴灯柱BC的高为（12﹣4）米．
23．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的横坐标为﹣2，点B的纵坐标为2．
（1）求一次函数的关系式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）由点A的横坐标利用反比例函数解析式，求得纵坐标，由点B的纵坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出点B的坐标，再根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）求出直线与x轴的交点坐标后，即可求出S△AOC＝CO•yA和S△BOC＝CO•yB．继而求出△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，点A的横坐标为﹣2，
∴y＝﹣＝4，
∴A（﹣2，4），
∵点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，且B的纵坐标为2，
∴2＝﹣，解得x＝﹣4，
∴点B的坐标为（﹣4，2）．
将A（﹣2，4）、B（﹣4，2）代入y＝kx+b，得，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+6．
（2）∵直线AB与x轴的交点坐标C（﹣6，0），
∴S△AOC＝CO•yA＝×6×4＝12，
又∵S△BOC＝CO•yB＝＝6，
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝12﹣6＝6．
24．（8分）如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交AD于M，且交切线AC于点C，OC与半圆O交于点E，连接BE，DE．
（1）求证：∠BED＝∠C；
（2）若OA＝5，AD＝8，求MC的长．
【分析】（1）由切线的性质得∠1+∠2＝90°；由同角的余角相等得∠C＝∠2，由圆周角定理知∠BED＝∠2，故∠BED＝∠C．
（2）由直径所对的圆周角是直角，利用勾股定理求出BD，再根据三角形相似，求出OC和OM，再求MC即可．
【解答】
（1）证明：∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥AC，
∴∠1+∠2＝90°，
又∵OC⊥AD，
∴∠1+∠C＝90°，
∴∠C＝∠2，
又∠BED＝∠2，
∴∠BED＝∠C；
（2）解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BD＝＝＝6，
又∵OC⊥AD，且∠ADB＝90°，
∴OC∥BD，∠AOC＝∠DBA，
∴△OAC∽△BDA∽△OMA，
∴，即＝，
∴OC＝，
∴，即＝，
∴OM＝3，
∴MC＝OC﹣OM＝﹣3＝．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于经过A（﹣3，0），C（4，0）两点，其与y轴的交点为点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知AD＝AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，在抛物线的对称轴上求一点M，使MQ+MC的值最小？
【分析】（1）已知抛物线图象上的三点坐标，可利用待定系数法求出该抛物线的解析式；
（2）根据A、B的坐标，易求得AD＝AB＝5，则CD＝AC﹣AD＝2，连接DQ，由于BD垂直平分PQ，那么DP＝DQ，根据等腰三角形三线合一的性质知：∠PDB＝∠QDB＝∠ABD，即ABIDQ，此时△CDQ﹣△CAB，利用相似三角形得到的比例线段即可求得DQ、PD的长，从而求得AP的值，进而可求得t的值．
（3）根据轴对称的最短路径先作C关于对称轴的对称点，即点A，连接AQ与对称轴
的交点就是所求的M，先求Q的坐标，求直线AQ的解析式，因为对称轴是：×＝，即M的横坐标就是，代入AQ的解析式求y即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）C（4，0）两点，
∴，
解这个方程，得．
∴该抛物线解析式是y＝﹣x2+x+4；
（2）∵A（﹣3，0），C（4，0），
∴0A＝3，OB＝OC＝4，
则AB＝5，AC＝7，CD＝2；
如图1，连接DQ，由于BD垂直平分PQ，则DP＝DQ，
∴∠PDB＝∠QDB，
而AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB，
故∠QDB＝∠ABD，
∴QD∥AB，
∴△CDQ∽△CAB，则有
，
∴，
PD＝DQ＝，
AP＝AD﹣PD＝5﹣＝
故t＝；
（3）存在，
如图2，连接AQ交对称轴于M，此时MQ+MC为最小，
过Q作QN⊥x轴于N，
∵DQ∥AB，
∴∠QDN＝∠BAC，
sin∠QDN＝sin∠BAC＝，
∴，
∴QN＝，
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，k≠0，
把B（0，4）和C（4，0）代入得：
，
解得，
直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，
y＝时，，
x＝，
∴Q（），
同理可得：AQ的解析式为：y＝，
当x＝时，y＝，
∴M（）．
2021年山东省聊城市东昌府区等四区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．（3分）（﹣1）2021的相反数是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021
2．（3分）如图为沿圆柱体上底面直径截去一部分得到的物体，则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a6÷a2＝a3
C．（﹣a）2•a3＝a5 D．x3+x3＝x6
4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若BD∥AE，∠CAE＝70°，则∠DBC的度数是（ ）
A．20° B．40° C．50° D．70°
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝2 B．﹣＝ C．﹣＝ D．＝±3
6．（3分）某校男子足球队的年龄分布情况如下表：
年龄（岁）
13
14
15
16
17
18
人数
2
6
8
3
2
1
则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15，15 B．15，14 C．16，15 D．14，15
7．（3分）一元二次方程4x2﹣4x﹣3＝0配方后可化为（ ）
A．（x+）2＝1 B．（x﹣）2＝1 C．（x+）2＝ D．（x﹣）2＝
8．（3分）如图，将Rt△ABC沿直线DE折叠使点A与点C重合，折痕为DE，若AB＝2，BC＝4，那么线段DE的长为（ ）
A． B． C． D．2
9．（3分）将不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）已知是二元一次方程组的解，则5a﹣3b的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
11．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝，则△CEF的周长为（ ）
A．8 B．9.5 C．10 D．11.5
12．（3分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是（ ）
A．①⑤ B．①②⑤ C．②⑤ D．①③④
二.填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分.只要求填写最后结果）
13．（3分）因式分解：xy2﹣9x＝ ．
14．（3分）在市区内，我市乘坐出租车的价格y（元）与路程x（km）的函数关系图象如图所示．出差归来的小李从火车站乘坐出租车回家用了18元，火车站到小李家的路程为 km．
15．（3分）某班准备同时在A，B两地开展数学活动，每位同学由抽签确定去其中一个地方，则甲、乙、丙三位同学抽到去同一个地方的概率是 ．
16．（3分）把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6厘米，DC＝7厘米．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图（2），这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．则AD1＝ cm．
17．（3分），观察下列等式：4﹣1＝3，9﹣4＝5，16﹣9＝7，25﹣16＝9，…．按照上述规律，第n个的等式为： ．
三.解答题（本题共8个小题.共69分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
18．（7分）先化简，再求值：[﹣]+[1+]，其中a＝，b＝2．
19．（8分）某九年级制学校围绕“每天30分钟的大课间，你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的条形统计图，请结合统计图回答下列问题：
（1）该校对多少学生进行了抽样调查？
（2）本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少？占被调查人数的百分比是多少？
（3）若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？
20．（8分）甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲、乙 共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．
（1）问乙单独整理多少分钟完工？
（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
21．（8分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝DC．
（2）若AB＝AC时，试证明四边形AFBD是矩形．
22．（8分）某路边的路灯的灯柱BC垂直于地面，灯杆BA与灯柱BC成120°角，灯杆BA的长为2米，其顶端A处的LED灯发出的光线AD与AB垂直，光线AD投射到地面的点D处，如果要使得D点到灯柱BC的底端C点的距离为12米，那么灯柱BC的需要设计多高？（结果保留根号）
23．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的横坐标为﹣2，点B的纵坐标为2．
（1）求一次函数的关系式；
（2）求△AOB的面积．
24．（8分）如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交AD于M，且交切线AC于点C，OC与半圆O交于点E，连接BE，DE．
（1）求证：∠BED＝∠C；
（2）若OA＝5，AD＝8，求MC的长．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于经过A（﹣3，0），C（4，0）两点，其与y轴的交点为点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知AD＝AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，在抛物线的对称轴上求一点M，使MQ+MC的值最小？
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．（3分）（﹣1）2021的相反数是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021
【分析】﹣1的奇数次方等于﹣1，﹣1的偶数次方等于1，根据2021是奇数即可得到（﹣1）2021的值为﹣1，再根据相反数的概念即可得到答案．
【解答】解：∵（﹣1）2021＝﹣1，
∴（﹣1）2021的相反数是1，
故选：A．
2．（3分）如图为沿圆柱体上底面直径截去一部分得到的物体，则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看依然可得到两个半圆的组合图形，
故选：C．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a6÷a2＝a3
C．（﹣a）2•a3＝a5 D．x3+x3＝x6
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方运算法则以及合并同类项法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
B、a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；
C、（﹣a）2•a3＝a5，故本选项符合题意；
D、x3+x3＝2x3，故本选项不合题意；
故选：C．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若BD∥AE，∠CAE＝70°，则∠DBC的度数是（ ）
A．20° B．40° C．50° D．70°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠CAB+∠CBA＝90°，根据平行线的性质得出∠DBC+∠CBA+∠CAB+∠CAE＝180°，即可求出答案．
【解答】解：∵在△ACB中，∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵BD∥AE，
∴∠DBC+∠CBA+∠CAB+∠CAE＝180°，
∴∠CAE＝180°﹣90°﹣70°＝20°．
故选：A．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝2 B．﹣＝ C．﹣＝ D．＝±3
【分析】本题需先利用二次根式的基本性质进行化简和二次根式的加减运算．
【解答】解：，故错误；
，故正确；
，故错误；
，故错误；
故选：B．
6．（3分）某校男子足球队的年龄分布情况如下表：
年龄（岁）
13
14
15
16
17
18
人数
2
6
8
3
2
1
则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15，15 B．15，14 C．16，15 D．14，15
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：根据图表数据，同一年龄人数最多的是15岁，共8人，所以众数是15；
22名队员中，按照年龄从小到大排列，第11名队员与第12名队员的年龄都是15岁，所以，中位数是（15+15）÷2＝15．
故选：A．
7．（3分）一元二次方程4x2﹣4x﹣3＝0配方后可化为（ ）
A．（x+）2＝1 B．（x﹣）2＝1 C．（x+）2＝ D．（x﹣）2＝
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤求解即可．
【解答】解：∵4x2﹣4x﹣3＝0，
∴4x2﹣4x＝3，
则x2﹣x＝，
∴x2﹣x+＝+，即（x﹣）2＝1，
故选：B．
8．（3分）如图，将Rt△ABC沿直线DE折叠使点A与点C重合，折痕为DE，若AB＝2，BC＝4，那么线段DE的长为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】首先根据勾股定理求出AC的长，再根据折叠前后的两个三角形全等得到CD的长以及∠CDE＝90°，然后证明△CDE∽△CBA，根据相似三角形的对应边成比例求出DE的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC＝＝2，
∵将Rt△ABC沿直线DE折叠使点A与点C重合，折痕为DE，
∴△CDE≌△ADE，
∴CD＝AD＝AC＝，∠CDE＝90°，
∵△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴∠CDE＝∠B，
又∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA，
∴，
∴，
∴DE＝．
故选：B．
9．（3分）将不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别把两条不等式解出来，然后判断哪个选项的表示正确．
【解答】解：由x+8＜4x﹣1得x＞3，由得x≤4．所以3＜x≤4．故选C．
10．（3分）已知是二元一次方程组的解，则5a﹣3b的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【分析】将代入原方程组得出关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出a，b的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：将代入方程组，
得，
解得，
所以5a﹣3b＝10﹣9＝1．
故选：B．
11．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝，则△CEF的周长为（ ）
A．8 B．9.5 C．10 D．11.5
【分析】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形、和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查．在▱ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，可得△ADF是等腰三角形，AD＝DF＝9；△ABE是等腰三角形，AB＝BE＝6，所以CF＝3；在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝，可得AG＝2，又△ADF是等腰三角形，BG⊥AE，所以AE＝2AG＝4，所以△ABE的周长等于16，又由▱ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比为1：2，所以△CEF的周长为8，因此选A．
【解答】解：∵在▱ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠DAF＝∠F，
∴AD＝FD，
∴△ADF是等腰三角形，
同理△ABE是等腰三角形，
AD＝DF＝9；
∵AB＝BE＝6，
∴CF＝3；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝，可得：AG＝2，
又BG⊥AE，
∴AE＝2AG＝4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵▱ABCD
∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故选：A．
12．（3分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是（ ）
A．①⑤ B．①②⑤ C．②⑤ D．①③④
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，
∵对称轴为x＝＞0，
∴a、b异号，即b＜0，
又∵c＜0，∴abc＞0，
故本选项正确；
②∵对称轴为x＝＞0，a＞0，
﹣＜1，
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0；
故本选项错误；
③当x＝1时，y1＝a+b+c；
当x＝m时，y2＝m（am+b）+c，当m＞1，y2＞y1；当m＜1，y2＜y1，所以不能确定；
故本选项错误；
④当x＝1时，a+b+c＝0；
当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0；
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＝0，即（a+c）2﹣b2＝0，
∴（a+c）2＝b2
故本选项错误；
⑤当x＝﹣1时，a﹣b+c＝2；
当x＝1时，a+b+c＝0，
∴a+c＝1，
∴a＝1+（﹣c）＞1，即a＞1；
故本选项正确；
综上所述，正确的是①⑤．
故选：A．
二.填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分.只要求填写最后结果）
13．（3分）因式分解：xy2﹣9x＝ x（y+3）（y﹣3） ．
【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝x（y2﹣9）
＝x（y+3）（y﹣3）．
故答案为：x（y+3）（y﹣3）．
14．（3分）在市区内，我市乘坐出租车的价格y（元）与路程x（km）的函数关系图象如图所示．出差归来的小李从火车站乘坐出租车回家用了18元，火车站到小李家的路程为 15 km．
【分析】由图象可知，当x≤3时，出租车收费为6元，超出3km时，每千米收费为1元，据此列式计算即可．
【解答】解：由题意可知，当x≤3时，出租车收费为6元，超出3km时，每千米收费为：（7﹣6）÷（4﹣3）＝1（元），
所以火车站到小李家的路程为：3+（18﹣6）÷1＝15（km ）．
故答案为：15．
15．（3分）某班准备同时在A，B两地开展数学活动，每位同学由抽签确定去其中一个地方，则甲、乙、丙三位同学抽到去同一个地方的概率是 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙、丙三位同学抽到去同一个地方的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有8种等可能的结果，甲、乙、丙三位同学抽到去同一个地方的有2种情况，
∴甲、乙、丙三位同学抽到去同一个地方的概率是：＝．
故答案为：．
16．（3分）把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6厘米，DC＝7厘米．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图（2），这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．则AD1＝ 5 cm．
【分析】首先由旋转的角度为15°，可知∠ACD1＝45°．已知∠CAO＝45°，即可得AO⊥CD1，然后可在Rt△AOC和Rt△AOD1中，通过解直角三角形求得AD1的长．
【解答】解：由题意易知：∠CAB＝45°，∠ACD＝30°．
若旋转角度为15°，则∠ACO＝30°+15°＝45°．
∴∠AOC＝180°﹣∠ACO﹣∠CAO＝90°．
在等腰Rt△ABC中，AB＝6，则AC＝BC＝3．
同理可求得：AO＝OC＝3．
在Rt△AOD1中，OA＝3，OD1＝CD1﹣OC＝4，
由勾股定理得：AD1＝5．
17．（3分），观察下列等式：4﹣1＝3，9﹣4＝5，16﹣9＝7，25﹣16＝9，…．按照上述规律，第n个的等式为： （n+1）2﹣n2＝2n+1 ．
【分析】从4﹣1＝3，9﹣4＝5，16﹣9＝7，25﹣16＝9，…．可以知道1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，而3，5，7，9…为等差数列，故此可以求出答案
【解答】解：因为第一项为4﹣1＝3可以表示为22﹣12＝2×1+1，
第二项为9﹣4＝5可以表示为32﹣22＝2×2+1，
第三项为16﹣9＝7可以表示为42﹣32＝2×3+1，
第四项为25﹣16＝9可以表示为52﹣42＝2×4+1，
故第n个等式可以表示为（n+1）2﹣n2＝2n+1．
三.解答题（本题共8个小题.共69分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
18．（7分）先化简，再求值：[﹣]+[1+]，其中a＝，b＝2．
【分析】首先根据分式的混合运算法则化简此分式，然后将a＝，b＝2代入求值即可求得答案．
【解答】解：[﹣]+[1+]
＝[﹣]+[1+]
＝+（1+）
＝+，
当a＝，b＝2时，原式＝+＝．
19．（8分）某九年级制学校围绕“每天30分钟的大课间，你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的条形统计图，请结合统计图回答下列问题：
（1）该校对多少学生进行了抽样调查？
（2）本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少？占被调查人数的百分比是多少？
（3）若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？
【分析】（1）根据条形图的意义，将各组人数依次相加可得答案；
（2）根据表中的数据计算可得答案；
（3）用样本估计总体，按比例计算可得．
【解答】解：（1）由图1知：4+8+10+18+10＝50名，
答：该校对50名学生进行了抽样调查．
（2）本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人
×100%＝36%
∴最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的36%．
（3）1﹣（30%+26%+24%）＝20%，
200÷20%＝1000人，
×100%×1000＝160人．
答：估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160人．
20．（8分）甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲、乙 共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．
（1）问乙单独整理多少分钟完工？
（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
【分析】（1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可；
（2）设甲整理y分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可．
【解答】解：（1）设乙单独整理x分钟完工，根据题意得：
，
解得x＝80，
经检验x＝80是原分式方程的解．
答：乙单独整理80分钟完工．
（2）设甲整理y分钟完工，根据题意，得
，
解得：y≥25，
答：甲至少整理25分钟完工．
21．（8分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝DC．
（2）若AB＝AC时，试证明四边形AFBD是矩形．
【分析】（1）先由AF∥BC，利用平行线的性质可证∠AFE＝∠DCE，而E是AD中点，那么AE＝DE，∠AEF＝∠DEC，利用AAS可证△AEF≌△DEC，那么有AF＝DC，又AF＝BD，从而有BD＝CD；
（2）四边形AFBD是矩形．由于AF平行等于BD，易得四边形AFBD是平行四边形，又AB＝AC，BD＝CD，利用等腰三角形三线合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB＝90°，那么可证四边形AFBD是矩形．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝DC，
∵AF＝BD，
∴BD＝CD；
（2）∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°
∵AF＝BD，
∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
又∵∠ADB＝90°，
∴四边形AFBD是矩形．
22．（8分）某路边的路灯的灯柱BC垂直于地面，灯杆BA与灯柱BC成120°角，灯杆BA的长为2米，其顶端A处的LED灯发出的光线AD与AB垂直，光线AD投射到地面的点D处，如果要使得D点到灯柱BC的底端C点的距离为12米，那么灯柱BC的需要设计多高？（结果保留根号）
【分析】设灯柱BC的长为h米，过点A作AH⊥CD于点H，过点B作BE⊥AH于点E，构造出矩形BCHE，Rt△AEB，然后解直角三角形求解．
【解答】解：设灯柱BC的长为h米，作AH⊥CD于点H，作BE⊥AH于点E．
∴四边形BCHE为矩形．
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABE＝30°．
又∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝60°．
在Rt△AEB中，
∴AE＝ABsin30°＝1米，
BE＝ABcos30°＝米，
∴CH＝米．
又∵CD＝12米，
∴DH＝（12﹣）米．
在Rt△AHD中，
tan∠ADH＝＝＝，
解得h＝12﹣4．
∴灯柱BC的高为（12﹣4）米．
23．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的横坐标为﹣2，点B的纵坐标为2．
（1）求一次函数的关系式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）由点A的横坐标利用反比例函数解析式，求得纵坐标，由点B的纵坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出点B的坐标，再根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）求出直线与x轴的交点坐标后，即可求出S△AOC＝CO•yA和S△BOC＝CO•yB．继而求出△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，点A的横坐标为﹣2，
∴y＝﹣＝4，
∴A（﹣2，4），
∵点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，且B的纵坐标为2，
∴2＝﹣，解得x＝﹣4，
∴点B的坐标为（﹣4，2）．
将A（﹣2，4）、B（﹣4，2）代入y＝kx+b，得，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+6．
（2）∵直线AB与x轴的交点坐标C（﹣6，0），
∴S△AOC＝CO•yA＝×6×4＝12，
又∵S△BOC＝CO•yB＝＝6，
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝12﹣6＝6．
24．（8分）如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交AD于M，且交切线AC于点C，OC与半圆O交于点E，连接BE，DE．
（1）求证：∠BED＝∠C；
（2）若OA＝5，AD＝8，求MC的长．
【分析】（1）由切线的性质得∠1+∠2＝90°；由同角的余角相等得∠C＝∠2，由圆周角定理知∠BED＝∠2，故∠BED＝∠C．
（2）由直径所对的圆周角是直角，利用勾股定理求出BD，再根据三角形相似，求出OC和OM，再求MC即可．
【解答】
（1）证明：∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥AC，
∴∠1+∠2＝90°，
又∵OC⊥AD，
∴∠1+∠C＝90°，
∴∠C＝∠2，
又∠BED＝∠2，
∴∠BED＝∠C；
（2）解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BD＝＝＝6，
又∵OC⊥AD，且∠ADB＝90°，
∴OC∥BD，∠AOC＝∠DBA，
∴△OAC∽△BDA∽△OMA，
∴，即＝，
∴OC＝，
∴，即＝，
∴OM＝3，
∴MC＝OC﹣OM＝﹣3＝．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于经过A（﹣3，0），C（4，0）两点，其与y轴的交点为点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知AD＝AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，在抛物线的对称轴上求一点M，使MQ+MC的值最小？
【分析】（1）已知抛物线图象上的三点坐标，可利用待定系数法求出该抛物线的解析式；
（2）根据A、B的坐标，易求得AD＝AB＝5，则CD＝AC﹣AD＝2，连接DQ，由于BD垂直平分PQ，那么DP＝DQ，根据等腰三角形三线合一的性质知：∠PDB＝∠QDB＝∠ABD，即ABIDQ，此时△CDQ﹣△CAB，利用相似三角形得到的比例线段即可求得DQ、PD的长，从而求得AP的值，进而可求得t的值．
（3）根据轴对称的最短路径先作C关于对称轴的对称点，即点A，连接AQ与对称轴
的交点就是所求的M，先求Q的坐标，求直线AQ的解析式，因为对称轴是：×＝，即M的横坐标就是，代入AQ的解析式求y即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）C（4，0）两点，
∴，
解这个方程，得．
∴该抛物线解析式是y＝﹣x2+x+4；
（2）∵A（﹣3，0），C（4，0），
∴0A＝3，OB＝OC＝4，
则AB＝5，AC＝7，CD＝2；
如图1，连接DQ，由于BD垂直平分PQ，则DP＝DQ，
∴∠PDB＝∠QDB，
而AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB，
故∠QDB＝∠ABD，
∴QD∥AB，
∴△CDQ∽△CAB，则有
，
∴，
PD＝DQ＝，
AP＝AD﹣PD＝5﹣＝
故t＝；
（3）存在，
如图2，连接AQ交对称轴于M，此时MQ+MC为最小，
过Q作QN⊥x轴于N，
∵DQ∥AB，
∴∠QDN＝∠BAC，
sin∠QDN＝sin∠BAC＝，
∴，
∴QN＝，
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，k≠0，
把B（0，4）和C（4，0）代入得：
，
解得，
直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，
y＝时，，
x＝，
∴Q（），
同理可得：AQ的解析式为：y＝，
当x＝时，y＝，
∴M（）．
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