-浙江省杭州市下城区2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份-浙江省杭州市下城区2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省杭州市下城区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．平行四边形 D．菱形
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．若x2＝﹣x，则（　　）
A．x＝0 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝﹣1，x2＝0
4．数据3、4、6、x的平均数是5，这组数据的中位数是（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
5．某市经济发展势头进一步向好，2020年第一季度该地区生产总值约为5229亿元，第三季度生产总值约为6508亿元，设二，三季度平均每季度增长率为x，依题意列出方程正确的是（　　）
A．5229（1+x）＝6508 B．5229（1﹣x）＝6508
C．5229（1+x）2＝6508 D．6508（1﹣x）2＝5229
6．用反证法证明“四边形至少有一个角是钝角或直角”时，应先假设（　　）
A．四边形中每个角都是锐角
B．四边形中每个角都是钝角或直角
C．四边形中有三个角是锐角
D．四边形中有三个角是钝角或直角
7．如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使四边形AECF是平行四边形，则添加的条件不能是（　　）

A．AE＝CF B．BE＝FD C．BF＝DE D．∠1＝∠2
8．如图1，▱ABCD的对角线交于点O，▱ABCD的面积为120，AD＝20．将△AOD、△COB合并（A与C、D与B重合）形成如图2所示的轴对称图形，则MN+PQ＝（　　）

A．29 B．26 C．24 D．25
9．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个很，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
其中正确的（　　）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
10．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙，无重叠的四边形
EFGH，设AB＝a，BC＝b，若AH＝1，则（　　）

A．a2＝4b﹣4 B．a2＝4b+4 C．a＝2b﹣1 D．a＝2b+1
二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．计算：＝　 　．
12．某学校招聘工作人员，考试分笔试、面试和才艺三部分，笔试成绩、面试成绩与才艺成绩按5：3：2记入总成绩，若小李笔试成绩为90分，面试成绩为80分，才艺成绩为85分，则他的总成绩是　 　分．
13．已知正多边形的一个外角为40°，则这个正多边形的内角和为　 　．
14．将x2﹣2x﹣2＝0配方成（x+m）2＝n的形式，则n＝　 　．
15．如图，在△ABC中，已知AB＝8，BC＝5，点D，E分别为BC，AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，则EF的长为　 　．

16．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，且点A（0，﹣2），点B（m，m+1），点C（6，2）．
（1）线段AC的中点E的坐标为　 　；
（2）对角线BD长的最小值为　 　．
三、解答题（共7小题，满分0分）
17．用适当的方法求解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）（x+4）2＝5（x+4）．
18．解答下列各题．
（1）计算：÷﹣+；
（2）已知：y＝﹣﹣2020，求x+y的平方根．
19．某商店经销一种成本为每千克20元的水产品，据市场分析，若按每千克30元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，解答以下问题．
（1）当销售单价定为每千克35元时，销售量是　 　千克、月销售利润是　 　元；
（2）商店想在月销售成本不超过6000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？
20．某球队对甲、乙两名运动员进行3分球投篮测试，测试共五组，每组投10次，进球的个数统计结果如下：
甲：9，9，9，6，7；
乙：4，9，8，9，10；
列表进行数据分析：
选手
平均成绩
中位数
众数
方差
甲
8
b
9
d
乙
a
9
c
4.4
（1）b＝　 　，c＝　 　；
（2）试计算乙的平均成绩a和甲的方差d；（计算方差的公式：s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]）
（3）根据以上数据分析，如果你是教练，你会选择哪名队员参加3分球大赛？请说明理由．
21．如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接AC，若AD＝6，CD＝3，求AC的长．

22．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
（3）若方程的两个实数根之差等于3，求k的值．
23．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝8，点P在对角线BD上（不与点B，D重合），PE∥BC，PF∥DC．
（1）若P是线段BD中点．
则四边形PECF的周长为　 　，四边形PECF的面积为　 　；
（2）点P在线段BD上运动时，四边形PECF的周长是否为定值，请说明理由．
（3）设PE＝x，求四边形PECF的面积（用含x的代数式表示），并说明x为何值时，四边形PECF面积有最大值．



参考答案
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．平行四边形 D．菱形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的定义逐一判断即可．
解：A，，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B，，是最简二次根式，故此选项符合题意；
C，被开方数不是整数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D，＝，被开方数含有开的尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意．
故选：B．
3．若x2＝﹣x，则（　　）
A．x＝0 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝﹣1，x2＝0
【分析】观察方程，先移项再因式分解即可解出x的值．
解：x2＝﹣x，
x2+x＝0，
x（x+1）＝0，
∴x＝0或x+1＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1，
所以A、B、C错误，
故选：D．
4．数据3、4、6、x的平均数是5，这组数据的中位数是（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
【分析】先根据平均数的概念列方程求出x的值，再将数据重新排列，利用中位数的定义求解即可．
解：∵数据3、4、6、x的平均数是5，
∴＝5，
解得x＝7，
∴这组数据为3、4、6、7，
则这组数据的中位数为＝5，
故选：C．
5．某市经济发展势头进一步向好，2020年第一季度该地区生产总值约为5229亿元，第三季度生产总值约为6508亿元，设二，三季度平均每季度增长率为x，依题意列出方程正确的是（　　）
A．5229（1+x）＝6508 B．5229（1﹣x）＝6508
C．5229（1+x）2＝6508 D．6508（1﹣x）2＝5229
【分析】根据该市2020年第一季度及第三季度生产总值，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：依题意得：5229（1+x）2＝6508．
故选：C．
6．用反证法证明“四边形至少有一个角是钝角或直角”时，应先假设（　　）
A．四边形中每个角都是锐角
B．四边形中每个角都是钝角或直角
C．四边形中有三个角是锐角
D．四边形中有三个角是钝角或直角
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中每个角都是锐角．
故选：A．
7．如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使四边形AECF是平行四边形，则添加的条件不能是（　　）

A．AE＝CF B．BE＝FD C．BF＝DE D．∠1＝∠2
【分析】可以针对平行四边形的各种判定方法，给出条件．答案可以有多种，主要条件明确，说法有理即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠ABD＝∠CDB；
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE；
∴AE∥CF；
∴四边形AECF是平行四边形，故B正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠ABD＝∠CDB；
又∵BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，
∴BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD；
∴∠AEF＝∠CFE；
∴AE∥CF；
∴四边形AECF是平行四边形，故C正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠ABD＝∠CDB；
又∵∠1＝∠2，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD；
∴∠AEF＝∠CFE；
∴AE∥CF；
∴四边形AECF是平行四边形，故D正确；
添加AE＝CF后，不能得出△ABE≌△CDF，进而得不出四边形AECF是平行四边形，
故选：A．
8．如图1，▱ABCD的对角线交于点O，▱ABCD的面积为120，AD＝20．将△AOD、△COB合并（A与C、D与B重合）形成如图2所示的轴对称图形，则MN+PQ＝（　　）

A．29 B．26 C．24 D．25
【分析】由题意可得对角线PQ⊥MN，且PQ与平行四边形的高相等，进而利用面积与边的关系求出MN边的高即可．
解：如图，连接PQ，

则可得对角线PQ⊥MN，且PQ与平行四边形的高相等．
∵平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝20，
∴MN＝AD＝20，，
∴PQ＝6，
又MN＝20，
∴MN+PQ＝26，
故选：B．
9．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个很，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
其中正确的（　　）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：△＝b2﹣4a≥0，故①正确；
②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴△＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0
则方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝b2﹣4a＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0，
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：x0＝，
∴2ax0+b＝，
∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故④正确．
故正确的有①②④，
故选：A．
10．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙，无重叠的四边形
EFGH，设AB＝a，BC＝b，若AH＝1，则（　　）

A．a2＝4b﹣4 B．a2＝4b+4 C．a＝2b﹣1 D．a＝2b+1
【分析】利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形EFGH为矩形，根据矩形的性质得到EH＝FG，∠A＝∠B＝∠D＝∠C＝90°，根据余角的性质得到∠AEH＝∠CGF，根据全等三角形的性质得到CF＝AH＝1，根据相似三角形的性质即可得到结论．
解：∵∠HEJ＝∠AEH，∠BEF＝∠FEJ，
∴∠HEF＝∠HEJ+∠FEJ＝×180°＝90°，
同理可得：∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°，
∴四边形EFGH为矩形，
∴EH＝FG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠AEH+∠AHE＝∠AHE+∠DHG＝∠DHG+∠DGH＝∠DGH+∠CGF＝90°，
∴∠AEH＝∠CGF，
∴△AEH≌△CGF（AAS），
∴CF＝AH＝1，
∴△AEH∽△BFE，
∴，
由折叠的性质的，AE＝EJ＝BE＝AB＝a，
∴＝，
∴a2＝4b﹣4，
故选：A．
二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．计算：＝　5　．
【分析】根据二次根式的性质解答．
解：＝5，
故答案为：5．
12．某学校招聘工作人员，考试分笔试、面试和才艺三部分，笔试成绩、面试成绩与才艺成绩按5：3：2记入总成绩，若小李笔试成绩为90分，面试成绩为80分，才艺成绩为85分，则他的总成绩是　86　分．
【分析】根据小李的最后总成绩＝笔试×所占的比值+面试×所占的比值+才艺×所占的比值即可求得．
解：根据题意，小李的最后得分是90×+80×+85×＝86（分）．
故他的总成绩是86分．
故答案为：86．
13．已知正多边形的一个外角为40°，则这个正多边形的内角和为　1260°　．
【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出它的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
解：正多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得，
解得n＝9．
（9﹣2）×180°＝1260°，
即这个正多边形的内角和为1260°．
故答案为：1260°．
14．将x2﹣2x﹣2＝0配方成（x+m）2＝n的形式，则n＝　3　．
【分析】先移项得到x2﹣2x＝2，再把方程两边加上1，然后把方程左边利用完全平方公式写成完全平方的形式即可．
解：x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝3，
（x﹣1）2＝3．
∴n＝3．
故答案为：3．
15．如图，在△ABC中，已知AB＝8，BC＝5，点D，E分别为BC，AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，则EF的长为　1.5　．

【分析】利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠ABF＝∠DFB，再利用角平分线的性质，得到DF＝DB，进而求出DF的长，易求EF的长度．
解：∵在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，AB＝8，
∴DE∥AB，DE＝AB＝4．
∴∠ABF＝∠DFB．
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠DBF．
∴∠DBF＝∠DFB
∴FD＝BD＝BC＝×5＝．
∴FE＝DE﹣DF＝4﹣＝1.5．
故答案为：1.5．
16．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，且点A（0，﹣2），点B（m，m+1），点C（6，2）．
（1）线段AC的中点E的坐标为　（3，0）　；
（2）对角线BD长的最小值为　4　．
【分析】（1）由中点坐标公式可求解；
（2）先求出点B的运动轨迹，由垂线段最短可得当BE⊥直线y＝x+1时，BE有最小值，即BD有最小值，即可求解．
解：（1）∵点A（0，﹣2），点C（6，2），
∴线段AC中点E的坐标为（3，0），
故答案为：（3，0）；
（2）∵点B（m，m+1），
∴点B在直线y＝x+1上运动，
则直线y＝x+1与x轴交于点F（﹣1，0），∠BFO＝45°，
如图，当BE⊥直线y＝x+1时，BE有最小值，即BD有最小值，

此时，EF＝3﹣（﹣1）＝4，
∵∠BFE＝45°，∠EBF＝90°，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BE＝BF，EF＝BE，
∴BE＝2，
∴BD的最小值＝4，
故答案为4．
三、解答题（共7小题，满分0分）
17．用适当的方法求解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）（x+4）2＝5（x+4）．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
解：（1）∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
则x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，
∴x﹣1＝±，
∴，；

（2）∵（x+4）2＝5（x+4），
∴（x+4）2﹣5（x+4）＝0，
则（x+4）（x﹣1）＝0，
∴x+4＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝1．
18．解答下列各题．
（1）计算：÷﹣+；
（2）已知：y＝﹣﹣2020，求x+y的平方根．
【分析】（2）根据二次根式混合运算的法则运算即可；
（2）根据二次根式有意义的条件可得，从而可得x，y的值，再求得x+y的平方根．
解：（1）原式＝﹣+
＝4﹣+
＝4﹣．
（2）由二次根式有意义可得：，解得x＝2021．
∴y＝＝﹣2020．
∴x+y＝2021﹣2020＝1．
故x+y的平方根为±1．
19．某商店经销一种成本为每千克20元的水产品，据市场分析，若按每千克30元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，解答以下问题．
（1）当销售单价定为每千克35元时，销售量是　450　千克、月销售利润是　6750　元；
（2）商店想在月销售成本不超过6000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？
【分析】（1）利用销售量＝500﹣10×涨价的钱数，即可求出销售量，再利用月销售利润＝每千克的利润×月销售量，即可求出月销售利润；
（2）设销售单价应为x元/千克，则每千克的利润为（x﹣20）元，月销售量为（800﹣10x）千克，利用月销售利润＝每千克的利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合月销售成本不超过6000元，即可确定x的值．
解：（1）500﹣10×（35﹣30）＝450（千克），
（35﹣20）×450＝6750（元）．
故答案为：450；6750．
（2）设销售单价应为x元/千克，则每千克的利润为（x﹣20）元，月销售量为（800﹣10x）千克，
依题意得：（x﹣20）（800﹣10x）＝8000，
整理得：x2﹣100x+2400＝0，
解得：x1＝40，x2＝60．
当x＝40时，20（800﹣10x）＝8000＞6000，不合题意，舍去；
当x＝60时，20（800﹣10x）＝4000＜6000，符合题意．
答：销售单价应为60元/千克．
20．某球队对甲、乙两名运动员进行3分球投篮测试，测试共五组，每组投10次，进球的个数统计结果如下：
甲：9，9，9，6，7；
乙：4，9，8，9，10；
列表进行数据分析：
选手
平均成绩
中位数
众数
方差
甲
8
b
9
d
乙
a
9
c
4.4
（1）b＝　9　，c＝　9　；
（2）试计算乙的平均成绩a和甲的方差d；（计算方差的公式：s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]）
（3）根据以上数据分析，如果你是教练，你会选择哪名队员参加3分球大赛？请说明理由．
【分析】（1）利用中位数和众数的概念很容易求出b．c的值；
（2）利用平均数的计算公式可得乙的平均数，再利用方差的计算公式计算甲的方差；
（3）通过比较以上四个数量指标，在平均数，中位数，众数相同的情况下，选择方差较小的参加．
解：∵将甲的5个数据按照由小到大的顺序排列：6，7，9，9，9，
位置在最中间的是9，
∴这组数据的中位数为9．
∴b＝9．
∵乙的5个数据中9出现了两次，出现次数最多，
∴乙组数据的众数为：9．
∴c＝9．
故答案为：9；9．
（2）乙的平均数a＝＝8．
∵方差的公式：s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，
∴d＝[（9﹣8）2+（9﹣8）2+（9﹣8）2+（6﹣8）2+（7﹣8）2]＝1.6．
（3）选择甲选手参加比赛．
理由：∵甲，乙的平均成绩都为8，中位数都为9，众数都为9，
但甲的方差d＝1.6＜乙的方差4.4
∴在平均数、中位数、众数都相同的情况下，甲的方差比乙小，
故甲比乙稳定，选择甲．
21．如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接AC，若AD＝6，CD＝3，求AC的长．

【分析】（1）证明四边形BECD是平行四边形，根据题意得到BC＝DE，根据矩形的判定定理证明；
（2）根据矩形的性质得到∠ABD＝90°，根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理计算即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵AD＝BC，AD＝DE，
∴BC＝DE，
∴▱BECD是矩形；
（2）如图，

∵CD＝3，
∴AB＝BE＝3．
∵AD＝6，∠ABD＝90°，
∴BD＝＝＝3，
∴CE＝3，
∴AC＝＝＝3．
22．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
（3）若方程的两个实数根之差等于3，求k的值．
【分析】（1）先计算△，化简得到△＝（2k﹣3）2，易证△≥0，再根据△意义即可得到结论；
（2）利用求根公式计算出方程的两根，然后分类讨论，依据三角形三边关系，最后计算周长；
（3）方程的两个实数根之差等于3，所以，解方程即可得k值．
解：（1）△＝（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵无论k取何值，（2k﹣3）2≥0，
故这个方程总有两个实数根；
（2）由求根公式得x＝，
∴x1＝2k﹣1，x2＝2．
∵另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，
设b＝2k﹣1，c＝2，
当a，b为腰时，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，计算得出k＝，
此时三角形周长为4+4+2＝10；
当b，c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，构不成三角形，
故此种情况不存在．
综上所述，△ABC面积为10．
（3）∵方程的两个实数根之差等于3，
∴，
解得：k＝0或3．
23．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝8，点P在对角线BD上（不与点B，D重合），PE∥BC，PF∥DC．
（1）若P是线段BD中点．
则四边形PECF的周长为　16　，四边形PECF的面积为　8　；
（2）点P在线段BD上运动时，四边形PECF的周长是否为定值，请说明理由．
（3）设PE＝x，求四边形PECF的面积（用含x的代数式表示），并说明x为何值时，四边形PECF面积有最大值．

【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝BC＝8＝AD＝CD，∠CBD＝∠ABD，∠ADB＝∠CDB，AC⊥BD，可证四边形PECF是平行四边形，可得PE＝FC，PF＝CE，即可求解；
（2）易证四边形PECF是平行四边形，可得PE＝FC，PF＝CE，由平行线的性质和菱形的性质可证BF＝PF，DE＝PE，即可求解；
（3）过点P作PH⊥BC于H，由直角三角形的性质可求PH＝×，由平行四边形的性质面积公式可求解．
解：（1）∵如图，连接AC，交BD于点O，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝8＝AD＝CD，∠CBD＝∠ABD，∠ADB＝∠CDB，AC⊥BD，
∴∠CBD＝∠ABD＝∠ADB＝∠CDB＝30°，
∵∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝8，
∴AO＝CO＝4，
∴BO＝DO＝4，
∵PE∥BC，PF∥DC，
∴四边形PECF是平行四边形，∠BPF＝∠BDC，∠DPE＝∠DBC，
∴PE＝FC，PF＝CE，∠FBP＝∠FPB，∠DPE＝∠CDB，
∴BF＝PF，DE＝PE，
∴四边形PECF的周长＝PE+FP+CF+CE＝BF+CF+DE+CE＝BC+CD＝16，
∵P是线段BD中点，
∴点P与点O重合，
∴∠FPC＝∠FCP＝60°，
∴PF＝FC＝BF，
∴S△PFC＝S△BPC，
∴四边形PECF的面积＝S△BPC＝×4×4＝8，
故答案为：16，8；
（2）四边形PECF的周长是定值，理由如下，
∵PE∥BC，PF∥DC，
∴四边形PECF是平行四边形，∠BPF＝∠BDC，∠DPE＝∠DBC，
∴PE＝FC，PF＝CE，∠FBP＝∠FPB，∠DPE＝∠CDB，
∴BF＝PF，DE＝PE，
∴四边形PECF的周长＝PE+FP+CF+CE＝BF+CF+DE+CE＝BC+CD＝16；
（3）如图2，过点P作PH⊥BC于H，

∵PE＝x＝FC，
∴BF＝8﹣x＝PF，
∵∠PFH＝∠DBC+∠BPF＝60°，PH⊥BC，
∴∠FPH＝30°，
∴FH＝PF＝，PH＝×，
∴四边形PECF面积＝CF×PH＝x•（8﹣x）＝﹣（x﹣4）2+8，
∴当x＝4时，四边形PECF面积的最大值为8．