专题2.12 已知函数增或减，导数符号不改变-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）

【题型综述】

用导数研究函数的单调性

（1）用导数求函数的单调区间

求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求，得函数的单调递增（减）区间．

一般地，函数在某个区间可导，＞0在这个区间是增函数

一般地，函数在某个区间可导，＜0在这个区间是减函数

（2）单调性的应用（已知函数单调性）

一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是增(减)函数≥。

常用思想方法：[来源:学科网ZXXK]

函数在某区间上单调递增，说明导数大于或等于零恒成立．，而函数在某区间上单调递减，说明导数小于或等于零恒成立．

【典例指引】

例1．已知函数， ．

⑴ 若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；

⑵ 若函数在区间上单调，求实数的取值范围．[来源:学+科+网Z+X+X+K]

【思路引导】

（1）根据题意，对函数求导，由导数的几何意义分析可得曲线 在点处的切线方程，代入点，计算可得答案；
（2）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在（上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答案；

若函数在区间上单调递增，则在恒成立，

，得； 学科&网

若函数在区间上单调递减，则在恒成立，

，得，

综上，实数的取值范围为

例2．已知函数．（x＞0）

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若在上是单调增函数，求实数a的取值范围．

【思路引导】

（1）函数求导，令得函数增区间，令得函数的减区间；

（2）函数为上单调增函数，只需在上恒成立即可．

点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．

例3．已知函数．

（1）若曲线在点处的切线的倾斜角为，求实数的值；

（2）若函数在区间上单调递增，求实数的范围

【思路引导】

（1）根据切线的倾斜角为得到切线的斜率，根据导数的几何意义可以知道处的导数即为切线的斜率，建立等量关系，求出a即可;
（2）根据函数在区间上单调递增，可转化成，对恒成立，将参数a分离，转化成当时，不等式恒成立，利用均值不等式求出不等式右边函数的最小值，进而得实数a的范围

【新题展示】

1．【2019贵州遵义联考】已知函数.

（1）当时，求函数的极值；

（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.

【思路引导】

（1）当时，利用函数的导数，求得函数的单调区间，由此求得函数的极值.

（2）依题意可知函数在区间上的导函数为非正数，列不等式后利用分离常数法，求解出的取值范围.

【解析】

（1）当时， ，

，

由解得，由解得，

故当时，的单调递增；当时，单调递减，

当时，函数取得极大值，无极小值.

2．【2019陕西西安市期末】已知函数

（1）求的极值；

（2）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围.

【思路引导】

（1）由已知可得，求出其导函数，解得导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，求得函数的单调区间，进一步求得极值

（2）由函数在定义域内为增函数，可得恒成立，分离参数，利用基本不等式求得最值可得答案

【解析】

(2)，，

由题意可知恒成立，即

时，，当且仅当时等号成立，故，则

【同步训练】

1．已知函数．

（1）若的图像在处的切线与轴平行，求的极值；

（2）若函数在内单调递增，求实数的取值范围．

【思路引导】

（1）求出，由求得，研究函数的单调性，即可求得的极值；（2）化简，可得，对求实数分三种情况讨论，分别利用导数研究函数的单调性，验证函数在内是否单调递增即可得结果．

（2），则 ．

设，

①当时，，当时，，当时， ，所以在内单调递增，在内单调递减，不满足条件；

②当时，是开口向下的抛物线，方程有两个实根，设较大实根为．当时，有，即，所以在内单调递减，故不符合条件；

③当时，由可得在内恒成立，学科&网

故只需或，即或，解之得．

综上可知，实数的取值范围是．学科&网

2．已知函数．

（1）若在上递增，求的取值范围；[来源:Zxxk.Com]

（2）证明：．

【思路引导】

（1）要使在上递增，只需，且不恒等于0，所以先求得函数的增区间， 是增区间的子区间．（2）当时， ， 显然成立． 当时，即证明 ，令

（），即求，由导数可证．

∴，即．

综上， ．

3．已知函数．

（1）若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，求的表达式；

（2）若在上是减函数，求实数的取值范围．

【思路引导】

（1）求出函数f（x）的导数，得到关于a的方程，求出a的值，计算g（1）=0，求出b的值，从而求出g（x）的解析式即可；

（2）求出函数的导数，问题转化为，x∈[1，+∞），根据函数的单调性求出m的范围即可．

点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为： ．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．

4．设函数．

（1）若时，取得极值，求的值；

（2）若在其定义域内为增函数，求的取值范围．

【思路引导】

（1）先求函数的导函数，根据若时，取得极值得，解之即可；（2）在其定义域内为增函数可转化成只需在内有恒成立，根据二次函数的图象与性质建立不等式关系，解之即可．

【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及利用单调性求参数的范围，属于中档题．利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题(2)是利用方法②求解的．

5．己知函数，．

（I）求函数上零点的个数；

（II）设，若函数在上是增函数，求实数的取值范围．

【思路引导】

（1）先求得， 时， 恒成立，可证明时， ，可得在上单调递减，根据零点定理可得结果；（2）化简为分段函数

，利用导数研究函数的单调性，讨论两种情况，分别分离参数求最值即可求得实数的取值范围．

（II）由（Ⅰ）知：当时， ＞0，当时， ＜0．

∴当时， =

求导，得

由于函数在上是增函数， 故在， 上恒成立．

①当时， ≥0在上恒成立，

即在上恒成立，

记， ，则，，

所以， 在上单调递减，在上单调递增，

∴min= 极小值= ，

故“在上恒成立”，只需 ，即．

6．已知函数的切线方程为y=3x+1．

(1) 若函数处有极值，求的表达式；

(2) 若函数在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围．

【思路引导】

已知函数在某点处的切线方程，根据导数的几何意义，函数在某点处的导数值即为切线的斜率，曲线与切线都经过切点，函数的极值点处的导数值为零，列方程组求出；

函数在某区间上单调递增，说明导数大于或等于零恒成立，求出的范围．

【点睛】已知曲线在某点处的切线方程，根据导数的几何意义，函数在某点处的导数值即为切线的斜率，曲线与切线都经过切点，函数的极值点处的导数值为零，列方程组求出；

函数在某区间上单调递增，说明导数大于或等于零恒成立．，而函数在某区间上单调递减，说明导数小于或等于零恒成立．[来源:Z&xx&k.Com]

7．已知函数．           

（1）若函数的图象在处的切线斜率为1，求实数的值；

（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围．

【思路引导】

（1）先求得，由导数的几何意义得，即可得实数的值；（2）根据函数的单调性与导数的关系可得在上恒成立，即，在上恒成立，即在上恒成立，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出结论．

试题解析：

（1），由已知，解得．学科&网

(2)由，得，由已知函数为上的单调减函数，则，在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令在上 ，在上为减函数，，．学科&网

【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的单调性，属于难题． 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解．

8．（本题15分）已知函数．

（I）若在处的切线方程为，求的值；

（II）若在上为增函数，求得取值范围．

【思路引导】

（1）利用导数的几何意义布列所求量的方程组即可；（2）因为在上为增函数，所以在上恒成立，变量分离求最值即可．

点睛：高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：

（1）已知切点求切线方程；

（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；[来源:Zxxk.Com]

（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围．

9．已知函数 

（I）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若函数在区间上单调递减,求实数的取值范围．

【思路引导】

 (Ⅰ)首先对函数求导，然后分别讨论 和 两种情况即可；(Ⅱ)结合(I)的结论，得到,据此可得．

 10．已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围．

【思路引导】

（1）求得函数的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（2）函数在上单调递增，可得在上恒成立，即在上恒成立，令，可得在上恒成立，可令，由且，解不等式即可得到所求范围．

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性，属于难题．求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程．

11．已知函数 ．

  （Ⅰ）若在上单调递减，求的取值范围；

  （Ⅱ）讨论的单调性．[来源:学.科.网]

【思路引导】

（Ⅰ） 在上恒成立，转化为，构造 ， ，求最值即可．

（Ⅱ）=，分讨论可得单调区间．

试题解析：

   （Ⅱ）定义域为

=，[来源:学科网ZXXK]

     因为，所以，因此方程有两个根，

， ，

，

当，即时，学科&网

当变化时， 、变化如下表

     由上表知：

在上单调递增，在上单调递减，

当即时

当变化时， 、变化如下表

[来源:Z#xx#k.Com]

12．已知函数．

（1）当时，判断的单调性；

（2）若在上为单调增函数，求实数 的取值范围．

【思路引导】

（1）当时，对函数求导后因式分解，根据导数与单调性的知识可写出函数的单调区间．（2）当时，可判断函数导数恒为非负数，函数递增符合题意．当和时，利用函数的二阶导数判断出不符合题意．故．

点睛：本题主要考查导数与单调性的求解，考查利用导数解决已知函数在某个区间上递增求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法．第一问已知的值，利用导数求函数的单调区间，其基本步骤是：求函数导数、对导数进行通分因式分解、画出导函数图像、画出原函数图像，最后根据图像来研究题目所求的问题．第二问由于一阶导数无法解决问题，故考虑用二阶导数来解决．