专题2.14 等或不等解存在，转化值域可实现-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）

【题型综述】

导数研究方程的根或不等式的解集 

利用导数探讨方程解的存在性，通常可将方程转化为，通过确认函数或的值域，从而确定参数或变量的范围；

类似的，对于不等式，也可仿效此法．

[来源:Zxxk.Com]

【典例指引】

例1．已知函数．

（1）若关于的方程在上有解，求实数的最大值；

（2）是否存在，使得成立？若存在，求出，若不存在，说明理由；

【思路引导】

（1）方程在上有解，等价于有解，只需求的最大值即可；（2）假设存在，可推导出矛盾，即可证明不存在．[来源:学。科。网Z。X。X。K]

例2．已知函数的最大值为， 的图象关于轴对称．

(Ⅰ)求实数的值；[来源:Z*xx*k.Com]

(Ⅱ)设，是否存在区间，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

【思路引导】

 (Ⅰ) 由题意得，可得在上单调递增，在上单调递减，可得的最大值为，可得。由的图象关于轴对称，可得。 (Ⅱ)由题知，则，从而可得在上递增。假设存在区间，使得函数在上的值域是，则，将问题转化为关于的方程在区间上是否存在两个不相等实根的问题，即在区间上是否存在两个不相等实根，令，，可得在区间上单调递增，不存在两个不等实根。

问题转化为关于的方程在区间上是否存在两个不相等实根，

即方程在区间上是否存在两个不相等实根，

令， ，

则,

设,

则， ，

故在上递增，学&科网

故，所以，故在区间上单调递增，

故方程在区间上不存在两个不相等实根，

综上，不存在区间使得函数在区间上的值域是．

点睛：（1）解决导数综合题时，函数的单调性、极值是解题的基础，在得到单调性的基础上经过分析可使得问题得以解决。

（2）对于探索性问题，在求解的过程中可先假设结论成立，然后在此基础上进行推理，看能否得到矛盾，若得到矛盾，则说明假设不成立；若无矛盾出现，则说明假设成立，从而说明所证明题成立。

例3．已知函数为常数

（1）当在处取得极值时，若关于x的方程 在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；

（2）若对任意的，总存在，使不等式 成立，求实数 的取值范围．

【思路引导】

（1）对函数，令，可得的值，利用导数研究的单调性，然后求得的最值，即可得到的取值范围；（2）利用导数求出在上的最大值，则问题等价于对对任意，不等式成立，然后构造新函数，再对求导，然后讨论，得出的单调性，即可求出的取值范围．

当时，，所以在区间上单调递减，此时

所以不可能使恒成立，故必有，因为

若，可知在区间上单调递增，在此区间上有满足要求

若，可知在区间上递减，在此区间上有，与恒成立相矛盾，所以实数的取值范围是．学&科网

点睛：本题主要考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度较大，属于难题．在处理导数大题时，注意分层得分的原则，一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后含参数的问题注意分类讨论，对于恒成立的问题，一般要构造新函数，再利用导数求出函数单调性及最值，涉及到的技巧较多，需多加体会．

【新题展示】

1．【2019山东枣庄上学期期末】已知

（I）求函数的极值；

（II）若方程仅有一个实数解，求的取值范围．

【思路引导】

（I）先根据题意，求出，再求出，然后对a进行讨论，求得的单调性，然后取得极值.

（II）仅有一个实数解,即有唯一零点，然后求得

，再对a进行讨论，讨论单调性，求得的最小值，再利用零点存在性定理，最后求得a的取值.

【解析】

（I）,

当 ， ，在上是增函数，

所以，函数没有极值.

（II）仅有一个实数解,即有唯一零点.

当，，此时在R上递增，

因为，

所以在递减；在递增，

，当x=0取等号，

所以满足题意；

当时，

所以在递减，上递增；

令

此时当上，递增；当上，递减；[来源:Zxxk.Com]

当且紧当取等号，

所以（1）当，，且

因为（利用：当时， ），所以

由零点存在性定理，可得存在唯一使得，注意（）

于是，当递增；当递减；当递增；

于是 [来源:Z,xx,k.Com]

且当 

由零点存在性定理：必然存在一个使得

此时，存在两个零点，可见不满足题意；

（3）当时，则

此时在R上递增，且，

所以此时有唯一一个零点

所以满足题意

综上，a的取值范围为

2．【2019广西柳州毕业班1月模拟】已知函数，

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点.如果函数存在不动点，求实数的取值范围.

【思路引导】

（1）将代入，结合导函数，判定单调区间，即可。

（2）用x表示a，构造函数，求导，判定原函数的单调性，计算最值，计算a的范围，即可。

【解析】

（2）

存在不动点，方程有实数根.

即有解.

令

令，.

当时， ，递减；

当时，，递增；

[来源:学.科.网]

当时，有不动点，

范围

3．【2019山东济南上学期期末】已知函数.

（1）若曲线在点处切线的斜率为1，求实数的值；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.

【思路引导】

(1)求出，令x=1,即可解出实数的值；

（2）时，恒成立转化为求函数最小值大于零即可.

【解析】

（ⅰ）当时，在上恒成立，

所以在上恒成立，所以在上是增函数，

所以，所以在上恒成立，

所以在上是增函数，

所以在上恒成立，符合题意；

（ⅱ）当时，，，所以，使得，

当时，，所以，所以在上是减函数，

所以在上是减函数，

所以，所以在上是减函数，

所以，不符合题意；

综上所述：.

4．【2019江西南昌二中上学期期末】已知函数 在处取到极值2.

（1）求的解析式；

（2）若a<e，函数，若对任意的，总存在（为自然对数的底数），使得，求实数的取值范围.

【思路引导】

(1)先对函数求导，再由函数在处取到极值2，可列出方程组，解方程组即可得出解析式;

(2)由(1)可得函数的定义域为R，且函数为奇函数，进而求出的值域，从而可求出的最小值，因此可将函数，若对任意的，总存在（为自然对数的底数），使得的问题转化为在上成立的问题，用导数的方法研究函数的单调性和最值即可求出结果.

【解析】

(2)由(1)知的定义域为R，且，所以函数为奇函数，，

时，，，当且仅当时，取等号；

故函数的值域为，从而，依题意有，

函数的定义域为，，

①当时，，函数在区间上单调的证，其最小值为,

符合题意；

5．【2019江苏苏州上学期期末】已知函数(a，bR)．

（1）当a＝b＝1时，求的单调增区间；

（2）当a≠0时，若函数恰有两个不同的零点，求的值；

（3）当a＝0时，若的解集为(m，n)，且(m，n)中有且仅有一个整数，求实数b的取值范围．

【思路引导】

（1）当a＝b＝1时，求得函数的导数，即可求解函数的单调区间；

（2）法一：求得，令，得或，由函数f（x）有两个不同的零点，求得的方程，即可求解；

法二：由得，，设，利用导数求得函数的单调区间和极值，进而可得函数的零点。

（3）当时，可得，设，利用导数得到函数的单调区间和极值，转化为要使有解，和的解集（m,n）中只有一个整数，分别列出不等式组，即可求解。

【解析】

（1）当a＝b＝1时，，

令，解得或

所以f（x）的单调增区间是和

（2）法一：，令，得或，

因为函数f（x）有两个不同的零点，所以或，

当时，得a＝0，不合题意，舍去：

当时，代入得

即，所以.

（3）当时，因为，所以

设，则，

当时，因为，所以在上递增，且，

所以在上，，不合题意：

当时，令，得，

所以在递增，在递减，

所以，

要使有解，首先要满足，解得.  ①

又因为，，

要使的解集（m,n）中只有一个整数，则

即解得.  ②

【同步训练】

1．设函数， ，已知曲线在点处的切线与直线平行．

（1）求的值；

（2）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由．

【思路引导】

（1）求出的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得；

（2）求出、的导数和单调区间，最值，由零点存在定理，即可判断存在k=1．

又，

所以存在，使．

因为，所以当时， ，当时， ，学&科网

所以当时， 单调递增，

所以时，方程在内存在唯一的根．

点睛：本题考查函数的单调性、极值，同时考查零点存在定理和分段函数的最值，考查运算能力，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题．处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会．

2．已知函数．

（1）若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；

（3）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

【思路引导】

（1）由题意得导函数在其定义域内恒非负，再根据二次方程恒成立条件得实数的取值范围；（2）将不等式有解问题，利用参变分离法转化为对应函数最值问题，再利用导数求对应函数最值，即得实数的取值范围．

则原问题转化为在上至少存在一点，使得，即．

①时， ，

∵，∴， ， ，则，不符合条件；

②时， ，

由，可知，学&科网

则在单调递增， ，整理得．

综上所述， ．

点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决．但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法．

3．已知函数，其中

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若在上存在，使得成立，求的取值范围．

【思路引导】

（1）函数的单调区间与导数的符号相关，而函数的导数为，故可以根据的符号讨论导数的符号，从而得到函数的单调区间．（2）若不等式 在 上有解，那么在上， ．但在上的单调性不确定，故需分 三种情况讨论．

（2）若在上存在，使得成立，则在上的最小值小于．

①当，即时，由（1）可知在上单调递增， 在上的最小值为，由，可得，

②当，即时，由（1）可知在上单调递减， 在上的最小值为，由，可得 ；学&科网

③当，即时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 在上的最小值为，因为，所以，即，即，不满足题意，舍去．

综上所述，实数的取值范围为．

点睛：函数的单调性往往需要考虑导数的符号，通常情况下，我们需要把导函数变形，找出能决定导数正负的核心代数式，然后就参数的取值范围分类讨论．又不等式的恒成立问题和有解问题也常常转化为函数的最值讨论，比如：“在 上有解”可以转化为“在 上，有”，而“在恒成立”可以转化为“在 上，有”．

4．已知函数．

（1）若在上递增，求的取值范围；

（2）若，与至少一个成立，求的取值范围（参考数据： ）

【思路引导】

（1）由题意可得在， 上递增，又在上递增，故或，解得或，即为所求。（2）结合（1）中结论及条件可得， 。分，和两种情况可求得或．

（2）由（1）知， 在上单调递减，在上单调递增

∴，

又， ，

∴，

当，即时，显然成立；学&科网

当，即时，可得或，

点睛：已知函数单调性求参数取值范围的方法

（1）若函数的单调区间容易求出，可转化为集合间的包含关系，在此基础上得到关于参数的不等式（组）求解。

（2）若函数的单调区间不易求出，可利用在所给区间上恒成立解决，解题时可根据分离参数的方法求解出参数的范围。

5．已知函数．

若，求函数的极值；

设函数，求函数的单调区间；

若在区间上不存在，使得成立，求实数的取值范围．

【思路引导】

（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导数符号，确定极值（2）先求导数，求导函数零点，讨论与零大小，最后根据导数符号确定函数单调性（3）正难则反，先求存在一点,使得成立时实数的取值范围，由存在性问题转化为对应函数最值问题，结合（2）单调性可得实数的取值范围，最后取补集得结果

，∴；

当时， 在上递减，在上递增

令，则

在递减， ， 无解，

即无解；学&科网

综上：存在一点,使得成立，实数的取值范围为： 或．

所以不存在一点，使得成立，实数的取值范围为．

点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题．[来源:Z.xx.k.Com]

6．已知函数 (为实常数)．

(1)若,求曲线在处的切线方程;

(2)讨论函数在上的单调性;

(3)若存在,使得成立,求实数的取值范围．

【思路引导】

(1)求出切线的斜率， ，即可得出切线方程；(2) [1,e]，分、三种情况讨论导数的符号，即可得出结论；(3)分、三种情况讨论函数的单调性并求出最值,则易得结论．

⑶当时, 在上单调增, 的最小值为

当时, 在上单调减,在上单调增,

的最小值为．[来源:学,科,网Z,X,X,K]

因为学&科网

．

当时, 在上单调减,

的最小值为,学&科网[来源:Z_xx_k.Com]

，综上,

7．已知，其中．

（1）求函数的极大值点；

（2）当时，若在上至少存在一点，使成立，求的取值范围．

【思路引导】

（1）求导，对进行四类讨论，得到极大值的情况；（2）在上至少存在一点，使成立，等价于当时， ，结合（1）的单调性情况，求，得到的取值范围．

8．已知函数（）

（1）若，求的极值；

（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．

【思路引导】

（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为， 成立，设，根据函数的单调性求出a的范围即可．

试题解析：

（2）存在，使得成立，

等价于，（ ）成立

设

则

令，解得： （舍），；

①当， 在递减

∴

令，解得： 学&科网

②当时， 在递减，在递增

∴与矛盾

综上，

9．已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围．

【思路引导】

（1）函数求导，从而得单调区间；

（2）方程有实数根，即函数存在零点，分类讨论函数的单调性，从而得有零点时参数的范围．

（2）由题得， ．

依题意，方程有实数根，

即函数存在零点．

又．

令，得．

当时，．

即函数在区间上单调递减，

而， ．

所以函数存在零点；

点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．

10．已知函数，且直线是函数的一条切线．

（1）求的值；

（2）对任意的，都存在，使得，求的取值范围；

（3）已知方程有两个根，若，求证: ．

【思路引导】

（1）对函数求导， ，设直线与函数相切与点，根据导数的几何意义可得， ，解得，求出；（2）对任意的 ，都存在，使得，只需要的值域是值域的子集，利用导数的方法分别求、的值域，即可求出的取值范围；（3）根据题意得,两式相减得， ，所以

，令，则，则

，令，对求导，判断的单调，证明．

(2) 由（1）得，所以，当， 时， ，所以在上单调递减，所以当， 时， ， ，当时， ，所以在上单调递增，所以当时， ，依题意得 ，所以，解得．

(3) 依题意得,两式相减得，所以，方程可转化为