专题1.6 极值点偏移第四招——含指数式的极值点偏移问题-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）

近几年全国各地的模拟试题、高考试题中频繁出现一类考查函数导数的题型：在给定区间内研究两函数之间的不等关系. 要解决这类问题，往往是直接构造某个新函数，或者分离变量之后构造新的函数，通过研究构造的新函数的单调性来求出最值或者得到我们想要的不等关系. 这一类问题多数与指数函数有关，解题时除了直接构造一元函数求解，还可将问题转化为对数问题，再用对数平均不等式求解，本文对此类问题做一探究.

★（2016年新课标I卷理数压轴21题）已知函数有两个零点.证明：.

法二：参变分离再构造差量函数

由已知得：，不难发现，，

故可整理得：

设，则

那么，当时，，单调递减；当时，，单调递增．学科*网

设，构造代数式：

设，[来源:学#科#网Z#X#X#K]

则，故单调递增，有．

因此，对于任意的，．[来源:学科网ZXXK]

由可知、不可能在的同一个单调区间上，

不妨设，则必有[来源:学#科#网Z#X#X#K]

令，则有

而，，在上单调递增，因此：

整理得：．

法三：参变分离再构造对称函数

由法二，得，构造，

利用单调性可证，此处略. 学科*网

法五：利用“对数平均”不等式

参变分离得：，由得，，

将上述等式两边取以为底的对数，得，

化简得：，

故

由对数平均不等式得：，

，

从而

     学科*网

等价于：

由，故，证毕. 学科*网

★(2010天津理)已知函数 .如果，且.

证明：.

★设函数 ，其图象与轴交于两点，且.证明：（为函数的导函数）.

【解析】根据题意：，移项取对数得：

①

②

①-②得：，即：         

[来源:学*科*网Z*X*X*K]

【招式演练】

★已知函数在上有两个零点为.

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：.

【答案】（1）;（2）见解析.[来源:学科网ZXXK]

【解析】试题分析：（1）在上有两个零点等价于方程有两个根，即与有两个交点，研究函数 单调性，结合数形结合可得结果；（2）， ，两式相除可得，设，只需证明即可.学%科网

试题解析：（1）∵在上有两个零点，∴方程，则，于是时， ，即在上单调递减；当时， ，即在 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性进而求最值、不等式恒成立问题以及不等式证明问题，属于难题.对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式，便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法.

★已知函数.[来源:Zxxk.Com]

(1)求的单调区间；

(2)证明:当时，.

【解析】 (1) 在上单调递增，在上单调递减；

(2)由(1)知当时，．

不妨设，因为，即，则，

要证明，即，只需证明，即．[来源:学科网ZXXK]

而等价于，学*科网

令，则，

令，则，

所以单调递减，，即，所以单调递减，

所以，得证．

★已知函数，若任意不同的实数满足，求证：.

方案一（差为自变量）：

法三：令，

原式

，则令，[来源:学§科§网]

设，

则在为减函数，

则时有最大值，

故，证毕.

★已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个零点，证明： .

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】（Ⅰ）．

①当时， ，则函数为R上的单调递增函数．

②当时，令，则．

若，则， 在上是单调减函数；

若，则， 在上是单调增函数.

【新题试炼】

【2018中学生标准学术能力诊断】已知函数，.

（Ⅰ）当时，证明：；

（Ⅱ）当时，如果，且，证明：.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.

【解析】（Ⅰ）当时，，由，得，

∴在上单调递减，在上单调递增. 学*科网[来源:学_科_网Z_X_X_K]

∴时，取得极小值，即最小值.

当时，，，

∵，∴，即.

∵，

∴.

∵，，又在内是增函数，

∴，即.