专题1.5 极值点偏移第三招——含对数式的极值点偏移问题-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）

前面我们已经指明并提炼出利用判定定理解决极值点偏移问题的策略：若的极值点为，则根据对称性构造一元差函数，巧借的单调性以及，借助于与 ，比较与的大小，即比较与的大小．有了这种解题策略，我们师生就克服了解题的盲目性，细细咀嚼不得不为其绝妙的想法喝彩。学科#网

本文将提炼出极值点偏移问题的又一解题策略：根据建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，利用对数平均不等式链求解．

★例. 已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）设，证明：当时，；

（3）若函数的图象与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：.

法二：构造以为主元的函数，设函数，

则，，

由，解得，学科&网

当时，，∴在上单调递增，

而， 所以，故当时，.

【问题的进一步探究】

对数平均不等式的介绍与证明

两个正数和的对数平均定义：

对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：

（此式记为对数平均不等式）

取等条件：当且仅当时，等号成立.

只证：当时，.不失一般性，可设.

证明如下：

（I）先证：……[来源:学科网ZXXK]

不等式

构造函数，则.

因为时，，所以函数在上单调递减，

故，从而不等式成立；

（II）再证：……[来源:Z,xx,k.Com]

不等式

构造函数，则.[来源:学。科。网Z。X。X。K]

因为时，，所以函数在上单调递增，

故，从而不等式成立；学科*网

综合（I）（II）知，对，都有对数平均不等式成立，[来源:学科网]

当且仅当时，等号成立.

例题第（3）问另解：由

[来源:Zxxk.Com]

故要证

.

根据对数平均不等式，此不等式显然成立，故原不等式得证.

★已知函数与直线交于两点.

求证：

由题于与交于不同两点，易得出则

∴上式简化为:

∴

【招式演练】

★已知函数（），曲线在点处的切线与直线垂直.

（1）试比较与的大小，并说明理由；

（2）若函数有两个不同的零点，证明： .

【答案】（1）（2）见解析学科&网

试题解析：

（1）依题意得，

所以，又由切线方程可得，即，解得

此时， ，

令，即，解得；

令，即，解得

所以的增区间为，减区间为

所以，即，

， .[来源:学科网]

（2）证明：不妨设因为

所以化简得，

可得， .

要证明，即证明，也就是

因为，所以即证学科&网

即，令，则，即证.

令（），由

故函数在是增函数，所以，即得证.

所以.学科&网

点睛：本题主要考查函数导数与切线的关系，考查利用导数来证明不等式，考查利用分析法和导数来证明不等式的方法.有关导数与切线的问题，关键的突破口在与切点和斜率，本题中已知切线和某条直线垂直，也即是给出斜率，利用斜率可求得函数的参数值.利用导数证明不等式通常先利用分析法分析，通过转化后再利用导数来证明.

★已知函数[来源:学,科,网]

（Ⅰ）讨论函数的单调区间与极值；

（Ⅱ）若且恒成立，求的最大值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，且取得最大值时，设，且函数有两个零点，求实数的取值范围，并证明：

【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）当时， 最大为1；（Ⅲ）证明过程见解析

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当取最大值1时， ，记，

，不妨设，由题意，则， ，欲证明，只需证明，只需证明，

即证明，即证，设，则只需证明，也就是证明，记，所以，所以在单调递增，所以，所以原不等式成立.

★已知函数，，其中

（1）若，讨论的单调区间；

（2）已知函数的曲线与函数的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为，证明：.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析.

【解析】（Ⅰ）由已知得，

学科&网

当时，，；

当时，．

故若，在上单调递增，在上单调递减；

故若，在上单调递减，在上单调递增．

取，即只需证明成立．即只需证成立．

，在区间上单调递增，

成立．

故原命题得证．

★已知函数.

（1）若在点处的切线与直线垂直，求函数的单调递增区间；

（2）若方程有两个不相等的实数解，证明： .

【答案】（Ⅰ）和；（Ⅱ）见解析

（Ⅱ）由

，只要证

只需证，不妨设

即证，学科*网

只需证，

则在上单调递增， ，即证

【新题试炼】[来源:学+科+网Z+X+X+K]

【2019四川自贡一诊】已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）若有极值，对任意的，当，存在使，证明：.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

(2)由（1）当时，存在极值.

由题设得

又，

设.则.

令，则

所以在上是增函数，所以

又，所以，[来源:Z§xx§k.Com]

因此

即

又由知在上是减函数，

所以，即.学科@网

【2018广东江门调研】已知函数，是常数且.

（1）若曲线在处的切线经过点，求的值；

（2）若（是自然对数的底数），试证明：①函数有两个零点，②函数的两个零点满足.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】（1）切线的斜率，，

解，得

由幂函数与对数函数单调性比较及的单调性知，在区间有唯一零点，从而函数有两个零点.[来源:学+科+网]