2021年广东省深圳市福田区第二次模拟考数学卷（word版 含答案）

这是一份2021年广东省深圳市福田区第二次模拟考数学卷（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．的倒数是（ ）
A．2021B．C．D．
2．2012至2021年间，中国成功实现9899万农村贫困人口全部脱贫，数据9899万用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．某书店对上季度该店中国古代四大名著的销售量统计如下：
依统计数据，为更好地满足读者需求，该书店决定本季度购进中国古代四大名著时多购进一些《西游记》，你认为最影响该书店决策的统计量是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
5．不等式的解集为（ ）
A．x＜－3B．x≤2C．－3＜x≤2D．无解
6．如图，在△ABC中，按以下步骤：①分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若AB＝10，AC＝4，则△ACD的周长是（ ）
A．24B．18C．14D．9
7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝4，以BC的中点O为圆心的⊙O分别与AB，AC相切于点D，E两点，则的长为（ ）
A．B．C．D．4
8．有一个模拟传染病传播的电子游戏模型：在一个方框中，先放入足够多的白球（模拟健康人），然后在框中同时放入若干个红球（模拟最初感染源），程序设定，每经过一分钟，每个红球均恰好能使方框中个白球同时变成红球（为程序设定的常数），若最初放入的白球数为400个，红球数为4个，从放入红球开始，经过2分钟后，红球总数变为64个，则应满足的方程是（ ）
A．4（1＋）＝64B．4（1＋）＝400C．4＝64D．4＝400
9．二次函数的图像如图所示，其对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②a＋c＞b；③4a＋c＞0；④a＋b≤m（am＋b）（m为实数）．正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝，把Rt△ABC沿AB翻折得到Rt△ABD，过点B作BE⊥BC，交AD于点E，点F是线段BE上一点，且tan∠ADF＝．①AE＝BE；②△BED∽△ABC；③；④AF＝．则下列结论正确的有（ ）
A．①④B．②③④C．①②③D．①②③④
二、填空题
11．因式分解= ．
12．在一个不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球n个，搅匀后随机摸出一个球恰好是黄球的概率是．则n=_____．
13．如图，小明在某天15：00时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ACB＝60°，他在17：00时测量树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ADB＝30°，若两次测得的影长之差CD长为6m，则树的高度为_________m
14．如图，点M是Rt△ABC斜边AB的中点，过点M作DM⊥CM，交AC于点D，若AD＝2，BC＝5，则CD＝_______
15．如图，函数y＝x与y＝的图像交于A，B两点，P是反比例函数图像上任一点（不与A，B重合），连接PA、PB，对于△ABP，有如下性质：|∠PBA－∠PAB|恒为定值且等于90°，根据上述性质完成：若tan∠PAB＝，，则k＝_____________
三、解答题
16．计算：
17．先化简，再求值：，其中
18．为了更好地回收、利用及处理垃圾，必需实行生活垃圾合理分类，我国目前将生活垃圾分为A：可回收垃圾；B：厨余垃圾；C：有害垃圾；D：其他垃圾，共四类，福田区某学校数学小组的同学在本区随机抽取m吨垃圾进行调查，并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝_________，n＝________；
（2）根据以上信息直接补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为________度；
（4）根据抽样调查的结果，请你估计在福田区随机抽取的2000吨垃圾中约有多少吨可回收垃圾？
19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OA＝OB，过点B作BE⊥AC于点E．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）若AD＝4，cs∠ABE＝，求AC的长．
20．某社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用，第一次分别购买酒精和消毒液若干瓶，已知酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了3500元；第二次又分别购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，只花费了2600元．
（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？
（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金2000元，则最多能购买消毒液多少瓶？
21．如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，AB＝6，高CD＝9，⊙O为△ABC的外接圆，点M是上一动点（不与A，B重合），连接AM，BM．
（1）如图，当射线CM与射线AB交于点E时，求证：△AMC∽△EMB；
（2）求sin∠AMB的值；
（3）当点M在上运动时，求AM•BM的最大值．
22．如图1，已知抛物线与x轴交于A（－4，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为P．
（1）抛物线的表达式是__________，顶点P的坐标为_________；
（2）如图2，在抛物线的对称轴上，有一条自由滑动的线段EF（点E在点F的上方），已知EF＝1，当|EC－BF|的值最大时，求四边形EFBC的面积．
（3）如图3，沿射线AC方向或相反方向平移抛物线，平移过程中，A，C两点的对应点分别记为M，N，抛物线顶点P的对应点记为点P`，在平移过程中，是否存在以A，M，B为顶点的三角形与△ABN相似，若存在，请求出此时平移后的抛物线顶点P`的坐标；若不存在，请简要说明理由．
书名
《西游记》
《水浒传》
《三国演义》
《红楼梦》
销量量/本
180
120
125
85
参考答案
1．D
【分析】
直接利用倒数的定义分析得出答案．
【详解】
解：-2021的倒数为：，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了倒数，正确把握相关定义是解题关键．
2．D
【分析】
先将9899万化为98990000，再用科学计数法表示即可求解．
【详解】
解：9899万=98990000=9.899×107．
故选：D．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示绝对值大于10的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数位数减1．
3．C
【分析】
由二次根式的化简判断 由同类二次根式的含义判断 由二次根式的除法运算判断 由二次根式的加减运算判断
【详解】
解：A．；故不符合题意；
B． 不是同类二次根式不能合并计算；故不符合题意；
故符合题意；
D．，故不符合题意；
故选C
【点睛】
本题考查的是二次根式的化简，同类二次根式，二次根式的除法运算，二次根式的加减运算，掌握以上知识是解题的关键．
4．B
【分析】
平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然想要了解哪个货种的销售量最大，那么应该关注那种货种销的最多，故值得关注的是众数．
【详解】
解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
5．A
【分析】
分别求出两个不等式的解集，再求出公共解，即可求解．
【详解】
解：
解不等式①得x＜－3，
解不等式②得x≤2，
∴不等式组的解集为x＜-3．
故选：A
【点睛】
本题考查一元一次不等式组的解法，求两个不等式的公共解可以借助数轴求公共部分，也可借助口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”求公共部分．
6．C
【分析】
根据作图得到MN是线段BC的垂直平分线，得到BD＝DC，再根据周长公式进行线段代换即可求解．
【详解】
解：由作图可知MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝DC，
∴△ACD的周长＝AC＋AD＋CD＝AC＋AD＋BD＝AC＋AB＝14．
故选：C
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，根据题意得到MN是线段BC的垂直平分线是解题关键．
7．B
【分析】
连接OE，OA，OD，易证四边形ADOE是正方形，则O是BC的中点，即可得OA，进而得OD的长，从而得到的长
【详解】
如图，连接OE，OA，OD，由⊙O分别与AB，AC相切可得四边形ADOE是正方形，
∴O是BC的中点，
∴OA＝×4＝2，
∴OD＝2，
∴，
故选B．
【点睛】
本题主要考查圆基本性质以及求弧长，能够做出辅助线求出圆的半径是解题关键．
8．C
【分析】
原有4个红球，1分钟后红球数为个，2分钟新增加的红球数为个，由2分钟后，红球总数变为了64个列方程可得结论．
【详解】
根据题意得：，
即：，
故选：C．
【点睛】
考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，了解增长率问题是解题的关键．
9．B
【分析】
由抛物线的开口方向及对称轴，与轴的交点的位置可判断①，由时的函数值可判断②，由对称轴方程及时的函数值，结合a＞0，可判断③，由时的函数值与时的函数值，可判断④，从而可得答案．
【详解】
解：（1）由抛物线开口向上，可得a＞0，
由对称轴“左同右异”可得b＜0，
抛物线交y轴于负半轴，则c＜0，则abc＞0，故结论①错误；
（2）当x＝－1时y＝a－b＋c＞0，即a＋c＞b，故结论②正确；
（3）由对称轴x＝－＝1，可得b＝－2a，代入a－b＋c＞0中得3a＋c＞0，
∵a＞0，
∴4a＋c＞0，故结论③正确；
（4）x＝1是y＝a＋b＋c有最小值，
当x＝m时y＝＋bm＋c，
∴a＋b＋c≤＋bm＋c，
即a＋b≤＋bm，即a＋b≤m（am＋b），故结论④正确；
综上所述，正确结论是②③④，故选B
【点睛】
本题考查的是二次函数的图像与性质，掌握利用二次函数的图像判断代数式的符号是解题的关键．
10．D
【分析】
①利用折叠和平行线的性质可知，从而利用等角对等边即可证明；
②利用相似三角形的判定判断即可；
③首先证明△DBE∽△DAB，然后利用相似三角形的性质即可证明；
④利用折叠的性质及勾股定理即可证明．
【详解】
①由折叠可知，
∵∠ACB＝90°，BE⊥BC，
∴BE//AC，
∴，
∴，
∴BE＝AE，①正确；
②∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝，

∴∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，
∵∠EBA＝30°，
由折叠性质可知∠ABC＝∠ABD＝60°，
则∠DBE＝30°，由∠DBE＝∠BAC＝30°，∠BDE＝∠C＝90°
可得△BED∽△ABC，②正确；
③相似典型题型：乘积式，转化成比例式：，只需证△DBE∽△DAB，则∠DBE＝∠DBA＝30°，∠BDE＝∠ADB＝90°可证，③正确；
④由tan∠ADF＝及∠DEB＝60°可知作FG⊥DE于点G，由题易得：BD＝BC＝，DE＝1，AD＝3，BE＝AE＝2， 由tan∠ADF＝设GF＝a，DG＝2a，由∠DEB＝60°得GE＝a，由DE＝DG＋GE＝2a＋a＝1可得a＝，则GF＝，AG＝，在Rt△AFG中由勾股定理可得AF＝，④正确；
综上所述，正确结论为①②③④，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，折叠的性质，三角函数，掌握这些性质是关键．
11．．
【详解】
试题分析：原式=．故答案为．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
12．5
【分析】
根据口袋中装有白球6个，黑球4个，黄球n个，故球的总个数为6+4+n，再根据黄球的概率公式列式解答即可．
【详解】
解：∵口袋中装有白球6个，黑球4个，黄球n个，∴球的总个数为6+4+n，
∵从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为，
∴
，
解得，n=5．
故答案为5．
【点睛】
本题主要考查概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
13．9
【分析】
设 再利用锐角三角函数分别求解 再列方程解方程可得答案．
【详解】
解：设AB＝x，在Rt△ABC中，由∠ACB＝60°

在Rt△ABD中，由∠ADB＝30°

则CD＝BD－BC＝x－x＝6，


则可得树的高度AB＝9m
故答案为：
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的应用，掌握在直角三角形中利用锐角三角函数求解三角形的边长是解题的关键．
14．．
【分析】
延长CM，使CD＝MN，连接AN，证明，由全等三角形的性质得出，，由勾股定理求出，由中垂线的性质得出答案．
【详解】
解：延长CM，使CD＝MN，连接AN，
如图所示：

∵点M是斜边AB的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，中垂线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15．
【分析】
作BF⊥y轴于点F，作PE⊥AB于点E，首先根据等量代换得出∠PAB＝∠BPE，然后利用＝BE：AB求出，进而求出，然后利用反比例函数与一次函数联立求出点B的坐标，从而利用三角形面积公式求解即可．
【详解】
如图，作BF⊥y轴于点F，作PE⊥AB于点E，
∵∠PBA＝∠BPE＋90°，∠PBA－∠PAB＝90°，
∴∠PAB＝∠BPE，
∴tan∠PAB＝tan∠BPE＝，
设BE＝a，则PE＝2a，AE＝4a，则AB＝3a，
∵O是AB的中点，
∴OB＝a，
∵∠BOF＝45°，
∴BF＝OF＝a，
∵＝BE：AB＝1：3，
∴＝4，
∵＝＝，
∴＝4，
∵
∴，

∴或
∴k＝．
【点睛】
本题主要考查反比例函数，一次函数与几何综合，数形结合是关键．
16．12
【分析】
分别利用特殊角的锐角三角函数值、负整数指数幂、零次幂、绝对值的性质逐一计算各项，即可求解．
【详解】
解：原式＝．
【点睛】
本题考查实数的混合运算，掌握特殊角的锐角三角函数值、负整数指数幂、零次幂、绝对值的性质是解题的关键．
17．，
【分析】
根据分式混合运算的法则化简，再将x的值代入计算即可．
【详解】
解：原式=
=
=
将代入得：原式=
【点睛】
本题考查了分式的化简求值以及二次根式的运算，解题的关键是熟知分式运算的法则，正确化简分式．
18．（1）100；60；（2）见解析；（3）108；（4）1200吨
【分析】
（1）由扇形统计图可知D：其他垃圾占8%，由条形统计图可知其共有8吨，即可求出总吨数m，由条形统计图可求出A：可回收垃圾的吨数，除以m即可求出n；
（2）根据（1）中求出的数据，补全统计图即可；
（3）根据厨余垃圾所占百分比即可求解；
（4）利用样本的百分比，即可求出总体的数量．
【详解】
（1）m＝8÷8%＝100，
n%＝（100－30－2－8）÷100×100%＝60%，
∴n＝60；
（2）可回收垃圾有100－30－2－8＝60（吨），补全如图：
（3）厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为360°× ＝108°；
（4）估计在福田区随机抽取的2000吨垃圾中约有2000×60%＝1200吨可回收垃圾．
【点睛】
本题考查扇形统计图与条形统计图综合，从统计图中获取有关信息是解题的关键．
19．（1）见解析；（2）10
【分析】
（1）由□ABCD可得OA＝OC，OB＝OD，由OA＝OB，则OA＝OB＝OC＝OD，即AC＝BD，依“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得□ABCD是矩形；
（2）在Rt△ABC中有数学典型模型“双垂模型”，则∠ABE＝∠BCA，则cs∠ABE＝cs∠CAD＝，则AC＝10．
【详解】
证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
是矩形；
（2）是矩形，
，
，
，
，
，
在中，，，
．
【点睛】
本题考查矩形的判定与性质、锐角三角函数的应用，掌握上述性质定理是解题的关键．
20．（1）每次购买的酒精200瓶，购买消毒液300瓶；（2）111瓶
【分析】
（1）设每次购买酒精x瓶，消毒液y瓶，根据总价=单价×数量，结合两次购买所花费用，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买消毒液m瓶，则购买酒精2m瓶，根据总价=单价×数量，结合总价不超过2000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【详解】
解：（1）设每次购买酒精x瓶，消毒液y瓶，依题意得：
，
解得：．
答：每次购买酒精200瓶，消毒液300瓶．
（2）设购买消毒液m瓶，则购买酒精2m瓶，
依题意得：10×（1-30%）×2m+5×（1-20%）m≤2000，
解得：m≤．
又∵m为正整数，
∴m可以取的最大值111．
答：最多能购买消毒液111瓶．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21．（1）见解析；（2）；（3）90．
【分析】
（1）由等腰三角形的性质可得∠CAB＝∠CBA，由圆的内接四边形的性质和圆周角的性质可得∠ACM＝∠MBE，∠CAB＝∠BME＝∠AMC＝∠ABC，可得结论；
（2）过点A作AH⊥BC于H，由等腰三角形的性质和勾股定理可求BC的长，由面积法可求AH，即可求解；
（3）由三角形的面积公式可得AM•BM•S△ABM，则当S△ABM的值最大时，AM•BM有最大值，即可求解．
【详解】
证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∵四边形ABMC是⊙O内接四边形，
∴∠ACM+∠ABM＝180°，∠CAB+∠CMB＝180°，
又∵∠ABM+∠MBE＝180°，∠CMB+∠BME＝180°，
∴∠ACM＝∠MBE，∠CAB＝∠BME，
∵∠AMC＝∠ABC，
∴∠AMC＝∠ABC＝∠CAB＝∠BME，
∴△AMC∽△EMB；
（2）如图1，过点A作AH⊥BC于H，
∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝3，
∴，
∵S△ABCAB×CDBC×AH，
∴AH，
∵∠AMB＝∠ACB，
∴sin∠AMB＝sin∠ACB；
（3）如图2，过点B作BN⊥AM于N，
∵S△ABMAM×NBAM×BM×sin∠AMB，
∴S△ABMAM×BM，
∴AM•BM•S△ABM，
∴当S△ABM的值最大时，AM•BM有最大值，
∴当点M与点C重合时，S△ABM的值最大，S△ABM的最大值6×9＝27，
∴AM•BM的最大值为27＝90．
∴AM•BM的最大值为90．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质，圆的有关知识，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
22．（1），（－，）；（2）2；（3）存在，P`（，）或（，）．
【分析】
（1）代入A、B两点坐标，可得抛物线解析式，再根据抛物线性质求得P点坐标即可；
（2）先证得四边形EFC`C为平行四边形，即可得到最大值为|EC－BF|＝|FC`－BF|＝BC`，再求出直线BC`的解析式，求得EF两点坐标，再根据即可求得；
（3）对MN的位置进行分情况讨论，再根据相似三角形的性质列出比例式解方程即可．
【详解】
（1）代入A、B两点坐标，得
解得
∴抛物线解析式为，顶点P坐标为（－，）．
（2）将点C（0，4）往下平移1个单位，得C`（0，3），连接BC`并延长，交对称轴于点F，将F点往上平移1个单位得到E点，此时|EC－BF|有最大值，
∵CC`//EF且CC`＝EF＝1
∴四边形EFC`C为平行四边形，
∴最大值为|EC－BF|＝|FC`－BF|＝BC`．
由B（1，0），C`（0，3）可得直线BC`的解析式为y＝－3x＋3，
∴当x＝－时y＝，则F（－，），E（－，），
∴．

（3）存在，由题可知OA＝OC＝4，AB＝5，∠CAO＝45°，MN＝AC＝4，P坐标为（－，）
①当M、N均在x轴上方时，如图2－1，由图可知，∠MAB＝∠NAB，∠ABM≠∠ABN，所以当以A，M，B为顶点的三角形与△ABN相似，即为△ABM∽△ANB，
∴，即AN•AM＝＝25，
设AM＝a，则AN＝a＋4，
∴a（a＋4）＝25，
∴a＝或a＝（舍去），
作MQ⊥x轴于点Q，则△AMQ为等腰直角三角形，则AQ＝MQ＝AM＝，即抛物线往右、往上平移了个单位长度，
∵P坐标为（－，），
∴P`坐标为（，）；
②当M、N分别在x轴两侧时，如图2－2，△MAB是钝角三角形，且∠MAB＞∠ANB，此时△ABM与△ABN不相似；
③当M、N均在x轴下方时，如图2－3，由图可知，∠MAB＝∠NAB，∠ABM≠∠ABN，所以当以A，M，B为顶点的三角形与△ABN相似，即为△ABM∽△ANB，
∴，即AN•AM＝＝25，
设AM＝a，则AN＝a－4，
∴a（a－4）＝25，解得a＝或a＝（舍去），
作MQ⊥x轴于点Q，则△AMQ为等腰直角三角形，
∴AQ＝MQ＝AM＝，即抛物线往左、往下平移了个单位长度，、∵P坐标为（－，），
∴P`坐标为（，）；
综上所述，当以A，M，B为顶点的三角形与△ABN相似时，平移后的抛物线顶点P`的坐标是（，）或（，）．
【点睛】
本题主要考查二次函数性质、相似三角形的判定与性质，第三问的解题关键在于能够对MN进行分情况讨论．