2021年广东省深圳市福田区中考数学一模试题（word版含答案）

2021年广东省深圳市福田区中考数学一模试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．﹣5的倒数等于（    ）

A．﹣ B．﹣5 C． D．5

2．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

3．在“百度”中搜索“深圳先行示范区”，能搜索到与之相关的信息约21700000个，若将这数据21700000用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

4．下列运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

5．若一组数据2，4，，5，7的平均数为5，则这组数据中的和中位数分别为（   ）

A．5，7 B．5，5 C．7，5 D．7，7

6．在平面直角坐标系中，若点P（a-1，a）在第二象限，则a的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

7．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝（    ）

A．56° B．68° C．28° D．34°

8．如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点，则此时线段CA扫过的图形的面积为（    ）

A． B．6 C． D．

9．对于实数，，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是（    ）

A． B． C． D．

10．如图，在矩形中，，的平分线交于点．于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题

11．分解因式：___．

12．在一个不透明的盒子中装有2个白球，个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率为，则____．

13．如图，在中，，，点是上一点，，连接，作于点，连接，若，则的面积为___．

14．如图，菱形的一边在轴的正半轴上，是原点，对角线和相交于点，若点，，反比例函数的图象经过点，并与的延长线交于点，则___．

三、解答题

15．如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为45°，测得该建筑底部处的俯角为35°．若无人机的飞行高度为42m，则该建筑的高度为______．（参考数据：,,）．

16．计算：.

17．先化简，再求值：，其中．

18．电子政务、数字经济、智慧社会…一场数字革命正在神州大地激荡．在第二届数字中国建设峰会召开之际，大湾区学校举行了“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，赛后对全体参赛学生成绩按，，，四个等级进行整理，得到如图所示的不完整的统计图表．

（1）参加此次比赛的学生共有______人，______，______；

（2）请计算扇形统计图中等级对应的扇形的圆心角的度数；

（3）已知等级五名同学中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这五名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或树状图，求甲、乙两名同学都被选中的概率．

19．某新型高科技商品，每件的售价比进价多6元，5件的进价相当于4件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件．

（1）该商品的售价和进价分别是多少元？

（2）设每天的销售利润为元，每件商品涨价元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？

20．如图，为直径，为上的一点，过点的切线与的延长线相交于点，．

（1）连接，求证：；

（2）是中点，连接，，若，求的长．

21．如图1，已知抛物线图象与轴相交于，两点，与轴相交于点．

（1）请直接写出抛物线的解析式为______．

（2）如图1，连接，若点在轴上时，和的夹角为15°，求线段的长度；

（3）如图2，直线与轴相交于点，直线与线段相交于点，当时，求直线的表达式．

22．如图1，在平面直角坐标系中，四边形的边在轴上，在轴上．为坐标原点，，线段，的长分别是方程 的两个根．

（1）请求出点的坐标；

（2）如图2，为上一点，为上一点，，将翻折，使点落在上的点处，记，，求的值；

（3）在（2）的条件下，为坐标轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．A

【分析】

直接利用倒数的定义分析得出答案．

【详解】

解：﹣5的倒数等于：﹣．

故选：A．

【点睛】

本题考查了倒数的定义，解题关键是掌握倒数的定义，准确进行计算．

2．B

【详解】

试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；

D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．

故选B．

点睛：掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3．C

【分析】

科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤∣a∣<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值>10时数，n是正数，当原数的绝对值<1时，n是负数．

【详解】

将21700000用科学记数法表示为．

故选：C．

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤∣a∣<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．A

【分析】

根据积的乘方运算法则、同底数幂相乘的运算法则和合并同类项法则，依次计算各项后即可得解答．

【详解】

A、，故本选项符合题意；

B、，故本选项不合题意；

C、，故本选项不合题意；

D、，故本选项不合题意．

故选A．

【点睛】

本题考查了积的乘方运算法则、同底数幂相乘的运算法则和合并同类项法则，熟练运用法则是解决问题的关键．

5．C

【详解】

分析：先根据平均数的定义求出x的值,再把这组数据从小到大排列,求出最中间两个数的平均数即可.

详解：∵2，4，，5，7的平均数为5，

∴(2+4+x+5+7) ÷5=5,
解得:x=7,
把这组数据从小到大排列为2,4,5,7,7,
∴这组数据的中位数5,故选C..

点睛：此题考查了中位数和平均数,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数.

6．C

【分析】

根据第二象限的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．

【详解】

解：由点P（a﹣1，a）在第二象限，得

解得0＜a＜1．

故选C．

考点：点的坐标．

7．A

【分析】

根据图像,明确∠α是线段AC的中垂线和∠DAC的角平分线相交构成的锐角即可解题.

【详解】

解：由图可知, ∠α是AC的中垂线和∠DAC的角平分线相交构成的锐角,

∵∠ACB=68°,

∴∠DAC=68°,

∴∠α=90°-68°2=56°,

故选A.

【点睛】

本题考查了尺规作图,属于简单题,熟悉尺规作图的方法是解题关键.

8．D

【分析】

求线段CA扫过的图形的面积，即求扇形ACA1的面积.

【详解】

解：由题意，知AC=4,BC=4-2=2,∠A1BC=90°.

由旋转的性质，得A1C=AC=4.

在Rt△A1BC中，cos∠ACA1==.

∴∠ACA1=60°.

∴扇形ACA1的面积为=.

即线段CA扫过的图形的面积为.

故选：D

【点睛】

此题考查了扇形面积的计算和解直角三角形，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．

9．B

【分析】

已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．

【详解】

根据题中的新定义化简得：，

去分母得：，解得：，

经检验是分式方程的解．

故选：B．

【点睛】

此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．

10．D

【分析】

（1）由角的平分线的性质和平行线的性质可证，再结合勾股定理加以判断；（2）在（1）的基础上，结合等腰三角形的性质，通过计算加以判断；（3）可通过在和中计算有关角度加以判断；（4）通过证明与能否全等加以判断；（5）在上述判断的基础上，结合线段的和或差加以判断．

【详解】

解：（1）∵平分，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

∴．

∵，

∴．

故①正确；

（2）∵AD=AE,∠EAD=45°，

∴．

∴．

∴．

故②正确；

（3）在和中，，

∴．

∴．

∴．

∵，

∵，（对顶角相等），

∴．

∴．

∵，，

∴．

∴．

∴．

故③正确；

（4）∵，

∴．

在和中，，

∴．

∴，．

故④正确；

（5）∵，

∴

．

故⑤正确．

故选：D．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．对第一个结论的判断很重要，它是判断后续结论的基础；同时，紧紧围绕“由未知看需知，最后靠拢已知”的分析思路，寻找到解决问题的方法，应成为一种必备的能力．

11．．

【分析】

原式提取公因式2，然后再运用平方差公式进行二次分解即可．

【详解】

．

故答案为：．

【点睛】

此题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答此题的关键．

12．6．

【分析】

根据黄球的概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可．

【详解】

根据题意得：，解得：，

经检验是原分式方程的解

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

13．24．

【分析】

根据勾股定理得出BC，进而利用三角形面积公式解答即可．．

【详解】

解：由题意，设AB＝3x，AC＝4x，则BC＝5x，BD＝3x，DC＝2x，

过D作DF⊥AC于F，

∵∠BAC＝90°，

∴DF∥AB，

∴△DFC∽△BAC，

∴，

∴，，

∴，

在Rt△ADF中，AD2＝DF2+AF2，

即，

解得：x＝2，

∴AB＝6，AC＝8，

∵AB＝BD，且BE⊥AD，

∴点E为AD的中点，

∴，

故答案为：24．

【点睛】

此题考查勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，关键是根据勾股定理得出BC解答．

14．．

【分析】

作轴于点，作轴于点，已知，根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半可得，即可得，再根据三角形的面积公式可求得，由勾股定理求得，即可得；再求得，由为的中点可得，由在反比例函数图象上，求得反比例函数解析式为；再求得点，即可得，

【详解】

作轴于点，作轴于点，

∵，

∴，

∴，即，

∵，即，

∴，

∴，

则，

∵四边形是菱形，

∴，，

∴，

在和中

，

∴，

∴、，

∴，

∵为的中点，

∴，

∵在反比例函数图象上，

∴，即反比例函数解析式为；

当时，，则点，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及菱形性质的运用，解题时注意：菱形的对角线互相垂直平分．

15．102

【分析】

由题意作AE⊥BC于E，根据正切的定义求出AE，根据等腰直角三角形的性质求出BE，结合图形计算即可．

【详解】

解：∵，，，

∴四边形是矩形，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴．

故答案为：

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

16．2

【详解】

分析：代入45°角的余弦函数值，结合“负整数指数幂和零指数幂的意义及绝对值的意义”进行计算即可.

详解：

原式=

=，

=.

点睛：熟记“特殊角的三角函数值，理解负整数指数幂的意义、零指数幂的意义和绝对值的意义”是正确解答本题的关键.

17．，

【分析】

括号内先通分进行分式减法运算，然后再进行分式除法运算，化简后代入x的值进行计算即可．

【详解】

=

=

=

=．

当时，原式．

【点睛】

本题考查了分式的混合运算——化简求值，涉及了分式的加减法、乘除法、实数的混合运算等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．

18．（1）50；20；0.3；（2）扇形统计图中等级对应的扇形的圆心角的度数为；（3）甲、乙两名同学都被选中的概率．

【分析】

（1）用D组的频数除以频率即可求出参赛人数，用参赛人数乘以B组频率即可求出a，用C组频率除以参赛人数即可求出b；

（2）用360°乘以C组频率即可求解；

（4）另外三名同学用、、表示，画树状图列出所以等可能性，根据概率公式即可求解．

【详解】

解：（1）参加此次比赛的学生人数为（人）；

；；

故答案为50；20；0.3；

（2）扇形统计图中等级对应的扇形的圆心角的度数为；

（3）另外三名同学用、、表示，

画树状图为：

共有20种等可能的结果，其中甲、乙两名同学都被选中的结果数为2，

所以甲、乙两名同学都被选中的概率．

【点睛】

本题为统计与概率综合题，考查了统计表与统计图，扇形统计图，求概率等知识，熟知频数、频率、总数的关系，根据树状图列出所以等可能性是解题关键．

19．（1）该商品每件的售价为30元，进价为每件24元；（2）当售价为47元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为2645元．

【分析】

（1）设该商品每件的售价为x元，进价为每件y元，由题意得二元一次方程组，求解即可；

（2）根据利润=每件的利润×销售量，列出二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得到答案．

【详解】

（1）设该商品每件的售价为元，进价为每件元，

由题意得：，解得，

∴该商品每件的售价为30元，进价为每件24元；

（2）由题意得：

，

∴当时，有最大值，最大值为2645，此时售价为（元）．

∴当售价为47元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为2645元．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

20．（1）见解析；（2）的长为．

【分析】

（1）如图，连接，，过点A作，垂足为，首先利用切线的性质，等边对等角及直角三角形两锐角互余得出，然后得出是正三角形，从而结论可证；

（2）连接，过点A作，垂足为，解直角三角形得出EM，CM的长度，最后利用求解即可．

【详解】

（1）如图，连接，，

∵是的切线，

，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

，

∴，

，

，

，

．

∵，

∴是正三角形，

∴；

（2）连接，过点A作，垂足为，

∵是中点，

∴，，

在中，，，

∴，，

在中，，，

∴，

∴，

答：的长为．

【点睛】

本题主要考查圆的综合，掌握圆周角定理及其推理，特殊角的三角函数值是关键．

21．（1）；（2）或；（3）．

【分析】

(1)用待定系数法即可求解；

(2)当点P在AC下方时，证明∠APO=45°-15°=30°，则

即可求解；当点P(P′)在AC上方时，同理可解；

(3)由△MCN∽△CAM，得到AC∥MN，故设直线的表达式为y=x+t：在△BCM中， tan ∠CBM=求出点M的坐标，进而求解

【详解】

（1）设抛物线的表达式为，

∴，解得，

故抛物线的表达式为，

故答案为；

（2）当点在下方时，

∵，

∴，

∵和的夹角为15°，

∴，

则，

∴；

当点在上方时，同理可得：，

故或；

（3）由点、的坐标得，直线的表达式为，

∵，

∴，，

∵，

∴，

故设直线的表达式为，

在中，，

，，

过点作于点，

则设，则，

则，解得，

则，

则点的坐标为，

将点的坐标为代入并解得，

故直线的表达式为．

【点睛】

本题考查一次函数解析式、二次函数解析式、相似三角形的判定及性质、特殊角锐角三角函数，灵活进行等角的转换是关键，方程思想是重点

22．（1）；（2）；（3）存在点，使以，，，为顶点四边形为矩形，点的坐标为或或或．

【分析】

（1）解一元二次方程得到OA=4， AB=5，由此即可求解；

（2）连接，求得，，再证明，根据相似三角形的性质求得，再求得，，由此即可求得；

（3）存在，分点在轴和在y轴上两种情况求解即可．

【详解】

（1），，得，．

∵，

∴，，

∴．

（2）连接，

∵，，

∴四边形为平行四边形．

∵，

∴四边形为矩形，

∴，，

∴，，

由翻折，使点落在上的点处，可得，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，，

∴；

（3）存在，点的坐标为或或或．

分两种情况：

第一种情况：点在轴上；

①如图1，点在轴的正半轴上，四边形是矩形，

此时点与点重合，则；

②如图2，点在轴的负半轴上，四边形是矩形，

过点作轴于，过点作轴于．

∵四边形是矩形，

∴，．

∴，

∵，

∴，

∴，．

∵，

设，则，，

在中，由勾股定理得，

即，解得，

∴，，

∵，

∴，即，

∴，

∴，

∴；

第二种情况：点在轴上；

①点在轴的正半轴上，四边形是矩形，此时，点和点重合，

∵四边形是矩形，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，，

∵，

∴，

∴；

②点在轴的负半轴上，四边形是矩形，过点作轴于，

∵，，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∵，，

∴，

综合以上可得，存在点，使以，，，为顶点四边形为矩形，点的坐标为或或或．

【点睛】

本题考查的是矩形的判定及性质、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．