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广东省深圳市2021年九年级中考数学模拟卷（word版 含答案）
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这是一份广东省深圳市2021年九年级中考数学模拟卷（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了单选题(每题3分，共30分），填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题(每题3分，共30分）
1．下列代数式中，是分式的为（ ）
A．B．C．D．
2．地球赤道的半径为6370000米，用科学记数法表示为（ ）
A．米B．米C．米D．米
3. 下列图形中，是轴对称图形，并且是中心对标图形的有（ ）
① ② ③ ④
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．某班体育课上老师记录了7位女生1分钟仰卧起坐的成绩（单位：个）分别为：28，23，38，38，35，35，38，48，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．35，38B．36.5，38C．38，35D．38，38
5．若点在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．函数y＝自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x≤5C．x≤5且x≠3D．x＜5且x≠3
7．如图，在△ABC中，∠A=50°，O为△ABC的内心，则∠BOC的度数为（ ）
A．65°B．70°C．115°D．125°
8．若不等式组有解，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．无法确定
9．若二次函数的图象与轴的交点坐标分别是、，且，图象上有一点，且，对于以下说法：
①；②是方程的解；③；④M点在轴下方，对于以上说法正确的是（ ）
A．①②③④B．①②④C．③④D．①③
10. 如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AFBE，CF与AD相交于点G，点H在BC，且BH=BE，上连接EC、EF、EG、EH．则下列结论：
①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE=a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②④⑤ C．①③④D．①④⑤
二、填空题（每题3分，共15分）
11．因式分解：-4= ______．
12. 如图是某中学七年级学生视力统计图，其中近视200~400度的学生所在扇形的圆心角为__________度
13．已知线段的长度为，点为线段上的黄金分割点，则BC的长度为__________．
14．如图，将绕点旋转60度得到．，且，则____________
15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于、两点，是第一象限内双曲线上一点，连接并延长交轴与点，连接，．若的面积是24，则点的坐标为________．
14题图 15题图
三、解答题
16. 计算：．（6分）
17. 解分式方程：．（6分）
18. 父亲节快到了，明明准备为爸爸煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，一个水果馅，两个花生馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同．（8分）
（1）求爸爸吃到一个花生馅汤圆，一个芝麻馅汤圆的概率；
（2）若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃到一个花生馅汤圆，一个芝麻馅汤圆的可能性是否会增大？请说明理由．
19. 如图，在□ABCD中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．（8分）
（1）求证：四边形是矩形；
（2）已知，若，求的长度．
20. 2020年1月底，武汉爆发“新冠”疫情后，口罩成为家庭必需品，某口罩经销商批发了一批口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，销售利润不能超过50%，设该口罩售价为每盒x（x＞60）元（8分）
（1）用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为 盒；
（2）现在预算要获得1200元利润，应按每盒多少元销售？
21. 如图，，是以为直径的圆上两点，且，直线是圆的切线．（9分）
（1）求证：；
（2）若的长度为12，，求圆的半径；
（3）过点作，垂足为，求证：．
22. 如图，已知抛物线y＝y＝﹣x2+2x+3与轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．（10分）
（1）点A的坐标为___________，点的坐标为___________；；
（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积；
（3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．
参考答案
1．【答案】D
【分析】
根据分式的定义，对照选项分析，分母中含有字母的是分式，分母中不含字母的是整式，对选项逐一验证即可．
【详解】
根据分式的定义，分式的分母中要含有字母，A、B、C都不符合题意，故排除；D中分母含有字母，满足要求，符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．
2. 【答案】A
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
解：将6370000用科学记数法表示为：6.37×106．
故选：A．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【答案】A
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
解：将6370000用科学记数法表示为：6.37×106．
故选：A．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. A
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：①是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；
②是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
③是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意；
④不是轴对称图形，也不是中心对标图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4. 【答案】B
【分析】
出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数；中位数一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
【详解】
解：把这些数从小到大排列为：23，28，35，35，38，38，38，48，
最中间的数是35，38，
则中位数是36.5；
∵38出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是38；
故选：B．
【点睛】
此题考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
5. 【答案】D
【分析】
根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．
【详解】
解：由P（1-a，a+2）在第四象限，得，
解得a＜-2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了点的坐标，利用第四项限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零得出不等式组是解题关键．
6. 【答案】C
【分析】
根据二次根式和分式有意义的条件求解即可．
【详解】
解：
∴且，
∴自变量x的取值范围为且，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查自变量的取值范围，掌握二次根式和分式有意义的条件是关键．
7. 【答案】C
【分析】
由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，由角平分线的定义得出∠OBC+∠OCB=65°，再由三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
【详解】
解：，
，
O为△ABC的内心，
、分别平分、，
，，
，
；
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
8. 【答案】A
【分析】
根据大于小的小于大的无解，可得到，解出关于m的不等式即可．
【详解】
解：由题意可得：，
∴，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了已知一元一次不等式组的解集，求不等式组中的字母的值，同样也是利用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解）．
9. 【答案】B
【分析】
结合题意，根据二次函数图像、判别式的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】
∵二次函数的图象与轴的交点坐标分别是、，
∴有两个不相等的根
∴，故①正确；
∵图象上有一点，且，
∴M点在轴下方，故④正确，
又∵图象上有一点在轴下方，
∴时，，
∴是方程的解，故②正确，
当时，图象上有一点在轴下方，
∴
当时，图象上有一点在轴下方，
∴或，故③错误
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程和二次函数图像、解析式性质，从而完成求解．
10. 【答案】D
【分析】
①正确：如图1中，证明△FAE≌△EHC（SAS），即可解决问题；
②③错误：如图2中，延长AD到N，使得DN=BE，则△CBE≌△CDN（SAS），再证明△GCE≌△GCN（SAS），即可解决问题；
④正确：设BE=x，则AE=a-x，AF=，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题；
⑤正确：当BE=a时，设DG＝x，则EG＝xa，利用勾股定理构建方程可得x，
即可解决问题．
【详解】
解：如图1，
∵BE＝BH，∠EBH＝90°，
∴，
∵，
∴AF＝EH，
∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠FAE＝∠EHC＝135°，
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴AE＝HC，
∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH，
∵∠ECH+∠CEB＝90°，
∴∠AEF+∠CEB＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，
如图2中，延长AD到N，使得DN＝BE，则△CBE≌△CDN（SAS），
H
N
∴∠ECB＝∠DCN，
∴∠ECN＝∠BCD＝90°，
∴∠ECG＝∠GCN＝45°，
∵CG＝CG，CE＝CN，
∴△GCE≌△GCN（SAS），
∴EG＝GN，
∵GN＝DG+DN，DN＝BE，
∴EG＝BE+DG，故③错误，
∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AN＝AD+DN+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，
设BE＝x，则AE＝a﹣x，，
∴S△AEF=•（a﹣x）×x=x2+ax=（x2﹣axa2a2）=（xa）2a2，
∵0，
∴x=a时，△AEF的面积的最大值为，故④正确，
当BE=a时，设DG＝x，则EG＝xa，
在Rt△AEG中，则有（xa）2＝（a﹣x）2+（a）2，
解得x，
∴AG＝GD，故⑤正确，
综上，①④⑤正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
11. 【答案】（2a+2）（2a-2）
【分析】
利用平方差公式进行分解即可．
【详解】
解：原式=（2a+2）（2a-2），
故答案为：（2a+2）（2a-2）．
【点睛】
此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）．
12. 79.2
【分析】
先算出近视200~400度的学生人数占总人数的百分比
再用360度乘以近视200~400度的学生人数占总人数的百分比计算可得.
【详解】
解：近视200~400度的学生人数占总人数的百分比为
1-34.2%-32.2.6%-11.6%=22%
近视200~400度的学生所在扇形的圆心角为360°×22%=79.2°，
故答案为：79.2．
【点睛】
本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．
13.
【分析】
根据黄金分割点的定义即可得．
【详解】
点为线段上的黄金分割点，
，
，
，
解得，则
故答案为：．
【点睛】
本题考查了黄金分割点的定义，熟记定义是解题关键．
14. 85
【分析】
由旋转的性质可得∠C=∠E=65°，∠BAC=∠DAE，再由垂直的定义可得∠AFC=90°，然后利用直角三角形两锐角互余可得∠CAF= 90°-∠C＝25°，所以∠DAE=∠CAF+∠EAC=85°，即∠BAC＝85°．
【详解】
解：∵ △ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE
∴∠C=∠E=65°，∠BAC=∠DAE=60°
∵AD⊥BC
∴∠AFC=90°
∴∠CAF= 90°-∠C＝25°
∴∠DAE=∠CAF+∠EAC=85°
∴∠BAC=∠DAE =85°
故答案为85°．
【点睛】
本题主要考查了旋转变换，掌握旋转前后两图形全等、对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角是解答本题的关键．
15. 【答案】
【分析】
根据待定系数法求得f、g、k、m的值，带入A、B坐标可得到：，再设C点坐标为，再利用待定系数法确定直线BC的解析式为y=，直线AC的解析式为，于是利用y轴上点的坐标特征得到D点坐标为（0，+3），P点坐标为（0，+3），然后利用S△PBC=S△PBD+S△CPD得到关于a的方程，求出a的值即可得到C点坐标．
【详解】
∵点坐标为，点坐标为，
可得方程组
∴ ；
设交轴于，如图，
设点坐标为，
设直线的解析式为，把、代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点坐标为．
设直线的解析式为，
把、代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点坐标为，
∴．
∵，
∴，
解得，
∴点坐标为．
故答案为：．
16. 【答案】
【分析】
化简绝对值，再计算除法．
【详解】
解：．=
=
【点睛】
本题考查了三角函数，绝对值，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
17. 【答案】．
【分析】
去分母转化为整式方程，解整式方程，检验，得出结论即可
【详解】
解：方程两边同时乘以，去分母，得-1，
整理得：
即，
解得．
经检验，为原方程的解．
∴原分式方程的解为
【点睛】
本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解题方法与步骤是解题关键
18. （1）；（2）不会增大．
【解析】
试题分析：（1）用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃到一个花生馅汤圆，一个芝麻馅汤圆的情况，最后利用概率公式求解即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃一个花生馅汤圆，一个芝麻馅汤圆的情况，再利用概率公式即可求得给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃到一个花生馅汤圆，一个芝麻馅汤圆的概率，比较大小，即可知爸爸吃一个花生馅汤圆一个芝麻馅汤圆的可能性是否会增大．
试题解析：（1）分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，爸爸吃一个花生馅汤圆，一个芝麻馅汤圆的有4种情况，∴爸爸吃一个花生馅汤圆，一个芝麻馅汤圆的概率为： =；
（2）会增大．理由：分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，爸爸一个花生馅汤圆，一个芝麻馅汤圆有6种情况，∴爸爸吃一个花生馅汤圆，一个芝麻馅汤圆的概率为：=<；∴给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸一个花生馅汤圆，一个芝麻馅汤圆的可能性不会增大．
考点：列表法与树状图法．
19. 【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
(1) 由题意可证四边形DFBE是平行四边形，且DE⊥AB，可得结论；
(2)根据直角三角形的边角关系可求DE的长度.
【详解】
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴且，
∴四边形是平行四边形．
又∵，∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵，
又∵，∴，
∴．
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键.
20. 【答案】（1）200-2x；（2）70
【分析】
（1）利用平均每天的销售量提高的价格，即可用含的代数式表示出提价后平均每天的销售量；
（2）根据每天的销售利润每箱的销售利润销售数量，即可列出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值，在结合销售利润不能超过，即可确定的值
【详解】
（1）根据题意，提价后平均每天的销售量为：
（2）根据题意得：
整理得：
解得：，
当时，利润率，符合题意；
当时，利润率，不合题意，舍去
所以要获得1200元利润，应按70元每盒销售．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题关键是根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出平均每天的销售量，找准等量关系正确列出一元二次方程．
21. 1）证明见详解；（2）圆O的半径为；（3）证明见详解．
【分析】
（1）连接，根据切线的性质，平行的判定方法得出结论；
（2）通过圆周角定理进行转换，然后利用解直角三角形的知识解得；
（3）作，连接，先证明平分，再结合角平分线的定义可得四边形为正方形，即可得，根据证明，可得，从而根据线段间的和差关系即可得出结论．
【详解】
解：（1）直线与圆相切；
理由如下：连接，
，
，
，
，
，
；
（2）为圆的直径，
，
，
，
的长度为12，
又，
，
；
（3）过作，交的延长线于点，连接 ，
是圆的直径，
，
，
，
平分，
，，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
即有：．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、切线的判定、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质等，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
22. 【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0）；（2）3；（3）点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）
【分析】
（1）根据抛物线解析式求出，的坐标即可；
（2）先求得点C的坐标，再用待定系数法求得直线BC的解析式；由PE＝2ED可得PD＝3ED，设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），用含m的式子表示出PD和DE，根据PD＝3ED得出关于m的方程，解得m的值，则可得PE的长，然后按照三角形的面积公式计算即可；
（3）分两种情况：①点C为直角顶点；②点B为直角顶点．过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D；过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，分别求得直线P1C和直线BP2的解析式，将它们分别与抛物线的解析式联立，即可求得点P的坐标．
【详解】
解：（1）令抛物线，则﹣x2+2x+3，
解得：，，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，3）代入，得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
若PE＝2ED，则PD＝3ED，
设P（m，﹣m2+2m+3），
∵PD上x轴于点D，
∴E（m，﹣m+3），
∴﹣m2+2m+3＝3（﹣m+3），
∴m2﹣5m+6＝0，
解得m1＝2，m2＝3（舍），
∴m＝2，此时P（2，3），E（2，1），
∴PE＝2，
∴S△PBC＝×2×3＝3．
∴△PBC的面积为3；
（3）∵△PBC是以BC为直角边的直角三角形，
∴有两种情况：①点C为直角顶点；②点B为直角顶点．
过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D；
过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，如图所示：
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠BCO＝∠OBC＝45°．
∵P1C⊥BC，
∴∠DCB＝90°，
∴∠DCO＝45°，
又∵∠DOC＝90°，
∴∠ODC＝45°＝∠DCO，
∴OD＝OC＝3，
∴D（﹣3，0），
∴直线P1C的解析式为y＝x+3，
联立，
解得或（舍）；
∴P1（1，4）；
∵P1C⊥BC，BP2⊥BC，
∴P1CBP2，
∴设直线BP2的解析式为y＝x+b，
将B（3，0）代入，得0＝3+b，
∴b＝﹣3，
∴直线BP2的解析式为y＝x﹣3，
联立，
解得或（舍），
∴P2（﹣2，﹣5）．
综上，点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．
【点睛】
本题考查了本题考查抛物线与坐标轴的交点，用待定系数法求一次函数的解析式，抛物线与三角形有关的综合问题，解题的关键是能熟练运用数形结合的思想、分类讨论的思想熟练进行转化并求解．
一、单选题(每题3分，共30分）
1．下列代数式中，是分式的为（ ）
A．B．C．D．
2．地球赤道的半径为6370000米，用科学记数法表示为（ ）
A．米B．米C．米D．米
3. 下列图形中，是轴对称图形，并且是中心对标图形的有（ ）
① ② ③ ④
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．某班体育课上老师记录了7位女生1分钟仰卧起坐的成绩（单位：个）分别为：28，23，38，38，35，35，38，48，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．35，38B．36.5，38C．38，35D．38，38
5．若点在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．函数y＝自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x≤5C．x≤5且x≠3D．x＜5且x≠3
7．如图，在△ABC中，∠A=50°，O为△ABC的内心，则∠BOC的度数为（ ）
A．65°B．70°C．115°D．125°
8．若不等式组有解，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．无法确定
9．若二次函数的图象与轴的交点坐标分别是、，且，图象上有一点，且，对于以下说法：
①；②是方程的解；③；④M点在轴下方，对于以上说法正确的是（ ）
A．①②③④B．①②④C．③④D．①③
10. 如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AFBE，CF与AD相交于点G，点H在BC，且BH=BE，上连接EC、EF、EG、EH．则下列结论：
①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE=a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②④⑤ C．①③④D．①④⑤
二、填空题（每题3分，共15分）
11．因式分解：-4= ______．
12. 如图是某中学七年级学生视力统计图，其中近视200~400度的学生所在扇形的圆心角为__________度
13．已知线段的长度为，点为线段上的黄金分割点，则BC的长度为__________．
14．如图，将绕点旋转60度得到．，且，则____________
15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于、两点，是第一象限内双曲线上一点，连接并延长交轴与点，连接，．若的面积是24，则点的坐标为________．
14题图 15题图
三、解答题
16. 计算：．（6分）
17. 解分式方程：．（6分）
18. 父亲节快到了，明明准备为爸爸煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，一个水果馅，两个花生馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同．（8分）
（1）求爸爸吃到一个花生馅汤圆，一个芝麻馅汤圆的概率；
（2）若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃到一个花生馅汤圆，一个芝麻馅汤圆的可能性是否会增大？请说明理由．
19. 如图，在□ABCD中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．（8分）
（1）求证：四边形是矩形；
（2）已知，若，求的长度．
20. 2020年1月底，武汉爆发“新冠”疫情后，口罩成为家庭必需品，某口罩经销商批发了一批口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，销售利润不能超过50%，设该口罩售价为每盒x（x＞60）元（8分）
（1）用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为 盒；
（2）现在预算要获得1200元利润，应按每盒多少元销售？
21. 如图，，是以为直径的圆上两点，且，直线是圆的切线．（9分）
（1）求证：；
（2）若的长度为12，，求圆的半径；
（3）过点作，垂足为，求证：．
22. 如图，已知抛物线y＝y＝﹣x2+2x+3与轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．（10分）
（1）点A的坐标为___________，点的坐标为___________；；
（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积；
（3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．
参考答案
1．【答案】D
【分析】
根据分式的定义，对照选项分析，分母中含有字母的是分式，分母中不含字母的是整式，对选项逐一验证即可．
【详解】
根据分式的定义，分式的分母中要含有字母，A、B、C都不符合题意，故排除；D中分母含有字母，满足要求，符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．
2. 【答案】A
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
解：将6370000用科学记数法表示为：6.37×106．
故选：A．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【答案】A
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
解：将6370000用科学记数法表示为：6.37×106．
故选：A．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. A
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：①是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；
②是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
③是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意；
④不是轴对称图形，也不是中心对标图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4. 【答案】B
【分析】
出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数；中位数一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
【详解】
解：把这些数从小到大排列为：23，28，35，35，38，38，38，48，
最中间的数是35，38，
则中位数是36.5；
∵38出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是38；
故选：B．
【点睛】
此题考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
5. 【答案】D
【分析】
根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．
【详解】
解：由P（1-a，a+2）在第四象限，得，
解得a＜-2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了点的坐标，利用第四项限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零得出不等式组是解题关键．
6. 【答案】C
【分析】
根据二次根式和分式有意义的条件求解即可．
【详解】
解：
∴且，
∴自变量x的取值范围为且，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查自变量的取值范围，掌握二次根式和分式有意义的条件是关键．
7. 【答案】C
【分析】
由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，由角平分线的定义得出∠OBC+∠OCB=65°，再由三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
【详解】
解：，
，
O为△ABC的内心，
、分别平分、，
，，
，
；
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
8. 【答案】A
【分析】
根据大于小的小于大的无解，可得到，解出关于m的不等式即可．
【详解】
解：由题意可得：，
∴，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了已知一元一次不等式组的解集，求不等式组中的字母的值，同样也是利用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解）．
9. 【答案】B
【分析】
结合题意，根据二次函数图像、判别式的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】
∵二次函数的图象与轴的交点坐标分别是、，
∴有两个不相等的根
∴，故①正确；
∵图象上有一点，且，
∴M点在轴下方，故④正确，
又∵图象上有一点在轴下方，
∴时，，
∴是方程的解，故②正确，
当时，图象上有一点在轴下方，
∴
当时，图象上有一点在轴下方，
∴或，故③错误
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程和二次函数图像、解析式性质，从而完成求解．
10. 【答案】D
【分析】
①正确：如图1中，证明△FAE≌△EHC（SAS），即可解决问题；
②③错误：如图2中，延长AD到N，使得DN=BE，则△CBE≌△CDN（SAS），再证明△GCE≌△GCN（SAS），即可解决问题；
④正确：设BE=x，则AE=a-x，AF=，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题；
⑤正确：当BE=a时，设DG＝x，则EG＝xa，利用勾股定理构建方程可得x，
即可解决问题．
【详解】
解：如图1，
∵BE＝BH，∠EBH＝90°，
∴，
∵，
∴AF＝EH，
∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠FAE＝∠EHC＝135°，
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴AE＝HC，
∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH，
∵∠ECH+∠CEB＝90°，
∴∠AEF+∠CEB＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，
如图2中，延长AD到N，使得DN＝BE，则△CBE≌△CDN（SAS），
H
N
∴∠ECB＝∠DCN，
∴∠ECN＝∠BCD＝90°，
∴∠ECG＝∠GCN＝45°，
∵CG＝CG，CE＝CN，
∴△GCE≌△GCN（SAS），
∴EG＝GN，
∵GN＝DG+DN，DN＝BE，
∴EG＝BE+DG，故③错误，
∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AN＝AD+DN+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，
设BE＝x，则AE＝a﹣x，，
∴S△AEF=•（a﹣x）×x=x2+ax=（x2﹣axa2a2）=（xa）2a2，
∵0，
∴x=a时，△AEF的面积的最大值为，故④正确，
当BE=a时，设DG＝x，则EG＝xa，
在Rt△AEG中，则有（xa）2＝（a﹣x）2+（a）2，
解得x，
∴AG＝GD，故⑤正确，
综上，①④⑤正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
11. 【答案】（2a+2）（2a-2）
【分析】
利用平方差公式进行分解即可．
【详解】
解：原式=（2a+2）（2a-2），
故答案为：（2a+2）（2a-2）．
【点睛】
此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）．
12. 79.2
【分析】
先算出近视200~400度的学生人数占总人数的百分比
再用360度乘以近视200~400度的学生人数占总人数的百分比计算可得.
【详解】
解：近视200~400度的学生人数占总人数的百分比为
1-34.2%-32.2.6%-11.6%=22%
近视200~400度的学生所在扇形的圆心角为360°×22%=79.2°，
故答案为：79.2．
【点睛】
本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．
13.
【分析】
根据黄金分割点的定义即可得．
【详解】
点为线段上的黄金分割点，
，
，
，
解得，则
故答案为：．
【点睛】
本题考查了黄金分割点的定义，熟记定义是解题关键．
14. 85
【分析】
由旋转的性质可得∠C=∠E=65°，∠BAC=∠DAE，再由垂直的定义可得∠AFC=90°，然后利用直角三角形两锐角互余可得∠CAF= 90°-∠C＝25°，所以∠DAE=∠CAF+∠EAC=85°，即∠BAC＝85°．
【详解】
解：∵ △ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE
∴∠C=∠E=65°，∠BAC=∠DAE=60°
∵AD⊥BC
∴∠AFC=90°
∴∠CAF= 90°-∠C＝25°
∴∠DAE=∠CAF+∠EAC=85°
∴∠BAC=∠DAE =85°
故答案为85°．
【点睛】
本题主要考查了旋转变换，掌握旋转前后两图形全等、对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角是解答本题的关键．
15. 【答案】
【分析】
根据待定系数法求得f、g、k、m的值，带入A、B坐标可得到：，再设C点坐标为，再利用待定系数法确定直线BC的解析式为y=，直线AC的解析式为，于是利用y轴上点的坐标特征得到D点坐标为（0，+3），P点坐标为（0，+3），然后利用S△PBC=S△PBD+S△CPD得到关于a的方程，求出a的值即可得到C点坐标．
【详解】
∵点坐标为，点坐标为，
可得方程组
∴ ；
设交轴于，如图，
设点坐标为，
设直线的解析式为，把、代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点坐标为．
设直线的解析式为，
把、代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点坐标为，
∴．
∵，
∴，
解得，
∴点坐标为．
故答案为：．
16. 【答案】
【分析】
化简绝对值，再计算除法．
【详解】
解：．=
=
【点睛】
本题考查了三角函数，绝对值，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
17. 【答案】．
【分析】
去分母转化为整式方程，解整式方程，检验，得出结论即可
【详解】
解：方程两边同时乘以，去分母，得-1，
整理得：
即，
解得．
经检验，为原方程的解．
∴原分式方程的解为
【点睛】
本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解题方法与步骤是解题关键
18. （1）；（2）不会增大．
【解析】
试题分析：（1）用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃到一个花生馅汤圆，一个芝麻馅汤圆的情况，最后利用概率公式求解即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃一个花生馅汤圆，一个芝麻馅汤圆的情况，再利用概率公式即可求得给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃到一个花生馅汤圆，一个芝麻馅汤圆的概率，比较大小，即可知爸爸吃一个花生馅汤圆一个芝麻馅汤圆的可能性是否会增大．
试题解析：（1）分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，爸爸吃一个花生馅汤圆，一个芝麻馅汤圆的有4种情况，∴爸爸吃一个花生馅汤圆，一个芝麻馅汤圆的概率为： =；
（2）会增大．理由：分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，爸爸一个花生馅汤圆，一个芝麻馅汤圆有6种情况，∴爸爸吃一个花生馅汤圆，一个芝麻馅汤圆的概率为：=<；∴给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸一个花生馅汤圆，一个芝麻馅汤圆的可能性不会增大．
考点：列表法与树状图法．
19. 【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
(1) 由题意可证四边形DFBE是平行四边形，且DE⊥AB，可得结论；
(2)根据直角三角形的边角关系可求DE的长度.
【详解】
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴且，
∴四边形是平行四边形．
又∵，∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵，
又∵，∴，
∴．
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键.
20. 【答案】（1）200-2x；（2）70
【分析】
（1）利用平均每天的销售量提高的价格，即可用含的代数式表示出提价后平均每天的销售量；
（2）根据每天的销售利润每箱的销售利润销售数量，即可列出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值，在结合销售利润不能超过，即可确定的值
【详解】
（1）根据题意，提价后平均每天的销售量为：
（2）根据题意得：
整理得：
解得：，
当时，利润率，符合题意；
当时，利润率，不合题意，舍去
所以要获得1200元利润，应按70元每盒销售．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题关键是根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出平均每天的销售量，找准等量关系正确列出一元二次方程．
21. 1）证明见详解；（2）圆O的半径为；（3）证明见详解．
【分析】
（1）连接，根据切线的性质，平行的判定方法得出结论；
（2）通过圆周角定理进行转换，然后利用解直角三角形的知识解得；
（3）作，连接，先证明平分，再结合角平分线的定义可得四边形为正方形，即可得，根据证明，可得，从而根据线段间的和差关系即可得出结论．
【详解】
解：（1）直线与圆相切；
理由如下：连接，
，
，
，
，
，
；
（2）为圆的直径，
，
，
，
的长度为12，
又，
，
；
（3）过作，交的延长线于点，连接 ，
是圆的直径，
，
，
，
平分，
，，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
即有：．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、切线的判定、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质等，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
22. 【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0）；（2）3；（3）点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）
【分析】
（1）根据抛物线解析式求出，的坐标即可；
（2）先求得点C的坐标，再用待定系数法求得直线BC的解析式；由PE＝2ED可得PD＝3ED，设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），用含m的式子表示出PD和DE，根据PD＝3ED得出关于m的方程，解得m的值，则可得PE的长，然后按照三角形的面积公式计算即可；
（3）分两种情况：①点C为直角顶点；②点B为直角顶点．过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D；过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，分别求得直线P1C和直线BP2的解析式，将它们分别与抛物线的解析式联立，即可求得点P的坐标．
【详解】
解：（1）令抛物线，则﹣x2+2x+3，
解得：，，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，3）代入，得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
若PE＝2ED，则PD＝3ED，
设P（m，﹣m2+2m+3），
∵PD上x轴于点D，
∴E（m，﹣m+3），
∴﹣m2+2m+3＝3（﹣m+3），
∴m2﹣5m+6＝0，
解得m1＝2，m2＝3（舍），
∴m＝2，此时P（2，3），E（2，1），
∴PE＝2，
∴S△PBC＝×2×3＝3．
∴△PBC的面积为3；
（3）∵△PBC是以BC为直角边的直角三角形，
∴有两种情况：①点C为直角顶点；②点B为直角顶点．
过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D；
过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，如图所示：
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠BCO＝∠OBC＝45°．
∵P1C⊥BC，
∴∠DCB＝90°，
∴∠DCO＝45°，
又∵∠DOC＝90°，
∴∠ODC＝45°＝∠DCO，
∴OD＝OC＝3，
∴D（﹣3，0），
∴直线P1C的解析式为y＝x+3，
联立，
解得或（舍）；
∴P1（1，4）；
∵P1C⊥BC，BP2⊥BC，
∴P1CBP2，
∴设直线BP2的解析式为y＝x+b，
将B（3，0）代入，得0＝3+b，
∴b＝﹣3，
∴直线BP2的解析式为y＝x﹣3，
联立，
解得或（舍），
∴P2（﹣2，﹣5）．
综上，点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．
【点睛】
本题考查了本题考查抛物线与坐标轴的交点，用待定系数法求一次函数的解析式，抛物线与三角形有关的综合问题，解题的关键是能熟练运用数形结合的思想、分类讨论的思想熟练进行转化并求解．
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