2021年黑龙江省哈尔滨市平房区中考数学一模试卷

这是一份2021年黑龙江省哈尔滨市平房区中考数学一模试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣2的倒数为（ ）
A．﹣B．C．2D．1
2．（3分）下列运算一定正确的是（ ）
A．x3+x3＝x6B．x3•x4＝x12
C．（x3）4＝x12D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
3．（3分）选项中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．正方形B．平行四边形
C．菱形D．矩形
4．（3分）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转75°，得到△ADE，则∠CAD的度数为（ ）
A．75°B．90°C．120°D．165°
6．（3分）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，连接AC，若∠A＝35°，则∠D的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
7．（3分）将抛物线y＝x2先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得的抛物线对应的函数关系是（ ）
A．y＝（x+1）2+3B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x+1）2﹣3D．y＝（x﹣1）2+3
8．（3分）方程＝的解为（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝3D．x＝﹣3
9．（3分）九年一班有12名同学报名参加校园踢毽子比赛，其中8名男生、4名女生，体育委员随机抽出一名同学代表班级参加比赛，则抽出的同学是女生的概率是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，点F在CD的延长线上，AF∥BC，则下列结论错误的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）将20210000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）函数中，自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）计算的结果是 ．
14．（3分）把多项式x2y﹣4xy+4y分解因式的结果是 ．
15．（3分）已知反比例函数y＝的图象经过点（1，﹣3），则k的值为 ．
16．（3分）抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3的顶点坐标是 ．
17．（3分）不等式组的解集是 ．
18．（3分）一个扇形的面积是3πcm2，圆心角是120°，则此扇形的半径是 cm．
19．（3分）已知等边三角形ABC，AB＝15，点D在BC上，过点D作BC的垂线，交射线BA于点E，交射线CA于点F，若DF＝2EF，则CD的长为 ．
20．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，AE⊥BC，垂足为点E，延长AE至点D，使AD＝AB，连接CD、BD，若∠ACD＝90°，则BD的长为 ．
三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25～27题各10分，共60分）
21．（7分）先化简，再求代数式÷+的值，其中x＝2sin60°﹣3tan45°．
22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB、CD的端点在小正方形的顶点上．
（1）在图中画一个以AB为腰的等腰直角三角形ABE，点E在小正方形的顶点上；
（2）在图中画一个以CD为边的菱形CDFG，点F、G在小正方形的顶点上，且面积为20，连接EF，并直接写出线段EF的长．
23．（8分）为了解学生线上学习的需求，虹友中学随机对部分学生进行了“你最喜欢哪类在线学习方式”（必选且只选一类）的调查，并根据调查结果，绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢“线上听课”的学生人数占所调查人数的45%．请你根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了多少名学生？
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）若虹友中学共有1200名学生，请你估计该校最喜欢“线上答题”方式的学生有多少名？
24．（8分）已知：平行四边形ABCD，过点A、C分别作AD、BC的垂线，交BD于E、F两点，连接AF、CE．
（1）如图1，求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）如图2，当点F为DE中点时，请直接写出图2中与四边形AECF面积相等的所有三角形．
25．（10分）为了丰富学生的大课间活动，振海中学到体育用品商店购买篮球和足球，若购买2个篮球和3个足球共需600元，购买3个篮球和1个足球其需550元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元？
（2）振海中学决定购买篮球和足球共20个，经商议，体育用品商店决定篮球单价打八折，足球单价不变，若总费用不超过2200元，那么该校最多可以购买多少个篮球？
26．（10分）已知：△ABC内接于⊙O，过点B作BD⊥AC，垂足为点D，∠BAC＝2∠DBC．
（1）如图1，求证：AB＝AC；
（2）如图2，点E在AC上，连接BE，F为BE中点，连接CF，∠ECF＝∠BAC，求证：AB＝2CF；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长BE、BD分别交⊙O于点G、H，AG、CH的延长线相交于点K，连接OE，若OE＝，∠AKC＝90°，求线段HK的长．
27．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线AB交x轴于点B，交y轴于点A，直线AC交x轴于点C，AB＝AC，点C的坐标是（3，0）．
（1）如图1，求点B坐标；
（2）如图2，点D在线段AB上，点E在线段AC延长线上，连接DE交OC于点F，DF＝EF，过点E作EH⊥x轴，垂足为点H，设点F的横坐标为t，BH长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，在BA的延长线上取一点K，使AK＝CE，连接CK、FK，过点D的直线交x轴于点G，交直线AC于点M，连接BM、GK，若∠BMG＝∠FKC，BM∥KF，△CKG的面积为12，求直线GK的解析式．
2021年黑龙江省哈尔滨市平房区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分.共30分）
1．（3分）﹣2的倒数为（ ）
A．﹣B．C．2D．1
【分析】根据倒数的定义即可求解．
【解答】解：﹣2的倒数是：﹣．
故选：A．
2．（3分）下列运算一定正确的是（ ）
A．x3+x3＝x6B．x3•x4＝x12
C．（x3）4＝x12D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及完全平方公式逐一选项判断即可．
【解答】解：A、x3+x3＝2x3，故本选项不合题意；
B、x3•x4＝x7，故本选项不合题意；
C、（x3）4＝x12，故本选项符合题意；
D、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故本选项不合题意；
故选：C．
3．（3分）选项中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．正方形B．平行四边形
C．菱形D．矩形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
4．（3分）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层右边是两个小正方形，第三层右边是一个小正方形，
故选：A．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转75°，得到△ADE，则∠CAD的度数为（ ）
A．75°B．90°C．120°D．165°
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB＝∠B＝45°，根据旋转的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠B＝45°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转75°得到△ADE，
∴∠BAD＝75°，
∠CAD＝∠CAB+∠BAD＝75°+45°＝120°，
故选：C．
6．（3分）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，连接AC，若∠A＝35°，则∠D的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【分析】连接OC，如图，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，根据圆周角定理得到∠COD＝2∠A＝70°，然后利用互余计算∠D的度数．
【解答】解：连接OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵∠COD＝2∠A＝2×35°＝70°，
∴∠D＝90°﹣∠COD＝90°﹣70°＝20°．
故选：B．
7．（3分）将抛物线y＝x2先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得的抛物线对应的函数关系是（ ）
A．y＝（x+1）2+3B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x+1）2﹣3D．y＝（x﹣1）2+3
【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．
【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），
向右平移1个单位，再向下平移3个单位后的图象的顶点坐标为（1，﹣3），
所以，所得图象的解析式为y＝（x﹣1）2﹣3，
故选：B．
8．（3分）方程＝的解为（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝3D．x＝﹣3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：8x＝3（x﹣5），
解得：x＝﹣3，
检验：把x＝﹣3代入方程得：2x（x﹣5）＝48≠0，
则分式方程的解为x＝﹣3．
故选：D．
9．（3分）九年一班有12名同学报名参加校园踢毽子比赛，其中8名男生、4名女生，体育委员随机抽出一名同学代表班级参加比赛，则抽出的同学是女生的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】用女生的人数除以总人数即可求得答案．
【解答】解：∵共有12名同学，其中女生有4名，
∴随机抽出一名同学代表班级参加比赛，则抽出的同学是女生的概率是＝，
故选：B．
10．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，点F在CD的延长线上，AF∥BC，则下列结论错误的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】由AF∥BC，DE∥BC，得到AF∥DE，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，，
故A正确，C错误；
∵AF∥DE，
∴，
故B正确；
∵DE∥BC，
∴，
又∵AF∥BC，
∴∠FAD＝∠DBC，∠AFD＝∠DCB，
∴△FAD～△CBD，
∴，
∴，
故D正确．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）将20210000用科学记数法表示为 2.021×107 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：20210000＝2.021×107，
故答案为：2.021×107．
12．（3分）函数中，自变量x的取值范围是 ．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；令分母为0，可得到答案．
【解答】解：根据题意得2x﹣3≠0，
解可得x≠，
故答案为x≠．
13．（3分）计算的结果是 2 ．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣＝2．
故答案为：2．
14．（3分）把多项式x2y﹣4xy+4y分解因式的结果是 y（x﹣2）2 ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝y（x2﹣4x+4）
＝y（x﹣2）2．
故答案为：y（x﹣2）2．
15．（3分）已知反比例函数y＝的图象经过点（1，﹣3），则k的值为 ﹣2 ．
【分析】直接把点（1，﹣3）代入反比例函数y＝即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（1，﹣3），
∴﹣3＝，
解得k﹣1＝﹣3，
∴k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
16．（3分）抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3的顶点坐标是 （﹣1，﹣3） ．
【分析】根据二次函数的顶点式解析式写出即可．
【解答】解：抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3的顶点坐标是（﹣1，﹣3）．
故答案为：（﹣1，﹣3）．
17．（3分）不等式组的解集是 3≤x＜4 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式﹣1＜1，得：x＜4，
解不等式2﹣3x≤﹣7，得：x≥3，
则不等式组的解集为3≤x＜4，
故答案为：3≤x＜4．
18．（3分）一个扇形的面积是3πcm2，圆心角是120°，则此扇形的半径是 3 cm．
【分析】设此扇形的半径为rcm，利用扇形的面积公式得到＝3π，然后解关于r的方程即可．
【解答】解：设此扇形的半径为rcm，
根据题意得＝3π，
解得r＝3．
即此扇形的半径为3cm．
故答案为3．
19．（3分）已知等边三角形ABC，AB＝15，点D在BC上，过点D作BC的垂线，交射线BA于点E，交射线CA于点F，若DF＝2EF，则CD的长为 10或6 ．
【分析】分两种情况：①DF与AB交于点E，与CA延长线交于点F，作FG∥BD，交BA延长线于点G，②DF与AC交于点F，与BA延长线交于点E，作EG∥BD，交CA延长线于点G，根据全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：分两种情况：
①DF与AB交于点E，与CA延长线交于点F，作FG∥BD，交BA延长线于点G，
∵DF＝2EF，
∴EF＝DE，
∵FG∥BD，DF⊥BC，
∴∠EFG＝∠EDB＝90°，
在△EFG和△EDB中，
，
∴△EFG≌△EDB（ASA），
∴GE＝BE，
∵ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠B＝∠C＝60°，
∵DF⊥BC，
∴∠BED＝30°，
∴∠FEG＝∠BED＝30°，
∵∠FAE＝180°﹣60°＝120°，
∴∠EFA＝∠AEF＝30°，
∴AE＝AF，
∵FG∥BC，
∴∠G＝∠B＝60°，∠GFC＝∠C＝60°，
∴△AFG是等边三角形，
∴AF＝AG，
∵AE＝AF，
∴AE＝AF＝AG＝EG＝BE，
设BE＝x，则AE＝AF＝AG＝x，AB＝x，
∵AB＝15，
∴x＝10，即BE＝10，
在Rt△BED中，∠BED＝30°，BE＝10，
∴BD＝BE＝5，
∴CD＝BC﹣BD＝10；
②DF与AC交于点F，与BA延长线交于点E，作EG∥BD，交CA延长线于点G，
∵EG∥BD，
∴∠GEF＝∠FDC＝90°，
∵∠EFG＝∠DFC，
∴△EFG∽△DFC，
∴＝，
设CF＝x，则GF＝x，
∵ABC是等边三角形，EG∥BD，
∴∠EGA＝∠C＝60°，∠GEA＝∠B＝60°，AB＝AC＝15，
∴△AEG是等边三角形，
∴AG＝AE，
∵∠GEF＝90°，∠EDC＝90°，
∴∠GFE＝∠DFC＝30°，∠BED＝30°，
∴AE＝AF＝AG＝GF，CD＝CF＝x，
∵GF＝x，
∴AF＝x，
∴AC＝AF+CF＝x＝15，
∴x＝12，
∴CD＝CF＝x＝6．
综上，CD的长为10或6．
故答案为：10或6．
20．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，AE⊥BC，垂足为点E，延长AE至点D，使AD＝AB，连接CD、BD，若∠ACD＝90°，则BD的长为 2 ．
【分析】设BE＝m，DE＝n，则AE＝2﹣n，CE＝2﹣m，证明△AEC∽△CED，根据相似三角形的性质可得，可得m2+n2﹣4m﹣2n＝﹣20①，由勾股定理得AE2+BE2＝AB2，可得m2+n2＝4n②，联立得m＝n+，代入②可求得n＝，即可得出m＝，根据勾股定理即可BD的长．
【解答】解：设BE＝m，DE＝n，则AE＝2﹣n，CE＝2﹣m，
∵AE⊥BC，∠ACD＝90°，
∴∠ACE+∠EAC＝90°，∠ACE+∠DCE＝90°，
∴∠EAC＝∠DCE，∠AEC＝∠CED，
∴△AEC∽△CED，
∴，即，
∴m2+n2﹣4m﹣2n＝﹣20①，
∵AE⊥BC，
∴AE2+BE2＝AB2，即（2﹣n）2+m2＝20，
∴m2+n2＝4n②，
联立①②得4n﹣4m﹣2n＝﹣20，
∴m＝n+，代入②得（n+）2+n2＝4n，
解得n＝或2（不合题意，舍去），
∴m＝，
在Rt△BED中，BD＝＝＝2．
故答案为：2．
三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25～27题各10分，共60分）
21．（7分）先化简，再求代数式÷+的值，其中x＝2sin60°﹣3tan45°．
【分析】可先将此代数式进行化简，再将x＝2sin60°﹣3tan45°＝﹣3代入计算即可．
【解答】解：原式＝×+＝．
∵x＝2sin60°﹣3tan45°＝2×﹣3×1＝﹣3，
∴原式＝＝．
22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB、CD的端点在小正方形的顶点上．
（1）在图中画一个以AB为腰的等腰直角三角形ABE，点E在小正方形的顶点上；
（2）在图中画一个以CD为边的菱形CDFG，点F、G在小正方形的顶点上，且面积为20，连接EF，并直接写出线段EF的长．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义画出图形即可．
（2）周长底为5，高为4的菱形CDFG即可．利用勾股定理求出EF．
【解答】解：（1）如图，△ABE即为所求作．
（2）如图，菱形CDFG即为所求作，EF＝＝．
23．（8分）为了解学生线上学习的需求，虹友中学随机对部分学生进行了“你最喜欢哪类在线学习方式”（必选且只选一类）的调查，并根据调查结果，绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢“线上听课”的学生人数占所调查人数的45%．请你根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了多少名学生？
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）若虹友中学共有1200名学生，请你估计该校最喜欢“线上答题”方式的学生有多少名？
【分析】（1）根据线上听课的人数和所占的百分比，可以计算出在这次调查中，一共调查了多少名学生；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出喜欢线上阅读的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校最喜欢“线上答题”方式的学生有多少名．
【解答】解：（1）36÷45%＝80（名），
即在这次调查中，一共调查了80名学生；
（2）喜欢线上阅读的学生有：80﹣36﹣14﹣10＝20（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）1200×＝210（名），
即估计该校最喜欢“线上答题”方式的学生有210名．
24．（8分）已知：平行四边形ABCD，过点A、C分别作AD、BC的垂线，交BD于E、F两点，连接AF、CE．
（1）如图1，求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）如图2，当点F为DE中点时，请直接写出图2中与四边形AECF面积相等的所有三角形．
【分析】（1）由“ASA”可证△ADE≌△CBF，可得CF＝AE，DE＝BF，∠AEF＝∠CFE，由平行四边形的判定可得结论；
（2）先证BE＝DF＝EF，由三角形的面积公式可求解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBD，
∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD＝∠BCF＝90°，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴CF＝AE，DE＝BF，∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）∵点F为DE中点，
∴DF＝EF，
∵BF＝DE，
∴BE＝DF＝EF，
∴与四边形AECF面积相等有△ABE，△ADE，△BCF，△DCE．
25．（10分）为了丰富学生的大课间活动，振海中学到体育用品商店购买篮球和足球，若购买2个篮球和3个足球共需600元，购买3个篮球和1个足球其需550元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元？
（2）振海中学决定购买篮球和足球共20个，经商议，体育用品商店决定篮球单价打八折，足球单价不变，若总费用不超过2200元，那么该校最多可以购买多少个篮球？
【分析】（1）设每个篮球的售价为x元，每个足球的售价为y元，根据“购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设振海中学购买m个篮球，则购买（20﹣m）个足球，由题意即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，则可得出答案．
【解答】解：（1）设每个篮球的售价为x元，每个足球的售价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：每个篮球的售价为150元，每个足球的售价为100元．
（2）设振海中学购买m个篮球，则购买（20﹣m）个足球，
根据题意，得150×80%m+100×（20﹣m）≤2200，
解得：m≤10，
答：该校最多可以购买10个篮球．
26．（10分）已知：△ABC内接于⊙O，过点B作BD⊥AC，垂足为点D，∠BAC＝2∠DBC．
（1）如图1，求证：AB＝AC；
（2）如图2，点E在AC上，连接BE，F为BE中点，连接CF，∠ECF＝∠BAC，求证：AB＝2CF；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长BE、BD分别交⊙O于点G、H，AG、CH的延长线相交于点K，连接OE，若OE＝，∠AKC＝90°，求线段HK的长．
【分析】（1）利用已知和三角形内角和定理列出关系式后整理可得结论；
（2）延长CF交⊙O于点M，连接BM，利用已知得出BM∥AC，再利用等弧对等弦可得CM＝AB，进而得出结论；
（3）连接ME，得到AM＝AE；过点M作MR⊥AE，通过说明△MRE≌△BDC得出DC＝RE＝AR，通过△ABD≌△ACK得出∠BAD＝∠CAK，进而得出AE＝EC；连接OA，OC，AH，利用直角三角形的边角关系列出关系式求得AE，进而得出结论．
【解答】证明：（1）∵BD⊥AC，
∴∠DBC+∠C＝90°．
∴2∠DBC+2∠C＝180°．
∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，∠BAC＝2∠DBC，
∴∠BAC+2∠C＝∠BAC+∠ABC+∠C．
∴∠C＝∠ABC．
∴AB＝AC．
（2）延长CF交⊙O于点M，连接BM，如图，
则∠M＝∠BAC．
∵∠ECF＝∠BAC，
∴∠M＝∠ECF．
∴BM∥CE．
∴．
∴．
即．
∴AB＝CM．
在△MBF和△CEF中，
．
∴△MBF≌△CEF（AAS）．
∴MF＝CF，BM＝CE．
∴CM＝2CF．
∴AB＝2CF．
（3）连接ME，如图，
∵BM∥CE，BM＝CE，
∴四边形MBCE为平行四边形．
∴ME＝BC，∠AEM＝∠ACB．
连接AM，
∵四边形AMBC是圆的内接四边形，
∴∠MAC+∠MBC＝180°．
∵∠ACB+∠MBC＝180°，
∴∠ACB＝∠MAC．
∴∠MAE＝∠AEM．
∴AM＝AE．
过点M作MR⊥AE于R，则AR＝RE．
在△MRE和△BDC中，
．
∴△MRE≌△BDC（AAS）．
∴DC＝RE＝AR．
∵，
∴∠ABD＝∠ACK．
又∵∠K＝∠ADB，AB＝AC，
∴△ABD≌△ACK（AAS）．
∴AD＝AK．
∴∠BAD＝∠CAK＝2α．
∵，
∴∠AGB＝∠ACB＝90°﹣α．
∴∠AEG＝90°﹣α＝∠BEC＝∠ECB．
∴BE＝BC．
∵BD⊥EC，
∴DE＝DC．
∴AE＝EC．
设CD＝m，则AD＝3m，AB＝4m．
在Rt△ABD中，BD＝．
∴tan∠DBC＝．
连接OA，OC，
∵点E为AC的中点，
∴OE⊥AC．
∵，
∴∠AOE＝∠AOC＝∠ABC＝90°﹣α．
∴∠OAE＝α＝∠DBC＝∠DBE．
连接AH，
∵，
∴∠OAE＝∠DBC．
∴tan∠OAE＝tan∠DBC＝＝．
∴AE＝4．
∴AD＝AE+DE＝6．
∴AK＝AD＝6．
∵tan∠HAK＝tan∠DBC＝，
∴HK＝．
27．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线AB交x轴于点B，交y轴于点A，直线AC交x轴于点C，AB＝AC，点C的坐标是（3，0）．
（1）如图1，求点B坐标；
（2）如图2，点D在线段AB上，点E在线段AC延长线上，连接DE交OC于点F，DF＝EF，过点E作EH⊥x轴，垂足为点H，设点F的横坐标为t，BH长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，在BA的延长线上取一点K，使AK＝CE，连接CK、FK，过点D的直线交x轴于点G，交直线AC于点M，连接BM、GK，若∠BMG＝∠FKC，BM∥KF，△CKG的面积为12，求直线GK的解析式．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可求BO＝CO＝3，即可求解；
（2）由“AAS”可证△DFQ≌△EFH，△DQB≌△EHC可得DQ＝HE，QF＝FH，BQ＝CH，由线段的和差关系可求解；
（3）先求出MG∥KC，可得S△DKC＝S△CKG，由面积关系可求OA＝4，由锐角三角函数和全等三角形的性质分别求出点K，点G的坐标，利用待定系数法可求解．
【解答】解：（1）∵点C的坐标是（3，0），
∴CO＝3，
∵AB＝AC，OA⊥BC，
∴BO＝CO＝3，∠BAO＝∠CAO，
∴点B（﹣3，0）；
（2）如图2，过点D作DQ⊥BC于Q，
∴∠DQF＝∠EHF，
又∵∠DFQ＝∠EFH，DF＝EF，
∴△DFQ≌△EFH（AAS），
∴DQ＝HE，QF＝FH，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ECH，
又∵∠DQB＝∠EHC＝90°，DQ＝EH，
∴△DQB≌△EHC（AAS），
∴BQ＝CH，BD＝CE，
∴BQ＝CH＝BH﹣BC＝d﹣6，
∵CF＝3﹣t，
∴QF＝FH＝3+t﹣（d﹣6）＝3﹣t+d﹣6，
∴d＝6+t；
（3）如图3，过点K作KN⊥y轴于N，连接DC，
∴NK∥BC，
∴∠NKA＝∠ABC＝∠ACB＝∠HCE，
又∵AK＝CE，∠KNA＝∠CHE＝90°，
∴△AKN≌△ECH（AAS），
∴CH＝NK，AN＝HE，
∵BQ＝CH＝d﹣6，d＝6+t，
∴BQ＝CH＝NK＝t＝OF，
又∵NK∥BC，
∴四边形KNOF是平行四边形，
又∵∠NOF＝90°，
∴四边形KNOF是矩形，
∴∠KFO＝90°，
∵BM∥KF，
∴∠KFC＝∠MBO＝90°，
又∵∠BMG＝∠FKC，
∴∠MGB＝∠KCF，
∴MG∥KC，
∴S△DKC＝S△CKG，
又∵BD＝CE＝AK，
∴AB＝DK，
∴S△DKC＝S△ABC＝BC•OA＝12，
∴OA＝4，
∴AB＝＝＝5＝AC＝DK，
∵tan∠ACB＝，
∴，
∴BM＝8，
∵AO∥MB，
∴∠BAO＝∠MBA，∠CAO＝∠BMA，
又∵∠BAO＝∠CAO，
∴∠MBA＝∠BMA，
∴AM＝AB＝AC，
∵KC∥MG，
∴∠AMD＝∠ACK，
又∵∠MAD＝∠KAC，
∴△AMD≌△ACK（ASA），
∴AD＝AK＝DB＝，
∴BK＝，
∵DQ∥AO∥KF，
∴，
∴BQ＝OQ＝OF＝，
∴BF＝
∴KF＝＝＝6，
∴点K（，6），
∵AN＝NO﹣AO＝2，
∴DQ＝HE＝2，
∵tan∠MGB＝，
∴＝，
∴GQ＝，
∴OG＝1，
∴点G（﹣1，0），
设直线GK的解析式为y＝kx+b，
，
∴，
∴直线GK的解析式为y＝x+．