2023年黑龙江省哈尔滨市平房区中考数学三模试卷（含解析）

2023年黑龙江省哈尔滨市平房区中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算一定正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，、为的两条切线，、为切点，点为上一点连接、、、，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  方程的解为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点与点是对应点，点与点是对应点，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  一个不透明的袋子中装有个小球，其中个红球、个黑球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  在中，，，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在菱形中，点在边上，，交对角线于点，则下列结论中错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11.  哈尔滨到北京的路程约为米，用科学记数法表示为______ 米

12.  在函数中，自变量的取值范围是______ ．

13.  已知反比例函数的图象上一点，过作轴、轴的垂线，所形成的矩形的面积为，则的值为______ ．

14.  化简：的结果是______．

15.  把多项式分解因式的结果是______ ．

16.  不等式组的解集是______．

17.  把抛物线先向左移动个单位，再向下移动个单位，所得到的新的抛物线的顶点坐标为______ ．

18.  扇形的弧长为，面积为，这个扇形的圆心角等于______ 度

19.  正方形中，点在直线上一点，且：：，连接，则的值为______ ．

20.  如图，在四边形中，，、为对角线，，，若，，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
先化简，再求代数式的值，其中．

22.  本小题分
如图，方格纸中每个小正方形的边长均为线段的两个端点在小正方形的顶点上．
在图中画一个以为腰的等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且；
在图中画一个以为底的等腰三角形，点在小正方形的项点上，且是锐角三角形．连接，请直接写出线段的长．

23.  本小题分
随着年两会的隆重召开，中学校园掀起了关注时事政治的热潮我区及时开展“做一个关心国家大事的中学生”主题活动．为了了解我区中学生获取时事新闻的主要途径，分别从电脑上网、手机上网、听广播、看电视、看报纸五个方面，在全区范围内随机抽取了若干名中学生进行问卷调查每名中学生只选一种主要途径，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的统计图请根据统计图的信息回答下列问题：

本次调查共抽取了中学生多少人？
求本次调查中，以听广播获取时事新闻为主要途径的人数并补全条形统计图；
若本区共有中学生人，请你估计我区以看电视以看电视获取时事新闻为主要途径的中学生有多少人？

24.  本小题分
已知：如图，在中，于点于点，与交于点，且．
如图，求证：；
如图，连接，当点为中点时，请直接写出图中所有的等腰三角形．

 

25.  本小题分
平房区政府为了“安全，清激、美丽”河道，计划对何家沟平房区河段进行改造，现有甲乙两个工程队参加改造施工，受条件阻制，每天只能由一个工程队．若甲工程队先单独施工天，再由乙工程队单独施工天，则可以完成米的施工任务；若甲工程队先单独施工天，再由乙工程队单独施工天，则可以完成米的施工任务．
 求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？
何家沟平房区河段全长米．若工期不能超过天，乙工程队至少施工多少天？

26.  本小题分
已知：是的外接圆，，点为上一点，连接交于点，连接，且．
如图，求证：；
如图，连接并延长交于点，为弧上一点，连接，分别交、于点、若，求证：；
如图，在的条件下，，：：，连接，求线段的长．

 

27.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线分别交轴于点、，交轴于点，点的坐标为，连接、，过点作交轴于点，交于点，．
如图，求抛物线解析式；
如图，点为抛物线第一象限上的点，连接交线段于点不与、重合，设点的横坐标为，的长为，求与的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；
如图，在的条件下，连接，点为上一点，连接、，若，，求点坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是：，
故选：．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A错误，不符合题意；
B、，故B错误，不符合题意；
C、，故C正确，符合题意；
D、，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据合并同类项、同底数的幂相乘、幂的乘方法则及完全平方公式逐项判断．
本题考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项、同底数的幂相乘、幂的乘方法则及完全平方公式．
 

3.【答案】 

【解析】解：原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的右边是一个小正方形．
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：、为的两条切线，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
由切线的性质定理得到，由圆周角定理得到，又，即可求出的度数．
本题考查切线长度性质，圆周角定理，关键是由切线的性质定理得到，由圆周角定理得到．
 

6.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

7.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，由外角的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：从袋子中随机摸出一个小球共有种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有种结果，
所以从袋子中随机摸出一个小球，摸出的小球是红球的概率为，
故选：．
从袋子中随机摸出一个小球共有种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有种结果，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了锐角三角函数的定义的应用，关键是根据学生的理解能力和计算能力解答．
根据锐角三角函数定义，，由此解答即可．
【解答】
解：如图所示：

，
，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，∽，
，
，
，
选项A、、D正确；选项C错误；
故选：．
根据已知及平行线分线段成比例定理进行分析，可得，依据平行线成比例的性质和相似三角形的性质即可得到答案．
此题考查平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意，得
，
解得，
故答案为：．
根据分母不为可得：，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：依题意得：，
．
，
．
故答案为：．
根据反比例函数图象上任意一点向两坐标轴作垂线，所构成的矩形的面积为即可得出此题的答案．
此题主要考查了反比例函数中，的几何意义，解答此题的关键是理解反比例函数图象上任意一点向两坐标轴作垂线，所构成的矩形的面积为．
 

14.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并．
 

15.【答案】 

【解析】解：
．
故答案为：．
利用提取公因式进行因式分解．
本题考查提公因式法分解因式，掌握公因式特征是正确解题的前提．
 

16.【答案】 

【解析】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：把抛物线先向左移动个单位，再向下移动个单位，所得到的新的抛物线是，即，
新的抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可得出抛物线解析式，进而得出抛物线的顶点坐标．
此题主要考查了函数图象的平移，抛物线顶点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

18.【答案】 

【解析】解：设扇形的半径为，圆心角为，
根据扇形的面积公式可得，
，
解得．
根据圆弧长公式可得，
，
解得．
故答案为．
可先根据扇形的面积公式求出扇形的半径，然后再根据圆弧长公式求出扇形的圆心角的度数．
本题主要考查了扇形的面积公式和圆弧长公式，其中若扇形的半径为，圆心角为，则圆弧长，，应熟记并能灵活运用．
 

19.【答案】或 

【解析】解：如图，当点在线段上时，

，
，
：：，
设，则，
，
，
当点在线段的延长线上时，
：：，
设，则，
，
，
综上所述：或，
故答案为：或．
分两种情况讨论，由正方形的性质和锐角三角函数可求解．
本题考查了正方形的性质，锐角三角函数，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：设与交于点，设，
，
，，
又，
，
，
又，
，
，
又，
，
作于点，作于点，在的延长线上取，如图，
 ，，
，
设，
则，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
在中，，
即，
在和中，
，
≌，
，
，
，
在中，，
即，
解得：，
，
在中，，
．
故答案为：．
先设，先证明，从而得到，作于点，作于点，在得延长线上取，由，得到，设，推导   再由≌推出，继而得到，在中利用勾股定理列方程可得，解得，，最后在中使用勾股定理得．
本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是根据题意做出相应的辅助线．
 

21.【答案】解：原式

；
，
原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

22.【答案】解：如图所示：即为所求：

如图所示：即为所求，
由勾股定理可得：． 

【解析】因为为腰、的等腰，由此即可画出图形；
因为为底、是锐角三角形的等腰，所以点在线段的垂直平分线上，由此即可画出图形，利用勾股定理计算的长；
本题考查应用与作图设计、勾股定理、等腰三角形的性质和判定解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：人，
本次抽样调查共抽取了中学生人；
人，
被调查的中学生中以听广播作为主获取时事新闻主要途径有人，
补全条形统计图：

人，
由样本估计总体全区以看电视作为获取时事新闻主要途径的中学生有人． 

【解析】依据手机上网的人数及百分比，即可得到本次抽样调查共抽取的中学生人数；
依据总人数减去其它个项目的人数，即可得到以听广播获取时事新闻为主要途径的人数并补全条形统计图；
依据学校总人数乘以以看电视获取时事新闻为主要途径的中学生所占的百分比，即可得到我区以看电视以看电视获取时事新闻为主要途径的中学生人数．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

24.【答案】证明：，，
，
，，
，
，
，
≌，
；
解：、、、，理由如下：
，点为中点，
，
、是等腰三角形，
，点为中点，
是的垂直平分线，
，
是等腰三角形，
≌，
，
是等腰三角形，
综上所述：、、、是等腰三角形． 

【解析】证明≌，即可解决问题；
结合和等腰三角形的判定进行判断即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，直角三角形斜边上中线，解决本题的关键是得到≌．
 

25.【答案】解：设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米．
根据题意得：，
 解得：，
答：甲工程队每天能完成施工任务米，乙工程队每天能完成施工任务米；

设乙工程队施工天，
根据题意 得：，
解得：，
答：乙工程队至少施工天． 

【解析】分别利用“甲工程队先单独施工天，再由乙工程队单独施工天，则可以完成米的施工任务；若甲工程队先单独施工天，再由乙工程队单独施工天，则可以完成米的施工任务”，得出等式组成方程组求出答案；
利用何家沟平房区河段全长米，工期不能超过天，得出不等关系求出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出数量关系是解题关键．
 

26.【答案】证明：，
，
，，
，
．
，
，
，即；
证明：连接，如图：

是直径，
，
，
，，
，
，，
又，
，
，
，，
，
，
．
解：连接，如图：

，
，
，
，
：：，，
设，则，
，，，
，为直径，
，设垂足为，则，
，，
，
，
，即，
解得，
，
，
，即，
，
，
，
则，
解得，
，，，
作于点，则，，
，
在中，． 

【解析】由，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，即可得到；
连接，得出，进而得出，证出，推出，得到，即可证明结论．
由：：，证出：：，连接，利用三角函数求出，过作，求出，，得出．
本题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握性质，正确添加辅助线是解题关键．
 

27.【答案】解：，
，
，
，
，，，

，，，
≌，
，，
抛物线交轴于点，
，
，
．
将点，代入得：，
解得：，
抛物线解析式为：；
过点作轴与，

点为抛物线第一象限上的点，点的横坐标为，
，
，，．
轴，轴，
，
，
．
，，，
，
，
；
过点作交于点连接，

则，
，，
点、、、在以为直径的圆上，作出这个圆如图所示：
，
，
．
点是的中点，
延长至点使得，连接，
则，
设，
，
，
点是的中点，
又点是的中点，
，
，，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
设，
则，，
在中，，
即：，
解得：，
即：，
，
，
 

【解析】先用证明≌，从而得到，抛物线交轴于点，得到，继而得到，根据，利用待定系数法求抛物线解析式即可；
过点作轴与，从而得到，，，证明得到∽，，从而得到，再用减法得到；
过点作交于点，连接，得到点、、、在以为直径的圆上，作出这个圆，得到，从而得到，延长至点使得
，连接，则，利用推导点是的中点，从而得到，利用平行线的性质和同圆中同弧所对的圆周角相等得到，，从而得到，，设，则，，在中利用勾股定理列方程解得，从而得到，，最后代入得到．
本题考查待定系数法，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质定理等，推导中位线和利用隐圆求解，正确作出辅助线是解题的关键．