2022版新教材高考数学一轮复习56基本计数原理排列与组合训练含解析新人教B版

这是一份2022版新教材高考数学一轮复习56基本计数原理排列与组合训练含解析新人教B版，共6页。试卷主要包含了故选B.等内容，欢迎下载使用。
A组 全考点巩固练
1．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )
A．8B．24
C．48D．120
C 解析：末位只能从2,4中选一个，其余的三个数字任意排列，故这样的偶数共有Aeq \\al(3,4)Ceq \\al(1,2)＝4×3×2×2＝48个．故选C.
2．已知a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝4可表示不同的圆的个数为( )
A．7B．9
C．12D．16
C 解析：得到圆的方程分两步：第一步，确定a有3种选法；第二步，确定b有4种选法．由分步乘法计数原理知，共有3×4＝12(个)不同的圆．
3．(2020·石景山区高三一模)将4位志愿者分配到“糖酒会”的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有( )
A．72种B．36种
C．64种D．81种
B 解析：因为将4位志愿者分配到3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，
所以先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，
再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)＝36(种)分配方案．
4．(2020·昆明模拟)现有6人坐成一排，任选其中3人相互调整座位(这3人中任何一人都不能坐回原来的位置)，其余3人座位不变，则不同的调整方案的种数为( )
A．30B．40
C．60D．90
B 解析：根据题意，分2步进行分析：①从6人中选出3人，有Ceq \\al(3,6)＝20(种)选法；②记选出相互调整座位的3人分别为A，B，C，则A有2种坐法，B，C只有1种坐法，所以A，B，C相互调整座位有2种情况．故不同的调整方案有20×2＝40(种)．故选B.
5．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )
A．18种B．24种
C．36种D．72种
C 解析：1个路口3人，其余路口各1人的分配方法有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)种，1个路口1人，2个路口各2人的分配方法有Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)种．由分类加法计数原理知，甲、乙在同一路口的分配方案为Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)＝36种．
6．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且宫、羽不相邻，且位于角音阶的同侧，可排成的不同音序有( )
A．20种B．24种
C．32种D．48种
C 解析：若角排在一或五的位置，有 2Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3)＝24(种)；若角排在二或四的位置，有2Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)＝8(种)．
根据分类加法计数原理可得，共有24＋8＝32(种)排法．故选C.
7．(2020·珠海市高三三模)甲、乙、丙3人从1楼乘电梯去商场的3到9楼，每层楼最多下2人，则下电梯的方法有( )
A．210种B．252种
C．343种D．336种
D 解析：分两种情况讨论：
①每个楼层下1人，则3人下电梯的方法种数为Aeq \\al(3,7)＝210；
②3人中有2人从一个楼层下，另1人从其他楼层选一个楼层下，此时，3人下电梯的方法种数为Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,7)＝126.
由分类加法计数原理可知，3人下电梯的方法有210＋126＝336(种)．故选D.
8．从某校4个班级的学生中选出7名学生参加志愿者服务，若每个班级至少有一名代表，则各班级的代表数有________种不同的选法．(用数字作答)
20 解析：由题意知，从4个班级的学生中选出7名学生代表，每一个班级中至少有1名代表，相当于7个球排成一排，然后插3块隔板把他们分成4份，即中间6个空位中选3个插板，分成4份，共有Ceq \\al(3,6)＝20(种)不同的选法．
9．(2020·哈尔滨三中期末)有3名男演员和2名女演员，演出的出场顺序要求2名女演员之间恰有1名男演员，则不同的出场顺序共________种．
36 解析：有3名男演员和2名女演员，演出的出场顺序要求2名女演员之间恰有1名男演员，则先排2名女演员，有Aeq \\al(2,2)种方法，然后插入1名男演员，有Aeq \\al(1,3)种方法，再把这3个人当作一个整体，和其他2名男演员进行排列，有Aeq \\al(3,3)种方法．根据分步乘法计数原理，可得不同的出场顺序共有Aeq \\al(2,2)·Aeq \\al(1,3)·Aeq \\al(3,3)＝36(种)．
10．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中．
(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？
(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？
解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空隙中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有Ceq \\al(3,6)＝20(种)不同的放入方式．
(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有Ceq \\al(3,10)＝120(种)放入方式．
B组 新高考培优练
11．某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元、1个8元、1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )
A．18种B．24种
C．36种D．48种
C 解析：若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3)＝12(种)；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3)＝12(种)；若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq \\al(2,2)Ceq \\al(2,3)＝6(种)；若甲、乙抢的是两个6元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq \\al(2,3)＝6(种)．根据分类加法计数原理可得，共有36种情况．故选C.
12．某小学6名教职工的私家车中有3辆为黑色、2辆为白色、1辆为红色，学校刚好备有6个并排的停车位，上班期间这6辆私家车每天都停在这6个车位上，则红色私家车不停在两端，且3辆黑色私家车只有2辆相邻的停车种数为( )
A．144B．288
C．432D．720
B 解析：(方法一)①当白色私家车停在两端，且3辆黑色私家车只有2辆相邻时，先排3辆黑色私家车，有Aeq \\al(3,3)种情况，再将1辆红色私家车插入黑色私家车中间的2个空位中的任1个，有Ceq \\al(1,2)种情况，最后将2辆白色私家车停在两端，有Aeq \\al(2,2)种情况，此时不同的停车种数为Aeq \\al(3,3)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)＝24；②当黑色私家车停在两端，且3辆黑色私家车只有2辆相邻时，先排3辆黑色私家车，有Aeq \\al(3,3)种情况，再将剩下的3辆车作为整体插入黑色私家车中间的2个空位中的任1个，有Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(3,3)种情况，此时不同的停车种数为Aeq \\al(3,3)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(3,3)＝72；③当车位两端一端停白色私家车、一端停黑色私家车时，先排3辆黑色私家车，有Aeq \\al(3,3)种情况，(i)当红色私家车排在黑色私家车两边时，有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)种情况，(ii)当红色私家车排在黑色私家车中间时，有Ceq \\al(1,2)(Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)＋Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2))种情况，此时不同的停车种数有Aeq \\al(3,3)[Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)＋Ceq \\al(1,2)(Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)＋Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2))]＝192(种)．综上，不同的停车种数共有24＋72＋192＝288(种)．故选B.
(方法二)不考虑红色私家车的停靠位置，则3辆黑色私家车只有2辆相邻时，考虑从3辆黑色私家车中选出2辆捆在一起当作一个元素，与另一辆黑色私家车插入由2辆白色私家车、1辆红色私家车的全排列形成的4个空位中，停车种数有Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)＝432(种)，而两端停靠红色私家车的种数有Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3)＝144(种)，所以红色私家车不停在两端，且3辆黑色私家车只有2辆相邻的停车种数有432－144＝288(种)．故选B.
13．(多选题)(2020·南京师大附中期中)有四名男生、三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有( )
A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法
B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法
C．如果女生不能站在两端，那么有1 440种不同排法
D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1 440种不同排法
CD 解析：A中，如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，作为一个“元素”，此时，共有Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(4,4)＝576(种)不同的排法，A选项错误；
B中，如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，作为一个“元素”，此时，共有Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(5,5)＝6×120＝720(种)不同的排法，B选项错误；
C中，如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，此时，共有Aeq \\al(2,4)Aeq \\al(5,5)＝12×120＝1 440(种)不同的排法，C选项正确；
D中，如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中，此时，共有Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(3,5)＝24×60＝1 440(种)不同的排法，D选项正确．故选CD.
14．(多选题)(2020·赣榆区期中)在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则( )
A．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,98)种
B．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有(Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,98)＋Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,98))种
C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有(Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,98)＋Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,98))种
D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有(Ceq \\al(3,100)－Ceq \\al(3,98))种
ACD 解析：由题意知，抽出的3件产品恰好有一件不合格品，
则抽出的3件产品包括1件不合格品和2件合格品，
共有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,98)种结果，则选项A正确，B不正确；
根据题意，“至少有1件不合格品”可分为“有1件不合格品”与“有2件不合格品”两种情况，
“有1件不合格品”的抽取方法有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,98)种，
“有2件不合格品”的抽取方法有Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,98)种，
则共有(Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,98)＋Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,98))种不同的抽取方法，选项C正确；
“至少有1件不合格品”的对立事件是“3件都是合格品”，
“3件都是合格品”的抽取方法有Ceq \\al(3,98)种，
抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有(Ceq \\al(3,100)－Ceq \\al(3,98))种，选项D正确．故选ACD.
15．(多选题)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是
( )
A．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．甲、乙不相邻的排法种数为72
D．甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
ABCD 解析：对于选项A，甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲、乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有Aeq \\al(4,4)＝24(种)，故A正确；
对于选项B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有Aeq \\al(1,3)Aeq \\al(3,3)＋Aeq \\al(4,4)＝42(种)，故B正确；
对于选项C，甲、乙不相邻的排法种数为Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)＝72，故C正确；
对于选项D，甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有eq \f(A\\al(5,5),A\\al(3,3))＝20(种)，故D正确．故选ABCD.
16．(2020·上饶联考)某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为____．
10 解析：设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻相当于先将(n－3)个停车位排放好，再将这3辆共享汽车插入到所成的(n－2)个间隔中，故有Aeq \\al(3,n－2)种．恰有2辆共享汽车相邻，可先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一辆插入到将(n－3)个停车位排好所成的(n－2)个间隔中，故有Aeq \\al(2,3)Aeq \\al(2,n－2)种．因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，所以Aeq \\al(3,n－2)＝Aeq \\al(2,3)Aeq \\al(2,n－2)，解得n＝10.
17．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止．
(1)若恰在第5次测试才找到第1件次品，第10次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
(2)若恰在第5次测试后就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？
解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有Aeq \\al(4,6)种不同的测试方法；再从4件次品中选2件排在第5次和第10次的位置上测试，有Aeq \\al(2,4)种测试方法；再排余下4件的测试位置，有Aeq \\al(4,4)种测试方法．所以共有Aeq \\al(4,6)·Aeq \\al(2,4)·Aeq \\al(4,4)＝103 680(种)不同的测试方法．
(2)第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有Ceq \\al(1,4)·Ceq \\al(1,6)·Aeq \\al(4,4)＝576(种)不同的测试方法．