2022版新教材高考数学一轮复习47椭圆训练含解析新人教B版

这是一份2022版新教材高考数学一轮复习47椭圆训练含解析新人教B版，共7页。试卷主要包含了已知椭圆C，已知P是椭圆C等内容，欢迎下载使用。

A组 全考点巩固练
1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq \f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2eq \r(3)B．6
C．4eq \r(3)D．12
C 解析：设另一焦点为F，由题意知F在BC边上，所以△ABC的周长l＝|AB|＋|BC|＋|CA|＝|AB|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝2eq \r(3)＋2eq \r(3)＝4eq \r(3).
2．(2020·深圳高三模拟)古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，椭圆C的面积为 2eq \r(3)π，且短轴长为2eq \r(3)，则椭圆C的标准方程为( )
A.eq \f(x2,12)＋y2＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,3)＝1
B 解析：由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＝\f(2\r(3)π,π)，,2b＝2\r(3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝\r(3).))
因为椭圆C的焦点在x轴上，所以椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
3．(多选题)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长为2，离心率为eq \f(\r(6),3).过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则( )
A．椭圆C的方程为eq \f(y2,3)＋x2＝1
B．椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1
C．|PQ|＝eq \f(2\r(3),3)
D．△PF2Q的周长为4eq \r(3)
ACD 解析：由已知得，2b＝2，b＝1，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3).
又a2＝b2＋c2，解得a2＝3.
所以椭圆方程为x2＋eq \f(y2,3)＝1.
所以|PQ|＝eq \f(2b2,a)＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3)，△PF2Q的周长为4a＝4eq \r(3).
4．(多选题)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c，则( )
A．卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]
B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
ABD 解析：根据椭圆的定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确；
当卫星在左半椭圆弧运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，速度更慢，B正确；
eq \f(a－c,a＋c)＝eq \f(1－e,1＋e)＝eq \f(2,1＋e)－1，当比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C错误；
根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确．
5．(2020·龙岩质量检查)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B.若△AFB是直角三角形，则椭圆的离心率为( )

A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(3)－1,2) D.eq \f(\r(5)－1,2)
D 解析：由题意知，F(－c,0)，A(0，b)，B(a,0)，因为△ABF是直角三角形，所以AF⊥AB，所以eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0.
又因为eq \(AF,\s\up6(→))＝(－c，－b)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(a，－b)，
所以－ac＋b2＝0.
又因为b2＝a2－c2，所以a2－ac－c2＝0.
又因为e＝eq \f(c,a)，所以e2＋e－1＝0，
所以e＝－eq \f(1±\r(5),2).又因为06．(2019·郴州二模)已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为2eq \r(2)－2，离心率为eq \f(\r(2),2)，则椭圆E的方程为________．
eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1 解析：因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a－c，
所以a－c＝2eq \r(2)－2，离心率e＝eq \f(\r(2),2)，
所以eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，解得a＝2eq \r(2)，c＝2，则b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆E的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
7．已知直线x＋2y－3＝0与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线3x－4y＋1＝0，则此椭圆的离心率为________．
eq \f(\r(2),2) 解析：联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y－3＝0，,3x－4y＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))所以直线x＋2y－3＝0与3x－4y＋1＝0的交点为 M(1，1)，所以线段AB的中点为M(1,1)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，直线x＋2y－3＝0的斜率k＝－eq \f(1,2)，分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))两式相减，整理得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(1,2)＝－eq \f(b2,a2)，所以a2＝2b2.又a2＝b2＋c2，所以a＝eq \r(2)b＝eq \r(2)c，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
8．已知椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)的取值范围为________．
[1,4] 解析：根据椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.
设m＝|PF1|，n＝|PF2|，则m＋n＝4，m，n∈[a－c，a＋c]，
即m，n∈[2－eq \r(3)，2＋eq \r(3)]，则eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)＝eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \f(4,m4－m)＝eq \f(4,－m－22＋4)∈[1,4]．
9．点A，B分别是椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
解：(1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)．
设点P(x，y)，则eq \(AP,\s\up6(→))＝(x＋6，y)，eq \(FP,\s\up6(→))＝(x－4，y)．
由已知可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,x＋6x－4＋y2＝0，))
则2x2＋9x－18＝0，解得x＝eq \f(3,2)或x＝－6.
由于y>0，故x＝eq \f(3,2)，于是y＝eq \f(5\r(3),2)，
所以点P的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(5\r(3),2))).
(2)由(1)可知，直线AP的方程是x－eq \r(3)y＋6＝0.
设点M(m,0)，则M到直线AP的距离是eq \f(|m＋6|,2).
于是eq \f(|m＋6|,2)＝|m－6|，又－6≤m≤6，解得m＝2.
椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，
则d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－eq \f(5,9)x2＝eq \f(4,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(9,2)))2＋15.
由于－6≤x≤6, 所以当x＝eq \f(9,2)时，d取得最小值eq \r(15).
B组 新高考培优练
10．(多选题)(2020·济南模拟)已知P是椭圆C：eq \f(x2,6)＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝eq \f(1,5)上的动点，则( )
A．椭圆C的焦距为eq \r(5)
B．椭圆C的离心率为eq \f(\r(30),6)
C．圆D在椭圆C的内部
D．|PQ|的最小值为eq \f(2\r(5),5)
BC 解析：依题意可得c＝eq \r(6－1)＝eq \r(5)，
则椭圆C的焦距为2eq \r(5)，e＝eq \f(\r(5),\r(6))＝eq \f(\r(30),6).
设P(x，y)(－eq \r(6)≤x≤eq \r(6))，
由题意知圆心D(－1,0)，
则|PD|2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－eq \f(x2,6)＝eq \f(5,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(6,5)))2＋eq \f(4,5)≥eq \f(4,5)>eq \f(1,5)，所以圆D在椭圆C的内部，且|PQ|的最小值为eq \r(\f(4,5))－eq \r(\f(1,5))＝eq \f(\r(5),5).故选BC.
11．已知点P(0,1)，椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足 eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大．
5 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AP,\s\up6(→))＝(－x1，1－y1)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(x2，y2－1)．由eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x1＝2x2，,1－y1＝2y2－1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝－2x2，,y1＝3－2y2.))
因为点A，B在椭圆上，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4x\\al(2,2),4)＋3－2y22＝m，,\f(x\\al(2,2),4)＋y\\al(2,2)＝m，))
解得y2＝eq \f(1,4)m＋eq \f(3,4)，
所以xeq \\al(2,2)＝m－(3－2y2)2＝－eq \f(1,4)m2＋eq \f(5,2)m－eq \f(9,4)＝－eq \f(1,4)(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.
12．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，其关于直线y＝bx的对称点Q在椭圆上，则离心率e＝________，S△FOQ＝________.
eq \f(\r(2),2) eq \f(1,2) 解析：设点Q(x，y)，则由点Q与椭圆的右焦点F(1,0)关于直线y＝bx对称得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y,x－1)＝－\f(1,b)，,\f(y,2)＝b·\f(x＋1,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1－b2,1＋b2)，,y＝\f(2b,1＋b2)，))代入椭圆C的方程得eq \f(1－b22,a21＋b22)＋eq \f(4b2,b21＋b22)＝1，结合a2＝b2＋1，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\r(2)，,b＝1，))则椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，S△FOQ＝eq \f(1,2)|OF|·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2b,1＋b2)))＝eq \f(1,2)×1×eq \f(2,1＋12)＝eq \f(1,2).
13．(2020·石家庄模拟)已知点M(eq \r(6)，eq \r(2))在椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上，且椭圆的离心率为eq \f(\r(6),3).
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)，求△PAB的面积．
解：(1)由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(6,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(c,a)＝\f(\r(6),3)，,a2＝b2＋c2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝12，,b2＝4，,c2＝8.))
故椭圆C的方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,\f(x2,12)＋\f(y2,4)＝1，))消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.
由Δ＝36m2－16(3m2－12)>0，得m2<16.
由根与系数的关系得x1＋x2＝－eq \f(3,2)m，x1x2＝eq \f(3m2－12,4).
则x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝－eq \f(3,4)m，y0＝x0＋m＝eq \f(1,4)m，
即Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)m，\f(1,4)m)).
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PD⊥AB，
即PD的斜率k＝eq \f(2－\f(m,4),－3＋\f(3m,4))＝－1，
解得m＝2，满足m2<16.
直线l的方程为y＝x＋2.
此时x1＋x2＝－3，x1x2＝0，
则|AB|＝eq \r(2)|x1－x2|＝eq \r(2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝3eq \r(2).
又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝eq \f(|－3－2＋2|,\r(2))＝eq \f(3,\r(2))，
所以△PAB的面积为S＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(9,2).
14．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心，3为半径的圆与以F2为圆心，1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆E：eq \f(x2,4a2)＋eq \f(y2,4b2)＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.求eq \f(|OQ|,|OP|)的值．
解：(1)设两圆的交点为M，则|MF2|＋|MF1|＝1＋3＝4＝2a，所以2a＝4，则a＝2.又eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，a2－c2＝b2，可得b＝1，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)由(1)知椭圆E的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1，
设点P(x0，y0)，eq \f(|OQ|,|OP|)＝λ，
由题意知Q(－λx0，－λy0)．
因为eq \f(x\\al(2,0),4)＋yeq \\al(2,0)＝1，又eq \f(－λx02,16)＋eq \f(－λy02,4)＝1，
即eq \f(λ2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0),4)＋y\\al(2,0)))＝1，所以λ＝2，即eq \f(|OQ|,|OP|)＝2.