福建省福州市平潭县2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题（word版 含答案）

2020-2021学年高一数学期中考试卷

一、单选题

1．已知复数(为虚数单位)，则（    ）

A． B．2. C． D．1

2．平行四边形ABCD中，等于（    ）

A． B． C． D．

3．已知向量，若，则实数的值为（    ）

A．2 B． C．3 D．

4．如图，已知等腰三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（    ）

A．       B．       C．      D．

5．在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，则＋＝（    ）

A．(－2，4)      B．(4，6)        C．(－6，－2)   D．(－1，9)

6．若一个球的直径为2，则此球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

7．已知向量，向量，则向量在方向上的投影为（    ）

A．1 B．-1 C． D．

8．已知内角，，所对的边分别为，，，面积为，若，，则的形状是（    ）

A．等腰三角形      B．直角三角形   C．正三角形      D．等腰直角三角形

二、多选题

9．（多选）下列各组向量中,可以作为基底的是（    ）

A．     B．     C．   D． 

10．若四边形ABCD是矩形，则下列命题中正确的是（    ）

A．共线     B．相等    C．模相等，方向相反     D．模相等

11．以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为（    ）

A．64π cm2            B．36π cm2                C．54π cm2              D．48π cm2

12．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cos A＝，则b＝（    ）

A．2 B．3 C．4 D．

第II卷（非选择题）

三、填空题

13．如图，在三角形ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则_________.

14．是虚数单位，复数的共轭复数为______．

15．表面积为的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是7，则这个正四棱柱的表面积为________．

16．给出下列命题：

①若＝，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；  ②在中，一定有＝；

③若，，则＝；          ④若，，则．

其中所有正确命题的序号为________．

四、解答题

17．已知复数，当实数取什么值时，复数是（1）零；（2）纯虚数.

18．计算：

（1）；      （2）.

19．如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知，，试用，表示，.

20．已知

（1）当时，求x的值；

（2）当时，求.

21．已知，，分别是的三个内角､､的对边，若面积为，，，求，及角的值.

22．如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求

（1）截去的三棱锥的表面积；

（2）剩余的几何体的体积.

参考答案

1．A

【分析】

首先根据两个复数代数形式的乘法运算法则，化简复数，之后利用复数的模的运算公式求得结果.

【详解】

因为，所以.

故选：A.

2．B

【分析】

由平行四边形ABCD得，，由此可得选项.

【详解】

在平行四边形ABCD中，，所以，

故选：B.

3．C

【分析】

直接由可得解.

【详解】

向量，

若，则，解得.

故选：C.

4．D

【分析】

利用斜二测画法，由直观图作出原图三角形，再利用三角形面积公式即可求解.

【详解】

因为是等腰直角三角形，，所以，

所以原平面图形为：

且，，

所以原平面图形的面积是，

故选：D

5．A

【分析】

利用平行四边形法则，结合向量坐标的加减运算，计算结果.

【详解】

在平行四边形ABCD中，因为A(1，2)，B(3，5)，所以.又，所以，，所以.

故选:A.

6．D

【分析】

得出球的半径，直接由球的表面积公式即可得结果.

【详解】

因为球的直径为2，即球的半径为1，

所以球的表面积为，

故选：D.

7．B

【分析】

根据向量在方向上的投影，带入数值即可.

【详解】

向量在方向上的投影.

故选：B

【点睛】

本题主要考查向量的投影，熟记公式是解决本题的关键，属于简单题.

8．C

【分析】

由结合正弦定理、二倍角的正弦公式可求得，由结合三角形的面积公式，平面向量的数量积知识可得，从而可得答案.

【详解】

因为，所以，

因为，所以，

所以，

所以，

因为，所以，所以，

所以，所以，所以，

因为，所以，

所以，因为，所以，所以，

所以是正三角形.

故选：C

9．ABC

【分析】

平面向量中,不共线的两个向量可以作为一组基底.

【详解】

解:由两向量共线的坐标表示知,ABC中的向量均不共线.

对于D, ,即,所以共线．

故选: ABC

【点睛】

应用平面向量基本定理应注意：

①平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量；

②选定基底后,通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来；

③强调几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等；④在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便．

10．ACD

【分析】

根据向量的加法和减法的几何意义（平行四边形法则)，结合矩形的判定与性质进行分析可解.

【详解】

∵四边形ABCD是矩形，,

所以共线，模相等,故A、D正确;

∵矩形的对角线相等,∴|AC|=|BD|,

模相等,但的方向不同，故B不正确;

|AD|=|CB|且AD∥CB，所以的模相等，方向相反，

故C正确.

【点睛】

本题考查向量的共线，相等，模，向量的加减法的几何意义，属基础题，根据向量的加减法的平行四边形法则和矩形的性质综合判定是关键.

11．AB

【分析】

分别以长为8 cm，宽为6 cm的边所在的直线为旋转轴，根据圆的面积公式即可求解.

【详解】

分别以长为8 cm，宽为6 cm的边所在的直线为旋转轴，

即可得到两种不同大小的圆柱，其底面面积分别为64π cm2,36π cm2.

故选：AB

12．AC

【分析】

利用余弦定理即可求解.

【详解】

由余弦定理，

得a2＝b2＋c2－2bccos A，

∴4＝b2＋12－6b，

即b2－6b＋8＝0，

∴b＝2或b＝4.

故选：AC.

13．

【分析】

利用平面向量的几何意义以及平面向量加法运算法则求解

【详解】

因为D是边BC的中点，

所以

所以

故答案为：

14．

【分析】

利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义可得出结果.

【详解】

，因此，复数的共轭复数为.

故答案为：.

15．144

【分析】

根据正四棱柱体的对角线长即为球的直径，建立方程求出四棱柱的底面边长，从而求出表面积

【详解】

得

设正四棱柱的底面正方形边长为

正四棱柱体的对角线长即为球的直径

体对角线长为

解得

四棱柱的表面积为

故答案为：144

16．②③

【分析】

对于①，由两向量共线可知A、B、C、D四点有可能在同一条直线上；对于②，由平行四边形的对边平行且相等可判断；对于③，由相等向量的定义判断即可；对于④，由于零向量与任何向量都共线，所以当时，不一定成立

【详解】

解：＝，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故①不正确；

在中，，与平行且方向相同，故＝，故②正确；

，则，且与方向相同；，则，且与方向相同，则与长度相等且方向相同，故＝，故③正确；

对于④，当时，与不一定平行，故④不正确．

故答案为：②③

17．（1）；（2）.

【分析】

（1）根据复数为零，得出的实部和虚部均为零可得出关于实数的方程组，进而可解得实数的值；

（2）根据复数为纯虚数可得出复数的实部为零、虚部不为零可得出关于的等式与不等式，由此可解得实数的值.

【详解】

（1）因为是零，所以，解得；

（2）因为是纯虚数，所以，解得.

18．（1）；（2）.

【分析】

（1）根据向量的运算法则，展开整理，即可得答案.

（2）根据向量的运算法则，展开整理，即可得答案.

【详解】

（1）

=.

（2）

=

19．，.

【分析】

把MN放在△AMN中，把把MC放在△BMC中，利用向量加法的三角形法则.

【详解】

联结MN，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知，

；

.

【点睛】

在几何图形中进行向量运算:

(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；

(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.

20．（1）（2）

【分析】

（1）根据共线向量的坐标公式，即可求解；

（2）由已知求出，求出的坐标，根据模长公式，即可求解.

【详解】

解：（1）由，得解得

（2）当时，有，解得

，

【点睛】

本题考查向量的坐标运算，涉及到共线向量、垂直、模长运算，属于基础题.

21．a=；b=1；

【分析】

由正弦定理的面积公式可先求出，再结合余弦定理可求出，再由正弦定理求出角.

【详解】

，所以，所以b=1

中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=3，所以a=，

由正弦定理，即，解得，

所以.

22．（1）；（2）

【分析】

（1）三棱锥中是边长为的等边三角形，、、都是直角边为的等腰直角三角形，计算四个三角形面积之和即可求解.

（2）正方体的体积减去三棱锥的体积即得剩余的几何体的体积.

【详解】

（1）由正方体的特点可知三棱锥中，是边长为的等边三角形，、、都是直角边为的等腰直角三角形，

所以截去的三棱锥的表面积

（2）正方体的体积为，

三棱锥的体积为，

所以剩余的几何体的体积为.