福建省莆田市2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题（word版 含答案）

2020-2021学年高一年段第二学期期中数学试卷

命题人：

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项              是符合题目要求的.

1.已知点，，向量，则向量（    ）

A.        B.      C.         D.

2.已知向量，的夹角为，，，则（    ）

A．  B．3          C．             D．12

3．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则的边边上的高为（    ）

A．1          B．2            C．            D．

4．在中，内角的对边分别为，已知，则的大小为（      ）

A．         B．         C．或      D．或

5．设、两条直线，则的充要条件是（    ）

A．、与同一个平面所成角相等 B．、垂直于同一条直线

C．、平行于同一个平面 D．、垂直于同一个平面

6．在中，，，分别为内角，，的对边，且，则的大小为（      ）

A． B．          C．        D．

7．如图，在中，角的平分线交边于点，，，，则（    ）

A．        B．           C．        D．

8．已知正方体的棱长为2，为的中点，点在侧面内，若，则面积的最小值为（    ）

A．        B．        C．1         D．5

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题              目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.

9．如图所示，在中，点D在边BC上，且，点E在边AD上，且，则（    ）

A．        B．

C．      D．

10. 在中，内角的对边分别为，已知，，且，则（      ）

A．      B．   C．     D．

11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖膈”．如图在堑堵中，，且．下列说法正确的是（    ）

A．四棱锥为“阳马”

B．四面体为“鳖膈”

C．四棱锥体积最大为

D．过点分别作于点，于点，则

12．如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为，，的中点，则（      ）

A．直线D与直线垂直

B．直线与平面平行

C．平面截正方体所得的截面面积为

D．点B到平面的距离为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13.设向量，，若，则实数的值为_______.

14．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是________．

15．在锐角中，内角、、的对边分别为、、，若，则          ．

16．菱形中，，，将沿折起，C点变为E点，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的面积为          ．

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）已知向量.

（1）求满足的实数m和n；

（2）若，求实数k.

18.（本小题满分12分）在下面给出的三个条件：①，②，③中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．

问题：在中，内角所对的边长分别为，且满足，，    ，求的面积．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

19．（本小题满分12分）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°．

（1）求出山高BE（结果保留整数）；

（2）如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离，且记在M处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为．试问当多大时，观测基站的视角最大?

参考数据：，，，．

20．（本小题满分12分）如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上，且，，．

（1）求证：；

（2）若二面角的平面角的余弦值为，求侧棱的长．

21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，在直角 梯形ABCD中，，，，E为线段BC的中点.

求证：平面平面PAD；

在线段PB上找一点F，使得平面PCD，则满足题意的F点是否存在？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由．

若Q是PC中点，，，，，求三棱锥的体积．
 

22.（本小题满分12分）某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为地面，CD，CE为路灯灯杆，，，在E处安装路灯，且路灯的照明张角已知．

当M，D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN；

求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值．

2020-2021学年高一年段第二学期期中数学答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．A  2．A   3．D  4．A   5．D  6．B  7．D  8．B

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．BD   10．AD   11．ABCD   12．BCD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．

13．1    14．    15．2    16．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解：（1）， ，

，，

故，解得；5分

（2），，

，，

，，即，

解得. 10分

18. 解：选①因为，

所以，

所以，因为为三角形的内角，，

又，，

由余弦定理，可得：，

可得：，解得，或-1（舍去），

选②，由正弦定理可得：，可得：

可得：，

，解得，，. 

选③由正弦定理得，，，

，

，，即，，

又，.   

19．解：（1）由题知，

在中，由正弦定理得，即，

所以

在中，，即，

所以，

所以山高m．

（2）由题知，，则

在中，，在中，，

由题知，则

，

当且仅当即m时，取得最大值，即视角最大．

20．解：（1）在棱柱中，面，面，

面面，由线面平行的性质定理有，又，故．

（2）证明：在底面中，，，．

，，，

又因为侧棱底面，则底面，

面，，又，面，

过点作于，连接，则是二面角的平面角．

，，

则，故，

，．

设，则．

，，

故，故．

21.解：，，E是BC中点
，四边形ABED是平行四边形
 
四边形ABED为矩形
平面ABCD
，，面PAD，平面PDE  平面平面PAD
取PB中点F，连接EF在中，，平面PCD，平面PCD
平面当F为PB中点时，使得平面PCD；
连接QF，是PC的中点
，，，，
，
平面ABCD ，
，平面PAB，
平面
故  

22.解：当重合时，由余弦定理知，，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以
，
在中，由正弦定理可知，，解得；
易知E到地面的距离，
由三角形面积公式可知，，
所以，
又由余弦定理可知，，
当且仅当时，等号成立，所以，解得．
答：路灯在路面的照明宽度为；照明宽度MN的最小值为．