湖南省张家界市2020年中考数学试卷

湖南省张家界市2020年中考数学试卷

一、单选题（共8题；共16分）

1.的倒数是（    ）           

A.                                B.                                C. 2020                               D. 02020

2.如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（    ） 

A.                   B.                   C.                   D. 

3.下列计算正确的是（    ）           

A.                B.                C.                D. 

4.下列采用的调查方式中，不合适的是（    ）           

A. 了解澧水河的水质，采用抽样调查．                       B. 了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查．
C. 了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查．     D. 了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．

5.如图，四边形 为 的内接四边形，已知 为 ，则 的度数为（    ） 

A.                                     B.                                     C.                                     D. 

6.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（    ）           

A.                B.                C.                D. 

7.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程 的两根，则该等腰三角形的底边长为（    ）           

A. 2                                          B. 4                                          C. 8                                          D. 2或4

8.如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P  ， 作x轴的平行线，分别与反比例函数 和 的图象交于点A和点B  ， 若点C是x轴上任意一点，连接 ，则 的面积为（    ） 

A. 6                                           B. 7                                           C. 8                                           D. 14

二、填空题（共6题；共6分）

9.因式分解： =________.   

10.今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了211000000元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则211000000元用科学记数法表示为________元．   

11.如图， 的一边 为平面镜， ，一束光线（与水平线 平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在 上的点E处，则 的度数是________度． 

12.新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是________．   

13.如图，正方形 的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到 位置，使得点B落在对角线 上，则阴影部分的面积是________． 

14.观察下面的变化规律： 

，……

根据上面的规律计算：

________．

三、解答题（共9题；共72分）

15.计算： ．   

16.如图，在矩形 中，过对角线 的中点O作 的垂线 ，分别交 于点 ． 

（1）求证： ；   

（2）若 ，连接 ，求四边形 的周长．   

17.先化简，再求值： ，其中 ．   

18.为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整数）分为“A：69分及以下，B：70~79分，C：80~89分，D：90~100分”四个等级进行统计，得到右边未画完整的统计图： 

D组成绩的具体情况是：

根据以上图表提供的信息，解答下列问题：

（1）请补全条形统计图；   

（2）D组成绩的中位数是________分；   

（3）假设该校有1200名学生都参加此次测试，若成绩80分以上（含80分）为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？   

19.今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．   

20.阅读下面的材料： 

对于实数 ，我们定义符号 的意义为：当 时， ；当 时， ，如： ．

根据上面的材料回答下列问题：

（1）________；   

（2）当 时，求x的取值范围．   

21.“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以 的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为 ，继续飞行 到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为 ，已知“南天一柱”的高为 ，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据： ， ， ） 

22.如图，在 中， ，以 为直径作 ，过点C作直线 交 的延长线于点D  ， 使 ． 

（1）求证： 为 的切线；   

（2）若 平分 ，且分别交 于点 ，当 时，求 的长．   

23.如图，抛物线 交x轴于 两点，交y轴于点C ． 直线 经过点 ． 

（1）求抛物线的解析式；   

（2）抛物线的对称轴l与直线 相交于点P  ， 连接 ，判定 的形状，并说明理由；   

（3）在直线 上是否存在点M  ， 使 与直线 的夹角等于 的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．   

答案解析部分

一、单选题

1.【解析】【解答】解：∵ ×2020=1，

∴ 的倒数是2020．

故答案为C．

【分析】根据倒数的定义解答即可．

2.【解析】【解答】从正面看有三列，从左到右依次有2、1、1个正方形，图形如下：

故答案为：A．

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．

3.【解析】【解答】解：A、 ，故原式不符合题意；

B、 ，故原式不符合题意；

C、 ，故原式不符合题意；

D、 ，故原式符合题意，

故答案为：D．

【分析】根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式逐一进行判断即可

4.【解析】【解答】解：A.了解澧水河的水质，采用普查不太可能做到，所以采用抽样调查，故A合适，

B.了解一批灯泡的使用寿命，不宜采用全面调查，因为调查带有破坏性，故B不合适，

C.了解张家界市中学生睡眠时间，工作量大，宜采用抽样调查，故C合适，

D.了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．合适，故D合适，

故答案为：B．

【分析】根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果接近准确数值，从而可得答案．

5.【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠A＝180°−∠BCD＝60°，

由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，

故答案为：C．

【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．

6.【解析】【解答】解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系，

每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为： ，

每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为： ，

∴列出方程为： ．

故答案为：B．

【分析】设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．

7.【解析】【解答】解：x2－6x+8=0

（x－4）（x－2）=0

解得：x=4或x=2，

当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；

当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，

所以三角形的底边长为2，

故答案为：A．

【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．

8.【解析】【解答】解：∵AB∥x轴，且△ABC与△ABO共底边AB，

∴△ABC的面积等于△ABO的面积，

连接OA、OB，如下图所示：

则

．

故答案为：B．

【分析】根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点是，△ABC的面积与△ABO的面积相等，由此即可求解．

二、填空题

9.【解析】【解答】x2-9=x2-32=(x+3)(x-3).
故答案为(x+3)(x-3).
【分析】运用平方差公式因式分解.

10.【解析】【解答】211000000的小数点向左移动8位得到2.11，

所以211000000用科学记数法表示为2.11×108  ，

故答案为：2.11×108 ．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．

11.【解析】【解答】解：∵DC∥OB，

∴∠ADC=∠AOB=38°，

由光线的反射定理易得，∠ODE=∠ACD=38°，

∠DEB=∠ODE+∠AOB =38°+38°=76°，

故答案为：76°．

【分析】根据平行线的性质可得∠ADC的度数，由光线的反射定理可得∠ODE的度数，在根据三角形外角性质即可求解．

12.【解析】【解答】全班共有学生30+24=54（人），

其中男生30人，则这班选中一名男生当值日班长的概率是 = ，

故答案为： ．

【分析】先求出全班的学生数，再根据概率公式进行求解即可．

13.【解析】【解答】解：过E点作MN∥BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP,如下图所示，

∵B在对角线CF上，∴∠DCE=∠ECF=45°，EC=1，

∴△ENC为等腰直角三角形，

∴MB=CN= EC= ，

又BC=AD=CD=CE，且CP=CP，△PEC和△PBC均为直角三角形，

∴△PEC≌△PBC(HL)，

∴PB=PE，

又∠PFB=45°，∴∠FPB=45°=∠MPE，

∴△MPE为等腰直角三角形，

设MP=x  ， 则EP=BP= ，

∵MP+BP=MB，

∴ ，解得 ，

∴BP= ，

∴阴影部分的面积= ．

故答案为： ．

【分析】如下图所示，△ENC、△MPF为等腰直角三角形，先求出MB=NC= ，证明△PBC≌△PEC，进而得到EP=BP，设MP=x  ， 则EP=BP= ，解出x  ， 最后阴影部分面积等于2倍△BPC面积即可求解．

14.【解析】【解答】由题干信息可抽象出一般规律： （ 均为奇数，且 ）．

故 ．

故答案： ．

【分析】本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．

三、解答题

15.【解析】【分析】根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂进行运算即可．

16.【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得 ， ， ，即可证的两个三角形全等；（2）设 ，根据已知条件可得 ，由（1）可推得 ,可得ED=EB，可证得四边形EBFD是菱形，根据勾股定理可得BE的长，即可求得周长；

17.【解析】【分析】括号内后面的分式分子、分母先分解因式，约分后进行分式的减法运算，然后再进行分式的除法运算进行化简，最后把x的值代入进行计算即可．

18.【解析】【解答】解：（2）D组共有13名学生，按照从小到大的顺序排列：93、93、95、95、95、97、97、97、97、97、98、98、99

第七个数据为中位数，是97，

故答案为：97；

【分析】（1）用总人数减去A，B，D三组的人数和即可得出C组的人数，然后补全条形统计图即可；（2）D组共有13人，把数据按照从小到大（从大到小）的顺序排列，找到中间第七个数据即可；（3）用1200乘以80分以上的人数所占的比例即可得出人数．

19.【解析】【分析】设第一批购进的消毒液的单价为x元，根据两次购买到的数量相等可列出方程求解．

20.【解析】【解答】解：（1）由题意得 ﹣1

故答案为：﹣1；

【分析】（1）比较大小，即可得出答案；（2）根据题意判断出 解不等式即可判断x的取值范围．

21.【解析】【分析】设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，根据AD-BD=AB列方程求出x的值，与南天一柱的高度比较即可．

22.【解析】【分析】（1）如图，连接OC，欲证明CD是 的切线，只需求得∠OCD= ；（2）由角平分线及三角形外角性质可得 ，即∠CEF=∠CFE，根据勾股定理可求得EF的长．

23.【解析】【分析】（1）先根据直线 经过点 ，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可；（2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定 的形状；（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2  ， 利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标