2023年湖南省张家界市中考数学试卷（含解析）

2023年湖南省张家界市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是由个完全相同的小正方体组成的立体图形，其主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列说法正确的是(    )

A. 扇形统计图能够清楚地反映事物的变化趋势
B. 对某型号电子产品的使用寿命采用全面调查的方式
C. 有一种游戏的中奖概率是，则做次这样的游戏一定会有一次中奖
D. 甲、乙两组数据的平均数相等，它们的方差分别是，，则乙比甲稳定

5.  如图，已知直线，平分，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  四元玉鉴是我国古代的一部数学著作该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为文如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设文购买椽的数量为株，则符合题意的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  “莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”若等边的边长为，则该“莱洛三角形”的周长等于(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，点在上，且，反比例函数的图象经过点及矩形的对称中心，连接，，若的面积为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  “仙境张家界，峰迷全世界”，据统计，年“五一”节假日期间，张家界市各大景区共接待游客约人次将数据用科学记数法表示为______ ．

10.  因式分解： ______ ．

11.  已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ．

12.  年月日是我国第八个“中国航天日”，某校开展了一次航天知识竞赛，共选拔名选手参加总决赛，他们的决赛成绩分别是，，，，，，，则这名选手决赛成绩的中位数是______ ．

13.  如图，为的平分线，且，将四边形绕点逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是______ ．

14.  如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧，继续以点、、、为圆心，按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
先化简，然后从，，这三个数中选一个合适的数代入求值．

17.  本小题分
为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用座客车若干辆，但有人没有座位；若租用同样数量的座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：

参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆座客车？
若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？

18.  本小题分
如图，已知点，，，在同一条直线上，且，，．
求证：；
若时，求证：四边形是菱形．

19.  本小题分
年月日新版义务教育课程方案和课程标准年版正式颁布，优化了课程设置，其中将劳动教育从综合实践活动课程中独立出来某校为了初步了解学生的劳动教育情况，对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间分为如下四组：；：；：；：，单位：分钟进行统计，绘制了如下不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
本次抽取的学生人数为______ 人，扇形统计图中的值为______ ；
补全条形统计图；
已知该校九年级有名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在分钟含分钟以上的学生有多少人？
若组中有名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率．

20.  本小题分
“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色某数学兴趣小组用无人机测量奇楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的点，测得奇楼顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得奇楼底端的俯角为，求奇楼的高度结果精确到，参考数据：，，

 

21.  本小题分
阅读下面材料：
将边长分别为，，，的正方形面积分别记为，，，．
则



例如：当，时，
根据以上材料解答下列问题：
当，时， ______ ， ______ ；
当，时，把边长为的正方形面积记作，其中是正整数，从中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；
当，时，令，，，，，且，求的值．

22.  本小题分
如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．
求证：是的切线；
若，，求的长．

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和点两点，与轴交于点点为线段上的一动点．
求二次函数的表达式；
如图，求周长的最小值；
如图，过动点作交抛物线第一象限部分于点，连接，，记与的面积和为，当取得最大值时，求点的坐标，并求出此时的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
只有符号不同的两个数，我们称这两个数互为相反数．
本题主要考查的是相反数的定义，属于基础题型．解决这个问题只要明确相反数的定义即可．
 

2.【答案】 

【解析】解：从正面看，一共有两列，从左到右小正方形的个数分别为、．
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了简单组合体的三视图，解题时注意从正面看得到的图形是主视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故该选项不符合题意；
B.，故该选项不符合题意；
C.，故该选项符合题意；
D.，故该选项不符合题意；
故选：．
根据完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则，逐项分析判断即可求解．
本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则，熟练掌握以上运算法则以及乘法公式是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：折线统计图能够清楚地反映事物的变化趋势，故不符合题意；
B.对某型号电子产品的使用寿命采用抽样调查的方式，故不符合题意；
C.有一种游戏的中奖概率是，则做次这样的游戏不一定会有一次中奖，故不符合题意；
D.甲、乙两组数据的平均数相等，它们的方差分别是，，则乙比甲稳定，故符合题意．
故选：．
分别根据扇形统计图的特点，全面调查和抽样调查，概率的意义和方差的意义判断即可．
本题考查了扇形统计图的特点，全面调查和抽样调查，概率的意义和方差的意义，熟练掌握这些定义是关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
平分，
，
，
．
故选：．
由平角的定义可得，由角平分线的定义可得，再利用两直线平行，内错角相等即可求解．
本题主要考查平角的定义、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设元购买椽的数量为株，则一株椽的价钱为，
由题意得：，
故选：．
设元购买椽的数量为株，根据单价总价数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案．
本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，，
，
的长，
该“莱洛三角形”的周长是．
故选：．
由等边三角形的性质得到，由弧长公式求出的长，即可求出“莱洛三角形”的周长．
本题考查弧长的计算，等边三角形的性质，关键是由弧长公式求出的长．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，设点的坐标为，
矩形的对称中心，
延长恰好经过点，，
点在上，且 ，
，
，
，
在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
故选：．
设点的坐标为，根据矩形对称中心的性质得出延长恰好经过点，，确定，然后结合图形及反比例函数的意义，得出，代入求解即可．
本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

10.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有项，可采用完全平方公式继续分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

12.【答案】 

【解析】解：把数据，，，，，，，按照从小到大排列是：，，，，，，，，
这组数据的中位数是，
故答案为：．
把题目中的数据按照从小到大排列，然后即可计算出相应的中位数．
本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的定义，会算一组数据的中位数．
 

13.【答案】 

【解析】解：为的平分线，，
，
依据旋转的性质可知，旋转角为，
．
故答案为：．
依据为的平分线可知，，依据旋转的性质可知，旋转角为，代入数据即可得解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，菱形的判定，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：点坐标为，且为点绕点顺时针旋转所得，
点坐标为，
又为点绕点顺时针旋转所得，
点坐标为，
又为点绕点顺时针旋转所得，
点坐标为，
又为点绕点顺时针旋转所得，
点坐标为，
由此可得出规律：为绕、、、四点作为圆心依次循环顺时针旋转，且半径为、、、、，每次增加．
，
故A为以点为圆心，半径为的顺时针旋转所得，
故A点坐标为．
故答案为：．
将四分之一圆弧对应的点坐标看作顺时针旋转，再根据、、、、的坐标找到规律即可．
本题考查了点坐标规律探索，通过点的变化探索出坐标变化的规律是解题的关键．
 

15.【答案】解：


． 

【解析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式等知识点的运算．
 

16.【答案】解：


，
，，
，
将代入上式，得：原式． 

【解析】先根据整式的运算法则进行运算，再化简结果，注意代入的值不可令分母为，求解即可．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，注意分母不能为零．
 

17.【答案】解：设参加此次研学活动的师生人数是人，原计划租用辆座客车．
根据题意，得，
解得．
答：参加此次研学活动的师生人数是人，原计划租用辆座客车；
租座客车：辆，所以需租辆，租金为元，
租座客车：辆，所以需租辆，租金为元，
，
租用辆座客车更合算． 

【解析】本题中的等量关系为：座客车辆数学生总数，座客车辆数学生总数，据此可列方程组求出第一小题的解；
需要分别计算座客车和座客车各自的租金，比较后再取舍．
本题考查二元一次方程的应用，注意租车时最后一辆不管几个人都要用一辆，所以在计算车的辆数时用“收尾法”，而不是“四舍五入”．
 

18.【答案】证明：，
，
，
，，
≌，
，
；
≌，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形． 

【解析】由证明≌，得到，即可证明；
由≌，得到，推出，又，得到四边形是平行四边形，而，推出四边形是菱形．
本题考查菱形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是证明≌．
 

19.【答案】   

【解析】解：本次抽取的学生人数为人，
，
，
故答案为：，；
组的人数为：人，
补全条形统计图如下：

人，
答：估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在分钟含分钟以上的学生约有人；
若组中有名女生，则有名男生，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有种，
抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率是．
由组的人数除以所占百分比得出本次抽取的学生人数，即可解决问题；
求出组的人数，补全条形统计图即可；
由该校九年级学生人数乘以参加家务劳动的时间在分钟含分钟以上的学生所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：延长交的延长线于，
则，
由题意得，，，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
答：奇楼的高度约为． 

【解析】延长交的延长线于，则，根据题意得到，，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：

，
当，时，；

，

当，时，；
故答案为：；；
；
证明：



；
当，时，



．
把，代入，，计算即可得到结论；
根据的结论化简即可；
化简后，代入数值计算即可．
本题考查了二次根式的化简，正确地计算出结果是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，

是的直径，
，
，
又，
，
又．
，
即，
是的切线；
解：，，
，
在中，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
设，则，，
又，
即，
解得取正值，
． 

【解析】根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得：：：：，再根据相似三角形的性质可求出答案．
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
 

23.【答案】解：由题意可知，设抛物线的表达式为，
将代入上式得：，
解得，
抛物线的表达式为；
作点关于直线的对称点，连接、，

，，，
，
、关于直线对称，
四边形为正方形，
，
连接，交于点，由对称性，
此时有最小值为的长，
，
的周长为，，的最小值为，
的周长的最小值为，
由已知点，，，

设直线的表达式为，
将，代入中，
则，
解得，
直线的表达式为，
同理可得：直线的表达式为，
，
可设直线表达式为，
由设，
将点坐标代入直线的表达式得，
直线的表达式为：，
由，
得，
，
，都在第一象限，





，
，
当时，有最大值，最大值为，
此时点为． 

【解析】由题意可知，设抛物线的表达式为，再将代入求出即可；
根据题意先求出点关于直线的对称点的坐标，再连接，交于点，此时最小；
先用待定系数法求出直线，的解析式，再根据，设直线表达式为，再设，将点坐标代入直线的表达式得，然后解方程组求出的坐标，再根据得出关于的二次函数解析式，再根据函数的性质求最值即可．
本题重点考查了待定系数法求二次函数及一次函数解析式，点的对称性，二次函数的性质等知识，会用抛物线及一次函数上的点坐标来表示线段的长度是解决第三问的关键．