2020年湖南省张家界市中考数学试卷
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2020年湖南省张家界市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共8题） |
1. 的倒数是．
A． B． C． D．
2. 如图是由个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是．
A．
B．
C．
D．
3. 下列计算正确的是．
A．
B．
C．
D．
4. 下列采用的调查方式中，不合适的是．
A．了解澧水河的水质，采用抽样调查
B．了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查
C．了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查
D．了解某班同学的数学成绩，采用全面调查
5. 如图，四边形为的内接四边形，已知为，则的度数为．
A． B． C． D．
6. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余辆车；若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，可列方程．
A． B． C． D．
7. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为．
A． B． C． D．或
8. 如图所示，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，若点是轴上任意一点，连接，，则的面积为．
A． B． C． D．
| 二、 填空题（共6题） |
9. 因式分解： ．
10. 今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则元用科学记数法表示为________元．
11. 如图，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点射入经平面镜反射后，反射光线落在上的点处，则的度数是________度．
12. 新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生人，女生人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是________．
13. 如图，正方形的边长为，将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到位置，使得点落在对角线上，则阴影部分的面积是________．
14. 观察下面的变化规律：
，，，，
根据上面的规律计算：________．
| 三、 解答题（共9题） |
15. 计算：．
16. 如图，在矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，．
（1）求证：；
（2）若，，连接，，求四边形的周长．
17. 先化简，再求值：，其中．
18. 为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整数）分为“分及以下，分，分，分”四个等级进行统计，得到如图未画完整的统计图：
组成绩的具体情况是：
分数（分） | |||||
人数（人） |
根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）组成绩的中位数是________分；
（3）假设该校有名学生都参加此次测试，若成绩分以上（含分）为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？
19. 今年疫情防控期间，某学校花元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了元，学校又购买了一批消毒液，花元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．
20. 阅读下面的材料：
对于实数，，我们定义符号的意义为：当时，，；当时，，如：，．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）________；
（2）当时，求的取值范围．
21. “南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．年月日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在处测得“南天一柱”底部的俯角为，继续飞行到达处，这时测得“南天一柱”底部的俯角为，已知“南天一柱”的高为，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据：，，
22. 如图，在中，，以为直径作，过点作直线交的延长线于点，使．
（1）求证：为的切线；
（2）若平分，且分别交，于点，，当时，求的长．
23. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．直线经过点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与直线相交于点，连接，，判定的形状，并说明理由；
（3）在直线上是否存在点，使与直线的夹角等于的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】C
【解析】的倒数是．
故选：
【点评】此题主要考查了倒数，解题的关键是掌握倒数定义．
2. 【答案】A
【解析】从正面看有三列，从左到右依次有、、个正方形，图形如下：
．
故选：
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题时注意从正面看得到的图形是主视图．
3. 【答案】D
【解析】．，故原式错误；
．，故原式错误；
．，故原式错误；
．，故原式正确．
故选：
【点评】此题考查了合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
4. 【答案】B
【解析】了解澧水河的水质，采用普查不太可能做到，所以采用抽样调查，故合适，
了解一批灯泡的使用寿命，不宜采用全面调查，因为调查带有破坏性，故不合适，
了解张家界市中学生睡眠时间，工作量大，宜采用抽样调查，故合适，
了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．合适，故合适．
故选：
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5. 【答案】C
【解析】四边形是的内接四边形，
，
由圆周角定理得，．
故选：
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6. 【答案】B
【解析】依题意，得：．
故选：
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7. 【答案】A
【解析】
解得：或，
当等腰三角形的三边为，，时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为，，时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为．
故选：
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．
8. 【答案】B
【解析】轴，且与共底边，
的面积等于的面积，
连接、，如下图所示：
则．
故选：
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成的矩形的面积为这个结论．
二、 填空题
9. 【答案】；
【解析】解：原式．
故答案为
原式利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
10. 【答案】；
【解析】的小数点向左移动位得到，
所以用科学记数法表示为．
故答案为：
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
11. 【答案】；
【解析】，
，
由光线的反射定理易得，，
．
故答案为：
【点评】本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角反射角是解题的关键．
12. 【答案】；
【解析】全班共有学生（人），
其中男生人，
则这班选中一名男生当值日班长的概率是．
故答案为：
【点评】本题考查了简单的概率计算，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
13. 【答案】；
【解析】方法一：正方形的边长为，将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到位置，使得点落在对角线上，
，
，
，
，
阴影部分的面积；
方法二：过点作交、于、点，设与交于点点，连接，如下图所示，
在对角线上，
，，
为等腰直角三角形，
，
又，且，和均为直角三角形，
，
，
又，
，
为等腰直角三角形，
设，则，
，
，解得，
，
阴影部分的面积．
故答案为：
【点评】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是能想到过点作的平行线，再证明、为等腰直角三角形进而求解线段长．
14. 【答案】；
【解析】由题干信息可抽象出一般规律：（，均为奇数，且）．
故
．
故答案：
【点评】本题考查规律型：数字的变化类，规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．
三、 解答题
15. 【答案】
【解析】原式
．
【点评】本题考查了绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零次幂、负整数指数幂，熟知以上运算是解题的关键．
16. 【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
又，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）可得，，，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是菱形，
根据，，设，可得，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
，
四边形的周长．
【点评】本题主要考查了矩形的性质应用，结合菱形的判定与性质、全等三角形的判定进行求解是解题的关键．
17. 【答案】
【解析】
，
当时，原式．
【点评】本题考查了分式的混合运算化简求值，涉及了二次根式的运算、分式的约分、分式的除法运算、减法运算等，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
18. 【答案】（1）如图所示
（2）
（3）人
【解析】（1）的人数为：，
补全条形统计图如右图所示：
（2）组共有名学生，按照从小到大的顺序排列是：、、、、、、、、、、、、，
第七个数据为中位数，是，
故答案为：；
（3）（人），
即该校成绩优秀的学生人数约有人，
故答案为：人．
【点评】本题主要考查的是条形统计图，中位数以及用样本估计总体，解决本题的关键就是明确题意，找出所求问题的条件，仔细计算．
19. 【答案】元
【解析】设第一批购进的消毒液的单价为元，则第二批购进的消毒液的单价为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答第一批购进的消毒液的单价为元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20. 【答案】（1）
（2）
【解析】（1）由题意得；
故答案为：；
（2）由题意得：
，
的取值范围为．
【点评】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．
21. 【答案】安全
【解析】设无人机距地面，直线与南天一柱相交于点，由题意得，．
在中，
，
．
在中，
，
．
，
，
，
，
这架航拍无人机继续向正东飞行安全．
【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
22. 【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）证明：如图，连接，
为的直径，
，即，
又，
，
，
，即，
是圆的半径，
是的切线；
（2）解：平分，
，
又，
，即，
，，
，
．
【点评】此题主要考查切线的判定方法、角平分线及三角形外角性质和勾股定理，熟练进行推理论证是解题关键．
23. 【答案】（1）
（2）为直角三角形，理由见解析
（3）存在，坐标为，
【解析】（1）直线经过点，，
当时，可得，即的坐标为．
当时，可得，即的坐标为．
．
解得．
该抛物线的解析式为；
（2）为直角三角形，理由如下：
解方程，则，．
，．
抛物线的对称轴为，
为等腰三角形．
的坐标为，的坐标为，
，即．
．
．
．
为直角三角形；
（3）如图：作于，轴于，作的垂直平分线交于，于，
，
．
．
为等腰直角三角形．
．
．
设的函数解析式为．
，，
．
解得，．
的函数解析式为，
设的函数解析式为，
点的坐标为．
，
解得：．
的函数解析式为．
．
解得．
的坐标为；
在直线上作点关于点的对称点，
设，
则有：，解得．
．
的坐标为．
综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为，．
【点评】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图象、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
