2020年湖南省张家界市中考数学试卷

这是一份2020年湖南省张家界市中考数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。


2020年湖南省张家界市中考数学试卷
题号
一
二
三
四
总分
得分






一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1. 的倒数是（　　）
A. - B. C. 2020 D. -2020
2. 如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（　　）
A.
B.
C.
D.


3. 下列计算正确的是（　　）
A. 2a+3a=5a2 B. （a2）3=a5
C. （a+1）2=a2+1 D. （a+2）（a-2）=a2-4
4. 下列采用的调查方式中，不合适的是（　　）
A. 了解澧水河的水质，采用抽样调查
B. 了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查
C. 了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查
D. 了解某班同学的数学成绩，采用全面调查
5. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（　　）
A. 100°
B. 110°
C. 120°
D. 130°


6. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（　　）
A. -9 B. +2= C. -2= D. +9
7. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2-6x+8=0的两根，则该等腰三角形的底边长为（　　）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或4
8. 如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=-和y=的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（　　）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 14
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 因式分解：x2-9=______．
10. 今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了211000000元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则211000000元用科学记数法表示为______元．
11. 如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=38°，一束光线（与水平线OB平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，则∠DEB的度数是______度．




12. 新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是______．
13. 如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是______．






14. 观察下面的变化规律：
=1-，=-，=-，=-，…
根据上面的规律计算：=______．
三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）
15. 计算：|1-|-2sin45°+（3.14-π）0-（）-2．







16. 先化简，再求值：（-）÷，其中x=．







四、解答题（本大题共7小题，共56.0分）
17. 如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）若AB=6，AD=8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．












18. 为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整数）分为“A：69分及以下，B：70～79分，C：80～89分，D：90～100分”四个等级进行统计，得到如图未画完整的统计图：
D组成绩的具体情况是：
分数（分）
93
95
97
98
99
人数（人）
2
3
5
2
1
根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）D组成绩的中位数是______分；
（3）假设该校有1200名学生都参加此次测试，若成绩80分以上（含80分）为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？









19. 今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．







20. 阅读下面的材料：
对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}=a；当a≥b时，min{a，b}=b，如：min{4，-2}=-2，min{5，5}=5．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）min{-1，3}=______；
（2）当min时，求x的取值范围．







21. “南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以9m/s的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为37°，继续飞行6s到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为45°，已知“南天一柱”的高为150m，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）










22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O，过点C作直线CD交AB的延长线于点D，使∠BCD=∠A．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DE平分∠ADC，且分别交AC，BC于点E，F，当CE=2时，求EF的长．









23. 如图，抛物线y=ax2-6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=-x+5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；
（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．













答案和解析
1.【答案】C

【解析】解：的倒数是2020，
故选：C．
根据倒数之积等于1可得答案．
此题主要考查了倒数，解题的关键是掌握倒数定义．
2.【答案】A

【解析】解：从正面看有三列，从左到右依次有2、1、1个正方形，图形如下：

故选：A．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，解题时注意从正面看得到的图形是主视图．
3.【答案】D

【解析】解：A、2a+3a=5a，故原式错误；
B、（a2）3=a6，故原式错误；
C、（a+1）2=a2+2a+1，故原式错误；
D、（a+2）（a-2）=a2-4，故原式正确，
故选：D．
根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式逐一进行判断即可
此题考查了合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键
4.【答案】B

【解析】解：了解澧水河的水质，采用普查不太可能做到，所以采用抽样调查，故A合适，
了解一批灯泡的使用寿命，不宜采用全面调查，因为调查带有破坏性，故B不合适，
了解张家界市中学生睡眠时间，工作量大，宜采用抽样调查，故C合适，
了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．合适，故D合适，
故选：B．
根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果接近准确数值，从而可得答案．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5.【答案】C

【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A=180°-∠BCD=60°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，
故选：C．
根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6.【答案】B

【解析】解：依题意，得：+2=．
故选：B．
根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7.【答案】A

【解析】解：x2-6x+8=0
（x-4）（x-2）=0
解得：x=4或x=2，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，
故选：A．
解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．
8.【答案】B

【解析】解：∵AB∥x轴，且△ABC与△ABO共底边AB，
∴△ABC的面积等于△ABO的面积，
连接OA、OB，如下图所示：

则=．
故选：B．
根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点时，△ABC的面积与△ABO的面积相等，由此即可求解．
本题考查了反比例函数的图形和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成的矩形的面积为|k|这个结论．
9.【答案】（x+3）（x-3）

【解析】【分析】
​​​​​​​本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
原式利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式=（x+3）（x-3），
故答案为：（x+3）（x-3）．
10.【答案】2.11×108

【解析】解：211000000的小数点向左移动8位得到2.11，
所以211000000用科学记数法表示为2.11×108，
故答案为：2.11×108．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11.【答案】76

【解析】解：∵DC∥OB，
∴∠ADC=∠AOB=38°，
由光线的反射定理易得，∠ODE=∠ACD=38°，
∠DEB=∠ODE+∠AOB=38°+38°=76°，
故答案为：76°．
根据平行线的性质可得∠ADC的度数，由光线的反射定理可得∠ODE的度数，再根据三角形外角性质即可求解．
本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角=反射角是解题的关键．
12.【答案】

【解析】解：全班共有学生30+24=54（人），
其中男生30人，
则这班选中一名男生当值日班长的概率是=．
故答案为：．
先求出全班的学生数，再根据概率公式进行求解即可．
本题考查了简单的概率计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
13.【答案】

【解析】解：过E点作MN∥BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP，如下图所示，

∵B在对角线CF上，
∴∠DCE=∠ECF=45°，EC=1，
∴△ENC为等腰直角三角形，
∴MB=CN=EC=，
又BC=AD=CD=CE，且CP=CP，△PEC和△PBC均为直角三角形，
∴Rt△PEC≌Rt△PBC（HL），
∴PB=PE，
又∠PFB=45°，
∴∠FPB=45°=∠MPE，
∴△MPE为等腰直角三角形，
设MP=x，则EP=BP=，
∵MP+BP=MB，
∴，解得，
∴BP=，
∴阴影部分的面积=．
故答案为：．
如图所示，△ENC、△MPF为等腰直角三角形，先求出MB=NC=，证明△PBC≌△PEC，进而得到EP=BP，设MP=x，则EP=BP=，解出x，最后阴影部分面积等于2倍△BPC面积即可求解．
本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是能想到过E点作BC的平行线，再证明△ENC、△MPF为等腰直角三角形进而求解线段长．
14.【答案】

【解析】解：由题干信息可抽象出一般规律：（a，b均为奇数，且b=a+2）．
故
=1-+-+-+…+-
=1-
=．
故答案：．
本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．
本题考查规律型：数字的变化类，规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．
15.【答案】解：原式=-1-2×+1-4
=-1-+1-4
=-4．

【解析】根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂进行运算即可．
本题考查了绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零次幂、负整数指数幂，熟知以上运算是解题的关键．
16.【答案】解：（-）÷
=
=
=
=，
当时，原式==1．

【解析】括号内后面的分式分子、分母先分解因式，约分后进行分式的减法运算，然后再进行分式的除法运算进行化简，最后把x的值代入进行计算即可．
本题考查了分式的混合运算--化简求值，涉及了二次根式的运算、分式的约分、分式的除法运算、减法运算等，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
17.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，DO=BO，
∴∠EDO=∠FBO，
又∵EF⊥BD，
∴∠EOD=∠FOB=90°，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；

（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵BO=DO，EF⊥BD，
∴ED=EB，
∴四边形BFDE是菱形，
根据AB=6，AD=8，设AE=x，可得BE=ED=8-x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2=AB2+AE2，
即（8-x）2=x2+62，
解得：，
∴，
∴四边形BFDE的周长=．

【解析】（1）根据矩形的性质可得BO=DO，∠EOD=∠FOB，∠EDO=∠FBO，即可证的两个三角形全等；
（2）设AE=x，根据已知条件可得AE=8-x，由（1）可推得△EBO≌△EDO，可得ED=EB，可证得四边形EBFD是菱形，根据勾股定理可得BE的长，即可求得周长；
本题主要考查了矩形的性质应用，结合菱形的判定与性质、全等三角形的判定进行求解是解题的关键．
18.【答案】97

【解析】解：（1）C的人数为：40-（5+12+13）=40-30=10，
补全条形统计图如右图所示：
（2）D组共有13名学生，按照从小到大的顺序排列是：93、93、95、95、95、97、97、97、97、97、98、98、99，
第七个数据为中位数，是97，
故答案为：97；
（3）1200×=690（人），
即该校成绩优秀的学生人数约有690人，
故答案为：690人．
（1）用总人数减去A、B、D三组的人数和即可得出C组的人数，然后补全条形统计图即可；
（2）D组共有13人，把数据按照从小到大（从大到小）的顺序排列，找到中间第七个数据即可；
（3）用1200乘以80分以上的人数所占的比例即可得出人数．
本题主要考查的是条形统计图，中位数以及用样本估计总体，解决本题的关键就是明确题意，找出所求问题的条件，仔细计算．
19.【答案】解：设第一批购进的消毒液的单价为x元，则第二批购进的消毒液的单价为（x-2）元，
依题意，得：=，
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的解，且符合题意．
答：第一批购进的消毒液的单价为10元．

【解析】设第一批购进的消毒液的单价为x元，则第二批购进的消毒液的单价为（x-2）元，根据数量=总价÷单价结合花2000元购买的第一批消毒液和花1600元购买的第二批消毒液数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20.【答案】-1

【解析】解：（1）由题意得min{-1，3}=-1；
故答案为：-1；
（2）由题意得：
3（2x-3）≥2（x+2）
6x-9≥2x+4
4x≥13
x≥，
∴x的取值范围为x≥．
（1）比较大小，即可得出答案；
（2）根据题意判断出，解不等式即可判断x的取值范围．
本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．
21.【答案】解：设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，由题意得∠CAD=37°，∠CBD=45°．
在Rt△ACD中，
∵tan∠CAD=，
∴AD=．
在Rt△BCD中，
∵tan∠CBD=，
∴BD=x．
∵AD-BD=AB，
∴-x=9×6，
∴x=162，
∵162＞150，
∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全．

【解析】设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，根据AD-BD=AB列方程求出x的值，与南天一柱的高度比较即可．
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
22.【答案】（1）证明：如图，连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠A+∠ABC=90°，
又∵OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB，
∵∠BCD=∠A，
∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，
∵OC是圆O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠ADE，
又∵∠BCD=∠A，
∴∠A+∠ADE=∠BCD+∠CDF，即∠CEF=∠CFE，
∵∠ACB=90°，CE=2，
∴CE=CF=2，
∴EF=．

【解析】（1）如图，连接OC，欲证明CD是⊙O的切线，只需求得∠OCD=90°；
（2）由角平分线及三角形外角性质可得∠A+∠ADE=∠BCD+∠CDF，即∠CEF=∠CFE，根据勾股定理可求得EF的长．
此题主要考查切线的判定方法、角平分线及三角形外角性质和勾股定理，熟练进行推理论证是解题关键．
23.【答案】解：（1）∵直线y=-x+5经过点B，C，
∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0，5）．
当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5，0）．
∴．
解得．
∴该抛物线的解析式为y=x2-6x+5；

（2）△APC的为直角三角形，理由如下：
∵解方程x2-6x+5=0，则x1=1，x2=5．
∴A（1，0），B（5，0）．
∵抛物线y=x2-6x+5的对称轴l为x=3，
∴△APB为等腰三角形．
∵C的坐标为（5，0），B的坐标为（5，0），
∴OB=CO=5，即∠ABP=45°．
∴∠ABP=45°．
∴∠APB=180°-45°-45°=90°．
∴∠APC=180°-90°=90°．
∴△APC的为直角三角形；

（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，

∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1．
∴∠AM1B=2∠ACB．
∵△ANB为等腰直角三角形．
∴AH=BH=NH=2．
∴N（3，2）．
设AC的函数解析式为y=kx+b（k≠0）．
∵C（0，5），A（1，0），
∴．
解得b=5，k=-5．
∴AC的函数解析式为y=-5x+5，
设EM1的函数解析式为y=x+n，
∵点E的坐标为（）．
∴=×+n，
解得：n=．
∴EM1的函数解析式为y=x+．
∵．
解得．
∴M1的坐标为（）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，
设M2（a，-a+5），
则有：3=，解得a=．
∴-a+5=．
∴M2的坐标为（，）．
综上，存在使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．

【解析】（1）先根据直线y=-x+5经过点B，C，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可；
（2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定△APC的形状；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标．
本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图象、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键．