2023年湖南省张家界市中考数学试卷

这是一份2023年湖南省张家界市中考数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省张家界市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）的相反数是（　　）
A． B．﹣ C．2023 D．﹣2023
2．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，其主视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（x+2）2＝x2+4 B．a2•a4＝a8
C．（2x3）2＝4x6 D．2x2+3x2＝5x4
4．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．扇形统计图能够清楚地反映事物的变化趋势
B．对某型号电子产品的使用寿命采用全面调查的方式
C．有一种游戏的中奖概率是，则做5次这样的游戏一定会有一次中奖
D．甲、乙两组数据的平均数相等，它们的方差分别是S甲2＝0.2，S乙2＝0.03，则乙比甲稳定
5．（3分）如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，则∠2的度数是（　　）

A．70° B．50° C．40° D．140°
6．（3分）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210文购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A．3（x﹣1）＝ B．3（x﹣1）＝6210
C．3（x﹣1）＝ D．＝3x
7．（3分）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（　　）

A．π B．3π C．2π D．2π﹣
8．（3分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD＝AB，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）“仙境张家界，峰迷全世界”，据统计，2023年“五一”节假日期间，张家界市各大景区共接待游客约864000人次．将数据864000用科学记数法表示为 　 　．
10．（3分）因式分解：x2y+2xy+y＝　 　．
11．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　 　．
12．（3分）2023年4月24日是我国第八个“中国航天日”，某校开展了一次航天知识竞赛，共选拔8名选手参加总决赛，他们的决赛成绩分别是95，92，93，89，94，90，96，88．则这8名选手决赛成绩的中位数是 　 　．
13．（3分）如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC＝50°，将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB′O′C′，且∠OAC′＝100°，则四边形ABOC旋转的角度是 　 　．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧；是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧；是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心，按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，则点A2023的坐标是 　 　．

三、解答题（本大题共9个小题，共计58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）
15．（5分）计算：|﹣|﹣（4﹣π）0﹣2sin60°+（）﹣1．
16．（5分）先化简（x﹣1﹣）÷，然后从﹣1，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值．
17．（6分）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：

甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
45
60
租金（元/辆）
200
300
（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
18．（6分）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF．
（1）求证：AE∥BF；
（2）若DF＝FC时，求证：四边形DECF是菱形．

19．（8分）2022年4月21日新版《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》正式颁布，优化了课程设置，其中将劳动教育从综合实践活动课程中独立出来．某校为了初步了解学生的劳动教育情况，对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（A：x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：x≥90，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数为 　 　人，扇形统计图中m的值为 　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该校九年级有600名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？
（4）若D组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率．
20．（6分）“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为15°，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为45°，求奇楼AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）

21．（6分）阅读下面材料：
将边长分别为a，a+，a+2，a+3的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．
则S2﹣S1＝（a+）2﹣a2
＝[（a+）+a]•[（a+）﹣a]
＝（2a+）•
＝b+2a
例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+2
根据以上材料解答下列问题：
（1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝　 　，S4﹣S3＝　 　；
（2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+n的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出Sn+1﹣Sn等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．
22．（6分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AD＝10，cosB＝，求FD的长．

23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，6）．点D为线段BC上的一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，求△AOD周长的最小值；
（3）如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．


2023年湖南省张家界市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）的相反数是（　　）
A． B．﹣ C．2023 D．﹣2023
【分析】只有符号不同的两个数，我们称这两个数互为相反数．
【解答】解：的相反数是﹣，
故选：B．
【点评】本题主要考查的是相反数的定义，属于基础题型．解决这个问题只要明确相反数的定义即可．
2．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，其主视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看，一共有两列，从左到右小正方形的个数分别为3、1．
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题时注意从正面看得到的图形是主视图．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（x+2）2＝x2+4 B．a2•a4＝a8
C．（2x3）2＝4x6 D．2x2+3x2＝5x4
【分析】根据完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则，逐项分析判断即可求解．
【解答】解：A．（x+2）2＝x2+4x+4，故该选项不符合题意；
B．a2•a4＝a6，故该选项不符合题意；
C．（2x3）2＝4x6，故该选项符合题意；
D．2x2+3x2＝5x2，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则，熟练掌握以上运算法则以及乘法公式是解题的关键．
4．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．扇形统计图能够清楚地反映事物的变化趋势
B．对某型号电子产品的使用寿命采用全面调查的方式
C．有一种游戏的中奖概率是，则做5次这样的游戏一定会有一次中奖
D．甲、乙两组数据的平均数相等，它们的方差分别是S甲2＝0.2，S乙2＝0.03，则乙比甲稳定
【分析】分别根据扇形统计图的特点，全面调查和抽样调查，概率的意义和方差的意义判断即可．
【解答】解：A．折线统计图能够清楚地反映事物的变化趋势，故不符合题意；
B．对某型号电子产品的使用寿命采用抽样调查的方式，故不符合题意；
C．有一种游戏的中奖概率是，则做5次这样的游戏不一定会有一次中奖，故不符合题意；
D．甲、乙两组数据的平均数相等，它们的方差分别是S甲2＝0.2，S乙2＝0.03，则乙比甲稳定，故符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了扇形统计图的特点，全面调查和抽样调查，概率的意义和方差的意义，熟练掌握这些定义是关键．
5．（3分）如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，则∠2的度数是（　　）

A．70° B．50° C．40° D．140°
【分析】由平角的定义可得∠BEF＝140°，由角平分线的定义可得∠BEG＝∠FEG＝70°，再利用两直线平行，内错角相等即可求解．
【解答】解：∵∠1＝40°，
∴∠BEF＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝∠FEG＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEG＝70°．
故选：A．
【点评】本题主要考查平角的定义、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质是解题关键．
6．（3分）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210文购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A．3（x﹣1）＝ B．3（x﹣1）＝6210
C．3（x﹣1）＝ D．＝3x
【分析】设6210元购买椽的数量为x株，根据单价＝总价÷数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案．
【解答】解：设6210元购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为，
由题意得：3（x﹣1）＝，
故选：C．
【点评】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键．
7．（3分）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（　　）

A．π B．3π C．2π D．2π﹣
【分析】由等边三角形的性质得到＝＝，由弧长公式求出的长＝π，即可求出“莱洛三角形”的周长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴＝＝，
∵的长＝＝π，
∴该“莱洛三角形”的周长是3π．
故选：B．
【点评】本题考查弧长的计算，等边三角形的性质，关键是由弧长公式求出的长．
8．（3分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD＝AB，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】设B点的坐标为（a，b），根据矩形对称中心的性质得出延长OM恰好经过点B，M（，），确定D（，b），然后结合图形及反比例函数的意义，得出S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM＝3，代入求解即可．
【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），
∵矩形OABC的对称中心M，
∴延长OM恰好经过点B，M（，），
∵点D在AB上，且 AD＝AB，
∴D（，b），
∴BD＝a，
∴S△BDM＝BD•h＝×a×（b﹣）＝ab，
∵D在反比例函数的图象上，
∴ab＝k，
∵S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM＝ab﹣k﹣ab＝3，
∴ab＝16，
∴k＝ab＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）“仙境张家界，峰迷全世界”，据统计，2023年“五一”节假日期间，张家界市各大景区共接待游客约864000人次．将数据864000用科学记数法表示为 　8.64×105　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：864000＝8.64×105．
故答案为：8.64×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．（3分）因式分解：x2y+2xy+y＝　y（x+1）2　．
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．
【解答】解：x2y+2xy+y
＝y（x2+2x+1）
＝y（x+1）2．
故答案为：y（x+1）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
11．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　a＞﹣1　．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＞0，
解得a＞﹣1．
故答案为：a＞﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
12．（3分）2023年4月24日是我国第八个“中国航天日”，某校开展了一次航天知识竞赛，共选拔8名选手参加总决赛，他们的决赛成绩分别是95，92，93，89，94，90，96，88．则这8名选手决赛成绩的中位数是 　92.5　．
【分析】把题目中的数据按照从小到大排列，然后即可计算出相应的中位数．
【解答】解：把数据95，92，93，89，94，90，96，88按照从小到大排列是：88，89，90，92，93，94，95，96，
∴这组数据的中位数是（92+93）÷2＝92.5，
故答案为：92.5．
【点评】本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的定义，会算一组数据的中位数．
13．（3分）如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC＝50°，将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB′O′C′，且∠OAC′＝100°，则四边形ABOC旋转的角度是 　75°　．

【分析】依据AO为∠BAC的平分线可知，∠BAO＝∠CAO＝∠BAC＝25°，依据旋转的性质可知∠C′AO′＝∠CAO＝25°，旋转角为∠OAO′，∠OAO′＝∠OAC′﹣∠C′AO′代入数据即可得解．
【解答】解：∵AO为∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，
∴∠BAO＝∠CAO＝∠BAC＝25°，
依据旋转的性质可知∠C′AO′＝∠CAO＝25°，旋转角为∠OAO′，
∴∠OAO′＝∠OAC′﹣∠C′AO′＝100°﹣25°＝75°．
故答案为：75°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，菱形的判定，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧；是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧；是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心，按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，则点A2023的坐标是 　（﹣2023，1）　．

【分析】将四分之一圆弧对应的A点坐标看作顺时针旋转90°，再根据A、A1、A2、A3、A4的坐标找到规律即可．
【解答】解：∵A点坐标为（1，1），且A1为A点绕B点顺时针旋转90°所得，
∴A1点坐标为（2，0），
又∵A2为A1点绕O点顺时针旋转90°所得，
∴A2点坐标为（0，﹣2），
又∵A3为A2点绕C点顺时针旋转90°所得，
∴A3点坐标为（﹣3，1），
又∵A4为A3点绕A点顺时针旋转90°所得，
∴A4点坐标为（1，5），
由此可得出规律：An为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转90°，且半径为1、2、3、……、n，每次增加1．
∵2023÷5＝505……3，
故A2023为以点C为圆心，半径为2022的A2022顺时针旋转90°所得，
故A2023点坐标为（﹣2023，1）．
故答案为：（﹣2023，1）．
【点评】本题考查了点坐标规律探索，通过点的变化探索出坐标变化的规律是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，共计58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）
15．（5分）计算：|﹣|﹣（4﹣π）0﹣2sin60°+（）﹣1．
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简5个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：|﹣|﹣（4﹣π）0﹣2sin60°+（）﹣1
＝﹣1﹣2×+5
＝﹣1﹣+5
＝4．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式等知识点的运算．
16．（5分）先化简（x﹣1﹣）÷，然后从﹣1，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值．
【分析】先根据整式的运算法则进行运算，再化简结果，注意代入的值不可令分母为0，求解即可．
【解答】解：（x﹣1﹣）÷
＝[]•
＝
＝x+1，
∵x+1≠0，x2+2x+1≠0，
∴x≠﹣1，
将x＝1代入上式，得：原式＝1+1＝2．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，注意分母不能为零．
17．（6分）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：

甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
45
60
租金（元/辆）
200
300
（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
【分析】（1）本题中的等量关系为：45×45座客车辆数+15＝学生总数，60×（45座客车辆数﹣1）＝学生总数，据此可列方程组求出第一小题的解；
（2）需要分别计算45座客车和60座客车各自的租金，比较后再取舍．
【解答】解：（1）设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车．
根据题意，得，
解得．
答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；
（2）租45座客车：600÷45≈14（辆），所以需租14辆，租金为200×14＝2800（元），
租60座客车：600÷60＝10（辆），所以需租10辆，租金为300×10＝3000（元），
∵2800＜3000，
∴租用14辆45座客车更合算．
【点评】本题考查二元一次方程的应用，注意租车时最后一辆不管几个人都要用一辆，所以在计算车的辆数时用“收尾法”，而不是“四舍五入”．
18．（6分）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF．
（1）求证：AE∥BF；
（2）若DF＝FC时，求证：四边形DECF是菱形．

【分析】（1）由SSS证明△AEC≌△BFD（SSS），得到∠A＝∠B，即可证明AE∥BF；
（2）由△AEC≌△BFD，得到∠ECA＝∠FDB，推出EC∥DF，又EC＝DF，得到四边形DECF是平行四边形，而DF＝FC，推出四边形DECF是菱形．
【解答】证明：（1）∵AD＝BC，
∴AD+CD＝BC+CD，
∴AC＝BD，
∵AE＝BF，CE＝DF，
∴△AEC≌△BFD（SSS），
∴∠A＝∠B，
∴AE∥BF；
（2）∵△AEC≌△BFD（SSS），
∴∠ECA＝∠FDB，
∴EC∥DF，
∵EC＝DF，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵DF＝FC，
∴四边形DECF是菱形．
【点评】本题考查菱形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是证明△AEC≌△BFD（SSS）．
19．（8分）2022年4月21日新版《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》正式颁布，优化了课程设置，其中将劳动教育从综合实践活动课程中独立出来．某校为了初步了解学生的劳动教育情况，对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（A：x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：x≥90，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数为 　50　人，扇形统计图中m的值为 　30　；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该校九年级有600名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？
（4）若D组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率．
【分析】（1）由D组的人数除以所占百分比得出本次抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）求出C组的人数，补全条形统计图即可；
（3）由该校九年级学生人数乘以参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生所占的比例即可；
（4）画树状图，共有20种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有12种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次抽取的学生人数为5÷10%＝50（人），
∴m%＝15÷50×100%＝30%，
∴m＝30，
故答案为：50，30；
（2）C组的人数为：50﹣10﹣15﹣5＝20（人），
补全条形统计图如下：

（3）600×＝300（人），
答：估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生约有300人；
（4）若D组中有3名女生，则有2名男生，
画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有12种，
∴抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率是＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（6分）“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为15°，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为45°，求奇楼AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）

【分析】延长BA交PQ的延长线于C，则∠ACQ＝90°，根据题意得到BC＝225m，PQ＝200m，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：延长BA交PQ的延长线于C，
则∠ACQ＝90°，
由题意得，BC＝225m，PQ＝200m，
在Rt△BCQ中，∠BQC＝45°，
∴CQ＝BC＝225m，
∴PC＝PQ+CQ＝425（m），
在Rt△PCA中，tan∠APC＝tan15°＝，
∴AC＝114.75m，
∴AB＝BC﹣AC＝225﹣114.75＝110.25≈110（m），
答：奇楼AB的高度约为110m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
21．（6分）阅读下面材料：
将边长分别为a，a+，a+2，a+3的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．
则S2﹣S1＝（a+）2﹣a2
＝[（a+）+a]•[（a+）﹣a]
＝（2a+）•
＝b+2a
例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+2
根据以上材料解答下列问题：
（1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝　9+2　，S4﹣S3＝　15+2　；
（2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+n的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出Sn+1﹣Sn等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．
【分析】（1）把a＝1，b＝3代入S3﹣S2，S4﹣S3，计算即可得到结论；
（2）根据（1）的结论化简Sn+1﹣Sn即可；
（3）化简T＝t1+t2+t3+…+t50后，代入数值计算即可．
【解答】解：S3﹣S2＝（a+2）2﹣（a+）2
＝a2+4a+4b﹣a2﹣2a﹣b
＝2a+3b，
当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝9+2；
S4﹣S3＝（a+3）2﹣（a+2）2＝a2+6a+9b﹣a2﹣4a﹣4b
＝2a+5b，

当a＝1，b＝3时，S4﹣S3＝15+2；
故答案为：9+2；15+2；
（2）Sn+1﹣Sn＝6n﹣3+2；
证明：Sn+1﹣Sn
＝（1+n）2﹣[1+（n﹣1）]2
＝[2+（2n﹣1）]×
＝3（2n﹣1）+2
＝6n﹣3+2；
（3）当a＝1，b＝3时，T＝t1+t2+t3+…+t50
＝S2﹣S1+S3﹣S2+S4﹣S3…+S51﹣S50
＝S51﹣S1
＝（1+50）2﹣1
＝7500+100．
【点评】本题考查了二次根式的化简，正确地计算出结果是解题的关键．
22．（6分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AD＝10，cosB＝，求FD的长．

【分析】（1）根据切线的判定，连接OC，证明出OC⊥FC即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
（2）由cosB＝，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD：AC：AD＝3：4：5，再根据相似三角形的性质可求出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，

∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，
又∵OC＝OD，
∴∠ADC＝∠OCD，
又∵∠DCF＝∠CAD．
∴∠DCF+∠OCD＝90°，
即OC⊥FC，
∴FC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠B＝∠ADC，cosB＝，
∴cos∠ADC＝，
在Rt△ACD中，
∵cos∠ADC＝＝，AD＝10，
∴CD＝AD•cos∠ADC＝10×＝6，
∴AC＝＝8，
∴＝，
∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FAC，
∴＝＝＝，
设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x+10，
又∵FC2＝FD•FA，
即（4x）2＝3x（3x+10），
解得x＝（取正值），
∴FD＝3x＝．
【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，6）．点D为线段BC上的一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，求△AOD周长的最小值；
（3）如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．

【分析】（1）由题意可知，设抛物线的表达式为y＝a（x+2）（x﹣6），再将（0，6）代入求出a即可；
（2）根据题意先求出点O关于直线BC的对称点E的坐标，再连接AE，交BC于点D，此时|DO|+|DA|最小；
（3）先用待定系数法求出直线BC，AC的解析式，再根据PD∥AC，设直线PD表达式为y＝3x+a，再设P（m，﹣m2+2m+6），将P点坐标代入直线PD的表达式得a＝﹣m2﹣m+6，然后解方程组求出D的坐标，再根据S＝S△PAB+S△PAD＝S△PAB﹣S△DAB得出S关于m的二次函数解析式，再根据函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）由题意可知，设抛物线的表达式为y＝a（x+2）（x﹣6），
将（0，6）代入上式得：6＝a（0+2）（0﹣6），
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+2x+6；
（2）作点O关于直线BC的对称点E，连接EC、EB，

∵B（6，0），C（0，6），∠BOC＝90°，
∴OB＝OC＝6，
∵O、E关于直线BC对称，
∴四边形OBEC为正方形，
∴E（6，6），
连接AE，交BC于点D，由对称性|DE|＝|DO|，
此时|DO|+|DA|有最小值为AE的长，
∴AE＝＝＝10，
∵△AOD 的周长为DA+DO+AO，AO＝2，DA+DO的最小值为10，
∴△AOD的周长的最小值为10+2＝12，
（3）由已知点A（﹣2，0），B（6，0），C（0，6），

设直线BC的表达式为 y＝kx+b，
将B（6，0），C（0，6）代入y＝kx+b 中，
则，
解得，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+6，
同理可得：直线AC的表达式为y＝3x+6，
∵PD∥AC，
∴可设直线PD表达式为y＝3x+a，
由（1）设P（m，﹣m2+2m+6），
将P点坐标代入直线PD的表达式得a＝﹣m2﹣m+6，
∴直线PD的表达式为：，
由，
得，
∴D（m2+m，﹣m2﹣m+6），
∵P，D都在第一象限，
∴S＝S△PAB+S△PAD＝S△PAB﹣S△DAB
＝|AB|[（﹣m2+2m+6）﹣（﹣m2﹣m+6）
＝×8×（﹣m2+m）
＝﹣m2+9n
＝﹣（m2﹣6m）
＝﹣（m﹣3）2+，
∵﹣＜0，
∴当 m＝3 时，S有最大值，最大值为，
此时P点为 ．
【点评】本题重点考查了待定系数法求二次函数及一次函数解析式，点的对称性，二次函数的性质等知识，会用抛物线及一次函数上的点坐标来表示线段的长度是解决第三问的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/4 9:00:58；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557