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2021年四川省南充市蓬安县中考数学模拟试卷（3月份）
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这是一份2021年四川省南充市蓬安县中考数学模拟试卷（3月份），共25页。试卷主要包含了单项选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年四川省南充市蓬安县中考数学模拟试卷（3月份）
一、单项选题（每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣2021的倒数是（ ）
A．2021 B． C．﹣2021 D．
2．（4分）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．a2+a3＝a5 C．（a3）2＝a5 D．a6÷a3＝a2
3．（4分）习近平总书记提出精准扶贫战略以来，各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加．2020年最后一批脱贫人口约5510000人，将数据5510000用科学记数法表示为（ ）
A．5.51×102 B．0.551×103 C．5.51×107 D．5.51×106
4．（4分）如图，l1∥l2，点O在直线l1上，且∠AOB＝90°，若∠2＝51°，则∠1的度数为（ ）
A．51° B．49° C．39° D．29°
5．（4分）将分别标有“精”“准”“扶”“贫”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，放回后；再随机摸出一球，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）在⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，若弦AB长16cm，将直线l向下平移4cm后就与⊙O相切，则⊙O的半径长为（ ）cm．
A．12 B．10 C．8 D．6
7．（4分）某农场开挖一条长480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么求x时所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝30°，过点A作AE⊥BC于点E，若现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，设AF与CD交于点G，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．（4分）设[m）表示大于m的最小整数，如[5.5）＝6，[﹣1.2）＝﹣1，则下列结论中正确的是（ ）
A．[2）﹣2＝0 B．若[m）﹣m＝0.5，则m＝0.5
C．[m）﹣m的最大值是1 D．[m）﹣m的最小值是0
10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列四个结论中：①a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③abc＞0；④5a﹣b+c＜0．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题4分，共计24分）
11．（4分）因式分解：x3﹣4xy2＝ ．
12．（4分）若x，y为实数，且满足|2x+1|+＝0，则x+y的值为 ．
13．（4分）一组数据1，2，m，4的方差为，则m的值为 ．
14．（4分）反比例函数的图象分布在第二、四象限内，则a的值为 ．
15．（4分）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2AB，E是AB上的一点，沿CE将△EBC上翻折，若B点恰好落在边AD上的F点，则AF＝ ．
16．（4分）如图，在菱形MNEF中，∠NMF＝60°，动点A在对角线ME上，点B是NE边的中点，设AM的长度为x，AN+AB＝y，变量y是变量x的函数，当变量x取最大值时，函数y有对应值为9．当变量x＝m时，函数y有对应最小值为n，则m+n的值为 ．
三、解答题（共9题86分）
17．（8分）计算：（）﹣1﹣（﹣3）0﹣|3﹣π|+（﹣12）．
18．（8分）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．
19．（8分）小王随机调查了某社区40位老人每周参加户外体育锻炼活动的时间情况，根据调查统计结果绘制了频数分布直方图，根据图中信息回答下列问题：
（1）求a的值；
（2）从时间在6～10小时的几位老人中随机选取2人，请你用列举法或画树状图法，求其中至少有1人户外体育锻炼活动的时间在8～10小时的概率．
20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22＝10，求m的值．
21．（10分）如图，直线y＝kx+b的图象与双曲线y＝的图象交于A（1，3），B（﹣3，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C、D在圆上，且AC＝DC，过C点的切线CE和DB的延长线交于E点，⊙O的半径r＝5，CD＝8．
（1）求证：BC平分∠ABE；
（2）求证：CE⊥DE；
（3）求DE的长．
23．（10分）本次初三模拟考试后，学校决定购买两种笔记本对模拟考试中成绩优异、进步显著的同学进行奖励，计划购买甲、乙两种型号的笔记本共60本，已知甲型笔记本的单价为15元/本，而购买乙型笔记本所需总费用y（元）与购买数量x（本）之间存在如图所示的函数关系式．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若计划购买乙种笔记本的数量不超过40本，但不少于总数的五分之一，请设计购买方案，使购买总费用最低，并求出最低费用．
24．（10分）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AB，点E、F分别是OA、BC的中点，连接BE、EF．
（1）求证：EF＝BC；
（2）在上述条件下，若AC＝BD，G是BD上一点，且BG：GD＝3：1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，OB＝6，顶点D（2，8），对称轴交x轴于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线的对称轴上一动点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，当⊙P与直线CD相切时，求P的坐标；
（3）动点M在对称轴上运动时，是否存在△DCM和△BQC相似？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
2021年四川省南充市蓬安县中考数学模拟试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、单项选题（每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣2021的倒数是（ ）
A．2021 B． C．﹣2021 D．
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：﹣2021的倒数是：﹣．
故选：D．
2．（4分）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．a2+a3＝a5 C．（a3）2＝a5 D．a6÷a3＝a2
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项正确；
B、a2+a3，无法合并，故此选项错误；
C、（a3）2＝a6，故此选项错误；
D、a6÷a3＝a3，故此选项错误．
故选：A．
3．（4分）习近平总书记提出精准扶贫战略以来，各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加．2020年最后一批脱贫人口约5510000人，将数据5510000用科学记数法表示为（ ）
A．5.51×102 B．0.551×103 C．5.51×107 D．5.51×106
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：5510000＝5.51×106．
故选：D．
4．（4分）如图，l1∥l2，点O在直线l1上，且∠AOB＝90°，若∠2＝51°，则∠1的度数为（ ）
A．51° B．49° C．39° D．29°
【分析】根据对顶角的性质得出∠OBA，再根据三角形内角和定理求出∠BAO，然后根据平行线的性质即可得出∠1的度数．
【解答】解：∵∠2＝51°，
∴∠OBA＝51°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BAO＝180°﹣51°﹣90°＝39°，
∵l1∥l2，
∴∠BAO＝∠1＝39°．
故选：C．
5．（4分）将分别标有“精”“准”“扶”“贫”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，放回后；再随机摸出一球，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有16个等可能的结果，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有16个等可能的结果，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的结果有2个，
∴两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率为＝，
故选：C．
6．（4分）在⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，若弦AB长16cm，将直线l向下平移4cm后就与⊙O相切，则⊙O的半径长为（ ）cm．
A．12 B．10 C．8 D．6
【分析】过点O作出OC⊥AB于点C，利用垂径定理求出BC＝8cm，设OB＝xcm，利用勾股定理求出半径长即可．
【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，
∵直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝16cm，
∴BC＝8cm，
设OB＝xcm，
∵将直线l向下平移4cm后就与⊙O相切，
∴OC＝（x﹣4）cm，
∵OC2+BC2＝OB2，
∴（x﹣4）2+82＝x2，
解得x＝10，
∴OB＝10（cm），
即⊙O的半径长为10cm．
故选：B．
7．（4分）某农场开挖一条长480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么求x时所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题的关键描述语是：“提前4天完成任务”；等量关系为：原计划用时﹣实际用时＝4．
【解答】解：原计划用时为：，实际用时为：．所列方程为：﹣＝4，故选：A．
8．（4分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝30°，过点A作AE⊥BC于点E，若现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，设AF与CD交于点G，则等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】先利用30°直角三角形的性质，求出BE，再根据折叠性质求得BF，从而得到CF长，最后根据△ADG∽△FCG即可得出DG与CG的比值．
【解答】解：在Rt△ABE中，∠B＝30°，AB＝2，
∴BE＝．
根据折叠性质可得BF＝2BE＝．
∴CF＝﹣2，
∵AD∥CF，
∴△ADG∽△FCG．
∴＝＝＝．
故选：D．
9．（4分）设[m）表示大于m的最小整数，如[5.5）＝6，[﹣1.2）＝﹣1，则下列结论中正确的是（ ）
A．[2）﹣2＝0 B．若[m）﹣m＝0.5，则m＝0.5
C．[m）﹣m的最大值是1 D．[m）﹣m的最小值是0
【分析】根据题意[m）表示大于m的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案．
【解答】解：A、[2）﹣2＝3﹣2＝1，故本选项不合题意；
B、若[m）﹣m＝0.5，则m不一定等于0.5，故本选项不合题意；
C、[m）﹣m的最大值是1，故本项符合题意；
D、[m）﹣m＞0，但是取不到0，故本选项不合题意；
故选：C．
10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列四个结论中：①a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③abc＞0；④5a﹣b+c＜0．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图示知，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0．故①错误；
②由图示知，当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0．故②错误；
③由图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
对称轴x＝﹣＜0，则b＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，
所以abc＞0．故③正确；
④由图示知，当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0．当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
所以10a﹣2b+2c＜0，即5a﹣b+c＜0，故④正确．
综上所述，正解的结论有：③④，共2个．
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共计24分）
11．（4分）因式分解：x3﹣4xy2＝ x（x+2y）（x﹣2y） ．
【分析】先提公因式x，再利用平方差公式继续分解因式．
【解答】解：x3﹣4xy2，
＝x（x2﹣4y2），
＝x（x+2y）（x﹣2y）．
12．（4分）若x，y为实数，且满足|2x+1|+＝0，则x+y的值为 ﹣5 ．
【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而得出答案．
【解答】解：∵|2x+1|+＝0，
∴2x+1＝0，9+2y＝0，
解得：x＝﹣，y＝﹣，
则x+y＝﹣﹣＝﹣5．
故答案为：﹣5．
13．（4分）一组数据1，2，m，4的方差为，则m的值为 1或 ．
【分析】先表述出这组数据的平均数为，再根据方差的定义得出×[（1﹣）2+（2﹣）2+（m﹣）2+（4﹣）2]＝，整理成一般式，再进一步求解即可．
【解答】解：∵1，2，m，4的平均数为＝，
∴这组数据的方差×[（1﹣）2+（2﹣）2+（m﹣）2+（4﹣）2]＝，
整理，得：3m2﹣14m+11＝0，
解得m＝1或m＝，
故答案为：1或．
14．（4分）反比例函数的图象分布在第二、四象限内，则a的值为 ﹣2 ．
【分析】根据反比例函数的图象和性质由反比例函数的图象分布在第二、四象限内，可得a+1＜0且a2﹣5＝﹣1，进而求出a的值．
【解答】解：因为反比例函数的图象分布在第二、四象限内，
所以a+1＜0且a2﹣5＝﹣1，
所以a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
15．（4分）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2AB，E是AB上的一点，沿CE将△EBC上翻折，若B点恰好落在边AD上的F点，则AF＝ ．
【分析】依据矩形的性质以及勾股定理，即可得到DF的长，进而得出AF的长．
【解答】解：∵AB＝2，BC＝2AB＝4，
∴CD＝2，CF＝4，
Rt△CDF中，DF＝＝＝，
又∵AD＝BC＝4，
∴AF＝AD﹣DF＝4﹣2，
故答案为：4﹣2．
16．（4分）如图，在菱形MNEF中，∠NMF＝60°，动点A在对角线ME上，点B是NE边的中点，设AM的长度为x，AN+AB＝y，变量y是变量x的函数，当变量x取最大值时，函数y有对应值为9．当变量x＝m时，函数y有对应最小值为n，则m+n的值为 ．
【分析】当点A与点E重合时，AM有最大值，可求EN＝6，当点A，点F，点B共线时，y有最小值，可求解．
【解答】解：如图，连接AF，FN，
∵点B是NE边的中点，
∴BN＝EB＝EN，
∵动点A在对角线ME上，
∴当点A与点E重合时，AM有最大值，
∴y＝EN+EB＝9，
∴EB＝3，EN＝6，
∵四边形ABCD是菱形，∠NMF＝60°，
∴EF＝EN＝6，∠FEN＝60°，∠NEM＝30°，点F与点N关于EM对称，
∴△EFN是等边三角形，
∵y＝AN+AB＝AF+AB＝BF，
∴当点A，点F，点B共线时，y有最小值，
此时，n＝BF＝EF•sin∠FEB＝6×＝3，EA＝＝＝2，
∴m＝AM＝2×EN×cos∠NEM﹣AE＝2×6×＝6﹣2＝4，
∴m+n＝7，
故答案为7．
三、解答题（共9题86分）
17．（8分）计算：（）﹣1﹣（﹣3）0﹣|3﹣π|+（﹣12）．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣1﹣（π﹣3）+（﹣1）
＝3﹣π+3﹣1
＝5﹣π．
18．（8分）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．
【分析】（1）根据已知条件，用HL公理证：Rt△ABC≌Rt△DCB；
（2）利用Rt△ABC≌Rt△DCB的对应角相等，即可证明△OBC是等腰三角形．
【解答】证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°
AC＝BD，BC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC是等腰三角形，
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形．
19．（8分）小王随机调查了某社区40位老人每周参加户外体育锻炼活动的时间情况，根据调查统计结果绘制了频数分布直方图，根据图中信息回答下列问题：
（1）求a的值；
（2）从时间在6～10小时的几位老人中随机选取2人，请你用列举法或画树状图法，求其中至少有1人户外体育锻炼活动的时间在8～10小时的概率．
【分析】（1）由题意易求出a的值；
（2）画树状图，共有30个等可能的结果，至少有1人户外活动时间在8～10小时的有18种可能，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）a＝40﹣14﹣20﹣4＝2（人）；
（2）设锻炼6～8小时的老人分别为A，B，C，D，设锻炼8～10小时的老人分别为M，N，
画树状图如图：
共有30个等可能的结果，至少有1人户外活动时间在8～10小时的有18种可能，
∴P（至少1人时间在8～10小时）＝＝．
20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22＝10，求m的值．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：△＝（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）
＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2＝2m﹣2，x1x2＝m2﹣2m，
∴+＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝10，
∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）＝10，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m＝﹣1或m＝3
21．（10分）如图，直线y＝kx+b的图象与双曲线y＝的图象交于A（1，3），B（﹣3，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
【分析】（1）根据A（1，3），可得m的值，进而得到n的值，再根据待定系数法，即可得出一次函数解析式；
（2）根据图象即可求得；
（3）求得直线与y轴的交点C，然后根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC求得即可．
【解答】解：（1）∵A（1，3）在反比例函数的图象上，
∴m＝1×3＝3，
∴反比例函数解析式为，
∵B（﹣3，n）在反比例函数上，
∴n＝﹣1，
∴B的坐标（﹣3，﹣1），
把A（1，3），B（﹣3，﹣1）代入y＝kx+b，得，
∴一次函数的解析式为y＝x+2；
（2）由图像上交点坐标知：当x＜﹣3或0＜x＜1时，一次函数的值小于反比例函数的值；
（3）由y＝x+2可知直线和y轴交点为C（0，2），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C、D在圆上，且AC＝DC，过C点的切线CE和DB的延长线交于E点，⊙O的半径r＝5，CD＝8．
（1）求证：BC平分∠ABE；
（2）求证：CE⊥DE；
（3）求DE的长．
【分析】（1）由∠CDA＝∠CBA，∠EBC＝∠CAD即可得出∠EBC＝∠CBA；
（2）需证出∠EBC+∠ECB＝90°，而由（1）知∠EBC＝∠CBA，由CE是切线可证得∠ECB＝∠CAB，即可解决问题；
（3）通过Rt△EDC和Rt△CAB相似即可．
【解答】解：（1）证明：∵∠EBC为圆内接四边形ACBD的外角，
∴∠EBC＝∠CAD，
∵AC＝DC，
∴∠CAD＝∠CDA，
又∵∠CDA＝∠CBA，
∴∠EBC＝∠CBA，
∴BC平分∠ABE，
（2）证明：连接OC，
∵EC为⊙O的切线，
∴EC⊥OC，
∴∠ECB+∠BCO＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
由（1）∠EBC＝∠CBA，
得∠EBC＝∠BCO，
∴∠ECB+∠EBC＝90°，
∴∠E＝90°，
∴CE⊥DE，
（3）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°
∵r＝5，
∴AB＝10，
∵CD＝8，
∴AC＝CD＝8，
在Rt△EDC和Rt△CAB中，∠EDC＝∠CAB，
∴Rt△EDC～Rt△CAB，
∴，
∴，
∴DE＝6.4．
23．（10分）本次初三模拟考试后，学校决定购买两种笔记本对模拟考试中成绩优异、进步显著的同学进行奖励，计划购买甲、乙两种型号的笔记本共60本，已知甲型笔记本的单价为15元/本，而购买乙型笔记本所需总费用y（元）与购买数量x（本）之间存在如图所示的函数关系式．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若计划购买乙种笔记本的数量不超过40本，但不少于总数的五分之一，请设计购买方案，使购买总费用最低，并求出最低费用．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得y与x的函数关系式；
（2）根据（1）中的函数关系式和题意，可以求得费用的最小值和所对应的的购买方案．
【解答】解：（1）当0≤x≤20时，设y与x的函数关系式为y＝k1x，
20k1＝160，
解得，k1＝8，
即当0≤x≤20时，y与x的函数关系式为y＝8x，
当x＞20时，设y与x的函数关系式是y＝k2x+b，
∵它经过点（20，160）和（40，280），
∴，
∴，
即当x＞20时，y与x的函数关系式为y＝6x+40，
综上可知：y与x的函数关系式为y＝；
（2）设购买乙种笔记本x本，
∵乙种笔记本的数最不超过40本，但不少于总数的五分之一，
则 ，解得：12≤x≤40，
设总费用为W元，
①当12≤x≤20时，
W＝15（60﹣x）+8x＝﹣7x+900，
由k＝﹣7＜0可知，W随x的增大而减小，
当x最大＝20时，W最小＝760；
②当20＜x≤40时，
W＝15（60﹣x）+（6x+40）＝﹣9x+940，
由k＝﹣9＜0可知，W随x的增大而减小，
x最大＝40时，W最小＝580；
综上，x＝40时，W取得最小值，此时W＝580，60﹣x＝20，
答：当购买甲型笔记本20个，乙型笔记本40个时总费用最低，最低费用是580元．
24．（10分）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AB，点E、F分别是OA、BC的中点，连接BE、EF．
（1）求证：EF＝BC；
（2）在上述条件下，若AC＝BD，G是BD上一点，且BG：GD＝3：1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）根据平行四边形性质推出BD＝2BO，推出AB＝BO，根据三线合一定理得出BE⊥AC，从而证得EF＝BC；
（2）根据矩形性质和已知求出G为OD中点，根据三角形中位线求出EG∥AD，EG＝BC，求出EG∥BC，EG＝BC，求出BF＝EG，BF∥EG，EG＝GF，得出平行四边形，根据菱形的判定推出即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD＝2BO，
∵BD＝2AB，
∴AB＝BO，
∵E为OA中点，
∴BE⊥AC，
∵F为BC中点，
∴EF＝BC；
（2）解：四边形EBFG是菱形，其理由是：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BG：GD＝3：1，OB＝OD，
∴G为OD中点，
而E是OA的中点，
∴EG＝AD＝BC，且EG∥AD，
∵F是BC的中点，而AD∥BC，
∴EG＝BF，EG∥BF，
∴EBFG是平行四边形，
连接CG，
∵G是OD的中点，
而CO＝AC＝BD＝AB＝CD，
∴CG⊥OD，而F是BC的中点，
∴GF＝BC＝BF，
∴平行四边形EBFG是菱形．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，OB＝6，顶点D（2，8），对称轴交x轴于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线的对称轴上一动点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，当⊙P与直线CD相切时，求P的坐标；
（3）动点M在对称轴上运动时，是否存在△DCM和△BQC相似？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）由顶点D（2，8）设顶点式，再将点B的坐标代入即可；
（2）设直线CD切⊙P于点E，连接PE、PA，作CF⊥DQ于点F，设P纵坐标为m，由△PED是等腰直角三角形用m的式子表示PE2，而PE＝PA可列方程即得答案；
（3）首先确定B、D是对应顶点，设点M的坐标为m，表示△DCM和△BQC的边长，再根据对应边成比例分别列方程即可．
【解答】解：（1）由顶点D（2，8）设 y＝a（x﹣2）2+8，
∵OB＝6，
∴B（6，0），代入得：a（0﹣2）2+8＝6，
解得 a＝﹣，
∴抛物线对应二次函数的表达式为：y＝﹣ （x﹣2）2+8＝﹣x2+2x+6，
（2）设直线CD切⊙P于点E，连接PE、PA，作CF⊥DQ于点F，如答图1：
在y＝﹣x2+2x+6中令x＝0得y＝6，令y＝0得x＝﹣2或6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），C（0，6），且D（2，8），对称轴x＝2，
设P（2，m），
∵直线CD切⊙P于点E，DQ是抛物线对称轴，
∴∠PED＝90°，∠PQA＝90°，
∵C（0，6），CF⊥DQ于点F，
∴F（2，6），
∴CF＝DF＝2，
∴△CFD为等腰直角三角形有∠FDC＝90°，
∴△PED也是等腰直角三角形，
而PD＝8﹣m，
∴＝，
∴PE、PA为⊙P半径，
∴PA2＝PE2＝（8﹣m）2，
由A（﹣2，0），Q（2，0）在Rt△PAQ中，PA2＝AQ2+PQ2，
得PA2＝（﹣2﹣2）2+m2＝16+m2，
∴＝16+m2，
解得m＝ 或 ，
∴P（2，）或（）为所求；
（3）存在点M，使得△DCM和△BQC相似，如答图2：
连接CM，设M（2，n），
∵D（2，8），
∴DM＝8﹣n，
由（2）知∠CDM＝45°，CD＝＝2，
∵C（0，6），B（6，0），
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠QBC＝45°，BC＝＝6，
∴∠CDM＝∠QBC，BQ＝6﹣2＝4，
①当△BQC∽△DCM时，，即，
解得 n＝2，
∴M（2，2），
②当△BQC∽△DMC时，，即，
解得n＝，
∴M（2，），
综上所述，点M的坐标为（2，2）或 （2，）．
2021年四川省南充市蓬安县中考数学模拟试卷（3月份）
一、单项选题（每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣2021的倒数是（ ）
A．2021 B． C．﹣2021 D．
2．（4分）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．a2+a3＝a5 C．（a3）2＝a5 D．a6÷a3＝a2
3．（4分）习近平总书记提出精准扶贫战略以来，各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加．2020年最后一批脱贫人口约5510000人，将数据5510000用科学记数法表示为（ ）
A．5.51×102 B．0.551×103 C．5.51×107 D．5.51×106
4．（4分）如图，l1∥l2，点O在直线l1上，且∠AOB＝90°，若∠2＝51°，则∠1的度数为（ ）
A．51° B．49° C．39° D．29°
5．（4分）将分别标有“精”“准”“扶”“贫”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，放回后；再随机摸出一球，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）在⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，若弦AB长16cm，将直线l向下平移4cm后就与⊙O相切，则⊙O的半径长为（ ）cm．
A．12 B．10 C．8 D．6
7．（4分）某农场开挖一条长480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么求x时所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝30°，过点A作AE⊥BC于点E，若现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，设AF与CD交于点G，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．（4分）设[m）表示大于m的最小整数，如[5.5）＝6，[﹣1.2）＝﹣1，则下列结论中正确的是（ ）
A．[2）﹣2＝0 B．若[m）﹣m＝0.5，则m＝0.5
C．[m）﹣m的最大值是1 D．[m）﹣m的最小值是0
10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列四个结论中：①a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③abc＞0；④5a﹣b+c＜0．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题4分，共计24分）
11．（4分）因式分解：x3﹣4xy2＝ ．
12．（4分）若x，y为实数，且满足|2x+1|+＝0，则x+y的值为 ．
13．（4分）一组数据1，2，m，4的方差为，则m的值为 ．
14．（4分）反比例函数的图象分布在第二、四象限内，则a的值为 ．
15．（4分）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2AB，E是AB上的一点，沿CE将△EBC上翻折，若B点恰好落在边AD上的F点，则AF＝ ．
16．（4分）如图，在菱形MNEF中，∠NMF＝60°，动点A在对角线ME上，点B是NE边的中点，设AM的长度为x，AN+AB＝y，变量y是变量x的函数，当变量x取最大值时，函数y有对应值为9．当变量x＝m时，函数y有对应最小值为n，则m+n的值为 ．
三、解答题（共9题86分）
17．（8分）计算：（）﹣1﹣（﹣3）0﹣|3﹣π|+（﹣12）．
18．（8分）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．
19．（8分）小王随机调查了某社区40位老人每周参加户外体育锻炼活动的时间情况，根据调查统计结果绘制了频数分布直方图，根据图中信息回答下列问题：
（1）求a的值；
（2）从时间在6～10小时的几位老人中随机选取2人，请你用列举法或画树状图法，求其中至少有1人户外体育锻炼活动的时间在8～10小时的概率．
20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22＝10，求m的值．
21．（10分）如图，直线y＝kx+b的图象与双曲线y＝的图象交于A（1，3），B（﹣3，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C、D在圆上，且AC＝DC，过C点的切线CE和DB的延长线交于E点，⊙O的半径r＝5，CD＝8．
（1）求证：BC平分∠ABE；
（2）求证：CE⊥DE；
（3）求DE的长．
23．（10分）本次初三模拟考试后，学校决定购买两种笔记本对模拟考试中成绩优异、进步显著的同学进行奖励，计划购买甲、乙两种型号的笔记本共60本，已知甲型笔记本的单价为15元/本，而购买乙型笔记本所需总费用y（元）与购买数量x（本）之间存在如图所示的函数关系式．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若计划购买乙种笔记本的数量不超过40本，但不少于总数的五分之一，请设计购买方案，使购买总费用最低，并求出最低费用．
24．（10分）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AB，点E、F分别是OA、BC的中点，连接BE、EF．
（1）求证：EF＝BC；
（2）在上述条件下，若AC＝BD，G是BD上一点，且BG：GD＝3：1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，OB＝6，顶点D（2，8），对称轴交x轴于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线的对称轴上一动点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，当⊙P与直线CD相切时，求P的坐标；
（3）动点M在对称轴上运动时，是否存在△DCM和△BQC相似？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
2021年四川省南充市蓬安县中考数学模拟试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、单项选题（每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣2021的倒数是（ ）
A．2021 B． C．﹣2021 D．
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：﹣2021的倒数是：﹣．
故选：D．
2．（4分）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．a2+a3＝a5 C．（a3）2＝a5 D．a6÷a3＝a2
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项正确；
B、a2+a3，无法合并，故此选项错误；
C、（a3）2＝a6，故此选项错误；
D、a6÷a3＝a3，故此选项错误．
故选：A．
3．（4分）习近平总书记提出精准扶贫战略以来，各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加．2020年最后一批脱贫人口约5510000人，将数据5510000用科学记数法表示为（ ）
A．5.51×102 B．0.551×103 C．5.51×107 D．5.51×106
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：5510000＝5.51×106．
故选：D．
4．（4分）如图，l1∥l2，点O在直线l1上，且∠AOB＝90°，若∠2＝51°，则∠1的度数为（ ）
A．51° B．49° C．39° D．29°
【分析】根据对顶角的性质得出∠OBA，再根据三角形内角和定理求出∠BAO，然后根据平行线的性质即可得出∠1的度数．
【解答】解：∵∠2＝51°，
∴∠OBA＝51°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BAO＝180°﹣51°﹣90°＝39°，
∵l1∥l2，
∴∠BAO＝∠1＝39°．
故选：C．
5．（4分）将分别标有“精”“准”“扶”“贫”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，放回后；再随机摸出一球，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有16个等可能的结果，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有16个等可能的结果，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的结果有2个，
∴两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率为＝，
故选：C．
6．（4分）在⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，若弦AB长16cm，将直线l向下平移4cm后就与⊙O相切，则⊙O的半径长为（ ）cm．
A．12 B．10 C．8 D．6
【分析】过点O作出OC⊥AB于点C，利用垂径定理求出BC＝8cm，设OB＝xcm，利用勾股定理求出半径长即可．
【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，
∵直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝16cm，
∴BC＝8cm，
设OB＝xcm，
∵将直线l向下平移4cm后就与⊙O相切，
∴OC＝（x﹣4）cm，
∵OC2+BC2＝OB2，
∴（x﹣4）2+82＝x2，
解得x＝10，
∴OB＝10（cm），
即⊙O的半径长为10cm．
故选：B．
7．（4分）某农场开挖一条长480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么求x时所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题的关键描述语是：“提前4天完成任务”；等量关系为：原计划用时﹣实际用时＝4．
【解答】解：原计划用时为：，实际用时为：．所列方程为：﹣＝4，故选：A．
8．（4分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝30°，过点A作AE⊥BC于点E，若现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，设AF与CD交于点G，则等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】先利用30°直角三角形的性质，求出BE，再根据折叠性质求得BF，从而得到CF长，最后根据△ADG∽△FCG即可得出DG与CG的比值．
【解答】解：在Rt△ABE中，∠B＝30°，AB＝2，
∴BE＝．
根据折叠性质可得BF＝2BE＝．
∴CF＝﹣2，
∵AD∥CF，
∴△ADG∽△FCG．
∴＝＝＝．
故选：D．
9．（4分）设[m）表示大于m的最小整数，如[5.5）＝6，[﹣1.2）＝﹣1，则下列结论中正确的是（ ）
A．[2）﹣2＝0 B．若[m）﹣m＝0.5，则m＝0.5
C．[m）﹣m的最大值是1 D．[m）﹣m的最小值是0
【分析】根据题意[m）表示大于m的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案．
【解答】解：A、[2）﹣2＝3﹣2＝1，故本选项不合题意；
B、若[m）﹣m＝0.5，则m不一定等于0.5，故本选项不合题意；
C、[m）﹣m的最大值是1，故本项符合题意；
D、[m）﹣m＞0，但是取不到0，故本选项不合题意；
故选：C．
10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列四个结论中：①a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③abc＞0；④5a﹣b+c＜0．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图示知，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0．故①错误；
②由图示知，当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0．故②错误；
③由图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
对称轴x＝﹣＜0，则b＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，
所以abc＞0．故③正确；
④由图示知，当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0．当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
所以10a﹣2b+2c＜0，即5a﹣b+c＜0，故④正确．
综上所述，正解的结论有：③④，共2个．
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共计24分）
11．（4分）因式分解：x3﹣4xy2＝ x（x+2y）（x﹣2y） ．
【分析】先提公因式x，再利用平方差公式继续分解因式．
【解答】解：x3﹣4xy2，
＝x（x2﹣4y2），
＝x（x+2y）（x﹣2y）．
12．（4分）若x，y为实数，且满足|2x+1|+＝0，则x+y的值为 ﹣5 ．
【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而得出答案．
【解答】解：∵|2x+1|+＝0，
∴2x+1＝0，9+2y＝0，
解得：x＝﹣，y＝﹣，
则x+y＝﹣﹣＝﹣5．
故答案为：﹣5．
13．（4分）一组数据1，2，m，4的方差为，则m的值为 1或 ．
【分析】先表述出这组数据的平均数为，再根据方差的定义得出×[（1﹣）2+（2﹣）2+（m﹣）2+（4﹣）2]＝，整理成一般式，再进一步求解即可．
【解答】解：∵1，2，m，4的平均数为＝，
∴这组数据的方差×[（1﹣）2+（2﹣）2+（m﹣）2+（4﹣）2]＝，
整理，得：3m2﹣14m+11＝0，
解得m＝1或m＝，
故答案为：1或．
14．（4分）反比例函数的图象分布在第二、四象限内，则a的值为 ﹣2 ．
【分析】根据反比例函数的图象和性质由反比例函数的图象分布在第二、四象限内，可得a+1＜0且a2﹣5＝﹣1，进而求出a的值．
【解答】解：因为反比例函数的图象分布在第二、四象限内，
所以a+1＜0且a2﹣5＝﹣1，
所以a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
15．（4分）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2AB，E是AB上的一点，沿CE将△EBC上翻折，若B点恰好落在边AD上的F点，则AF＝ ．
【分析】依据矩形的性质以及勾股定理，即可得到DF的长，进而得出AF的长．
【解答】解：∵AB＝2，BC＝2AB＝4，
∴CD＝2，CF＝4，
Rt△CDF中，DF＝＝＝，
又∵AD＝BC＝4，
∴AF＝AD﹣DF＝4﹣2，
故答案为：4﹣2．
16．（4分）如图，在菱形MNEF中，∠NMF＝60°，动点A在对角线ME上，点B是NE边的中点，设AM的长度为x，AN+AB＝y，变量y是变量x的函数，当变量x取最大值时，函数y有对应值为9．当变量x＝m时，函数y有对应最小值为n，则m+n的值为 ．
【分析】当点A与点E重合时，AM有最大值，可求EN＝6，当点A，点F，点B共线时，y有最小值，可求解．
【解答】解：如图，连接AF，FN，
∵点B是NE边的中点，
∴BN＝EB＝EN，
∵动点A在对角线ME上，
∴当点A与点E重合时，AM有最大值，
∴y＝EN+EB＝9，
∴EB＝3，EN＝6，
∵四边形ABCD是菱形，∠NMF＝60°，
∴EF＝EN＝6，∠FEN＝60°，∠NEM＝30°，点F与点N关于EM对称，
∴△EFN是等边三角形，
∵y＝AN+AB＝AF+AB＝BF，
∴当点A，点F，点B共线时，y有最小值，
此时，n＝BF＝EF•sin∠FEB＝6×＝3，EA＝＝＝2，
∴m＝AM＝2×EN×cos∠NEM﹣AE＝2×6×＝6﹣2＝4，
∴m+n＝7，
故答案为7．
三、解答题（共9题86分）
17．（8分）计算：（）﹣1﹣（﹣3）0﹣|3﹣π|+（﹣12）．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣1﹣（π﹣3）+（﹣1）
＝3﹣π+3﹣1
＝5﹣π．
18．（8分）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．
【分析】（1）根据已知条件，用HL公理证：Rt△ABC≌Rt△DCB；
（2）利用Rt△ABC≌Rt△DCB的对应角相等，即可证明△OBC是等腰三角形．
【解答】证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°
AC＝BD，BC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC是等腰三角形，
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形．
19．（8分）小王随机调查了某社区40位老人每周参加户外体育锻炼活动的时间情况，根据调查统计结果绘制了频数分布直方图，根据图中信息回答下列问题：
（1）求a的值；
（2）从时间在6～10小时的几位老人中随机选取2人，请你用列举法或画树状图法，求其中至少有1人户外体育锻炼活动的时间在8～10小时的概率．
【分析】（1）由题意易求出a的值；
（2）画树状图，共有30个等可能的结果，至少有1人户外活动时间在8～10小时的有18种可能，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）a＝40﹣14﹣20﹣4＝2（人）；
（2）设锻炼6～8小时的老人分别为A，B，C，D，设锻炼8～10小时的老人分别为M，N，
画树状图如图：
共有30个等可能的结果，至少有1人户外活动时间在8～10小时的有18种可能，
∴P（至少1人时间在8～10小时）＝＝．
20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22＝10，求m的值．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：△＝（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）
＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2＝2m﹣2，x1x2＝m2﹣2m，
∴+＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝10，
∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）＝10，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m＝﹣1或m＝3
21．（10分）如图，直线y＝kx+b的图象与双曲线y＝的图象交于A（1，3），B（﹣3，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
【分析】（1）根据A（1，3），可得m的值，进而得到n的值，再根据待定系数法，即可得出一次函数解析式；
（2）根据图象即可求得；
（3）求得直线与y轴的交点C，然后根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC求得即可．
【解答】解：（1）∵A（1，3）在反比例函数的图象上，
∴m＝1×3＝3，
∴反比例函数解析式为，
∵B（﹣3，n）在反比例函数上，
∴n＝﹣1，
∴B的坐标（﹣3，﹣1），
把A（1，3），B（﹣3，﹣1）代入y＝kx+b，得，
∴一次函数的解析式为y＝x+2；
（2）由图像上交点坐标知：当x＜﹣3或0＜x＜1时，一次函数的值小于反比例函数的值；
（3）由y＝x+2可知直线和y轴交点为C（0，2），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C、D在圆上，且AC＝DC，过C点的切线CE和DB的延长线交于E点，⊙O的半径r＝5，CD＝8．
（1）求证：BC平分∠ABE；
（2）求证：CE⊥DE；
（3）求DE的长．
【分析】（1）由∠CDA＝∠CBA，∠EBC＝∠CAD即可得出∠EBC＝∠CBA；
（2）需证出∠EBC+∠ECB＝90°，而由（1）知∠EBC＝∠CBA，由CE是切线可证得∠ECB＝∠CAB，即可解决问题；
（3）通过Rt△EDC和Rt△CAB相似即可．
【解答】解：（1）证明：∵∠EBC为圆内接四边形ACBD的外角，
∴∠EBC＝∠CAD，
∵AC＝DC，
∴∠CAD＝∠CDA，
又∵∠CDA＝∠CBA，
∴∠EBC＝∠CBA，
∴BC平分∠ABE，
（2）证明：连接OC，
∵EC为⊙O的切线，
∴EC⊥OC，
∴∠ECB+∠BCO＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
由（1）∠EBC＝∠CBA，
得∠EBC＝∠BCO，
∴∠ECB+∠EBC＝90°，
∴∠E＝90°，
∴CE⊥DE，
（3）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°
∵r＝5，
∴AB＝10，
∵CD＝8，
∴AC＝CD＝8，
在Rt△EDC和Rt△CAB中，∠EDC＝∠CAB，
∴Rt△EDC～Rt△CAB，
∴，
∴，
∴DE＝6.4．
23．（10分）本次初三模拟考试后，学校决定购买两种笔记本对模拟考试中成绩优异、进步显著的同学进行奖励，计划购买甲、乙两种型号的笔记本共60本，已知甲型笔记本的单价为15元/本，而购买乙型笔记本所需总费用y（元）与购买数量x（本）之间存在如图所示的函数关系式．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若计划购买乙种笔记本的数量不超过40本，但不少于总数的五分之一，请设计购买方案，使购买总费用最低，并求出最低费用．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得y与x的函数关系式；
（2）根据（1）中的函数关系式和题意，可以求得费用的最小值和所对应的的购买方案．
【解答】解：（1）当0≤x≤20时，设y与x的函数关系式为y＝k1x，
20k1＝160，
解得，k1＝8，
即当0≤x≤20时，y与x的函数关系式为y＝8x，
当x＞20时，设y与x的函数关系式是y＝k2x+b，
∵它经过点（20，160）和（40，280），
∴，
∴，
即当x＞20时，y与x的函数关系式为y＝6x+40，
综上可知：y与x的函数关系式为y＝；
（2）设购买乙种笔记本x本，
∵乙种笔记本的数最不超过40本，但不少于总数的五分之一，
则 ，解得：12≤x≤40，
设总费用为W元，
①当12≤x≤20时，
W＝15（60﹣x）+8x＝﹣7x+900，
由k＝﹣7＜0可知，W随x的增大而减小，
当x最大＝20时，W最小＝760；
②当20＜x≤40时，
W＝15（60﹣x）+（6x+40）＝﹣9x+940，
由k＝﹣9＜0可知，W随x的增大而减小，
x最大＝40时，W最小＝580；
综上，x＝40时，W取得最小值，此时W＝580，60﹣x＝20，
答：当购买甲型笔记本20个，乙型笔记本40个时总费用最低，最低费用是580元．
24．（10分）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AB，点E、F分别是OA、BC的中点，连接BE、EF．
（1）求证：EF＝BC；
（2）在上述条件下，若AC＝BD，G是BD上一点，且BG：GD＝3：1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）根据平行四边形性质推出BD＝2BO，推出AB＝BO，根据三线合一定理得出BE⊥AC，从而证得EF＝BC；
（2）根据矩形性质和已知求出G为OD中点，根据三角形中位线求出EG∥AD，EG＝BC，求出EG∥BC，EG＝BC，求出BF＝EG，BF∥EG，EG＝GF，得出平行四边形，根据菱形的判定推出即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD＝2BO，
∵BD＝2AB，
∴AB＝BO，
∵E为OA中点，
∴BE⊥AC，
∵F为BC中点，
∴EF＝BC；
（2）解：四边形EBFG是菱形，其理由是：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BG：GD＝3：1，OB＝OD，
∴G为OD中点，
而E是OA的中点，
∴EG＝AD＝BC，且EG∥AD，
∵F是BC的中点，而AD∥BC，
∴EG＝BF，EG∥BF，
∴EBFG是平行四边形，
连接CG，
∵G是OD的中点，
而CO＝AC＝BD＝AB＝CD，
∴CG⊥OD，而F是BC的中点，
∴GF＝BC＝BF，
∴平行四边形EBFG是菱形．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，OB＝6，顶点D（2，8），对称轴交x轴于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线的对称轴上一动点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，当⊙P与直线CD相切时，求P的坐标；
（3）动点M在对称轴上运动时，是否存在△DCM和△BQC相似？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）由顶点D（2，8）设顶点式，再将点B的坐标代入即可；
（2）设直线CD切⊙P于点E，连接PE、PA，作CF⊥DQ于点F，设P纵坐标为m，由△PED是等腰直角三角形用m的式子表示PE2，而PE＝PA可列方程即得答案；
（3）首先确定B、D是对应顶点，设点M的坐标为m，表示△DCM和△BQC的边长，再根据对应边成比例分别列方程即可．
【解答】解：（1）由顶点D（2，8）设 y＝a（x﹣2）2+8，
∵OB＝6，
∴B（6，0），代入得：a（0﹣2）2+8＝6，
解得 a＝﹣，
∴抛物线对应二次函数的表达式为：y＝﹣ （x﹣2）2+8＝﹣x2+2x+6，
（2）设直线CD切⊙P于点E，连接PE、PA，作CF⊥DQ于点F，如答图1：
在y＝﹣x2+2x+6中令x＝0得y＝6，令y＝0得x＝﹣2或6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），C（0，6），且D（2，8），对称轴x＝2，
设P（2，m），
∵直线CD切⊙P于点E，DQ是抛物线对称轴，
∴∠PED＝90°，∠PQA＝90°，
∵C（0，6），CF⊥DQ于点F，
∴F（2，6），
∴CF＝DF＝2，
∴△CFD为等腰直角三角形有∠FDC＝90°，
∴△PED也是等腰直角三角形，
而PD＝8﹣m，
∴＝，
∴PE、PA为⊙P半径，
∴PA2＝PE2＝（8﹣m）2，
由A（﹣2，0），Q（2，0）在Rt△PAQ中，PA2＝AQ2+PQ2，
得PA2＝（﹣2﹣2）2+m2＝16+m2，
∴＝16+m2，
解得m＝ 或 ，
∴P（2，）或（）为所求；
（3）存在点M，使得△DCM和△BQC相似，如答图2：
连接CM，设M（2，n），
∵D（2，8），
∴DM＝8﹣n，
由（2）知∠CDM＝45°，CD＝＝2，
∵C（0，6），B（6，0），
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠QBC＝45°，BC＝＝6，
∴∠CDM＝∠QBC，BQ＝6﹣2＝4，
①当△BQC∽△DCM时，，即，
解得 n＝2，
∴M（2，2），
②当△BQC∽△DMC时，，即，
解得n＝，
∴M（2，），
综上所述，点M的坐标为（2，2）或 （2，）．
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