2021年天津市津南区东部学区中考数学联考试卷

这是一份2021年天津市津南区东部学区中考数学联考试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）cs30°的值是（ ）
A．1B．C．D．
2．（3分）下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A．正方形与矩形B．正方形与菱形
C．菱形与菱形D．正五边形与正五边形
3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sinB的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
5．（3分）△ABC与△DEF的相似比为1：3，则△ABC和△DEF的面积比为（ ）
A．1：B．：1C．9：1D．1：9
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3AD，DE∥BC，EF∥AB，若AB＝9，DE＝2，则线段FC的长度是（ ）
A．6B．5C．4D．3
7．（3分）△ABC中，若∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则AB的值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
8．（3分）如图，AC是旗杆AB的一根拉线，测得BC＝6米，∠ACB＝50°，则拉线AC的长为（ ）
A．米B．6•cs50°米C．米D．米
9．（3分）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则csB的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα＝，则tanα＝（ ）
A．B．C．D．
11．（3分）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）
A．15B．20C．25D．30
12．（3分）如图所示，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O．若S△DOE：S△COA＝4：25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ）
A．1：2B．1：3C．2：3 D．2：5
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13．（3分）如图，在△ABC中，若DE∥BC，＝，DE＝4，则BC的长是 ．
14．（3分）如果两个相似三角形的周长的比等于1：3，那么它们对应高的比为 ．
15．（3分）已知△ABC的三个顶点坐标为A（5，0）、B（6，4）、C（3，0），将△ABC以坐标原点O为位似中心，以位似比2：1进行缩小，则缩小后的点B所对应的点的坐标为 ．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝2，则CD的长为 ．
17．（3分）如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为 米．
18．（3分）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°，BD＝3，CE＝2，则AB的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（8分）计算下列各式的值：
（1）sin45°cs60°﹣cs45°．
（2）cs245°+tan60°cs30°．
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝，解这个直角三角形．
21．（8分）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点为D，若测得BD＝180m，DC＝60m，EC＝50m，你能知道小河的宽是多少吗？
22．（8分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，D是BC上一点，BD＝5，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．
23．（8分）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且＝．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．
24．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，以AC为边作△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE，延长BC至点D，使CD＝5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．
25．（8分）如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．求AC和AB的长（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin34°≈0.56；cs34°≈0.83；tan34°≈0.67）
26．（10分）小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB＝63m，∠A＝45°，∠B＝37°，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）
参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．
2021年天津市津南区东部学区中考数学联考试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1．（3分）cs30°的值是（ ）
A．1B．C．D．
【分析】根据我们熟练记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案．
【解答】解：cs30°＝．
故选：B．
2．（3分）下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A．正方形与矩形B．正方形与菱形
C．菱形与菱形D．正五边形与正五边形
【分析】根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
【解答】解：A、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
C、菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意；
D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意．
故选：D．
3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sinB的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先利用勾股定理计算出AB，然后根据正弦的定义求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，
∴AB＝＝5，
∴sinB＝＝．
故选：B．
4．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，A错误；
＝，B错误；
＝，
∴＝，C正确；
＝，D错误，
故选：C．
5．（3分）△ABC与△DEF的相似比为1：3，则△ABC和△DEF的面积比为（ ）
A．1：B．：1C．9：1D．1：9
【分析】由相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的面积比．
【解答】解：∵相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：9．
故选：D．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3AD，DE∥BC，EF∥AB，若AB＝9，DE＝2，则线段FC的长度是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例及平行四边形的判定和性质解则可．
【解答】解：∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴AD：AB＝DE：BC
∴1：3＝2：BC
∴BC＝6
∵DE∥BC，EF∥AB
∴四边形BDEF为平行四边形
∴BF＝DE＝2
∴FC＝BC﹣BF＝6﹣2＝4
故选：C．
7．（3分）△ABC中，若∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则AB的值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：∵BC＝2，sinA＝＝，
∴＝，
∴AB＝6，
故选：C．
8．（3分）如图，AC是旗杆AB的一根拉线，测得BC＝6米，∠ACB＝50°，则拉线AC的长为（ ）
A．米B．6•cs50°米C．米D．米
【分析】在Rt△ABC中，利用∠ACB＝50°的余弦函数解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，
＝cs50°，
∵BC＝6米，
∴AC＝，
故选：D．
9．（3分）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则csB的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先设小正方形的边长为1，然后找个与∠B有关的Rt△ABD，算出AB的长，再求出BD的长，即可求出余弦值．
【解答】解：设小正方形的边长为1，则AB＝4，BD＝4，
∴cs∠B＝＝．
故选：B．
10．（3分）如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα＝，则tanα＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】先由sinα＝＝求得PQ＝4，OP＝5，再根据正切函数的定义求解可得．
【解答】解：如图，
由sinα＝＝可设PQ＝4a，OP＝5a，
∵OQ＝3，
∴由OQ2+PQ2＝OP2可得32+（4a）2＝（5a）2，
解得：a＝1（负值舍去），
∴PQ＝4，OP＝5，
则tanα＝＝，
故选：C．
11．（3分）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）
A．15B．20C．25D．30
【分析】设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，易证四边形EHDN是矩形，则DN＝x，根据正方形的性质得出EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可得解．
【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60﹣x，
∴＝，
解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．
故选：B．
12．（3分）如图所示，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O．若S△DOE：S△COA＝4：25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ）
A．1：2B．1：3C．2：3 D．2：5
【分析】利用相似三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DEO∽△CAO，
∵S△DOE：S△COA＝4：25，
∴（）2＝，
∴＝，
∵DE∥AC，
∴＝＝，
∴＝，
∴S△BDE与S△CDE的比＝2：3，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13．（3分）如图，在△ABC中，若DE∥BC，＝，DE＝4，则BC的长是 10 ．
【分析】因为DE∥BC，可利用平行线分线段成比例定理求出BC的长．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
又∵＝，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝10cm．
故答案为：10cm．
14．（3分）如果两个相似三角形的周长的比等于1：3，那么它们对应高的比为 1：3 ．
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比，再根据对应高线的比等于相似比可得到答案．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为1：3，
∴两个相似三角形的相似比为1：3，
∴对应高线的比为：1：3，
故答案为：1：3．
15．（3分）已知△ABC的三个顶点坐标为A（5，0）、B（6，4）、C（3，0），将△ABC以坐标原点O为位似中心，以位似比2：1进行缩小，则缩小后的点B所对应的点的坐标为 （3，2）或（﹣3，﹣2） ．
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k解答．
【解答】解：∵点B的坐标为（6，4），以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为2：1，
∴点B的对应点的坐标为（3，2）或（﹣3，﹣2），
故答案为：（3，2）或（﹣3，﹣2）．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝2，则CD的长为 2 ．
【分析】根据射影定理列式计算即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝2，
∴CD2＝AD•BD＝2×4＝8，
∴CD＝2，
故答案为：2．
17．（3分）如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为 9 米．
【分析】根据CD∥AB，得出△ECD∽△EBA，进而得出比例式求出即可．
【解答】解：由题意知，CE＝2米，CD＝1.8米，BC＝8米，CD∥AB，
则BE＝BC+CE＝10米，
∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EBA
∴＝，即＝，
解得AB＝9（米），
即路灯的高AB为9米；
故答案为：9．
18．（3分）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°，BD＝3，CE＝2，则AB的长为 9 ．
【分析】由∠ADE＝60°，可证得△ABD∽△DCE；可用等边三角形的边长表示出DC的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC；
∴CD＝BC﹣BD＝AB﹣3；
∴∠BAD+∠ADB＝120°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠EDC＝120°，
∴∠DAB＝∠EDC，
又∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABD∽△DCE；
∴，
即 ，
解得AB＝9．
故答案为：9．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（8分）计算下列各式的值：
（1）sin45°cs60°﹣cs45°．
（2）cs245°+tan60°cs30°．
【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．
【解答】解：（1）sin45°cs60°﹣cs45°＝×﹣＝﹣；
（2）cs245°+tan60°cs30°＝（）2+×＝+＝2．
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝，解这个直角三角形．
【分析】先求∠A，利用直角三角形的边角间关系再求另一直角边和斜边．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°．
∵sinA＝，tanA＝，
即＝，＝，
∴AB＝，AC＝．
21．（8分）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点为D，若测得BD＝180m，DC＝60m，EC＝50m，你能知道小河的宽是多少吗？
【分析】先证明△ABD∽△ECD，利用对应边成比例可求出AB的长度．
【解答】解：由已知得，∠ABD＝∠DCE＝90°，∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD∽△ECD，
∴＝，
将BD＝180m，DC＝60m，EC＝50m，代入可得：＝，
解得：AB＝150．
答：小河的宽是150m．
22．（8分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，D是BC上一点，BD＝5，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．
【分析】由垂直的定义得到∠DEB＝90°，证明△BED∽△BCA，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠C＝∠DEB，
∵∠B＝∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴，
即，
∴DE＝3．
23．（8分）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且＝．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．
【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；
（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A＝∠BCD，然后由∠A+∠ACD＝90°，可得：∠BCD+∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°．
【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵＝．
∴△ACD∽△CBD；
（2）解：∵△ACD∽△CBD，
∴∠A＝∠BCD，
在△ACD中，∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，
即∠ACB＝90°．
24．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，以AC为边作△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE，延长BC至点D，使CD＝5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．
【分析】先利用勾股定理计算出AC＝2，则CE＝2，所以＝，再证明∠BAC＝∠DCE．然后根据相似三角形的判定方法可判断△ABC∽△CED．
【解答】证明：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，
∴AC＝＝2，
∵CE＝AC，
∴CE＝2，
∵CD＝5，
∵＝＝，＝，
∴＝，
∵∠B＝90°，∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，∠BCA+∠DCE＝90°．
∴∠BAC＝∠DCE．
∴△ABC∽△CED．
25．（8分）如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．求AC和AB的长（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin34°≈0.56；cs34°≈0.83；tan34°≈0.67）
【分析】在Rt△AOC中，求出AC、OA、OC，在Rt△BOC中求出OB，即可解决问题．
【解答】解：由题意可得：∠AOC＝90°，OC＝5km．
在Rt△AOC中，
∵AC＝，
∴AC＝≈6.0km，
∵tan34°＝，
∴OA＝OC•tan34°＝5×0.67＝3.35km，
在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，
∴OB＝OC＝5km，
∴AB＝5﹣3.35＝1.65≈1.7km．
答：AC的长为6.0km，AB的长为1.7km．
26．（10分）小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB＝63m，∠A＝45°，∠B＝37°，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）
参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．
【分析】根据锐角三角函数，可用CD表示AD，BD，AC，BC，根据线段的和差，可得关于CD的方程，根据解方程，可得CD的长，根据AC＝CD，CB＝，可得答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB垂足为D，
在Rt△ACD中，tanA＝tan45°＝＝1，CD＝AD，
sinA＝sin45°＝＝，AC＝CD．
在Rt△BCD中，tanB＝tan37°＝≈0.75，BD＝；
sinB＝sin37°＝≈0.60，CB＝．
∵AD+BD＝AB＝63，
∴CD+＝63，
解得CD≈27，
AC＝CD≈1.414×27＝38.178≈38.2，
CB＝≈＝45.0，
答：AC的长约为38.2m，CB的长约等于45.0m．