2021年中考数学三轮冲刺《折叠问题》解答题冲刺练习(含答案)

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如图,四边形ABCD是矩形,把△ACD沿AC折叠到△ACD′,AD′与BC交于点E,若AD=4,DC=3,求BE的长．
如图①，将矩形ABCD沿DE折叠使点A落在点A′处，然后将矩形展平，如图②沿EF折叠使点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处.
(1)求证：EG=CH；
(2)已知AF= SKIPIF 1 < 0 ，求AD和AB的长.
如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8.将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处.
(1)求EF的长；
(2)求四边形ABCE的面积.
阅读材料,在平面直角坐标系中,已知x轴上两点A（x1，0），B（x2，0）的距离记作AB=|x1﹣x2|；若A,B是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间的距离,如图,过A，B分别向x轴、y轴作垂线AM1、AN1和BM2、BN2，垂足分别是M1、N1、M2、N2，直线AN1交BM2于点Q，在Rt△ABQ中，AQ=|x1﹣x2|，BQ=|y1﹣y2|,∴AB2=AQ2+BQ2=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|2=(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2，由此得到平面直角坐标系内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式为：
（1）AB= ．
（2）直接应用平面内两点间距离公式计算点A（1,﹣3），B（﹣2,1）之间的距离为 ；
（3）根据阅读材料并利用平面内两点间的距离公式，求代数式+的最小值．
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF=90°．
求证：BF=AE．
（2）如图2，正方形ABCD边长为12，将正方形沿MN折叠，使点A落在DC边上的点E处，且DE=5，求折痕MN的长．
（3）已知点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4．直接写出下列两题的答案：
①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH= ；
②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH= ．（用n的代数式表示）
实验探究：
(1)如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图①，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论.
(2)将图①中的三角形纸片BMN剪下，如图②，折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系，写出折叠方案，并结合方案证明你的结论.
如图①，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，将矩形沿OB折叠，点A落在点D处，OD交CB于点E，点B的坐标（8，4）．
（1）求S△OEB；
（2）求点D的坐标；
（3）如图②，点Q在边OA上，OQ=5，点P是边CB上一个动点，其他条件不变，若△OQP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形.
（1）将▱ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，
则操作形成的折痕分别是线段 ， ；S矩形AEFG：S▱ABCD= .
（2）平行四边形ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，
若EF=5，EH=12，求AD的长.
（3）如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10，
小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，
并求出AD、BC的长.
如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=20cm，E是AD的中点．动点P从A点出发，沿A﹣B﹣C路线以1cm/秒的速度运动，运动的时间为t秒．将△APE以EP为折痕折叠，点A的对应点记为M．
（1）如图（1），当点P在边AB上，且点M在边BC上时，求运动时间t；
（2）如图（2），当点P在边BC上，且点M也在边BC上时，求运动时间t；
（3）直接写出点P在运动过程中线段BM长的最小值 ．
如图，已知矩形OABC在坐标系中，A(0，4)，C(6,0)，直线y=x与AB交于D点，E为BC上一点.
（1）如图1，若△OCE沿OE翻折，当C恰好与D点重合时，求此时E点坐标；
（2）如图2，若△OCE与BDE相似，求E点坐标；
（3）如图,3，已知线段GH开始时在矩形OABC内壁与BC重合(不考虑厚度)，M为GH中点，将线段GH沿矩形内壁滑动，G在BC上滑动，H在CO上滑动，线段GH长度始终保持不变，当G与C点重合时，停止运动.在滑动的过程中，当DM长度最小值时，求此时M点坐标.

\s 0 参考答案
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=DC=3，BC=AD=4，AD∥BC，∠B=90°，
∵△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，
∴∠DAC=∠D′AC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠D′AC=∠ACB，
∴AE=EC，
设BE=x，则EC=4﹣x，AE=4﹣x，
在Rt△ABE中，∵AB2+BE2=AE2，
∴32+x2=（4﹣x）2，解得x=，
即BE的长为．
解：(1)证明：由折叠知△AEF≌△GEF，△BCE≌△HCE，
∵AE=A′E=BC，∠AEF=∠BCE，∴△AEF≌△BCE，
∴△GEF≌△HCE，∴EG=CH；
(2)∵AF=FG= SKIPIF 1 < 0 ，∠FDG=45°，∴FD=2，AD=2＋ SKIPIF 1 < 0 ；
∵AF=FG=HE=EB= SKIPIF 1 < 0 ，AE=AD=2＋ SKIPIF 1 < 0 ，
∴AB=AE＋EB=2＋ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 =2＋2 SKIPIF 1 < 0 .
解：(1)设EF=x依题意知：△CDE≌△CFE，
∴DE=EF=x，CF=CD=6.
∵在Rt△ACD中，AC==10，
∴AF=AC﹣CF=4，AE=AD﹣DE=8﹣x.
在Rt△AEF中，有AE2=AF2+EF2
即(8﹣x)2=42+x2
解得x=3，即：EF=3.
(2)由(1)知：AE=8﹣3=5，
∴S梯形ABCE==(5+8)×6÷2=39.
【解答】解：（1）∵AB2=AQ2+BQ2=|x1﹣x2|2+|y1﹣y2|2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，
∴AB=．故答案为．
（2）∵A（1，﹣3），B（﹣2，1），∴AB==5．故答案为5．
（3）代数式+的最小值表示在x轴上找一点P（x，0），到A（0，2），B（3，1）的距离之和最小．如图，
作A关于x轴的对称点A′，连接BA′与x轴的交点即为所求的点P．此时PA+PB最小，
∵A′（0，﹣2），B（3，1），∴PA+PB=PA′+PB=BA′==3．
∴代数式+的最小值为3．
、综合题
（1）证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EAB+∠AEB=90°．
∵∠EOB=∠AOF=90°，∴∠FBC+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠FBC，
在△ABE和△BCF中，∠EAB=∠FBC,AB=BC,∠ABC=∠C，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；
（2）解：如图2，连接AE，过点N作NH⊥AD于H，由折叠的性质得，AE⊥NM，
∴∠DAE+∠AMN=90°，∠MNH+∠AMN=90°，∴∠DAE=∠MNH，
在△ADE和△NHM中，∠DAE=∠MNH,AD=NH,∠MHN=∠D，
∴△ADE≌△NHM（ASA），∴AE=MN，∵DE=5，∴由勾股定理得，AE=13，∴MN=13；
（3）解：如图3、4，过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N，
∵∠FOH=90°，∴∠MFE=∠NAH，又∵∠EMF=∠HNG=90°，∴△EFM∽△HNG，
∴GH:EF=GN:FM，图3，GN=2FM，∴GH=2EF=2×4=8，
图4，GN=nFM，∴GH=nEF=4n．故答案为：8，4n．
解：(1)猜想：∠MBN=30°.证明：如答图①，连结AN，
∵直线EF是AB的垂直平分线，∴NA=NB，由折叠可知BN=AB，
∴AB=BN=AN，∴△ABN是等边三角形，∴∠ABN=60°，∴∠MBN=∠ABM= SKIPIF 1 < 0 ∠ABN=30°.
(2)结论：MN= SKIPIF 1 < 0 BM.
折纸方案：如答图②，折叠△BMN，使得点N落在BM上O处，折痕为MP，连结OP.
证明：由折叠可知△MOP≌△MNP，
∴MN=OM，∠OMP=∠NMP= SKIPIF 1 < 0 ∠OMN=30°=∠B，∠MOP=∠MNP=90°，∴∠BOP=∠MOP=90°，
∵OP=OP，∴△MOP≌△BOP，∴MO=BO= SKIPIF 1 < 0 BM，∴MN= SKIPIF 1 < 0 BM.
解：（1）由翻转变换的性质可知，∠DOB=∠AOB，
∵BC∥OA，
∴∠CBO=∠AOB，
∴∠DOB=∠CBO，
∴OE=BE，
设BE=x，则CE=8﹣x，OE=BE=x，
∵42+（8﹣x）2=x2，
∴x=5，即BE=5，
S△OEB==；
（2）如图（1），作DG⊥OA于G，交CB于F，则DF⊥CB，
∵OE=BE=5，∴CE=DE=3，
由勾股定理得，DB=4，
×DE×DB=×BE×DF，解得，DF=，
由勾股定理得EF=，则CF=3+=，，
∴点D的坐标为（，）；
（3）当OP=OQ时，CP==3，则点P的坐标为（3，4），
当PO=PQ时，作PH⊥OA于H，则OH=OQ=2.5，
∴点P的坐标为（2.5，4），
当QO=QP时，点P的坐标为（2，4）或（8，4），
∴△OQP是等腰三角形，点P的坐标为（3，4），（2.5，4）（2，4），（8，4）．
解：（1）根据题意得：操作形成的折痕分别是线段AE、GF；
由折叠的性质得：△ABE≌△AHE，四边形AHFG≌四边形DCFG，
∴△ABE的面积=△AHE的面积，四边形AHFG的面积=四边形DCFG的面积，
∴S矩形AEFG=S▱ABCD，∴S矩形AEFG：S▱ABCD=1：2；故答案为：AE，GF，1：2；
（2）∵四边形EFGH是矩形，EF=5，EH=12，∠FEH=90°，
∴FH===13，
由折叠的性质得：DH=NH，AH=HM，CF=FN，
∴CF=AH，
∴AD=DH+AH=HN+FN=FH=13；
（3）有以下两种基本折法：
①折法1中，如图4所示：
由折叠的性质得：AD=BG，AE=BE=AB=4，CF=DF=CD=5，GM=CM，∠FMC=90°，
∵四边形EFMB是叠合正方形，∴BM=FM=4，
∴GM=CM===3，
∴AD=BG=BM﹣GM=1，BC=BM+CM=7；
②折法2中，如图5所示：
由折叠的性质得：
四边形EMHG的面积=四边形ABCD的面积，
AE=BE=AB=4，DG=NG，NH=CH，BM=FM，MN=MC，
∴GH=CD=5，
∵四边形EMHG是叠合正方形，
∴EM=GH=5，正方形EMHG的面积=52=25，
∵∠B=90°，
∴FM=BM==3，
设AD=x，则MN=FM+FN=3+x，
∵梯形ABCD的面积=（AD+BC）×8=2×25，
∴AD+BC=，∴BC=﹣x，∴MC=BC﹣BM=﹣x﹣3，
∵MN=MC，∴3+x=﹣x﹣3，解得：x=，
∴AD=，BC=﹣=.
解：（1）如图1，作EF⊥BC于F，
AP=t，则PB=8﹣t，PM=t，EF=AB=8，
∵∠B=∠PME=∠EFM=90°，
∴△PBM∽△MFE，
∴=，BM=t，
在Rt△PBM中，PB2+BM2=PM2，
（8﹣t）2+（t）2=t2，解得：t=5；
（2）由题意可知，∠APE=∠MPE，∠AEP=∠MEP，
∵BC∥AD，
∴∠MPE=∠AEP，
∴四边形APME为菱形，
∴AP=AE=10，
在Rt△ABP中，AB2+BP2=PA2，
即82+（t﹣8）2=102，解得：t1=2（不合题意），t2=14；
（3）如图2，当点M在线段BE上时，BM最小，
∵AB=8，AE=10，
由勾股定理，BE=2，BM=2﹣10．
解：（1）E(6，2.5);（2）E(6,3)；(3)M（）.