人教B版 (2019)必修 第四册11.2 平面的基本事实与推论随堂练习题

这是一份人教B版 (2019)必修 第四册11.2 平面的基本事实与推论随堂练习题，共13页。试卷主要包含了下列叙述中错误的是等内容，欢迎下载使用。

A.若点P∈α,P∈β且α∩β=l,则P∈l
B.空间中任意三点A,B,C能确定一个平面
C.若直线a∩b=A,则直线a与b能够确定一个平面
D.若点A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,则l⊂α
2.如果两个不重合平面有一个公共点,那么这两个平面( )
A.没有其他公共点 B.仅有这一个公共点
C.仅有两个公共点D.有无数个公共点
3.如图,四棱锥P-ABCD,AC∩BD=O,M是PC的中点,直线AM交平面PBD于点N,则下列结论正确的是( )
A.O,N,P,M四点不共面 B.O,N,M,D四点共面
C.O,N,M三点共线D.P,N,O三点共线
4.设平面α与平面β相交于l,直线a⊂α,直线b⊂β,a∩b=M,则M l.
5.已知平面α∩平面β=l,点M∈α,N∈α,P∈β,P∉l,且MN∩l=R,过M,N,P三点所确定的平面记为γ,则β∩γ= .
6.如图所示,AB∩α=P,CD∩α=P,点A,D与点B,C分别在平面α的两侧,AC∩α=Q,BD∩α=R.求证:P,Q,R三点共线.
能力提升
1.空间四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中( )
A.必有三点共线B.必有三点不共线
C.至少有三点共线D.不可能有三点共线
2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是( )
A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1不共面
C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面
3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别为棱A1B1,BB1的中点,则D1E与CF的延长线交于一点,此点在直线( )
A.AD上B.B1C1上
C.A1D1上D.BC上
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,F为AD的中点,E为棱D1D上的动点(不包括端点),过点B,E,F的平面截正方体所得的截面的形状不可能是( )
A.四边形 B.等腰梯形
C.五边形D.六边形
5.给出以下说法,其中正确的是( )
A.不共面的四点中,其中任意三点不共线
B.若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面
C.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面
D.过直线外一点和直线上三点的三条直线共面
6.已知A,B表示不同的点,l表示直线,α,β表示不同的平面,则下列推理正确的是( )
A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α
B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=AB
C.l⊄α,A∈l⇒A∉α
D.A∈α,A∈l,l⊄α⇒l∩α=A
7.如图所示,A,B,C,D为不共面的四点,E,F,G,H分别在线段AB,BC,CD,DA上.
(1)如果EH∩FG=P,那么点P在直线 上;
(2)如果EF∩GH=Q,那么点Q在直线 上.
8.已知△ABC三个顶点到平面α的距离分别是3,3,6,则其重心到平面α的距离为 .(写出所有可能值)
9.如图所示,G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上一点,E,F是棱AB,BC的中点.试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线.
(1)过点G及AC.
(2)过三点E,F,D1.
10.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,体对角线A1C和平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证:C1,O,M三点共线.
参考答案
1.下列叙述中错误的是( )
A.若点P∈α,P∈β且α∩β=l,则P∈l
B.空间中任意三点A,B,C能确定一个平面
C.若直线a∩b=A,则直线a与b能够确定一个平面
D.若点A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,则l⊂α
分析：选B.选项A:由平面的基本事实3知:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,所以选项A正确;选项B:由平面的基本事实1知,经过不在一条直线上的3个点,有且只有一个平面,即当三点A,B,C不共线时,能确定一个平面,所以选项B错误;选项C:由平面的推论2知,两条相交直线,确定一个平面,所以选项C正确;选项D:由平面的基本事实2知,如果一条直线上的两点在一个平面内,则这条直线在此平面内,所以选项D正确.
2.如果两个不重合平面有一个公共点,那么这两个平面( )
A.没有其他公共点 B.仅有这一个公共点
C.仅有两个公共点D.有无数个公共点
分析：选D.由基本事实3可知,两个不重合平面有一个公共点,它们有且只有一条过该公共点的公共直线,则有无数个公共点.
3.如图,四棱锥P-ABCD,AC∩BD=O,M是PC的中点,直线AM交平面PBD于点N,则下列结论正确的是( )
A.O,N,P,M四点不共面 B.O,N,M,D四点共面
C.O,N,M三点共线D.P,N,O三点共线
分析：选D.直线AC与直线PO交于点O,所以平面PCA与平面PBD交于点O,所以必相交于直线PO,直线AM在平面PAC内,点N∈AM,故N∈平面PAC,故O,N,P,M四点共面,所以A错.若点D与O,M,N共面,则直线BD在平面PAC内,与题目矛盾,故B错.O,M分别为AC,PC中点,所以OM∥PA,ON∩PA=P,故ON∩OM=O,故C错.
4.设平面α与平面β相交于l,直线a⊂α,直线b⊂β,a∩b=M,则M l.
分析：因为a∩b=M,a⊂α,b⊂β,所以M∈α,M∈β.
又因为α∩β=l,所以M∈l.
答案:∈
5.已知平面α∩平面β=l,点M∈α,N∈α,P∈β,P∉l,且MN∩l=R,过M,N,P三点所确定的平面记为γ,则β∩γ= .
分析：如图,MN⊂γ,R∈MN,所以R∈γ.又R∈l,所以R∈β.又P∈γ,P∈β,所以β∩γ=直线PR.
答案:直线PR
6.如图所示,AB∩α=P,CD∩α=P,点A,D与点B,C分别在平面α的两侧,AC∩α=Q,BD∩α=R.求证:P,Q,R三点共线.
【证明】因为AB∩α=P,CD∩α=P,所以AB∩CD=P,所以AB,CD可确定一个平面,设为β.
因为A∈AB,C∈CD,B∈AB,D∈CD,所以A∈β,C∈β,B∈β,D∈β,
所以AC⊂β,BD⊂β.因为AC∩α=Q,所以Q∈α,Q∈β.
同理,P∈α且P∈β,R∈α且R∈β.
所以P,Q,R在α与β的交线上,故P,Q,R三点共线.
能力提升
1.空间四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中( )
A.必有三点共线B.必有三点不共线
C.至少有三点共线D.不可能有三点共线
分析：选B.如图(1)(2)所示,A,C,D均不正确,只有B正确.
2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是( )
A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1不共面
C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面
分析：选A.连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,所以A1,C1,C,A四点共面.所以A1C⊂平面ACC1A1.因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1.又因为M∈平面AB1D1,所以点M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.同理点O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.
3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别为棱A1B1,BB1的中点,则D1E与CF的延长线交于一点,此点在直线( )
A.AD上B.B1C1上
C.A1D1上D.BC上
分析：选B.由平面基本性质知:D1E与CF的交点在平面A1B1C1D1上,也在平面BB1C1C上,故交点在两平面的交线B1C1上.
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,F为AD的中点,E为棱D1D上的动点(不包括端点),过点B,E,F的平面截正方体所得的截面的形状不可能是( )
A.四边形 B.等腰梯形
C.五边形D.六边形
分析：选D.不妨设正方体的棱长为1,
当0特别地,当DE=12时,截面为等腰梯形BFEC1,如图;
当125.给出以下说法,其中正确的是( )
A.不共面的四点中,其中任意三点不共线
B.若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面
C.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面
D.过直线外一点和直线上三点的三条直线共面
分析：选AD.在A中假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面,这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以A正确;如图,
两个相交平面有三个公共点A,B,C,且点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,但A,B,C,D,E不共面,B不正确;
选项C显然不正确;在D中,过直线与直线外一点可确定一个一个平面,设为α,因此这三条直线都在平面α内,即三条直线共面,D正确.
6.已知A,B表示不同的点,l表示直线,α,β表示不同的平面,则下列推理正确的是( )
A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α
B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=AB
C.l⊄α,A∈l⇒A∉α
D.A∈α,A∈l,l⊄α⇒l∩α=A
分析：选ABD.对于选项A,由基本事实2知,l⊂α,故选项A正确;对于选项B,因为α,β表示不同的平面,由基本事实3知,平面α,β相交,且α∩β=AB,故选项B正确;对于选项C,l⊄α分两种情况:l与α相交或l∥α.当l与α相交时,若交点为A,则A∈α,故选项C错误;由画图可知选项D成立.
7.如图所示,A,B,C,D为不共面的四点,E,F,G,H分别在线段AB,BC,CD,DA上.
(1)如果EH∩FG=P,那么点P在直线 上;
(2)如果EF∩GH=Q,那么点Q在直线 上.
分析：(1)若EH∩FG=P,则点P∈平面ABD,P∈平面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD,所以P∈BD.
(2)若EF∩GH=Q,则Q∈平面ABC,Q∈平面ACD,而平面ABC∩平面ACD=AC,所以Q∈AC.
答案:(1)BD (2)AC
8.已知△ABC三个顶点到平面α的距离分别是3,3,6,则其重心到平面α的距离为 .(写出所有可能值)
分析：设A,B到平面α的距离为3;C到平面α的距离为6.
①若A,B在平面同侧,且C在平面另一侧,则AB∥α,取AB中点D,连接CD,设重心为G.
又D到平面α的距离d1=3,C到平面α的距离d2=6,由重心性质可知:CGDG=2,所以CGDG=d2d1,
所以G∈α,所以G到平面α的距离为0.
②若B,C位于平面同侧,A在平面另一侧,取AC中点D,连接BD,设重心为G,B,G,D在平面α内的射影分别为:B′,G′,D′,如图所示:
DD′=12×6+3-3=32,BB′=3,又BG=2GD,所以GG′=2,即G到平面α距离为2.
③若A,B,C在平面同侧,则AB∥α,取AB中点D,连接CD,设重心为G,C,D,G在平面α内的射影分别为C′,D′,G′,如图所示:
DD′=3,CC′=6,又CG=2GD,
所以GG′=4,即G到平面α的距离为4.
综上所述,重心到平面α的距离为0,2,4.
答案:0,2,4
9.如图所示,G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上一点,E,F是棱AB,BC的中点.试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线.
(1)过点G及AC.
(2)过三点E,F,D1.
分析：(1)画法:连接GA,交A1D1于点M;连接GC,交C1D1于点N;连接MN,AC,则MA,CN,MN,AC为所求平面与正方体表面的交线.如图①所示.
(2)画法:连接EF交DC的延长线于点P,交DA的延长线于点Q;连接D1P交CC1于点M,连接D1Q交AA1于点N;连接MF,NE,则D1M,MF,FE,EN,ND1即为所求平面与正方体表面的交线.如图②所示.
10.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,体对角线A1C和平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证:C1,O,M三点共线.
【证明】连接A1C1,因为AC∩BD=M,
所以M∈AC,M∈BD,则M∈平面A1C1CA,M∈平面C1BD,
又因为A1C∩平面BDC1=O,所以O∈A1C,O∈平面C1BD,则O∈平面A1C1CA,
即C1,O,M均在平面A1C1CA内,又在平面C1BD内.则C1,O,M必定在平面A1C1CA与平面C1BD的公共交线上,即C1,O,M三点共线.