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2021年江苏省扬州市宝应县中考数学一模试题（word版 含答案）
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这是一份2021年江苏省扬州市宝应县中考数学一模试题（word版 含答案），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年江苏省扬州市宝应县中考数学一模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各数中，负数是（ ）
A．﹣(﹣2) B．|﹣2| C．﹣23 D．(﹣2)2
2．下列各式计算结果是a6的是（ ）
A．a3+a3 B．a12÷a2 C．a2•a3 D．（﹣a3）2
3．如图所示的六角螺母，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线a//b，直线l与直线a、b分别交于点A、B，若∠1＝54°，则∠2等于（ ）
A．126° B．134° C．130° D．144°
5．某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类
②去图书馆收集学生借阅图书的记录
③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比
④整理借阅图书记录并绘制频数分布表
正确统计步骤的顺序是（ ）
A．②→③→①→④ B．③→④→①→② C．①→②→④→③ D．②→④→③→①
6．已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ）
A． B． C．4 D．
8．把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a(x﹣1)2+2a，若(m﹣1)a+b+c≤0，则m的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
二、填空题
9．2021年4月6日国务院新闻办公室发布《人类减贫的中国实践》白皮书，白皮书显示到2020年底我国贫困地区农村居民人均可支配收入为12588元．将12588用科学记数法表示应为_____________．
10．分解因式：=______．
11．当x=_________________时，代数式值为0．
12．从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是89，方差分别是S甲2＝1.2，S乙2＝3.3，S丙2＝11.5．你认为适合选___参加决赛．
13．如果关于x的方程x2+3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_____．
14．如图,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.
15．《孙子算经》是中国古代经典的数学著作，其中有首歌谣，今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？其大意是，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为_______．
16．如图，▱ABCD的顶点A、B在x轴上，顶点D在y轴上，顶点C在第一象限，反比例函数（x＞0）的分支过点C，若▱ABCD的面积为3，则k＝___．
17．将一副直角三角板拼成如图所示的四边形ABCD，一边重合，若∠CAB=45°，∠CAD=30°，连接BD，则tan∠DBC=__________________．
18．如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AC为斜边在△ABC的外部作等腰Rt△ADC，若AB=，BD=，则BC=________________．
三、解答题
19．（1）计算：4sin60°﹣+（﹣1）0；
（2）化简：(x+y)2﹣(x﹣y)(x+y)．
20．解不等式组，并写出x的所有整数解．
21．某校在以“青春心向党，筑梦新时代”为主题的校园文化艺术节期间，举办了A合唱，B舞蹈，C书法，D演讲共四个项目的比赛，要求每位学生必须参加且仅参加一项，小丽随机调查了部分学生的报名情况，并绘制了下列两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数是 人；扇形统计图中“D”部分的圆心角是 °．
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若全校共有1600名学生，请估计该校报名参加书法和演讲比赛的学生共有多少人？
22．某校有4个测温通道，分别记为A、B、C、D，学生可随机选取其中的一个通道测温进校园，某日早晨该校所有学生体温正常．
（1）小王同学该日早晨进校园时，选择A通道测温进校园的概率是 ；
（2）小王和小李两同学该日早晨进校园时，请用面树状图或列表法求选择不同通道测温进校园的概率．
23．如图，点B、F、C、E在同一直线上，且BF＝CE，点A、D分别在直线BE的两侧，AB//DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD交BE于点O，若AO＝BO，请补全图形并证明：四边形ABDE是矩形．
24．为庆祝中国共产党成立100周年，扬州漆器厂接到制作960件漆器纪念贺礼订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务．原来每天制作多少件？
25．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，以点O为圆心，OC长为半径作圆．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，BC＝12，求阴影部分面积．
26．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这个三角形称为准黄金三角形．
（1）请判断：含30°角的直角三角形 （填“是”或“不是”）准黄金三角形；
（2）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：△ABC是准黄金三角形；
（3）如图2，△ABC是准黄金三角形，AC＝3，BC＝，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求CD的长．
27．某商店销售进价为30元/件的某种商品，在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：
时间x（天）
1≤x＜50
50≤x≤90
售价（元/件）
x+40
90
每天销量（件）
200﹣2x
设销售商品的每天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元（a＞0）给贫困地区，在销售的前50天内该商店当日最大利润为5832元，求a的值．
28．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，点M、N分别在AB、BC上，且AM=CN=2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ=∠B．
（1）求点P在BN上运动时，点P与点A的最短距离；
（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；
（3）求整个运动过程点Q运动的路径长．
参考答案
1．C
【分析】
直接利用相反数，有理数的乘方运算法则、绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：A、原式＝2，2是正数，故此选项不合题意；
B、原式＝2，2是正数，故此选项不合题意；
C、原式＝﹣8，﹣8是负数，故此选项合题意；
D、原式＝4，4是正数，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了负数的定义以及有理数的乘方运算、绝对值的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．D
【分析】
根据幂的乘方、同底数幂的乘法和除法的运算法则以及合并同类项计算后利用排除法求解.
【详解】
解：A、a3+a3＝2a3，结果不符合；
B、a12÷a2＝a10，结果不符合；
C、a2•a3＝a5，结果不符合；
D、（﹣a3）2＝a6，结果符合；
故选：D.
【点睛】
此题考查整式的运算，正确掌握整式的幂的乘方、同底数幂的乘法和除法的运算法则以及合并同类项计算法则是解题的关键.
3．B
【分析】
根据图示确定几何体的三视图即可得到答案．
【详解】
由几何体可知，该几何体的三视图依次为．
主视图为：
左视图为：
俯视图为：
故选：B．
【点睛】
此题考查简单几何体的三视图，掌握三视图的视图方位及画法是解题的关键．
4．A
【分析】
根据邻补角的定义和两直线平行同位角相等即可得到结论．
【详解】
解：如图，
∵∠1＝54°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝126°，
∵直线a//b，
∴∠2＝∠3＝126°，
故选：A．
【点睛】
本题考查邻补角的性质、平行线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．D
【分析】
根据频数分布表、扇形统计图制作的步骤，可以解答本题．
【详解】
由题意可得：正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并绘制频数分布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类．
故选D．
【点睛】
本题考查了扇形统计图、频数分布表，解答本题的关键是明确制作频数分布表和扇形统计图的制作步骤．
6．B
【分析】
先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．
【详解】
∵一次函数的函数值随的增大而减小，
∴k﹤0，
A．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；
B．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；
C．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；
D．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=﹥0，此选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
7．D
【分析】
利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，求解菱形的面积，再利用等面积法求菱形的高即可．
【详解】
解：记AC与BD的交点为，
菱形,
菱形的面积
菱形的面积
故选D．
【点睛】
本题考查的是菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理．理解菱形的对角线互相垂直平分和学会用等面积法是解题关键．
8．D
【分析】
根据关于x轴对称的点的坐标特征得出原二次函数的顶点为（1，﹣2a），即可得出原二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣2a＝ax2﹣2ax﹣a，和y＝ax2+bx+c比较即可得出b＝﹣2a，c＝﹣a，代入（m﹣1）a+b+c≤0，即可得到m≤4．
【详解】
解：∵把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+2a，
∴原二次函数的顶点为（1，﹣2a），
∴原二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣2a＝ax2﹣2ax﹣a，
∴b＝﹣2a，c＝﹣a，
∵（m﹣1）a+b+c≤0，
∴（m﹣1）a﹣2a﹣a≤0，
∵a＞0，
∴m﹣1﹣2﹣1≤0，即m≤4，
∴m的最大值为4，
故选：D．
【点睛】
本题考查关于x轴对称的点的坐标特点，二次函数的解析式，灵活利用二次函数的各项系数是关键
9．1.2588×104
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
解：12588=1.2588×104．
故答案为：1.2588×104．
【点睛】
本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．x（x+2）（x﹣2）．
【详解】
试题分析：==x（x+2）（x﹣2）．故答案为x（x+2）（x﹣2）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解．
11．
【分析】
分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．
【详解】
解：由题意知2x+1=0且x﹣1≠0．
解得x=．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了分式的值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
12．甲
【分析】
根据方差的意义求解即可．
【详解】
解：∵S甲2=1.2，S乙2=3.3，S丙2=11.5，且均成绩都是89，
∴S甲2＜S乙2＜S丙2，
∴甲的成绩稳定，
∴适合选择甲参加决赛，
故答案为：甲．
【点睛】
本题主要考查了方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
13．
【分析】
由“有两个不相等的实数根”可知本题考查的是一元二次方程的判别式，利用判别式△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根解答即可
【详解】
根据题意得△＝32﹣4（﹣k）＞0，
解得．
故答案为．
【点睛】
本题的关键是熟知判别式△与一元二次方程根的关系
14．
【详解】
试题分析：∵∠CAB=30°，AC=AD，OA=OC，∴∠ACD=75°，∠ACO=30°，∴∠OCE=45°，∵OE⊥CD，∴△OCE为等腰直角三角形， ∵OC=2，∴OE=.
考点：(1)、圆的基本性质；(2)、勾股定理
15．四丈五尺
【分析】
根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】
解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，影长五寸＝0.5尺，
∴，
解得：x＝45（尺），
45尺＝四丈五尺．
故答案为：四丈五尺．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
16．3
【分析】
过C作CE⊥AB，通过说明△DOA≌△CEB，可得矩形ODCE的面积等于平行四边形ABCD的面积，设出点C的坐标，用坐标表示出线段CE，OE，结论可求．
【详解】
解：如图，过点C作CE⊥AB于E，连接OC，
∵▱ABCD的面积为3，
∴AB•CE=3．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC．
∴∠DAO=∠CBA．
∵DO⊥AO，CE⊥AB，
∴∠DOA=∠CEB=90°．
∴△DOA≌△CEB（AAS）．
∴S△ODA=S△CEB．
∴S矩形DOEC=S平行四边形ABCD=3．
∴OE•CE=3．
设C（a，b），
∵C在第一象限，
∴a＞0，b＞0．
∴OE=a，CE=b．
∴OE•CE=ab=3．
∴k=ab=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数的图象上的点的坐标的特征，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质．用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．
17．
【分析】
作DE⊥BC，交BC延长线于点E，设CD=x，根据直角三角形的性质可得出BC=AC=2x，DE=x，CE=x，即可求解．
【详解】
解：作DE⊥BC，交BC延长线于点E，设CD=x，
∵∠CAB=45°，∠CAD=30°，一副直角三角板拼成的四边形ABCD，
∴∠ACB=90°，∠ADC=90°，
∴∠DCE=30°，
∴BC=AC=2x，DE=x，CE=x，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
18．
【分析】
本题可以将分散的条件通过旋转来集中到一起，将△ABD绕点D旋转90°，构造出等腰直角三角形来解决问题．
【详解】
解：如图，将△ABD绕点D逆时针旋转90°得到△DCE，
所以∠DCE=∠BAD，AB=CE=，
因为∠ABC+∠ADE=180°，
所以∠BAD+∠BCD=180°，
所以∠BCD+∠DCE=180°，
所以B、C、E三点共线，
所以△BDE是等腰直角三角形，
所以BE==2，
所以，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质和判定，是一道综合性很强的几何题．
19．（1）；（2）2xy+2y2．
【分析】
（1）原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂法则计算求出值；
（2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．
【详解】
解：（1）
；
（2）
=2xy+2y2．
【点睛】
本题考查了平方差公式，实数的运算，完全平方公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
20．解集为1≤x＜3，整数解为：1、2．
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】
解：，
解不等式①，得：x≥1，
解不等式②，得：x＜3，
则不等式组的解集为1≤x＜3，
∴不等式组的整数解为：1、2．
【点睛】
本题考查解不等式组，解不等式时注意不等号方向是否改变是重点，在解集范围内找整数解不遗漏是关键
21．（1）200，14.4；（2）补图见解析；（3）224人
【分析】
（1）根据选择A的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的总人数，再根据选择D的人数，即可计算出扇形统计图中“D”部分的圆心角的度数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出选择C的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校报名参加书法和演讲比赛的学生共有多少人．
【详解】
解：（1）次调查的学生总人数是120÷60%＝200，
扇形统计图中“D”部分的圆心角是：360°×＝14.4°，
故答案为：200，14.4；
（2）选择C的有：200﹣120﹣52﹣8＝20（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）1600×＝224（人），
即估计该校报名参加书法和演讲比赛的学生共有224人．
【点睛】
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（1）；（2）．
【分析】
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出小王和小李两同学选择不同通道测温进校园的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：（1）小王同学该日早晨进校园时，选择A通道测温进校园的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有16个等可能的结果，小王和小李两同学选择不同通道测温进校园的结果有12个，
∴小王和小李两同学选择不同通道测温进校园的概率为．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
23．（1）证明见解析；（2）补图及证明见解析．
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠B＝∠E，再利用AAS即可证得△ABC≌△DEF；
（2）由全等三角形的性质得到∠BAC＝∠EDF，AC＝DF，根据平行线的性质得到∠ODE＝∠OAB，∠OED＝∠OBA，推出四边形ABDE是平行四边形，于是得到四边形ABDE是矩形．
【详解】
证明：（1）∵AB//DE，
∴∠B＝∠E，
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（2）由（1）知，△ABC≌△DEF，BC＝EF，
∴∠BAC＝∠EDF，AC＝DF，
∵AO＝BO，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵AB//DE，
∴∠ODE＝∠OAB，∠OED＝∠OBA，
∴ODE＝∠OED，∠CAO＝∠FDO，
∴OD＝OE，
∴AD＝BE，
在△ACO和△DFO中，
，
∴AO＝DO，CO＝FO，
∴BO＝EO，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴四边形ABDE是矩形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和矩形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
24．原来每天制作32件．
【分析】
设原来每天制作x件，根据原来用的时间﹣现在用的时间=10，列出方程，求出x的值，再进行检验即可．
【详解】
解：设原来每天制作x件，根据题意得：
，
解得：x=32，
经检验x=32是原方程的解，
答：原来每天制作32件．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，
25．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）过O作OD⊥AB于D，由角平分线的性质得OD＝OC，再由OC为⊙O的半径，则OD为⊙O的半径，即可得出结论；
（2）由含30°角的直角三角形的性质得OB＝2OD，AC＝BC＝4，再求出OD＝OC＝4，∠COD＝120°，然后由切线的性质得AD＝AC＝4，即可解决问题．
【详解】
（1）证明：过O作OD⊥AB于D，如图所示：
∵∠ACB＝90°，
∴OC⊥AC，
∵OA平分∠BAC，
∴OD＝OC，
∵OC为⊙O的半径，
∴OD为⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵OD⊥AB，
∴∠ODB＝90°，
∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴OB＝2OD，AC＝BC＝4，
∵OC＝OD，BC＝12，
∴BC＝3OC＝12，
∴OD＝OC＝4，
∵∠BOD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠COD＝120°，
由（1）得：AB是⊙O的切线，OC⊥AC，
∴AC为⊙O的切线，
∴AD＝AC＝4，
∴阴影部分面积＝△AOC的面积+△AOD的面积﹣扇形OCD的面积
＝×4×4+×4×4﹣
＝16﹣．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质、角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质以及弧长公式等知识；熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
26．（1）是；（2）证明见解析；（3）．
【分析】
（1）根据三角形内角和和准黄金三角形的概念解答即可；
（2）根据三角形内角和得出∠ACB，进而利用等腰三角形的判定和性质得出△ADC为等腰三角形，进而利用准黄金三角形概念证明即可；
（3）根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】
解：（1）含30°角的直角三角形是准黄金三角形，若要分割成一个等腰三角形和一个与原三角形相似的三角形，则作60°角的角平分线即可；
故答案为：是；
（2）由三角形内角和为180°，得，∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵CD为∠ACB的角平分线，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝×80°＝40°，
∴∠ACD＝∠A，
∴AD＝CD，
∴△ADC为等腰三角形，
∴∠CDB＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∴△CDB∽△ACB，
∴△ABC为准黄金三角形；
（3）∵△ACD是等腰三角形，
∴AC＝AD＝3，
∵△ABC为准黄金三角形，
∴△ABC∽△CBD，
∴，
∵BD＝AB﹣AD＝AB﹣3，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查三角形内角和、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
27．（1）；（2）该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）2．
【分析】
（1）根据单价乘以数量，可得利润，分段列出函数关系式可得答案；
（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；
（3）在确定函数表达式的基础上，确定函数的对称轴，进而求解．
【详解】
解：（1）当1≤x＜50时，
y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，
当50≤x≤90时，
y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000，
综上所述：y=；
（2）当1≤x＜50时，
y=﹣2x2+180x+2000，
y=﹣2（x﹣45）2+6050．
∴a=﹣2＜0，
∴二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y最大=6050，
当50≤x≤90时，
∵，
∴y随x的增大而减小，
当x=50时，y最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；
（3）根据题意得，y=（200﹣2x）（x+40﹣30﹣a）=﹣2（x﹣100）（x+10﹣a），
函数的对称轴，
在45＜x＜50时，
当x=45+a时，函数取得最大值，
即y=﹣2（45+a﹣100）（45+a+10﹣a）=5832，
即（55﹣a）=±54，
解得：a=2（不合题意的值已舍去）；
故a的值为2．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值，解答时求出函数的解析式是关键．
28．（1）3；（2）；（3）7．
【分析】
（1）点P在BN上运动时，当AP⊥BC时，点P与点A有最短距离，由锐角三角函数可求解；
（2）由勾股定理可求AB=5，通过证明△APQ∽△ABC，可得，可求AP的长，即可求解；
（3）分点P在BM上，点P在BC上讨论，利用特殊位置求出CQ的长，即可求解．
【详解】
解：（1）如图1，点P在BN上运动时，当AP⊥BC时，点P与点A有最短距离，
∵AB=AC，BC=8，
∴BP=PC=4，
∵，
∴AP=3，
∴点P在BN上运动时，点P与点A的最短距离为3；
（2）如图1，AP=3，BP=4，
∴，
当点P在MB上，如图2，
∵∠APQ=∠B，
∴PQ//BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴，
∵PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分，
∴，
∴，
∴AP=，
∴PM=AP﹣AM=；
（3）当点P在MB上运动时，PQ//BC，
∴CQ=BM=3，
当点P在BC上，且移动到BC中点时，如图3，
∵AB=AC，BP=CP=4，
∴∠B=∠C，AP⊥BC，
∵∠APQ=∠B，∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠CPQ，
∴∠CPQ=∠BAP，
∴△ABP∽△BCQ，
∴，
∴，
当点P从BC中点移动到点N时，如图4，
同理可得△ABP∽△BCQ，
∴，
∴，
∴整个运动过程点Q运动的路径长．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，利用分类讨论思想和特殊位置求运动长度是本题的关键．
2021年江苏省扬州市宝应县中考数学一模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各数中，负数是（ ）
A．﹣(﹣2) B．|﹣2| C．﹣23 D．(﹣2)2
2．下列各式计算结果是a6的是（ ）
A．a3+a3 B．a12÷a2 C．a2•a3 D．（﹣a3）2
3．如图所示的六角螺母，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线a//b，直线l与直线a、b分别交于点A、B，若∠1＝54°，则∠2等于（ ）
A．126° B．134° C．130° D．144°
5．某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类
②去图书馆收集学生借阅图书的记录
③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比
④整理借阅图书记录并绘制频数分布表
正确统计步骤的顺序是（ ）
A．②→③→①→④ B．③→④→①→② C．①→②→④→③ D．②→④→③→①
6．已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ）
A． B． C．4 D．
8．把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a(x﹣1)2+2a，若(m﹣1)a+b+c≤0，则m的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
二、填空题
9．2021年4月6日国务院新闻办公室发布《人类减贫的中国实践》白皮书，白皮书显示到2020年底我国贫困地区农村居民人均可支配收入为12588元．将12588用科学记数法表示应为_____________．
10．分解因式：=______．
11．当x=_________________时，代数式值为0．
12．从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是89，方差分别是S甲2＝1.2，S乙2＝3.3，S丙2＝11.5．你认为适合选___参加决赛．
13．如果关于x的方程x2+3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_____．
14．如图,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.
15．《孙子算经》是中国古代经典的数学著作，其中有首歌谣，今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？其大意是，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为_______．
16．如图，▱ABCD的顶点A、B在x轴上，顶点D在y轴上，顶点C在第一象限，反比例函数（x＞0）的分支过点C，若▱ABCD的面积为3，则k＝___．
17．将一副直角三角板拼成如图所示的四边形ABCD，一边重合，若∠CAB=45°，∠CAD=30°，连接BD，则tan∠DBC=__________________．
18．如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AC为斜边在△ABC的外部作等腰Rt△ADC，若AB=，BD=，则BC=________________．
三、解答题
19．（1）计算：4sin60°﹣+（﹣1）0；
（2）化简：(x+y)2﹣(x﹣y)(x+y)．
20．解不等式组，并写出x的所有整数解．
21．某校在以“青春心向党，筑梦新时代”为主题的校园文化艺术节期间，举办了A合唱，B舞蹈，C书法，D演讲共四个项目的比赛，要求每位学生必须参加且仅参加一项，小丽随机调查了部分学生的报名情况，并绘制了下列两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数是 人；扇形统计图中“D”部分的圆心角是 °．
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若全校共有1600名学生，请估计该校报名参加书法和演讲比赛的学生共有多少人？
22．某校有4个测温通道，分别记为A、B、C、D，学生可随机选取其中的一个通道测温进校园，某日早晨该校所有学生体温正常．
（1）小王同学该日早晨进校园时，选择A通道测温进校园的概率是 ；
（2）小王和小李两同学该日早晨进校园时，请用面树状图或列表法求选择不同通道测温进校园的概率．
23．如图，点B、F、C、E在同一直线上，且BF＝CE，点A、D分别在直线BE的两侧，AB//DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD交BE于点O，若AO＝BO，请补全图形并证明：四边形ABDE是矩形．
24．为庆祝中国共产党成立100周年，扬州漆器厂接到制作960件漆器纪念贺礼订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务．原来每天制作多少件？
25．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，以点O为圆心，OC长为半径作圆．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，BC＝12，求阴影部分面积．
26．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这个三角形称为准黄金三角形．
（1）请判断：含30°角的直角三角形 （填“是”或“不是”）准黄金三角形；
（2）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：△ABC是准黄金三角形；
（3）如图2，△ABC是准黄金三角形，AC＝3，BC＝，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求CD的长．
27．某商店销售进价为30元/件的某种商品，在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：
时间x（天）
1≤x＜50
50≤x≤90
售价（元/件）
x+40
90
每天销量（件）
200﹣2x
设销售商品的每天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元（a＞0）给贫困地区，在销售的前50天内该商店当日最大利润为5832元，求a的值．
28．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，点M、N分别在AB、BC上，且AM=CN=2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ=∠B．
（1）求点P在BN上运动时，点P与点A的最短距离；
（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；
（3）求整个运动过程点Q运动的路径长．
参考答案
1．C
【分析】
直接利用相反数，有理数的乘方运算法则、绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：A、原式＝2，2是正数，故此选项不合题意；
B、原式＝2，2是正数，故此选项不合题意；
C、原式＝﹣8，﹣8是负数，故此选项合题意；
D、原式＝4，4是正数，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了负数的定义以及有理数的乘方运算、绝对值的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．D
【分析】
根据幂的乘方、同底数幂的乘法和除法的运算法则以及合并同类项计算后利用排除法求解.
【详解】
解：A、a3+a3＝2a3，结果不符合；
B、a12÷a2＝a10，结果不符合；
C、a2•a3＝a5，结果不符合；
D、（﹣a3）2＝a6，结果符合；
故选：D.
【点睛】
此题考查整式的运算，正确掌握整式的幂的乘方、同底数幂的乘法和除法的运算法则以及合并同类项计算法则是解题的关键.
3．B
【分析】
根据图示确定几何体的三视图即可得到答案．
【详解】
由几何体可知，该几何体的三视图依次为．
主视图为：
左视图为：
俯视图为：
故选：B．
【点睛】
此题考查简单几何体的三视图，掌握三视图的视图方位及画法是解题的关键．
4．A
【分析】
根据邻补角的定义和两直线平行同位角相等即可得到结论．
【详解】
解：如图，
∵∠1＝54°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝126°，
∵直线a//b，
∴∠2＝∠3＝126°，
故选：A．
【点睛】
本题考查邻补角的性质、平行线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．D
【分析】
根据频数分布表、扇形统计图制作的步骤，可以解答本题．
【详解】
由题意可得：正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并绘制频数分布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类．
故选D．
【点睛】
本题考查了扇形统计图、频数分布表，解答本题的关键是明确制作频数分布表和扇形统计图的制作步骤．
6．B
【分析】
先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．
【详解】
∵一次函数的函数值随的增大而减小，
∴k﹤0，
A．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；
B．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；
C．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；
D．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=﹥0，此选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
7．D
【分析】
利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，求解菱形的面积，再利用等面积法求菱形的高即可．
【详解】
解：记AC与BD的交点为，
菱形,
菱形的面积
菱形的面积
故选D．
【点睛】
本题考查的是菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理．理解菱形的对角线互相垂直平分和学会用等面积法是解题关键．
8．D
【分析】
根据关于x轴对称的点的坐标特征得出原二次函数的顶点为（1，﹣2a），即可得出原二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣2a＝ax2﹣2ax﹣a，和y＝ax2+bx+c比较即可得出b＝﹣2a，c＝﹣a，代入（m﹣1）a+b+c≤0，即可得到m≤4．
【详解】
解：∵把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+2a，
∴原二次函数的顶点为（1，﹣2a），
∴原二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣2a＝ax2﹣2ax﹣a，
∴b＝﹣2a，c＝﹣a，
∵（m﹣1）a+b+c≤0，
∴（m﹣1）a﹣2a﹣a≤0，
∵a＞0，
∴m﹣1﹣2﹣1≤0，即m≤4，
∴m的最大值为4，
故选：D．
【点睛】
本题考查关于x轴对称的点的坐标特点，二次函数的解析式，灵活利用二次函数的各项系数是关键
9．1.2588×104
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
解：12588=1.2588×104．
故答案为：1.2588×104．
【点睛】
本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．x（x+2）（x﹣2）．
【详解】
试题分析：==x（x+2）（x﹣2）．故答案为x（x+2）（x﹣2）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解．
11．
【分析】
分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．
【详解】
解：由题意知2x+1=0且x﹣1≠0．
解得x=．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了分式的值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
12．甲
【分析】
根据方差的意义求解即可．
【详解】
解：∵S甲2=1.2，S乙2=3.3，S丙2=11.5，且均成绩都是89，
∴S甲2＜S乙2＜S丙2，
∴甲的成绩稳定，
∴适合选择甲参加决赛，
故答案为：甲．
【点睛】
本题主要考查了方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
13．
【分析】
由“有两个不相等的实数根”可知本题考查的是一元二次方程的判别式，利用判别式△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根解答即可
【详解】
根据题意得△＝32﹣4（﹣k）＞0，
解得．
故答案为．
【点睛】
本题的关键是熟知判别式△与一元二次方程根的关系
14．
【详解】
试题分析：∵∠CAB=30°，AC=AD，OA=OC，∴∠ACD=75°，∠ACO=30°，∴∠OCE=45°，∵OE⊥CD，∴△OCE为等腰直角三角形， ∵OC=2，∴OE=.
考点：(1)、圆的基本性质；(2)、勾股定理
15．四丈五尺
【分析】
根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】
解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，影长五寸＝0.5尺，
∴，
解得：x＝45（尺），
45尺＝四丈五尺．
故答案为：四丈五尺．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
16．3
【分析】
过C作CE⊥AB，通过说明△DOA≌△CEB，可得矩形ODCE的面积等于平行四边形ABCD的面积，设出点C的坐标，用坐标表示出线段CE，OE，结论可求．
【详解】
解：如图，过点C作CE⊥AB于E，连接OC，
∵▱ABCD的面积为3，
∴AB•CE=3．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC．
∴∠DAO=∠CBA．
∵DO⊥AO，CE⊥AB，
∴∠DOA=∠CEB=90°．
∴△DOA≌△CEB（AAS）．
∴S△ODA=S△CEB．
∴S矩形DOEC=S平行四边形ABCD=3．
∴OE•CE=3．
设C（a，b），
∵C在第一象限，
∴a＞0，b＞0．
∴OE=a，CE=b．
∴OE•CE=ab=3．
∴k=ab=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数的图象上的点的坐标的特征，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质．用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．
17．
【分析】
作DE⊥BC，交BC延长线于点E，设CD=x，根据直角三角形的性质可得出BC=AC=2x，DE=x，CE=x，即可求解．
【详解】
解：作DE⊥BC，交BC延长线于点E，设CD=x，
∵∠CAB=45°，∠CAD=30°，一副直角三角板拼成的四边形ABCD，
∴∠ACB=90°，∠ADC=90°，
∴∠DCE=30°，
∴BC=AC=2x，DE=x，CE=x，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
18．
【分析】
本题可以将分散的条件通过旋转来集中到一起，将△ABD绕点D旋转90°，构造出等腰直角三角形来解决问题．
【详解】
解：如图，将△ABD绕点D逆时针旋转90°得到△DCE，
所以∠DCE=∠BAD，AB=CE=，
因为∠ABC+∠ADE=180°，
所以∠BAD+∠BCD=180°，
所以∠BCD+∠DCE=180°，
所以B、C、E三点共线，
所以△BDE是等腰直角三角形，
所以BE==2，
所以，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质和判定，是一道综合性很强的几何题．
19．（1）；（2）2xy+2y2．
【分析】
（1）原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂法则计算求出值；
（2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．
【详解】
解：（1）
；
（2）
=2xy+2y2．
【点睛】
本题考查了平方差公式，实数的运算，完全平方公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
20．解集为1≤x＜3，整数解为：1、2．
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】
解：，
解不等式①，得：x≥1，
解不等式②，得：x＜3，
则不等式组的解集为1≤x＜3，
∴不等式组的整数解为：1、2．
【点睛】
本题考查解不等式组，解不等式时注意不等号方向是否改变是重点，在解集范围内找整数解不遗漏是关键
21．（1）200，14.4；（2）补图见解析；（3）224人
【分析】
（1）根据选择A的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的总人数，再根据选择D的人数，即可计算出扇形统计图中“D”部分的圆心角的度数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出选择C的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校报名参加书法和演讲比赛的学生共有多少人．
【详解】
解：（1）次调查的学生总人数是120÷60%＝200，
扇形统计图中“D”部分的圆心角是：360°×＝14.4°，
故答案为：200，14.4；
（2）选择C的有：200﹣120﹣52﹣8＝20（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）1600×＝224（人），
即估计该校报名参加书法和演讲比赛的学生共有224人．
【点睛】
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（1）；（2）．
【分析】
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出小王和小李两同学选择不同通道测温进校园的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：（1）小王同学该日早晨进校园时，选择A通道测温进校园的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有16个等可能的结果，小王和小李两同学选择不同通道测温进校园的结果有12个，
∴小王和小李两同学选择不同通道测温进校园的概率为．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
23．（1）证明见解析；（2）补图及证明见解析．
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠B＝∠E，再利用AAS即可证得△ABC≌△DEF；
（2）由全等三角形的性质得到∠BAC＝∠EDF，AC＝DF，根据平行线的性质得到∠ODE＝∠OAB，∠OED＝∠OBA，推出四边形ABDE是平行四边形，于是得到四边形ABDE是矩形．
【详解】
证明：（1）∵AB//DE，
∴∠B＝∠E，
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（2）由（1）知，△ABC≌△DEF，BC＝EF，
∴∠BAC＝∠EDF，AC＝DF，
∵AO＝BO，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵AB//DE，
∴∠ODE＝∠OAB，∠OED＝∠OBA，
∴ODE＝∠OED，∠CAO＝∠FDO，
∴OD＝OE，
∴AD＝BE，
在△ACO和△DFO中，
，
∴AO＝DO，CO＝FO，
∴BO＝EO，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴四边形ABDE是矩形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和矩形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
24．原来每天制作32件．
【分析】
设原来每天制作x件，根据原来用的时间﹣现在用的时间=10，列出方程，求出x的值，再进行检验即可．
【详解】
解：设原来每天制作x件，根据题意得：
，
解得：x=32，
经检验x=32是原方程的解，
答：原来每天制作32件．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，
25．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）过O作OD⊥AB于D，由角平分线的性质得OD＝OC，再由OC为⊙O的半径，则OD为⊙O的半径，即可得出结论；
（2）由含30°角的直角三角形的性质得OB＝2OD，AC＝BC＝4，再求出OD＝OC＝4，∠COD＝120°，然后由切线的性质得AD＝AC＝4，即可解决问题．
【详解】
（1）证明：过O作OD⊥AB于D，如图所示：
∵∠ACB＝90°，
∴OC⊥AC，
∵OA平分∠BAC，
∴OD＝OC，
∵OC为⊙O的半径，
∴OD为⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵OD⊥AB，
∴∠ODB＝90°，
∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴OB＝2OD，AC＝BC＝4，
∵OC＝OD，BC＝12，
∴BC＝3OC＝12，
∴OD＝OC＝4，
∵∠BOD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠COD＝120°，
由（1）得：AB是⊙O的切线，OC⊥AC，
∴AC为⊙O的切线，
∴AD＝AC＝4，
∴阴影部分面积＝△AOC的面积+△AOD的面积﹣扇形OCD的面积
＝×4×4+×4×4﹣
＝16﹣．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质、角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质以及弧长公式等知识；熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
26．（1）是；（2）证明见解析；（3）．
【分析】
（1）根据三角形内角和和准黄金三角形的概念解答即可；
（2）根据三角形内角和得出∠ACB，进而利用等腰三角形的判定和性质得出△ADC为等腰三角形，进而利用准黄金三角形概念证明即可；
（3）根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】
解：（1）含30°角的直角三角形是准黄金三角形，若要分割成一个等腰三角形和一个与原三角形相似的三角形，则作60°角的角平分线即可；
故答案为：是；
（2）由三角形内角和为180°，得，∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵CD为∠ACB的角平分线，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝×80°＝40°，
∴∠ACD＝∠A，
∴AD＝CD，
∴△ADC为等腰三角形，
∴∠CDB＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∴△CDB∽△ACB，
∴△ABC为准黄金三角形；
（3）∵△ACD是等腰三角形，
∴AC＝AD＝3，
∵△ABC为准黄金三角形，
∴△ABC∽△CBD，
∴，
∵BD＝AB﹣AD＝AB﹣3，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查三角形内角和、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
27．（1）；（2）该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）2．
【分析】
（1）根据单价乘以数量，可得利润，分段列出函数关系式可得答案；
（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；
（3）在确定函数表达式的基础上，确定函数的对称轴，进而求解．
【详解】
解：（1）当1≤x＜50时，
y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，
当50≤x≤90时，
y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000，
综上所述：y=；
（2）当1≤x＜50时，
y=﹣2x2+180x+2000，
y=﹣2（x﹣45）2+6050．
∴a=﹣2＜0，
∴二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y最大=6050，
当50≤x≤90时，
∵，
∴y随x的增大而减小，
当x=50时，y最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；
（3）根据题意得，y=（200﹣2x）（x+40﹣30﹣a）=﹣2（x﹣100）（x+10﹣a），
函数的对称轴，
在45＜x＜50时，
当x=45+a时，函数取得最大值，
即y=﹣2（45+a﹣100）（45+a+10﹣a）=5832，
即（55﹣a）=±54，
解得：a=2（不合题意的值已舍去）；
故a的值为2．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值，解答时求出函数的解析式是关键．
28．（1）3；（2）；（3）7．
【分析】
（1）点P在BN上运动时，当AP⊥BC时，点P与点A有最短距离，由锐角三角函数可求解；
（2）由勾股定理可求AB=5，通过证明△APQ∽△ABC，可得，可求AP的长，即可求解；
（3）分点P在BM上，点P在BC上讨论，利用特殊位置求出CQ的长，即可求解．
【详解】
解：（1）如图1，点P在BN上运动时，当AP⊥BC时，点P与点A有最短距离，
∵AB=AC，BC=8，
∴BP=PC=4，
∵，
∴AP=3，
∴点P在BN上运动时，点P与点A的最短距离为3；
（2）如图1，AP=3，BP=4，
∴，
当点P在MB上，如图2，
∵∠APQ=∠B，
∴PQ//BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴，
∵PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分，
∴，
∴，
∴AP=，
∴PM=AP﹣AM=；
（3）当点P在MB上运动时，PQ//BC，
∴CQ=BM=3，
当点P在BC上，且移动到BC中点时，如图3，
∵AB=AC，BP=CP=4，
∴∠B=∠C，AP⊥BC，
∵∠APQ=∠B，∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠CPQ，
∴∠CPQ=∠BAP，
∴△ABP∽△BCQ，
∴，
∴，
当点P从BC中点移动到点N时，如图4，
同理可得△ABP∽△BCQ，
∴，
∴，
∴整个运动过程点Q运动的路径长．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，利用分类讨论思想和特殊位置求运动长度是本题的关键．
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