2021年高考数学模拟考试卷三含解析

高考数学模拟考试卷（三）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，，则　　

A．， B．， C．， D．，

2．（5分）复数的共轭复数的虚部为　　

A． B． C． D．

3．（5分）已知向量，不共线，且，，若与方向相反，则实数的值为　　

A． B． C．1或 D．或

4．（5分）已知函数，且，则　　

A． B． C． D．3

5．（5分）甲、乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击10次，中靶环数情况如图所示．则甲、乙两人中靶环数的方差分别为　　

A．7，7 B．7，1.2 C．1.1，2.3 D．1.2，5.4

6．（5分）已知是第四象限角，且，则　　

A． B． C． D．

7．（5分）圆上任意一点到直线的距离大于2的概率为　　

A． B． C． D．

8．（5分）设函数．当时，对于三角形的内角，若存在，，使成立，则的可能取值是　　

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9．（5分）下列命题为真命题的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，，则 D．若，则

10．（5分）下列说法正确的是　　

A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，方差也变为原来的倍 

B．若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为             

C．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 

D．设两个独立事件和都不发生的概率为，发生且不发生的概率与发生且不发生的概率相同，则事件发生的概率为

11．（5分）已知函数的图象关于直线对称，则　　

A．函数的图象向左平移个单位长度得到的图象关于原点对称 

B．函数在，上单调递增 

C．函数在，有且仅有3个极大值点 

D．若，则的最小值为

12．（5分）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，，，两点，为线段的中点，则　　

A．以线段为直径的圆与直线相切 

B．以线段为直径的圆与轴相切 

C．当时， 

D．为坐标原点）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知，则的值为　　．

14．（5分）函数在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积是　　．

15．（5分）已知命题，命题．若是的充分条件，则的取值范围为　　．

16．（5分）2020年是苏颂诞辰1000周年．苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟．水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟．如图，当点从枢轮最高处随枢轮开始转动时，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处．此时打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动，则点至少经过　12　分钟（结果取整数）进入水中．（参考数据：，，

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知的内角、、所对的边分别是，，，在以下三个条件中任选一个：①；②；③；并解答以下问题：

（1）若选 ____（填序号），求的值；

（2）在（1）的条件下，若，当有且只有一解时，求实数的范围及面积的最大值．

18．（12分）已知各项均为正数的数列满足，且，．

（1）证明：数列是等差数列；

（2）数列的前项和为，求证：．

19．（12分）某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．

（1）通过分析可以认为考生初试成绩服从正态分布，其中，，试估计初试成绩不低于90分的人数；

（2）已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为，求的分布列及数学期望．

附：若随机变量服从正态分布，则，，．

20．（12分）如图，在四面体中，，，二面角是直二面角，为的中点，点为线段上一点，且．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的平面角的余弦值．

21．（12分）已知椭圆过点，且与曲线有共同的焦点．

（1）求椭圆的标准方程．

（2）过椭圆的右焦点作直线与椭圆交于，两点，设，若，，点，求的取值范围．

22．（12分）已知函数，．

（1）当时，求的零点；

（2）若，求的取值范围．

高三模拟考试卷（三）答案

1．解：，，

，．

故选：．

2．解：，

，

复数的共轭复数的虚部为，

故选：．

3．解：由，，且与方向相反，

所以，

即，

解得或，

当时，，，与反向，

当时，，，与同向，

所以实数的值为．

故选：．

4．解：根据题意，函数，

则，

则有，

故，

若，则，

故选：．

5．解：实线的数据为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，

虚线的数据为：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，

所以实线数据的平均数为，

实线的方差为，

同理可求出虚线的平均数为7，方差为1.2，

所以甲、乙两人中靶环数的方差分别为1.2，5.4．

故选：．

6．解：是第四象限角，且，

，

，

，

．

故选：．

7．解：圆的圆心到直线的距离为，

如图所示：

上的点到直线的距离小于或等于2，

所以，，所以，，

所以圆上任意一点到直线的距离大于2的概率为

．

故选：．

8．解：函数，，

当时，在，上恒成立，

所以在，上单调递增，

当，时，，，

所以不等式等价于，

即，

因为存在，，使成立，

则，

因为，

所以，所以，

所以，因为，

所以，

结合选项可知，的可能取值为．

故选：．

9．解：对于，因为，所以，，故正确；

对于，当，时，，故不正确；

对于，因为，，所以，所以，故正确；

对于，当时，不成立，

故选：．

10．解：．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，方差变为原来的倍，故错误，

．从中任取3条共有4种，若三段能构成三角形，则只有3，5，7，一种，则构成三角形的概率是，故正确，

．，两个变量的线性相关性越强，，线性相关性越弱，故错误，

．由题意知，（B）（A），

设（A），（B），则，

得得，即，得或，

得（舍或，即事件发生的概率为，故正确．

故正确的是，

故选：．

11．解：函数的图象关于直线对称，

则，，，函数．

函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，显然所得图象关于原点对称，故正确；

当，，，，故函数在，上单调递增，故正确；

当，，，，故当，，时，函数取得最大值，故正确；

若，则的最小值为的半个周期，即，故错误，

故选：．

12．解：的焦点，准线方程为，

对于，设，，在准线上的射影为，，，

由，，，可得线段为直径的圆与准线相切，与直线轴相交，故对；

对于，设，，，，

的中点的横坐标为，到轴的距离．显然以线段为直径的圆与轴相交，故对；

对于，利用，，可得，，，故错；

对于，，故对．

故选：．

13．解：，

．

故答案为：．

14．函数的导数，

则在点处的切线斜率，

所以切线方程为，

即，令，则，令，则，

所以切线与坐标轴的两个交点为，，，

则对应的三角形的面积．

故答案为：．

15．解：命题，解不等式得；

命题，不等式可化为；

设，，，

则，，，

所以，是单调增函数，

所以；

若是的充分条件，则的取值范围是．

故答案为：．

16．解：设分钟后点转至点，和水面重合，，

如图所示：

则分钟后，，

，

转一圈需要30分钟，每分钟转，

当时，，代入得：（舍去），

当时，，代入得：，可取，

点至少经过12分钟进入水中．

故答案为：12．

17．解：（1）若选①，由已知得，

故由正弦定理得．

由余弦定理得．

因为，

所以．

若选②，因为，

由二倍角公式可得，可得，

因为，所以．

若选③，由题设及正弦定理得，

因为，所以，

由，可得，

故，因为，故，

因为，因此．

（2）由已知，当有且只有一解时或，

，

①当时，为直角三角形；

②当时，，

由余弦定理可得，

，当且仅当时等号成立，

三角形面积为，

面积的最大值．

18．（12分）已知各项均为正数的数列满足，且，．

（1）证明：数列是等差数列；

（2）数列的前项和为，求证：．

证明：（1）依题意，，

整理得：，

解得：或（舍，

又，

，

解得：或（舍，

猜想：．

下面用数学归纳法来证明：

①当时，结论显然成立；

②假设当时，有，

则，

即，

整理得：，

解得：或（舍，

即当时结论成立；

由①②可知，，

于是数列是首项、公差均为1的等差数列；

（2）由（1）可知，

则，

于是

．

19．解：（1）因为学生笔试成绩服从正态分布，其中，，

，

所以，

所以估计笔试成绩不低于90分的人数为人；

（2）的取值分别为0，3，5，8，10，13，

则，，

，

，

，

，

故的分布列为：

所以数学期望为．

20．（1）证明：，且为的中点，，

又直二面角，且平面平面，

平面，

平面，，

，，平面，平面，

平面．

（2）解：连接，

，且为的中点，

，，

由（1）知，平面，，

故以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

，1，，，0，，

由（1）可知，平面，

为平面的一个法向量，，

设平面的一个法向量为，则，即，

令，则，，

，，

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

21．解：（1）设椭圆的焦距为，由题意，得，

设椭圆的标准方程为，

则又解得或舍去），

所以，

故椭圆的标准方程为．

（2）由题意设直线的方程为．

将直线的方程代入中，得

设，，，，，可得①②，

将上面两式①式平方除以②式，得．

因为，所以，且，

则，

由，所以，

因为，

所以，

又，所以，

故，

令，因为，

所以，即，

所以，

而，所以，

所以．

22．解：（1）由题知：当时，

，

令，所以，

所以在上单调递增，且，

所以，当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

所以，所以的零点为．

（2）因为，

当时，，令（a），

因为（a）；所以（a）在上单调递增，

所以（a）（1），即，所以不合题意，

当时，令，则，

所以在上单调递增，

且，，

所以存在，，使得，

即，

所以，当时，设，在上单调递减，

当，时，设，在，上单调递增，

所以

，

综上，所求的取值范围为．