2021年高考数学模拟考试卷九含解析

高考数学模拟考试卷（九）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，，则　　

A．， B．， C．， D．，

2．（5分）若复数为虚数单位），则在复平面对应的点所在象限为　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．（5分）的展开式中常数项为　　

A． B． C．84 D．672

4．（5分）有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为3个，现在有一个这样的细菌和110个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要　　

A．4秒钟 B．5秒钟 C．6秒钟 D．7秒钟

5．（5分）已知，，且，则的最小值是　　

A． B． C．20 D．25

6．（5分）设，则　　

A． B． 

C． D．

7．（5分）已知抛物线的焦点为，过的直线与圆交于，两点，则的值是　　

A． B． C．4 D．不确定的

8．（5分）函数的图象关于轴对称，时，，（2）．又，则的解集为　　

A． B．， C． D．或

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9．（5分）已知命题，，则　　

A．是真命题 B．， 

C．是真命题 D．，

10．（5分）某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了80名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速分成六段：，，，，，，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论正确的是　　

A．这80辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5 

B．在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过的概率为0.65 

C．若从样本中车速在，的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在，的概率为             

D．若从样本中车速在，的车辆中任意抽取2辆，则车速都在，内的概率为

11．（5分）已知函数，的一条对称轴方程为，相邻的一个对称中心为，，则下列说法正确的是　　

A． 

B．函数在上单调递减 

C．将函数的图像向右平移个单位长度，可得到一个奇函数的图像 

D．若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是，

12．（5分）如图，在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，为面对角线上任一点，则下列说法正确的是　　

A．平面内存在直线与平行 

B．平面截正方体所得截面面积为 

C．直线和所成角可能为 

D．直线和所成角可能为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知向量，若，则　　．

14．（5分）若，则　　．

15．（5分）已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的表面积为　　．

16．（5分）已知双曲线的两焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线交于，两点，若且为等腰三角形，则双曲线的离心率为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中正整数存在，求的值；若问题中的正整数不存在，说明理由．

问题：已知等差数列的前项和为，各项为正的等比数列的前项和为，，，且_______，是否存在正整数使成立？

18．（12分）如图，在梯形中，，，，．

（1）若，求梯形的面积；

（2）若，求．

19．（12分）如图，在四棱锥中，侧面为钝角三角形且垂直于底面，底面为直角梯形且，，，点是的中点．

（1）求证：平面；

（2）若直线与底面所成的角为，求与平面所成角的正弦值．

20．（12分）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺鲁比克教授于1974年发明的．魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹．通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为的正方体结构，由26个色块组成．常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原．截至2020年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录，单次3.475秒．

（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度（秒与训练天数（天有关，经统计得到如下数据：

现用作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度约为多少秒（精确到？参考数据（其中

（2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面．某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动，记顶面白色色块的个数为，求的分布列及数学期望．

21．（12分）已知，椭圆经过点且焦距为4．

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点，求的最小值；

22．（12分）已知函数，其中是自然对数的底数．

（1）设存在，，使得成立，求正实数的取值集合；

（2）若，比较与的大小，并证明你的结论．

高三模拟考试卷（九）答案

1．解：集合，，，

则，，

故选：．

2．解：，

则在复平面内对应的点，所在象限为第三象限．

故选：．

3．解：的展开式的通项为，

令，得，所以常数项为．

故选：．

4．解：，

，，解得．

即至少需5秒细菌将病毒全部杀死．

故选：．

5．解：，时，且，所以，

即，

所以，

当且仅当时取等号，

所以的最小值是25．

故选：．

6．解：，，，

，且，，

，

故选：．

7．解：抛物线的焦点的坐标为，

设直线方程为，，，，，

所以，，

，，

，，，，

．

故选：．

8．解：因为函数的图象关于轴对称，

所以为偶函数，则（2），

当，时，，故为单调减函数，

所以当时，，故为单调增函数，

故当或时，，

当时，，

因为，则，

故不等式即为，

所以有或，

解得或，

所以的解集为．

故选：．

9．解：全称量词命题的否定是存在量词命题，

命题，，是全称命题，它的否定是：，，所以错误，正确；

当时，；当时，．所以正确；错误；

故选：．

10．解：对于：由图可知，众数的估计值为最高矩形的中点对应的值，故正确，

对于：车速超过的，故正确，

对于：从样本中车速在，的车辆有辆，

车速在，的车辆有辆，车速在，的车辆有8辆，

中任意抽取2辆，车速都在，的概率为，

则至少有一辆车的车速在，的概率为，故正确，

对于：车速都在，内的概率为，故错误．

故选：．

11．解：函数，的一条对称轴方程为，相邻的一个对称中心为，，

则周期，解得，

又，，

解得，可得不正确．

．

由，可得：，，可得函数在上单调递减，因此正确．

将函数的图像向右平移个单位长度，可得到，为一个奇函数，因此正确．

由，，可得，，可得在，上单调递减，在，上单调递增．

若方程有两个不相等的实根，则实数，因此的取值范围是，．因此正确．

故选：．

12．解：选项：直线平面，平面平面直线，

直线与直线不平行，于是错；

选项：平面截正方体为平面，该四边形为等腰梯形，

，于是正确；

，选项：当点在时两直线的夹角最小，当在处时两直线的夹角最大，

，所以可得，于是正确，

，故错误．

故选：．

13．解：，，，，

，

，解得．

故答案为：4．

14．解：若，

则．

故答案为：．

15．解：由题意画出几何体的图形如图，

题意得知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，则三棱柱为球的内接直三棱柱（如图所示）；由勾股定理可知

，

可得球的半径，

由公式有球的表面积．

故答案为：．

16．解：当时，设，，则，，

，，即，得，，

由，得，

，得；

当时，设，，则，，

，，得，则，，

由，得，

，得．

故答案为：或．

17．解：选①，

是等差数列，其前项和为，设其公差为．

，则，

，，得，

，；

等比数列的前项和为，设其公比为，

，，，，得，

，则，，

，

可得，9，10，

存在正整数使，，9，10；

选②，

各项为正的等比数列的前项和为，设其公比为，，．

，，则，

，，解得或（舍去负的）

，；

是等差数列，前项和为，设其公差为．

，，

，，得，

，，

则，，9，10，

存在整数使，，9，10；

选③，

各项为正的等比数列的前项和为，设其公比为，，．

，，则，

，或（舍去负的），

，；

是等差数列，前项和为，设其公差为．

，，

，，得，

，，

，

，是单调递增的，且（3），（4），．

存在唯一的正整数使．

18．解：（1）设，在中，由余弦定理可得，整理可得：，解得，

所以，则，

因为，所以，

所以；

（2）设，则，，，，

在中，由正弦定理可得，

在中，由正弦定理可得，

两式相除可得，展开可得，

所以可得，

即，

解得或，

又因为，，

所以，即．

19．（1）证明：取的中点，连接，

设，则，，，

，，，

四边形是正方形，

，，，

，

，故，

平面平面，平面平面，平面，，

平面．

（2）解：过作，交延长线于，

平面平面，平面平面，平面，，

平面，

为直线与底面所成的角，故，

，，，

以为原点，以，，及平面的过点的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，0，，，0，，，，，，，，

是的中点，，，，

，，，，0，，，，，

设平面的法向量为，，，则，即，

令可得，，，

，，

与平面所成角的正弦值为，．

20．解：（1）由题意可知：，

，

所以，因此关于的回归方程为：，

所以最终每天魔方还原的平均速度约为13秒；

（2）由题意可知：的可能取值为3，4，6，9，

，，

，，

所以的分布列为：

数学期望为．

21．解：（1）根据题意，椭圆，其焦点在轴上，

焦距为4，则，则焦点的坐标为，，

椭圆经过点，则，则有，

则，

故椭圆的方程为；

（2）设，，，，线段的中点为，，则，

①当直线不垂直于轴时，设直线的斜率为，则直线方程为，

则有，

，两式相减可得：，

变形可得，则有，

又中点，在直线（即上，所以，

则，变形可得，

②当直线垂直于轴时，

直线经过点，此时，其中点为，也满足上式．

综合可得：，

，

当时，等号成立，即的最小值为；

22．解：（1）令函数，

则．

当时，，

又，故

所以是，上的单调增函数，

因此在，的最小值是（1）．

由于存在，，使成立

当且仅当最小值（1）．

故，即，则．

（2）令函数，则．

令，得，

当时，，故是上的单调减函数．

当时，，故是上的单调增函数

所以在上的最小值是．

注意到（1）（e），

所以当，，时，（1）．

当，，时，（e）

所以对任意的成立．

①当时，（a），即，从而；

②当时，；

③当，，时，（a）（e），即，

故

综上所述，当时，；

当时，；

当时，．