2021年高考数学模拟考试卷六含解析

高考数学模拟考试卷（六）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，，则有　　

A．   B． 

C． D．

2．（5分）已知复数满足，则在复平面内，复数所对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．（5分）甲、乙两人下棋，和棋的概率为．甲不输的概率为，则乙不输的概率为　　

A． B． C． D．

4．（5分）已知数列中，，．若为等差数列，则　　

A． B． C． D．

5．（5分）函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

6．（5分）2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有　　

A．36种 B．48种 C．72种 D．144种

7．（5分）在四面体中，和均是边长为1的等边三角形，已知四面体的四个顶点都在同一球面上，且是该球的直径，则四面体的体积为　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知函数，实数，满足不等式，则下列不等关系成立的是　　

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9．（5分）下列不等式正确的为　　

A．若，，，则 

B．若，，，则 

C．若，则 

D．若，，，则

10．（5分）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数，，的图象．已知函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是　　

A．的最小正周期为 

B．在区间，上单调递减 

C．的图象关于直线对称 

D．的图象关于点，成中心对称

11．（5分）在棱长为1的正方体中，点在棱上，则下列结论正确的是　　

A．直线与平面平行 

B．平面截正方体所得的截面为三角形 

C．异面直线与所成的角为 

D．的最小值为

12．（5分）已知双曲线满足条件：（1）焦点为，；（2）离心率为，求得双曲线的方程为，若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线的方程仍为，则下列四个条件中，符合添加的条件可以为　　

A．双曲线上的任意点都满足 

B．双曲线的虚轴长为4 

C．双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合 

D．双曲线的渐近线方程为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知，则的最小值为　　．

14．（5分）已知在，上单调递增，．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为　　．

15．（5分）有六条线段，其长度分别为2，3，4，5，6，7．现任取三条，则这三条线段在可以构成三角形的前提下，能构成锐角三角形的概率是　　．

16．（5分）若的内角、满足，则的最大值为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若，_______，求的周长．

18．（12分）在数列，中，已知数列的前项和满足．

（1）若，求证：数列是常数列，并求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

19．（12分）如图，四边形为直角梯形，，，，，为的中点，点在上，且，以为折痕把四边形折起，使二面角为直角，点，折起后的位置分别记为点，．

（1）求证：平面；

（2）在线段上存在一点，使平面与平面所成的二面角的余弦值为．延长到点，使，判断直线是否在平面中，说明理由．

20．（12分）电子邮件是一种用电子手段提供信息交换的通信方式，是互联网应用最广的服务．通过网络的电子邮件系统，用户可以以非常低廉的价格（不管发送到哪里，都只需负担网费）、非常快速的方式（几秒钟之内可以发送到世界上任何指定的目的地）．与世界上任何一个角落的网络用户联系．我们在用电子邮件时发现了一个有趣的现象，中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人邮箱名称里含有数字的比较少．为了研究邮箱名称里含有数字是否与国籍有关，随机调取40个邮箱名称，其中中国人的20个，外国人的20个，在20个中国人的邮箱名称中有15个含数字，在20个外国人的邮箱名称中有5个含数字．

（1）根据以上数据填写列联表：

（2）能否有的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”？

（3）用样本估计总体，将频率视为概率．在中国人邮箱名称里和外国人邮箱名称里各随机调取6个邮箱名称，记“6个中国人邮箱名称里恰有3个含数字”的概率为，“6个外国人邮箱名称里恰有3个含数字”的概率为，试比较与的大小．

附：临界值参考表与参考公式

，其中

21．（12分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且直线与圆相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）设斜率为且不过原点的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，直线，的斜率分别为，，若，，成等比数列，推断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．

22．（12分）已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．

高三模拟考试卷（六）答案

1．解：集合，

，，．

故选：．

2．解：复数满足，，

，，

则在复平面内，复数所对应的点位于第二象限，

故选：．

3．解：设甲获胜，甲不输，甲乙和棋，则甲乙互斥且，

（B）（A）（C），

所以（A）（B）（C）．

则乙不输的概率为．

故选：．

4．解：设等差数列的公差为，

则，即，解得．

则，解得．

故选：．

5．（解：由，得，函数的定义域为，关于原点对称，

，

为奇函数，排除选项和，

，

在定义域内为减函数，

故选：．

6．解：根据题意，分3步进行分析：

①在4名记者中任选2人，在3名摄影师中选出1人，安排到“云采访”区域采访，有种情况，

②在剩下的外2名记者中选出1人，在2名摄影师中选出1人，安排到“汽车展区”采访，有种情况，

③将最后的1名记者和1名摄影师，安排到“技术装备展区”采访，有1种情况，

则有种不同的安排方案，

故选：．

7．解：在四面体中，和均是边长为1的等边三角形，

四面体的四个顶点都在同一球面上，且是该球的直径，

，，

，，，

平面，

四面体的体积为：

．

故选：．

8．解：的定义域为，，

是上的奇函数，

，则是上的增函数，

由得，，

，

．

故选：．

9．解：对于，若，则，故错误；

对于，若，，，则，

当且仅当，即时等号成立，

所以，故正确；

对于，若，当时，，所以，则，

当，，所以，则，故正确；

对于，若，，，则，当且仅当时等号成立，

所以，故正确．

故选：．

10．解：根据函数，，的图象，

可得，，．

再根据五点法作图，，，．

由题意，把的图象的横坐标变为原来的，向右平移个单位长度，

得到的图象．

显然，的最小正周期为，故不正确；

当，，，，故在区间，上单调递减，故正确；

由于当时，，为最大值，故的图象关于直线对称，故正确、不正确，

故选：．

11．解：对于选项，如图1所示，因为平面平面，平面，

则直线与平面平行，故选项正确；

对于选项，如图1所示，平面截正方体所得的截面为四边形，故选项错误；

对于选项，如图2所示，异面直线与所成的角为，

故异面直线与所成的角为，故选项正确；

对于选项，如图3所示，，

如图4所示，原问题等价于：，和的距离为1，

在上找一点使得到和两点间的距离之和最小，

只需找到关于的对称点，的最小值即为线段的长度，

故，故选项错误．

故选：．

12．解：对于，因为，

所以，

又焦点为，，

可得，

所以离心率，故符合条件；

对于，双曲线的虚轴长为4，

所以，，

则离心率，故不符合条件；

对于，双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合，

可得，，故不符合条件；

对于，因为渐近线的方程为，

可得，

又，，解得，

则离心率，故符合条件．

故选：．

13．解：由已知可得：，

所以，

当且仅当，即时取等号，

此时的最小值为9，

故答案为：9．

14．解：在，上单调递增，

在，恒成立，

即在，恒成立，

，

，若是的充分不必要条件，

，

故的取值范围为，

故答案为：．

15．解：有六条线段，其长度分别为2，3，4，5，6，7．

现任取三条，则这三条线段能构成三角形包含的基本事件有：

，3，，，4，，，5，，，6，，，4，，，4，，，5，，

，5，，，6，，，5，，，5，，，6，，，6，，共13个，

其中能构成锐角三角形的基本事件有：

，5，，，6，，，6，，共3个，

能构成锐角三角形的概率是．

故答案为：．

16．解：因为，

又，

所以，即为钝角，

又，

所以，

即，

所以，

故，

当且仅当即时取等号，

则的最大值．

故答案为：．

17．解：（Ⅰ）因为，

可得，即，

因为，，

所以，即，

因为，，

所以，可得．

（Ⅱ）若选择条件①，

因为，

所以，

由余弦定理可得，所以，可得，又，解得，

因此的周长为．

若选择条件②，

在中，由正弦定理可得，

所以，，

所以的周长为．

若选择条件③，由余弦定理可得，

所以，即，解得，，

因此的周长为．

18．证明：（1），，

，

当时，，解得，

当时，，

两式相减可得，

，

即，

数列是常数列，

首项，即，

．

解：（2），则是首项为2，公比为2的等比数列，

，

，

，

．

19．解：（1）证明：，，，，

，即，

又平面面，平面面，

平面，．

为的中点，，，，，

，，

，，

，即．

又，平面；

（2）由（1）可知平面，，，，

如图，以为原点建立空间直角坐标系，

则，0，，，2，，，0，，，1，，，0，，

设，则，，，

，1，，，，，

设平面的法向量为，，，

则，可取，0，，

又平面的法向量为，0，，

，，解得或（舍，

，1，，，0，，

由可得，0，，，，．

，故点在平面内，

直线在平面内．

20．解：（1）根据题意填写列联表如下：

（2）由表中数据，计算，

对照临界值表知，能有的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”．

（3）用样本估计总体，将频率视为概率．根据列联表中，中国人邮箱名称里含有数字的概率为，

外国人邮箱名称里含有数字的概率为，

设“6个中国人邮箱名称里恰有3个含数字”的人数为随机变量，

“6个外国人邮箱名称里恰有3个含数字”的人数为随机变量，

根据题意知，，；

所以计算，

；

所以．

21．解：（1）因为抛物线的焦点为，，

则，所以．（2分）

因为直线与圆相切，

则，即．（4分）

解得，，所以椭圆的方程是．（5分）

（2）设直线的方程为，点，，，，

将直线的方程代入椭圆方程，得，

即，

则，．（7分）

由已知，，

则，

即，所以，即．

因为，则，即，从而，．（10分）

所以

．

为定值．（12分）

22．解：（1）的定义域为，

，

当时，，故在单调递增；

当时，，故在单调递减；

当时，令，解得．

则当时，；，时，．

故在，单调递增，在，单调递减；

（2）因为，所以当时，恒成立，

，

令，则，

因为，由得，

且当时，；当时，．

所以在上递增，在上递减．

所以（1），

故．