2021年高考数学模拟考试卷十二含解析

高考数学模拟考试卷（十二）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，集合，，0，，则　　

A．， B．，， C．，0， D．，，0，

2．（5分）若复数满足，则在复平面内所对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．（5分）某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为、、，且、、构成等差数列，则第二车间生产的产品数为　　

A．800 B．1000 C．1200 D．1500

4．（5分）中，点为上的点，且，若，则的值是　　

A．1 B． C． D．

5．（5分）函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

6．（5分）在中，，，，点，分别在边，上，点，在上，且四边形为矩形（如图所示），当矩形的面积最大时，在内任取一点，该点取自矩形内的概率为　　

A． B． C． D．

7．（5分）已知函数，若在区间上不存在零点，则的取值范围是　　

A． B． 

C． D．

8．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点．若，则双曲线的离心率的取值范围是　　

A． B．， C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9．（5分）已知数列的通项公式为，，，下列仍是数列中的项的是　　

A． B． C． D．

10．（5分）为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从两个班各抽取7位同学分成甲、乙两组参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，则下列描述正确的有　　

A．甲、乙两组成绩的平均分相等 

B．甲、乙两组成绩的中位数相等 

C．甲、乙两组成绩的极差相等 

D．甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差

11．（5分）设，为正数，若直线被圆截得弦长为4，则　　

A． B． C． D．

12．（5分）在长方体中，，，是线段上的一动点，则下列说法中正确的　　

A．平面 

B．与平面所成角的正切值的最大值是 

C．的最小值为 

D．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）若的展开式中的系数是，则它的展开式中的常数项为　　．

14．（5分）已知曲线和直线，点在曲线上，点在直线上，则的最小值是　　．

15．（5分）若函数的图象关于点，对称，且关于直线对称，则　　（写出满足条件的一个函数即可）．

16．（5分）若曲线与曲线存在公切线，则的取值范围为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在中，已知角，，所对的边分别为，，，且．

（1）求；

（2）若，，求的面积．

18．（12分）已知数列的前项和为，若，且的最大值为25．

（1）求的值及通项公式；

（2）求数列的前项和．

19．（12分）全球变暖已经是近在眼前的国际性问题，冰川融化、极端气候的出现、生物多样性减少等等都会给人类的生存环境带来巨大灾难．某大学以对于全球变暖及其后果的看法为内容制作一份知识问卷，并邀请40名同学（男女各占一半）参与问卷的答题比赛，将同学随机分成20组，每组男女同学各一名，每名同学均回答同样的五个问题，答对一题得一分，答错或不答得零分，总分5分为满分．最后20组同学得分如表：

（1）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为“该次比赛是否得满分”与“性别”有关；

（2）随机变量表示每组男生分数与女生分数的差，求的分布列与数学期望．

参考公式和数据：，．

20．（12分）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，，点是棱上的动点（不含端点），，分别为，的中点．

（1）求证：平面；

（2）若平面，，，，求二面角的余弦值．

21．（12分）已知椭圆的离心率为，的长轴是圆的直径．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的左焦点作两条相互垂直的直线，，其中交椭圆于，两点，交圆于，两点，求四边形面积的最小值．

22．（12分）已知函数．

（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求函数在，最大值；

（2）当时，设函数的两个零点为，，试证明：．

高三模拟考试卷（十二）答案

1．解：，，，0，，

，0，．

故选：．

2．解：因为，

所以，

所以在复平面内所对应的点为在第二象限．

故选：．

3．解：、、构成等差数列，

，

则第二车间生产的产品数为，

故选：．

4．解：，

所以，

所以，

若，

则，，．

故选：．

5．解：函数为非奇非偶函数，图象不对称，排除，

当，，排除，

恒成立，排除，

故选：．

6．解：由题意知，边上的高为，设，，

，，，

矩形的面积为：

，

当且仅当，即时，取等号，

的面积为，

当矩形的面积最大时，在内任取一点，

该点取自矩形内的概率为．

故选：．

7．解：函数，

若在区间上不存在零点，

故或，

解得．

故选：．

8．解：在中，，，，，

由双曲线的定义知，，

在△中，由余弦定理知，，

，

解得，

，

，

，即，

，

离心率，．

故选：．

9．解：，，，

，，

，

，

故选：．

10．解：因为，所以甲组成绩的平均分小于乙组成绩的平均分，

甲、乙两组成绩的中位数均为6，

甲、乙两组成绩的极差均为4，

甲组的成绩比乙组的更加稳定，所以甲组成绩的方差小于乙组成绩的方程．

故选：．

11．解：由，得，

可得圆心坐标为，半径为2，

直线被圆截得弦长为4，

直线过圆心，则，即，

又，为正数，，可得，当且仅当，时取等号．

又

，

当且仅当，即时取等号．

故选：．

12．解：对于，由于平面平面，所以平面，所以正确；

对于，当时，与所成角的正切值最大，最大值是，所以正确；

对于，将△沿翻折与在同一个平面，且点，在直线的异侧，

此时，此时，所以的最小值为，所以正确；

对于，由于平面，所以交线为以为圆心，半径为1的四分之一圆周，所以交线长为，所以正确．

故选：．

13．解：展开式的通项为，

令，解得，

所以的系数为，解得，

所以二项式的常数项为，

故答案为：．

14．解：由曲线的方程，得，则．

由直线的斜率为，可得，解得；因为曲线关于坐标原点对称，不妨取，结合，解得，

所以，在曲线上与直线平行的切线的切点坐标为，

因此的最小值即为该点到直线的距离，即，

故答案为：．

15．解：设，

函数的图象关于点，对称，且关于直线对称，

的一个周期为，

，

，

又的图象关于直线对称，

当时，有，

不妨取，则，，即，，

令，则，

．

故答案为：（答案不唯一）．

16．解：由，得，

由，得，

曲线与曲线存在公共切线，

设公切线与曲线切于点，，与曲线切于点，，

则，

可得，

，

记，

则，

当时，，递减；

当时，，递增．

当时，．

的范围是，．

故答案为：，．

17．解：（1）因为，

所以由余弦定理可得：，

所以解得．

（2）因为，，由正弦定理可得，解得，

又，

所以，可得，

可得．

18．解：（1），

当为偶数时，可得时，的最大值为，

则，解得成立；

若为奇数，则或时，

的最大值为，

该方程无整数解．

所以，

可得，

当时，，

上式对也成立，

故，；

（2），

则，

，

两式相减可得

，

化为．

19．解：（1）列联表如下：

所以，

所以没有的把握认为“该次比赛是否得满分”与“性别”有关；

（2）可以取值为，，0，1，2，

；；；；，

所以的分布列为：

所以．

20．（1）证明：取中点，取中点，连接、，

所以，

又因为四边形是梯形，，所以，

，平面，

，、平面，

所以平面平面，因为平面，

所以平面．

（2）解：因为平面，所以，，又因为，

所以、、两两垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意得各点坐如下：

，0，，，1，，，0，，，，

，1，，，0，，，，，

设平面与平面法向量分别为，，，，，，

，令，，，，

，令，，，，

，

所以二面角的余弦值为．

21．解：（1）由，得，

由，得，所以，

所以椭圆的方程为．

（2）由（1）可得，

①当过点的直线的斜率不存在时，，，

所以，

②当过点的直线的斜率为0时，，，

这是，

③当过点的直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，，，，，

由，得，

所以，，

，

所以，

直线的方程为，

坐标原点到直线的距离，

则，

所以，

由，得，

即，，

综上所述，四边形的面积的最小值为2．

22．解：（1）函数的定义域为，

，

在处的切线与直线垂直，

，

由，（负值舍去），

所以函数在上单调递增，在，单调递减，

故有最大值．

（2）当时，．．

函数在单调递增，在单调递减．

且（1），（e），，

故函数的两个零点为，满足，

令，，

在恒成立，

在递增，（1）在恒成立，

，又，

，

，，又在单调递减，

，即．