2021上海市金山区高三下学期数学4月二模试题答案

2021届上海市金山区高三下学期数学4月二模试题答案

(满分：150分，完卷时间：120分钟) 

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．

1．4； 2．0； 3．{x|0≤x<1}  {或}； 4．–2； 5．1； 6．；

7．； 8．； 9．； 10．8； 11．22021； 12．．

二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．B； 14．B； 15．C； 16．D．

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．(本题满分14分，第1小题满分5分，第2小题满分9分)

解：(1) 联结，在△ABC中，由余弦定理可得，

，…………………3分

所以=，即的长度为(km)；…………………………………………5分

(2) 记AD=a，CD=b，则在△ACD中，由余弦定理可得：

，即，……………………………………………7分

从而，

所以，，当且仅当时，等号成立；……………………11分

新建健康步道的最长路程为8(km)，又(km),………………13分

故新建的健康步道A-D-C的路程最多可比原有健康步道A-B-C的路程增加1.39(km)．…14分

18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

解：(1)设，由题设，………………………………2分

得，即，解得．………………5分

故的长为；……………………………………………………………………………………6分

(2)以点为坐标原点，射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系．

由已知及（1），可知，，，，……………………………9分

设是平面的法向量，则，，

其中，，则由即解得，，取，得平面的一个法向量，且；……………………………………………………12分

在平面A1BC1上取点C1，可得向量，于是点D到平面的距离．………………………………………………………………………………14分

注：若利用体积等积法来解，则相应给分．

19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

解：(1) 抛物线的焦点为，则圆心为，…………………………………………4分

故圆的方程为，……………………………………………………………………6分

(2) 假设存在定点()满足题意，设直线，

联立，消去，得，…………………………………………9分

设、，则， ………………………………………………10分

当且仅当，即时，为定值，……………………13分

故存在，使得为定值．…………………………………………14分

20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分)

(1) 证明：由，得，从而，

，

又，故数列为等比数列； …………………………………………4分

(2) 解：由(1)得，，故，

所以，……………………………………6分

，

令，则，

解得，故使得的整数的最小值为10；……………9分

 (3) 解：假设存在正整数、、满足题意，则，

即，

即  (1)……………………12分

由得，，；

所以为奇数，而、均为偶数，故(1)式不能成立；

即不存在正整数m、n、k，且m<n<k，使得、、成等差数列.……………………16分

21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分)

解：(1) 由为“函数”，得

即，解得，故实数的值为；…………………………4分

(2) 由函数为“G(1)函数”可知，存在实数，使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)，，即；…………………………………6分

由，得, 整理得.

① 当时，，符合题意；

② 当时，由，即，

解得且；……………………………………………………………8分

综上，实数的取值范围是；…………………………………………………9分

(3) 由为“函数”，得，

即，从而，，………………………………………………………10分

不妨设，则由，即，…………………………12分

得，

令，则在区间上单调递增，……………………………………14分

又,……………………………………………………16分

如图，可知，故实数的最大值为1.………………………………………………18分

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