2021年江西省赣州市全南县中考数学模拟试卷（含解析）

这是一份2021年江西省赣州市全南县中考数学模拟试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣2020的倒数是（ ）
A．﹣2020B．2020C．D．﹣
2．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．a5+a5＝a10B．a7÷a＝a6C．a3•a2＝a6D．（﹣a3）2＝﹣a6
3．（3分）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）2019年5月26日第5届中国国际大数据产业博览会召开．某市在五届数博会上的产业签约金额的折线统计图如图．下列说法正确的是（ ）
A．签约金额逐年增加
B．与上年相比，2019年的签约金额的增长量最多
C．签约金额的年增长速度最快的是2016年
D．2018年的签约金额比2017年降低了22.98%
5．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1＝S2+S3B．S2＝S3C．S3＞S2＞S1D．S1S2＜S32
6．（3分）如图是由三个相同的小正方形组成的图形，在图中补画一个相同的小正方形，使补画后的四个小正方形所组成图形为轴对称图形的方法有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）的平方根为 ．
8．（3分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S＝．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为 ．
9．（3分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB＝75°，则∠PNM的余弦值为 ．
10．（3分）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE＝，则BC的长是 ．
11．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根为x1，x2．则x12+2x2﹣2x1x2的值为 ．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C旋转得到△A′B′C，且B′C∥AB，则BB′的长为 ．
三、（本大题共6小题，每小题3分，共30分）
13．（3分）计算：．
14．（3分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠ABF＝30°，EF为AB的垂直平分线，垂足为E，交AD于F，连接BF，求∠ABD的度数．
15．（6分）解不等式组并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
16．（6分）如图，是由5×6个边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，在AB，BC上各取一点D，E，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．
（1）在图①中画线段DE，使线段DE∥AC且；
（2）在图②中画线段DE，使线段DE∥AC且．
17．（6分）为庆祝建国70周年，某中学决定举办校园歌咏比赛．学生从《歌唱祖国》、《我的祖国》、《我爱你中国》、《我和我的祖国》中随机选择一首歌报名参加：
（1）小芳选择《我和我的祖国》的概率为 ；
（2）小东和小颖报名参加了比赛，用列表法或画树状图法求出他们选中同一首歌曲的概率．
18．（6分）如图，一次函数y＝x+1的图象交y轴于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（m，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
19．（8分）“学习强国”是一个纵向到底、横向到边学习平台，受到了广大人民群众的青睐，某公司为了了解员工每周在“学习强国”平台上的学习（设时间为x小时）情况，随机抽取了若干名员工进行了问卷调查．
数据整理：将调查所采集的数据进行了如下整理：
将调查结果分为四个等级，A：0≤x≤3、B：3＜x≤6、C：6＜x≤9、D：x＞9．
并将调查结果绘制成两个不完整的统计图．
（1）补全上面的条形统计图和扇形统计图中B、D；
（2）公司员工每周学习时间的中位数落在等级 （填字母）；
（3）若该公司有900名员工，为了激发公司员工的学习热情，规定每周学习时间在6小时以上员工评为学习积极分子，请你估算该公司有多少人评为学习积极分子．
20．（8分）如图1是初心园的实景图，图2是它的示意图，它是一个正五角星，已知A、B、D、E四点共线，A、J、H、G四点共线，C、B、J、I四点共线，C、D、F、G四点共线，E、F、H、I四点共线，且CI∥MN，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH＝HI＝IJ＝JA，∠A＝∠C＝∠DEF＝∠FGH＝∠I＝36°，∠FEG＝∠FGE＝36°，现测得AB＝1m．
（1）求BJ的长．
（2）求点A到地面MN的距离．
（参考数据：sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，sin18°≈0.31，cs18°≈0.95）
21．（8分）小东根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）化简函数解析式，当x≤2时，y＝ ；当x＞2时，y＝ ；
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y＝的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：若直线y＝ax+a﹣2（a＞1）与函数y＝在第一象限内有交点，则a的取值范围为 ．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22．（9分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，AB＝8，求CE的长．
23．（9分）定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”．
例如：如图1，AD把△ABC分成△ABD和△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“华丽分割线”．
（1）【定义感知】
如图1，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝110°，AB＝BD．
求证：AD是△ABC的“华丽分割线”．
（2）【问题解决】
①如图2，在△ABC中，∠B＝46°，AD是△ABC的“华丽分割线”，且△ABD是等腰三角形，则∠C的度数为 ．
②如图3，在△ABC中，AB＝2，AC＝，AD是△ABC的“华丽分割线”，且△ABD是以AD为底边的等腰三角形，求华丽分割线AD的长．
六、（本大题共12分）
24．（12分）已知，如图，抛物线y＝x2﹣2ax﹣3a（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，且3OA＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABDC面积的最大值．
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点的平行四边形？如存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年江西省赣州市全南县中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）
1．（3分）﹣2020的倒数是（ ）
A．﹣2020B．2020C．D．﹣
【分析】乘积是1的两数互为倒数．依据倒数的定义回答即可．
【解答】解：﹣2020的倒数是，
故选：D．
2．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．a5+a5＝a10B．a7÷a＝a6C．a3•a2＝a6D．（﹣a3）2＝﹣a6
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方化简即可判断．
【解答】解：A．a5+a5＝2a5，故选项A不合题意；
B．a7÷a＝a6，故选项B符合题意；
C．a3•a2＝a5，故选项C不合题意；
D．（﹣a3）2＝a6，故选项D不合题意．
故选：B．
3．（3分）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据俯视图即从物体的上面观察得到的视图，进而得出答案．
【解答】解：该几何体的俯视图是：
．
故选：A．
4．（3分）2019年5月26日第5届中国国际大数据产业博览会召开．某市在五届数博会上的产业签约金额的折线统计图如图．下列说法正确的是（ ）
A．签约金额逐年增加
B．与上年相比，2019年的签约金额的增长量最多
C．签约金额的年增长速度最快的是2016年
D．2018年的签约金额比2017年降低了22.98%
【分析】两条折线图一一判断即可．
【解答】解：A、错误．签约金额2017，2018年是下降的．
B、错误．与上年相比，2016年的签约金额的增长量最多．
C、正确．
D、错误．下降了：≈9.4%．
故选：C．
5．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1＝S2+S3B．S2＝S3C．S3＞S2＞S1D．S1S2＜S32
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S3＝S2，即可得到结论．
【解答】解：∵点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，AD⊥y轴，BE，CF垂直x轴于点E、F，
∴S1＝k，S△BOE＝S△COF＝k，
∵S△BOE﹣SOME＝S△COF﹣S△OME，
∴S3＝S2，
故选：B．
6．（3分）如图是由三个相同的小正方形组成的图形，在图中补画一个相同的小正方形，使补画后的四个小正方形所组成图形为轴对称图形的方法有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
【分析】根据轴对称图形的概念，先确定出不同情况的对称轴，然后补全小正方形即可．
【解答】解：如图所示．
，
使补画后的四个小正方形所组成图形为轴对称图形的方法有4种．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）的平方根为 ± ．
【分析】根据平方根的定义求解．
【解答】解：的平方根为±＝±．
故答案为：±．
8．（3分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S＝．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为 1 ．
【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为1，2，的面积，从而可以解答本题．
【解答】解：∵S＝，
∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：
S＝＝1，
故答案为：1．
9．（3分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB＝75°，则∠PNM的余弦值为 ．
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠MND的度数，再根据∠PND＝45°，即可得到∠PNM的度数，从而可以求得∠PNM的余弦值．
【解答】解：∵AB∥CD，∠EMB＝75°，
∴∠MND＝∠EMB＝75°，
∵∠PMD＝45°，
∴∠PNM＝30°，
∴cs∠PNM＝cs30°＝，
故答案为：．
10．（3分）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE＝，则BC的长是 ．
【分析】由折叠的性质可知AE＝CE，再证明△BCE是等腰三角形即可得到BC＝CE，问题得解．
【解答】解：
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝＝72°，
∵将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处，
∴AE＝CE，∠A＝∠ECA＝36°，
∴∠CEB＝72°，
∴BC＝CE＝AE＝，
故答案为：．
11．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根为x1，x2．则x12+2x2﹣2x1x2的值为 7 ．
【分析】由根与系数的关系及方程的解的概念知x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，x12﹣2x1﹣1＝0，代入计算可得答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根为x1，x2．
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，x12﹣2x1﹣1＝0，
∴x12＝2x1+1，
∴x12+2x2﹣2x1x2＝2x1+1+2x2﹣2x1x2＝2×2+1﹣2×（﹣1）＝7，
故答案为：7．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C旋转得到△A′B′C，且B′C∥AB，则BB′的长为 2或 ．
【分析】分两种情况：①当B′在BC的左侧时，可得△BCB′是等边三角形，即可得到BB′的长；②当B′在BC的右侧时，可得△BCB′是顶角为120°等腰三角形，利用勾股定理即可得到BB′的长．
【解答】解：分两种情况：
①当B′在BC的左侧时，如图1，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵B′C∥AB，
∴∠BCB′＝∠ABC＝60°，
由旋转可得：BC＝B′C，
∴△BCB′是等边三角形，
∴BB′＝BC＝2．
②当B′在BC的右侧时，如图2，
∵B′C∥AB，
∴∠ACB′＝∠A，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠BCB′＝90°+30°＝120°，
由旋转可得：BC＝B′C＝2，
∴△BCB′是等腰三角形，∠CBD＝30°
过点C作CD⊥BB′，
∴BD＝2×cs30°＝，
∴B′B＝2BD＝2．
故答案为：2或2．
三、（本大题共6小题，每小题3分，共30分）
13．（3分）计算：．
【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝6﹣3+1+3
＝7．
14．（3分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠ABF＝30°，EF为AB的垂直平分线，垂足为E，交AD于F，连接BF，求∠ABD的度数．
【分析】因为EF为AB的垂直平分线，所以AF＝BF，∠FAB＝∠FBA＝30°，由菱形的性质，得∠A+∠ABC＝180°，得出∠ABC的度数，得∠ABD＝∠ABC．
【解答】解：∵EF为AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，∠FAB＝∠FBA＝30°，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝150°，
∴＝75°．
15．（6分）解不等式组并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：解不等式①得：x＞﹣2；
解不等式②得：x≤4；
∴原不等式组的解集为：﹣2＜x≤4，
不等式组的解集在数轴上表示如下：
．
16．（6分）如图，是由5×6个边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，在AB，BC上各取一点D，E，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．
（1）在图①中画线段DE，使线段DE∥AC且；
（2）在图②中画线段DE，使线段DE∥AC且．
【分析】（1）取格点M，N，连接MN交AB于点D，取格点G，H，连接GH交CB于点E，连接DE，线段DE即为所求作．
（2）取格点K，J，连接KJ交AB于点D，交BC于点E，线段DE即为所求作．
【解答】解：（1）如图①，线段DE为所求．
（2）如图②，线段DE为所求．
17．（6分）为庆祝建国70周年，某中学决定举办校园歌咏比赛．学生从《歌唱祖国》、《我的祖国》、《我爱你中国》、《我和我的祖国》中随机选择一首歌报名参加：
（1）小芳选择《我和我的祖国》的概率为 ；
（2）小东和小颖报名参加了比赛，用列表法或画树状图法求出他们选中同一首歌曲的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16个等可能的结果，再找出符合条件的结果数，然后由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小芳选择《我和我的祖国》的概率为，
故答案为：；
（2）设《歌唱祖国》、《我的祖国》、《我爱你中国》、《我和我的祖国》分别为A、B、C、D，
画树状图如图所示：
共有16个等可能的结果，小东和小颖选中同一首歌的结果有4个，
∴小东和小颖选中同一种乐器的概率为 ．
18．（6分）如图，一次函数y＝x+1的图象交y轴于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（m，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）根据一次函数y＝x+1的图象交y轴于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（m，2），可以求得点B的坐标，进而求得反比例函数的解析式；
（2）根据题目中一次函数的解析式可以求得点A的坐标，再根据（1）中求得的点B的坐标，即可求得△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵点B（m，2）在直线y＝x+1上，
∴2＝m+1，得m＝1，
∴点B的坐标为（1，2），
∵点B（1，2）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴2＝，得k＝2，
即反比例函数的表达式是y＝；
（2）将x＝0代入y＝x+1，得y＝1，
则点A的坐标为（0，1），
∵点B的坐标为（1，2），
∴△AOB的面积是；．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
19．（8分）“学习强国”是一个纵向到底、横向到边学习平台，受到了广大人民群众的青睐，某公司为了了解员工每周在“学习强国”平台上的学习（设时间为x小时）情况，随机抽取了若干名员工进行了问卷调查．
数据整理：将调查所采集的数据进行了如下整理：
将调查结果分为四个等级，A：0≤x≤3、B：3＜x≤6、C：6＜x≤9、D：x＞9．
并将调查结果绘制成两个不完整的统计图．
（1）补全上面的条形统计图和扇形统计图中B、D；
（2）公司员工每周学习时间的中位数落在等级 （填字母）；
（3）若该公司有900名员工，为了激发公司员工的学习热情，规定每周学习时间在6小时以上员工评为学习积极分子，请你估算该公司有多少人评为学习积极分子．
【分析】（1）利用A的人数除以A所占百分比可得总人数，用D等级的人数除以总人数求出D等级的百分比，再用整体1减去其它等级的百分比求出B等级的人数；用总人数乘以B等级所占的百分比求出B等级的人数，再补全统计图即可；
（2）根据中位数的定义即可求解；
（3）利用样本估计总体的方法计算即可．
【解答】解：（1）调查的总人数是：56÷35%＝160（人），
D所占的百分比是：24÷160＝15%，
B所占的百分比是：1﹣15%﹣35%﹣30%＝20%，
B等级的人数是：160×20%＝32（人），
补全的条形统计图如图所示：
（2）∵共有160人，中位数是第80、81个数的平均数，
∴公司员工每周学习时间的中位数落在等级B；
故答案为：B；
（3）900×（30%+15%）＝405（人），
答：该公司有405人可以评为学习积极分子．
20．（8分）如图1是初心园的实景图，图2是它的示意图，它是一个正五角星，已知A、B、D、E四点共线，A、J、H、G四点共线，C、B、J、I四点共线，C、D、F、G四点共线，E、F、H、I四点共线，且CI∥MN，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH＝HI＝IJ＝JA，∠A＝∠C＝∠DEF＝∠FGH＝∠I＝36°，∠FEG＝∠FGE＝36°，现测得AB＝1m．
（1）求BJ的长．
（2）求点A到地面MN的距离．
（参考数据：sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，sin18°≈0.31，cs18°≈0.95）
【分析】（1）连接BJ，过点A作AK⊥BJ于点K，在Rt△ABK中，利用锐角三角函数先求出BK，再求BJ；
（2）连接BD，过点A作AL⊥MN于点L，在Rt△AEL中，利用锐角三角函数求出AL．
【解答】解：（1）连接BJ，过点A作AK⊥BJ于点K．
∵AB＝AJ＝1m，∠BAJ＝36°，
∴∠BAK＝18°．
∴BK＝AB•sin18°
≈1×0.31
＝0.31（m）．
∴BJ＝0.62m．
（2）连接BD，过点A作AL⊥MN于点L，
则BD＝BJ＝0.62m．
∴AE＝1+0.62+1
＝2.62（m）．
在Rt△AEL中，AL＝AE•cs18°
＝2.62×0.95
＝2.489（m）．
∴点A到地面MN的距离为2.489m．
21．（8分）小东根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）化简函数解析式，当x≤2时，y＝ 2 ；当x＞2时，y＝ x ；
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y＝的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：若直线y＝ax+a﹣2（a＞1）与函数y＝在第一象限内有交点，则a的取值范围为 1＜a＜4 ．
【分析】（1）分x≤2及x＞2两种情况，化简函数解析式；
（2）根据（1）的结论，画出函数图象；
（3）分别求得直线y＝ax+a﹣2（a＞1）与函数y＝2和y＝x的相交时的a的值，根据图象即可求得．
【解答】解：（1）当x≤2时，y＝＝＝2；
当x＞2时，y＝＝＝x．
故答案为：2；x．
（2）根据（1）中的结果，画出函数y＝的图象，如图所示．
（3）令ax+a﹣2＝2，解得，可得，解得；
令ax+a﹣2＝x，解得，可得，解得；
综上，a的取值范围为1＜a＜4，
故答案为1＜a＜4．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22．（9分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，AB＝8，求CE的长．
【分析】（1）连接OD，CD，根据＝，得到AD＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠AOD＝∠COD＝90°，再根据平行线的性质求得∠ODE＝90°即可证得结论；
（2）根据勾股定理得到AD＝CD＝5，再证得△DCE∽△BAD，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：
连接OD，CD，
∵D为的中点，
∴＝，
∴AD＝DC，
∵AO＝OC，
∴OD⊥AC，
∴∠AOD＝∠COD＝90°，
又∵DE∥AC，
∴∠EDO＝∠AOD＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵DE∥AC，
∴∠EDC＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠EDC＝∠ABD，
又∵∠DCE＝∠BAD，
∴△DCE∽△BAD，
∴，
∵半径为5，
∴AC＝10，
由（1）知AD＝CD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴2AD2＝AC2，
∴AD＝CD＝＝，
∴＝，
∴CE＝．
23．（9分）定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”．
例如：如图1，AD把△ABC分成△ABD和△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“华丽分割线”．
（1）【定义感知】
如图1，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝110°，AB＝BD．
求证：AD是△ABC的“华丽分割线”．
（2）【问题解决】
①如图2，在△ABC中，∠B＝46°，AD是△ABC的“华丽分割线”，且△ABD是等腰三角形，则∠C的度数为 21°或42° ．
②如图3，在△ABC中，AB＝2，AC＝，AD是△ABC的“华丽分割线”，且△ABD是以AD为底边的等腰三角形，求华丽分割线AD的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出角的度数，进而利用相似三角形的判定解答即可；
（2）①分两种情况讨论，利用三角形内角和解答即可；
②根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB＝BD，
∴△ABD是等腰三角形．
又∵∠B＝40°，
∴．
∴∠ADC＝180°﹣∠BDA＝110°＝∠BAC．
又∵∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BAC．
∴AD是△ABC的“华丽分割线”；
（2）①当AB＝BD时，得∠ADB＝67°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝113°．
∵△ADC∽△BAC，
∴∠BAC＝∠ADC＝113°．
在△ABC中，由内角和定理得∠C＝21°．
当AD＝BD时，
∴∠ADC＝92°．
∵△ADC∽△BAC，
∴∠BAC＝∠ADC＝92°．
在△ABC中，由内角和定理得∠C＝42°．
故∠C的度数为21°或42°．
故答案为：21°或42°；
②∵△ADC∽△BAC，
∴．
即，
解得CD＝1，
∴．
解得．
六、（本大题共12分）
24．（12分）已知，如图，抛物线y＝x2﹣2ax﹣3a（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，且3OA＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABDC面积的最大值．
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点的平行四边形？如存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由四边形ABCD面积最大值为，即可求解；
（3）利用数形结合的方法，画出以A、C、E、P为顶点的平行四边形，即可求解．
【解答】解：（1）据题意可得C的坐标为（0，﹣3a）；
∴OC＝3a；
又∵3OA＝OC．
∴OA＝a，即点A的坐标为（﹣a，0）；
将C （﹣a，0）代入y＝x2﹣2ax﹣3a，
得0＝a2+2a2﹣3a，
解得a1＝1，a2＝0（舍去）；
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）令x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3；
∴点A的坐标为（﹣1，0），B的坐标为（3，0）；
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴BC的解析式为y＝x﹣3，
过点D作DM∥y轴交线段BC于点M，
设点D的横坐标为m，则M的纵坐标为（m﹣3），D的纵坐标为（m2﹣2m﹣3）；
∴MD＝（m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m；
可得当，MD的最大值为；
∴四边形ABCD面积最大值：；
（3）存在，
①如图2，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．
∵C（0，﹣3），令x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴x1＝0，x2＝2，
∴P1（2，﹣3），
②平移直线AC交x轴于点E2，E1交x轴上方的抛物线于点P2，P3，当AC＝P2E2和AC＝P3E3时，四边形ACE2P2和四边形ACE3P3均为平行四边形．
∵C（0，﹣3），
∴P2，P3的纵坐标均为3，
令y＝3，则x2﹣2x﹣3＝3．
解得x1＝1﹣，x2＝1+，
∴P2（1﹣，3），P3（1+，3），
综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是P1（2，﹣3），P2（1﹣，3），P3（1+，3）．