2021年江西省中考数学模拟示范试卷（一）

这是一份2021年江西省中考数学模拟示范试卷（一），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2021年江西省中考数学模拟示范试卷（一）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项，请将正确答案的代号填入题后括号内）
1．（3分）3的相反数是（　　）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
2．（3分）经初步核算，2020年前三季度我国国内生产总值约为722786亿元，同比增长0.7%，数据722786亿用科学记数法可表示为（　　）
A．0.722786×1013 B．72.2786×1013
C．7.22786×1012 D．7.22786×1013
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3•a4＝a12 B．（2a）2＝2a2 C．（a2）3＝a6 D．2a4÷a4＝a4
4．（3分）图1所示的是一个上下两个面都为正方形的长方体，现将图1的一个角切掉，得到图2所示的几何体，则图2的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
5．（3分）如图，P（m，n）为△ABC内一点，△ABC经过平移得到△A'B'C'，平移后点P与其对应点P'关于x轴对称，若点B的坐标为（﹣2，1），则点B的对应点B'的坐标为（　　）

A．（﹣2，1﹣2n） B．（﹣2，1﹣n） C．（﹣2，﹣1） D．（m，﹣1）
6．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣c（a≠0）与y轴的正半轴相交，直线AB∥x轴，且与该抛物线相交于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，当x＝x1+x2时，函数值为p；当x＝时，函数值为q．则p﹣q的值为（　　）
A．a B．c C．﹣a+c D．a﹣c
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
8．（3分）有一个类似我国古代数学名著《九章算术》中“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1494石，检验发现米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒．从调查的角度来看，这次抽样调查的样本容量为　 　．
9．（3分）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1•x2＝　 　．
10．（3分）如图，已知直线y＝mx+4分别与y轴，x轴交于A，B两点，且△ABO的面积为16，反比例函数的图象恰好经过AB的中点，则反比例函数的表达式为　 　．

11．（3分）如图，小明将矩形纸片ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEGH，点E恰好落在AC上，EG交AD于点F．若AB＝3，tan∠ACB＝，则FG的长为　 　．

12．（3分）在平面直角坐标系中，点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，且AO＝AB＝2．点E在线段OB上运动，当△AOE和△ABE都为等腰三角形时，点E的坐标为　 　．
三、（本大题共6小题，每小题3分，共30分）
13．（3分）计算：|1﹣|+（）﹣1﹣2tan60°．
14．（3分）如图，AD∥BC，∠B＝30°，DB平分∠ADE，求∠ADE的度数．

15．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝﹣1．
16．（6分）若x为整数，当不等式≥3与2（7﹣x）＞1都成立时，求x的值．
17．（6分）为加深对“创建为民、创建惠民”省级文明城市宗旨的了解，某中学组织学生玩抽卡片的游戏．游戏规则如下：
a．四张卡片（形状、大小和质地都相同），正面分别写有“创建”“为民”“创建”“惠民”；
b．将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张；
c．若抽取的两张卡片能组成“创建为民”或“创建惠民”，则获得一次成为“文明倡导者”的机会．
（1）第一次抽取的卡片上写的是“创建”的概率为　 　．
（2）求欢欢抽取完两张卡片后，能获得成为“文明倡导者”机会的概率．

18．（6分）（1）如图1，在△ABC中，D是BC边上的一点，以AD为直径作半圆O，半圆O经过点C．若△ABC的面积为10，请仅用无刻度的直尺作一个三角形，使所作三角形的面积等于5．
（2）如图2，在△ABC中，DE∥BF，EF∥AB，若△ABC的面积为10，请仅用无刻度的直尺作一个三角形，使所作三角形的面积等于5．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
19．（8分）为推进“不忘初心，牢记使命”的主题教育活动，某校对全校教师（全校共有300名教师）在“学习强国”APP上的学习时间进行了抽样调查，过程如下．
收集数据：从全校教师中随机抽取20名，调查平均每天在“学习强国”APP上的学习时间（单位：min），数据如下．
79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，
75，79，81，71，75，80，86，69，83，77．
整理数据：按如下分段整理样本数据．
学习时间（单位：min）
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
等级
D
C
B
A
人数
1
a
7
1
分析数据：得到下列表格中的统计量．
平均数
众数
中位数
b
75
c
应用数据：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
（2）估计该校在“学习强国”APP上的学习时间处于B等级及以上的教师人数．
（3）假设在“学习强国”APP上的学习时间的三分之一是用来阅读文章的，平均阅读一篇文章耗时5min，请你选择样本中的一种合适的统计量估计该校教师每人一年（按365天计算）平均阅读文章的数量．（结果保留整数）
20．（8分）如图1，这是一款升降电脑桌，它的升降范围在0～40cm，图2是它的示意图．已知EF∥MN，点A，B在MN上滑动，点D，C在EF上滑动，AC，BD相交于点O，OA＝OB＝OC＝OD＝30cm．
（1）如图2，当∠OAB＝30°时，求这款电脑桌当前的高度．
（2）当电脑桌从图2位置升到最大高度（如图3）时，求∠OAB的大小及点A滑动的距离．
（结果精确到0.1；参考数据：≈1.73，sin42.1°≈0.67，cos42.1°≈0.74，sin47.9°≈0.74，cos47.9°≈0.67）

21．（8分）如图，在以AG为直径的半圆C中，∠ACB＝90°，且BC＝AC＝6，D为半圆上的一动点．
（1）当BD＝2时，试判断直线BD与半圆C的位置关系，并说明理由．
（2）当∠BCD＝50°时，求的长．（结果保留π）

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22．（9分）如图1，D为线段AB的中点，点C在以AD为直径的圆弧上运动，若AB＝6cm，设CD＝xcm，BC＝ycm．小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究，下面是小华的探究过程，请补充完整．
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y对应的几组值，如表所示．
x/cm
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y/cm
3.0
3.1
　 　
4.0
　 　
5.3
6.0
①y与x的函数关系式为　 　；
②补全表格．（结果y取近似值，精确到0.1）
（2）在图2中，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各组值为坐标的点，画出该函数的大致图象．
（3）请你结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．

23．（9分）如图，已知抛物线C1：y1＝x2+2x+a+1的顶点为A，与y轴交于点B，将抛物线C1平移后得到抛物线C2：y2＝（x﹣a）2+2a+1，抛物线C2的顶点为D，两抛物线交于点C．
（1）若a＝1，求点C的坐标．
（2）随着a值的变化，试判断点A，B，D是否始终在同一直线上，并说明理由．
（3）当2AB＝BD时，试求a的值．

六、（本大题共12分）
24．（12分）定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形”．
（1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是　 　．
（2）如图1，在“完美四边形”ABCD中，AB＝AD＝CD＝2，BC＝，AC＝3，求线段BD的长．
（3）如图2，⊙O内接四边形EFGH，GE为⊙O的直径．
①求证：四边形EFGH为“完美四边形”．
②若EF＝6，FG＝8，FH是否存在一个值使四边形EFGH的面积最大？若存在，求出FH的值；若不存在，请说明理由．


2021年江西省中考数学模拟示范试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项，请将正确答案的代号填入题后括号内）
1．（3分）3的相反数是（　　）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
【分析】根据相反数的定义即可求出3的相反数．
【解答】解：3的相反数是﹣3
故选：A．
2．（3分）经初步核算，2020年前三季度我国国内生产总值约为722786亿元，同比增长0.7%，数据722786亿用科学记数法可表示为（　　）
A．0.722786×1013 B．72.2786×1013
C．7.22786×1012 D．7.22786×1013
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：722786亿＝72278600000000＝7.22786×1013．
故选：D．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3•a4＝a12 B．（2a）2＝2a2 C．（a2）3＝a6 D．2a4÷a4＝a4
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a3•a4＝a7，故此选项错误；
B、（2a）2＝4a2，故此选项错误；
C、（a2）3＝a6，故此选项正确；
D、2a4÷a4＝2，故此选项错误；
故选：C．
4．（3分）图1所示的是一个上下两个面都为正方形的长方体，现将图1的一个角切掉，得到图2所示的几何体，则图2的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据俯视图的意义，从上面看该几何体所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看该几何体，看到的是一个有一条对角线的正方形，选项C中的图形比较符合题意，
故选：C．
5．（3分）如图，P（m，n）为△ABC内一点，△ABC经过平移得到△A'B'C'，平移后点P与其对应点P'关于x轴对称，若点B的坐标为（﹣2，1），则点B的对应点B'的坐标为（　　）

A．（﹣2，1﹣2n） B．（﹣2，1﹣n） C．（﹣2，﹣1） D．（m，﹣1）
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征可得P'（m，﹣n），可得对应点向下平移2n个单位长度，再根据平移的性质即可求解．
【解答】解：∵P（m，n）为△ABC内一点，平移后点P与其对应点P'关于x轴对称，
∴P'（m，﹣n），
∵点B的坐标为（﹣2，1），
∴点B的对应点B'的坐标为（﹣2，1﹣2n）．
故选：A．
6．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣c（a≠0）与y轴的正半轴相交，直线AB∥x轴，且与该抛物线相交于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，当x＝x1+x2时，函数值为p；当x＝时，函数值为q．则p﹣q的值为（　　）
A．a B．c C．﹣a+c D．a﹣c
【分析】根据题意得到＝1，x1+x2＝2，即可求得p＝4a﹣4a+a﹣c＝a﹣c，q＝a﹣2a+a﹣c＝﹣c，从而求得p﹣q＝a．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+a﹣c＝a（x﹣1）2﹣c，
∴对称轴为直线x＝1，
∵直线AB∥x轴，且与该抛物线相交于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，
∴＝1，
∴x1+x2＝2，
∴p＝4a﹣4a+a﹣c＝a﹣c，q＝a﹣2a+a﹣c＝﹣c，
∴p﹣q＝（a﹣c）﹣（﹣c）＝a，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是　x≤2021　．
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：二次根式有意义，
则2021﹣x≥0，
解得：x≤2021．
故答案为：x≤2021．
8．（3分）有一个类似我国古代数学名著《九章算术》中“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1494石，检验发现米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒．从调查的角度来看，这次抽样调查的样本容量为　270　．
【分析】根据样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量求解即可．
【解答】解：从调查的角度来看，这次抽样调查的样本容量为270，
故答案为：270．
9．（3分）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1•x2＝　﹣3　．
【分析】根据根与系数的关系可得出x1•x2＝﹣3，此题得解．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，
∴x1•x2＝﹣3．
故答案为：﹣3．
10．（3分）如图，已知直线y＝mx+4分别与y轴，x轴交于A，B两点，且△ABO的面积为16，反比例函数的图象恰好经过AB的中点，则反比例函数的表达式为　　．

【分析】由一次函数解析式y＝mx+4可以得到A点坐标和OA的长度，由△ABO的面积为16可以得到B点的坐标，由A、B两点坐标可以得到C的坐标，根据待定系数法可以得到反比例函数的解析式．
【解答】解：在y＝mx+4中，x＝0时，y＝4，
∴A（0，4），OA＝4，
又∵△ABO的面积为16，
∴，
∴OB＝8，B（8，0），
∴C（4，2），
设反比例函数解析式为，
代入C（4，2）得k＝2×4＝8，
∴反比例函数解析式为．
故答案为：．
11．（3分）如图，小明将矩形纸片ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEGH，点E恰好落在AC上，EG交AD于点F．若AB＝3，tan∠ACB＝，则FG的长为　　．

【分析】先求出BC＝4，由旋转的性质可求AE＝AB＝3，BC＝EG＝4，由锐角三角函数可求EF的长，即可求解．
【解答】解：∵AB＝3，tan∠ACB＝＝，
∴BC＝4，
∵将矩形纸片ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEGH，
∴AE＝AB＝3，BC＝EG＝4，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴tan∠ACB＝tan∠DAC＝＝，
∴EF＝×3＝，
∴FG＝EG﹣EF＝4﹣＝，
故答案为：．
12．（3分）在平面直角坐标系中，点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，且AO＝AB＝2．点E在线段OB上运动，当△AOE和△ABE都为等腰三角形时，点E的坐标为　（，0）或（2，0）或（﹣1，0）　．
【分析】如图1，根据等腰三角形的性质和勾股定理得到方程OE2+AE2＝AO2，解方程可求点E的坐标；如图2，可得OE＝OA＝2，可求点E的坐标；如图3，根据相似三角形的判定与性质可得OE＝﹣1，可求点E的坐标；依此即可求解．
【解答】解：如图1，
∵AO＝AB＝2，△AOE和△ABE都为等腰三角形，
∴AE⊥OB，E为OB中点，且OE＝AE＝BE，
∴OE2+AE2＝AO2，即OE2+OE2＝22，
解得OE＝．
∴点E的坐标为（，0）；
如图2，
∵AO＝AB＝2，当OE＝OA，EB＝EA时，△AOE和△ABE都为等腰三角形，
∴OE＝OA＝2．
∴点E的坐标为（2，0）；
如图3，
∵AO＝AB＝2，当OE＝AE，EB＝AB时，△AOE和△ABE都为等腰三角形，
∴△OEA∽△OAB，
∴＝，即＝，
解得OE＝﹣1或OE＝﹣﹣1（舍去）．
∴点E的坐标为（﹣1，0）．
故答案为：（，0）或（2，0）或（﹣1，0）．



三、（本大题共6小题，每小题3分，共30分）
13．（3分）计算：|1﹣|+（）﹣1﹣2tan60°．
【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+2﹣2
＝1﹣．
14．（3分）如图，AD∥BC，∠B＝30°，DB平分∠ADE，求∠ADE的度数．

【分析】直接利用平行线的性质以及角平分线的性质得出∠B＝∠ADB＝∠BDE，进而得出答案．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠B，
∵DB平分∠ADE，
∴∠ADB＝∠BDE，
∵∠B＝30°，
∴∠ADB＝∠BDE＝30°，
∴∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝60°．
15．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝﹣1．
【分析】先将原式化简，再代入a的值，即可求出原式得值．
【解答】解：原式＝÷＝﹣a﹣1，
∵a＝﹣1，
∴﹣a﹣1＝﹣+1﹣1＝﹣；
∴原式得值为﹣．
16．（6分）若x为整数，当不等式≥3与2（7﹣x）＞1都成立时，求x的值．
【分析】把不等式构成不等式组，解不等式组求得不等式组的解集，即可求得x的值．
【解答】解：由不等式≥3解得，x≥3；
由2（7﹣x）＞1解得，x＜，
∴3≤x＜6.5，
∴x的整数值为3、4、5、6．
17．（6分）为加深对“创建为民、创建惠民”省级文明城市宗旨的了解，某中学组织学生玩抽卡片的游戏．游戏规则如下：
a．四张卡片（形状、大小和质地都相同），正面分别写有“创建”“为民”“创建”“惠民”；
b．将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张；
c．若抽取的两张卡片能组成“创建为民”或“创建惠民”，则获得一次成为“文明倡导者”的机会．
（1）第一次抽取的卡片上写的是“创建”的概率为　　．
（2）求欢欢抽取完两张卡片后，能获得成为“文明倡导者”机会的概率．

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，欢欢抽取完两张卡片后，能获得成为“文明倡导者”机会的结果有8个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）第一次抽取的卡片上写的是“创建”的概率为＝，
故答案为：；
（2）把“创建”、“为民”、“惠民”分别记为A、B、C，画树状图如图：

共有12个等可能的结果，欢欢抽取完两张卡片后，能获得成为“文明倡导者”机会的结果有8个，
∴欢欢抽取完两张卡片后，能获得成为“文明倡导者”机会的概率为＝．
18．（6分）（1）如图1，在△ABC中，D是BC边上的一点，以AD为直径作半圆O，半圆O经过点C．若△ABC的面积为10，请仅用无刻度的直尺作一个三角形，使所作三角形的面积等于5．
（2）如图2，在△ABC中，DE∥BF，EF∥AB，若△ABC的面积为10，请仅用无刻度的直尺作一个三角形，使所作三角形的面积等于5．

【分析】（1）连接OC，OB，△OBC即为所求作．
（2）连接DF，BE交于点O，连接AO，OC，△AOC即为所求作．
【解答】解：（1）如图，△BOC即为所求作．
（2）如图，△AOC即为所求作．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
19．（8分）为推进“不忘初心，牢记使命”的主题教育活动，某校对全校教师（全校共有300名教师）在“学习强国”APP上的学习时间进行了抽样调查，过程如下．
收集数据：从全校教师中随机抽取20名，调查平均每天在“学习强国”APP上的学习时间（单位：min），数据如下．
79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，
75，79，81，71，75，80，86，69，83，77．
整理数据：按如下分段整理样本数据．
学习时间（单位：min）
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
等级
D
C
B
A
人数
1
a
7
1
分析数据：得到下列表格中的统计量．
平均数
众数
中位数
b
75
c
应用数据：
（1）填空：a＝　11　，b＝　78.5　，c＝　78　．
（2）估计该校在“学习强国”APP上的学习时间处于B等级及以上的教师人数．
（3）假设在“学习强国”APP上的学习时间的三分之一是用来阅读文章的，平均阅读一篇文章耗时5min，请你选择样本中的一种合适的统计量估计该校教师每人一年（按365天计算）平均阅读文章的数量．（结果保留整数）
【分析】（1）根据抽取的总人数20及其它等级的人数即可得到a的值，根据平均数和中位数的定义可以得到b和c的值；
（2）根据样本估计总体解答即可；
（3）根据样本估计总体解答即可．
【解答】解：（1）11；78.5；78．
解析：a＝20﹣1﹣7﹣1＝11，
b＝（79+85+73+80+75+76+87+70+75+94+75+79+81+71+75+80+86+69+83+77）÷20＝78.5，
c＝．
故答案为：11；78.5；78．
（2）（名），
答：估计该校在“学习强国”APP上的学习时间处于B等级及以上的教师人数有120名．
（3）（篇）．
答：估计该校教师每人一年平均阅读文章的数量为1910篇．
20．（8分）如图1，这是一款升降电脑桌，它的升降范围在0～40cm，图2是它的示意图．已知EF∥MN，点A，B在MN上滑动，点D，C在EF上滑动，AC，BD相交于点O，OA＝OB＝OC＝OD＝30cm．
（1）如图2，当∠OAB＝30°时，求这款电脑桌当前的高度．
（2）当电脑桌从图2位置升到最大高度（如图3）时，求∠OAB的大小及点A滑动的距离．
（结果精确到0.1；参考数据：≈1.73，sin42.1°≈0.67，cos42.1°≈0.74，sin47.9°≈0.74，cos47.9°≈0.67）

【分析】（1）过O点作GH⊥MN，交EF于G，交MN于H，利用平行线的性质解答即可；
（2）过O点作GH⊥MN，交EF于G，交MN于H，利用直角三角形的三角函数解答即可．
【解答】解：（1）如图1，过O点作GH⊥MN，交EF于G，交MN于H，

∵EF∥MN，
∴GH⊥EF，
∴∠OHA＝90°，
∵∠OAB＝30°，OA＝30cm，
∴OH＝AO＝15cm，
∵OA＝OC，EF∥MN，
∴OG＝OH＝15cm，
∴GH＝30cm，
即这款电脑桌当前的高度为30cm，
（2）如图2，

过O点作GH⊥MN，交EF于G，交MN于H，
则GH⊥EF，
由题意知，GH＝40cm，
∴GO＝HO＝20cm，
在Rt△AOH中，sin∠OAH＝，
∴∠OAH＝42.1°，
即∠OAB＝42.1°，
在（1）中，AH＝（cm），
在图2中，cos42.1°＝，
∴AH＝30×0.74≈22.2（cm），
∴A点滑动距离为25.95﹣22.2＝3.75≈3.8（cm）．
21．（8分）如图，在以AG为直径的半圆C中，∠ACB＝90°，且BC＝AC＝6，D为半圆上的一动点．
（1）当BD＝2时，试判断直线BD与半圆C的位置关系，并说明理由．
（2）当∠BCD＝50°时，求的长．（结果保留π）

【分析】（1）运用勾股定理的逆定理证明∠BDC＝90°即可；
（2）根据弧长的计算公式即可得到结论．
【解答】解：（1）直线BD与圆C相切．理由如下：
∵BC＝AC＝6，CD＝AC＝2，
∴BC2﹣AC2＝36﹣12＝24，
∵BD＝2，
∴BD2＝24，
∴BC2﹣AC2＝BD2，
∴BC2﹣CD2＝BD2，
∴∠BDC＝90°，
∴线BD与圆C相切；
（2）当D 在BC上方时，
∵∠ACB＝90°，∠BCD＝50°，
∴∠ACD＝40°，
∴的长为：＝，
当D在BC下方时，的长为：＝．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22．（9分）如图1，D为线段AB的中点，点C在以AD为直径的圆弧上运动，若AB＝6cm，设CD＝xcm，BC＝ycm．小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究，下面是小华的探究过程，请补充完整．
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y对应的几组值，如表所示．
x/cm
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y/cm
3.0
3.1
　3.5　
4.0
　4.6　
5.3
6.0
①y与x的函数关系式为　y＝　；
②补全表格．（结果y取近似值，精确到0.1）
（2）在图2中，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各组值为坐标的点，画出该函数的大致图象．
（3）请你结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．

【分析】（1）①过点C作CE⊥AB于E，根据两角对应相等得出△ACD∽△CDE，从而得出DE＝x2，再根据勾股定理即可解答；
②将x＝1，x＝2，代入①求得的解析式即可；
（2）先建立直角坐标系，根据表中数据描点连线即可；
（3）观察图像得出该函数的两条性质或结论即可．
【解答】解：（1）①过点C作CE⊥AB于E，则∠CED＝90°，

∵点C在以AD为直径的圆弧上运动，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠CED，
∵∠CDA＝∠EDC，
∴△ACD∽△CDE，
∴，
∴CD2＝AD•DE，
∵D为线段AB的中点，AB＝6cm，
∴AD＝BD＝AB＝3cm，
∵CD＝xcm，
∴DE＝x2，
∴EB＝x2+3，
在Rt△CBE中，
CE2＝BC2﹣BE2＝y2﹣（x2+3）2，
在Rt△CDE中，
CE2＝DC2﹣DE2＝x2﹣（x2）2，
∴y2﹣（x2+3）2＝x2﹣（x2）2，
∴y＝，
故答案为：y＝；
②当x＝1时，y≈3.5，当x，2时，y≈4.6，
故答案为：3.5，4.6；
（2）函数的图象如图：

（3）①y随x的增大而增大；②图象不过原点．
23．（9分）如图，已知抛物线C1：y1＝x2+2x+a+1的顶点为A，与y轴交于点B，将抛物线C1平移后得到抛物线C2：y2＝（x﹣a）2+2a+1，抛物线C2的顶点为D，两抛物线交于点C．
（1）若a＝1，求点C的坐标．
（2）随着a值的变化，试判断点A，B，D是否始终在同一直线上，并说明理由．
（3）当2AB＝BD时，试求a的值．

【分析】（1）当a＝1时，y1＝x2+2x+2，y2＝（x﹣1）2+3，联立上述两个方程求解即可；
（2）求出AB的表达式为y＝x+1+a，当x＝a时，y＝x+1+a＝2a+1，即点D在AB上，即可求解；
（3）分点D在点A的下方、点D在点A的上方两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）当a＝1时，y1＝x2+2x+2，y2＝（x﹣1）2+3，
联立上述两个方程并解得，
故点C的坐标为（，）；

（2）点A，B，D始终在同一直线上，理由：
∵y1＝x2+2x+a+1的顶点为A，则点A的坐标为（﹣1，a），点B的坐标为（0，a+1），
同理可得，点D的坐标为（a，2a+1），
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝x+1+a，
当x＝a时，y＝x+1+a＝2a+1，即点D在AB上，
故点A，B，D始终在同一直线上；

（3）由（2）知，点A、B、D的坐标分别为（﹣1，a）、（0，a+1）、（a，2a+1），
当点D在点A的下方时，
∵2AB＝BD，故点A是BD的中点，
∴﹣1＝（a+1），解得a＝﹣3；
当点D在点A的上方时，
∵2AB＝BD，
则2（xB﹣xA）＝xD﹣xB，即3xB＝xD+2xA，
∴0＝a+（﹣2），解得a＝2，
综上，a＝﹣3或2．
六、（本大题共12分）
24．（12分）定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形”．
（1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是　正方形、矩形　．
（2）如图1，在“完美四边形”ABCD中，AB＝AD＝CD＝2，BC＝，AC＝3，求线段BD的长．
（3）如图2，⊙O内接四边形EFGH，GE为⊙O的直径．
①求证：四边形EFGH为“完美四边形”．
②若EF＝6，FG＝8，FH是否存在一个值使四边形EFGH的面积最大？若存在，求出FH的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据“完美四边形”的定义即可判断；
（2）根据“完美四边形”的定义列方程可得BD的长；
（3）①如图2，作辅助线，构建相似三角形，证明△GFM∽△HFE和△GHF∽△MEF，列比例式，相加可得结论；
②当点H是的中点时，△EGH的面积最大，此时四边形EFGH的面积最大．
【解答】解：（1）根据完美四边形的定义，可知“正方形”、“矩形”是完美四边形；
故答案为：正方形、矩形；

（2）如图1中，

∵四边形ABCD是完美四边形，
∴BD•AC＝CD•AB+BC•AD，
∵AB＝AD＝CD＝2，BC＝，AC＝3，
∴3BD＝2×2+×2，
∴3BD＝4+5，
∴BD＝3；

（3）①如图2，在EG上取一点M，使∠GFM＝∠EFH，

∵∠FGM＝∠FHE，
∴△GFM∽△HFE，
∴，
∴FG•HE＝HF•GM，
∵∠GFH＝∠MFE，∠GHF＝∠MEF，
∴△GHF∽△MEF，
∴，
∴GH•FE＝HF•ME，
∴GH•EF+GF•HE＝FH•ME+FH•GM＝FH（ME+GM）＝FH•GE，
∴四边形EFGH为“完美四边形”；
②存在，

∵EG是⊙O的直径，
∴∠EFG＝90°，
∵EF＝6，FG＝8，
∴EG＝＝10，
∴S△EFG＝＝24，
∵要使四边形EFGH的面积最大，则只需△GHE的面积最大，
如图3，过点H作HN⊥EG于N，
当HN最大时，△GHE的面积最大，即N与O重合时，HN最大，此时H是的中点，
∴HG＝HE＝5，
∴四边形EFGH的面积的最大值＝24+×5×5＝49，
∵四边形EFGH为“完美四边形”，
∴EG•FH＝FG•EH＝GH•EF，
∴10FH＝8×5+6×，
∴FH＝7．