2021年江西省中考数学模拟示范试卷（二）（含答案）

这是一份2021年江西省中考数学模拟示范试卷（二）（含答案），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列四个数中，最大的一个数是（ ）
A．﹣1B．πC．D．﹣2
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2•x3＝2x6B．3x2÷2x＝x
C．（﹣x2y）3＝﹣x6y3D．（x+y）2＝x2+y2
3．（3分）如图，一个圆柱体被截去一部分，则该几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）某校为了解学生的出行方式，通过调查制作了如图所示的条形统计图，由图可知，下列说法错误的是（ ）
A．步行的人数最少
B．骑自行车的人数为90
C．步行与骑自行车的总人数比坐公共汽车的人数要多
D．坐公共汽车的人数占总人数的50%
5．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣7＝0的两根，则x12﹣x1+x2的值为（ ）
A．9B．7C．5D．3
6．（3分）如图所示的是反比例函数y1＝（x＞0）和一次函数y2＝mx+n的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．反比例函数的解析式是y1＝
B．一次函数的解析式为y2＝﹣x+6
C．当x＞6时，0＜y1＜1
D．若y1＜y2，则1＜x＜6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）因式分解：a3﹣4a＝ ．
8．（3分）2020年10月9日23时，在我国首次火星探测任务飞行控制团队的控制下，“天问一号”探测器主发动机点火工作480余秒，顺利完成深空机动．此次轨道机动在距离地球大约2940万千米的深空实施，是“天问一号”第三次开启发动机进行变轨控制，也是本次火星探测任务到目前为止难度最大的一次．数据2940万用科学记数法表示为 ．
9．（3分）如图，AB∥CD，点B，C，E在同一直线上，点F在CD上，连接EF．若∠B＝130°，∠DFE＝105°，则∠E的大小为 ．
10．（3分）中国古代十进位制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造．算筹计数的方法：如图，将个位、百位、万位…的数按纵式的数码摆出，将十位、千位、十万位…的数按横式的数码摆出．图1和图2都是借用算筹进行减法运算，例如：图1所示的图形表示的等式54﹣23＝31，34﹣3＝31，则图2所示的图形表示的等式为 ．（写出一个即可）
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，将矩形沿CE折叠，点D的对应点F恰好落在边BC上，CE交BD于点H，连接HF．若BF＝HF，则∠ADB＝ 度．
12．（3分）如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，P是边AB上的一个动点，过点P作PE⊥AB，交BC于点E，连接DP，DE．若AB＝8，△PDE是等腰三角形，则BP的长是 ．
三、（本大题共6小题，每小题3分，共30分）
13．（3分）解不等式：x﹣3＜．
14．（3分）如图，已知四边形ABCD为菱形，延长AB到点E，使得BE＝AB，过点E作EF∥AD，交DB的延长线于点F，求证：DC＝EF．
15．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝﹣．
16．（6分）王老师参加监考相关工作，根据学校的安排，他将被随机分到A组（考务）、B组（司时）、C组（环境消杀）、D组（安保）中的一组．
（1）王老师被分到C组（环境消杀）的概率是 ．
（2）李老师也参加了此次监考工作，已知每组至少安排两位老师，请用画树状图或列表的方法，求他和王老师被分到同一组的概率．
17．（6分）如图，在等腰△ABC和▱BECD中，AB＝AC，DB⊥BC，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中，作出△ABC的边BC上的高AM．
（2）在图2中，作出△BCD的边BD上的中线CN．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形OABC是矩形，OA＝1，AB＝2，过点B的直线y＝3x+n与y轴交于点D，过点B作直线BE⊥BD交x轴于点E．
（1）求点D的坐标．
（2）求直线BE的解析式．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
19．（8分）为了提高学生的安全意识，珍爱生命，某学校制作了8条安全出行警句，倡导全校1200名学生进行背诵，并在活动之后举办安全知识大赛．为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查他们安全警句的背诵情况，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示．
大赛结束一个月后，再次抽查这部分学生安全警句的背诵情况，并根据调查结果绘制成统计表：
请根据调查的信息，完成下列问题：
（1）补全条形统计图．
（2）活动启动之初学生安全警句的背诵情况的中位数为 ，表格中m的值为 ．
（3）估计大赛结束一个月后该校学生背诵出安全警句至少7条的人数．
（4）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校安全警句背诵系列活动的效果．
20．（8分）图1为台灯实物图，图2是其侧面示意图，台灯底座ABCD是矩形，点E在AB上，EF⊥AB，OP可绕着点O旋转，且AD＝1cm，EF＝5cm，OP＝OF＝28cm，∠OFE＝150°．（结果保留根号）
（1）当OP与桌面平行时，求点P到桌面的距离．
（2）为了减少光线对眼睛的影响，小明旋转OP，使得∠O＝90°，求此时点P到桌面的距离．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作⊙O的切线交AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DE⊥AC．
（2）如果⊙O的半径为5，cs∠DAB＝，求BF的长．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22．（9分）某药店购进一批消毒液，进价为20元/瓶，要求利润率不低于20%，且不高于60%．该店通过分析销售情况，发现该消毒液一天的销售量y（瓶）与当天的售价x（元/瓶）满足下表所示的一次函数关系．
（1）若某天这种消毒液的售价为30元/瓶，求当天该消毒液的销售量．
（2）如果某天销售这种消毒液获利192元，那么当天该消毒液的售价为多少元？
（3）若客户在购买消毒液时，会购买相同数量（包）的口罩，且每包口罩的利润为20元，则当消毒液的售价定为多少时，可获得的日利润最大？最大日利润是多少元？
23．（9分）如图，已知抛物线C1：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0，m＞0，n＞0），与y轴交于点A，它的顶点为B．作抛物线C1关于原点对称的抛物线C2，与y轴交于点C，它的顶点为D．我们把C2称为C1的对偶抛物线．若A，B，C，D中任意三点都不在同一直线上，则称四边形ABCD为抛物线C1的对偶四边形，直线CD为抛物线C1的对偶直线．
（1）求证：对偶四边形ABCD是平行四边形．
（2）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2+1，求该抛物线的对偶直线CD的解析式．
（3）若抛物线C1的对偶直线是y＝﹣2x﹣5，且对偶四边形的面积为10，求抛物线C1的对偶抛物线C2的解析式．
六、（本大题共12分）
24．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝AF，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接EF，GE，CE．
【特例感知】
（1）图1中GE与CE的数量关系是 ．
【结论探索】
（2）如图2，将图1中的△AEF绕着点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），连接FD并延长到点G，使得DG＝DF，连接GE，CE，BE，此时GE与CE还存在（1）中的数量关系吗？判断并说明理由．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，若AB＝5，AE＝3，当△EFG是以EF为直角边的直角三角形时，请直接写出GE的长．
2021年江西省中考数学模拟示范试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项，请将正确答案的代号填入题后括号内）
1．（3分）下列四个数中，最大的一个数是（ ）
A．﹣1B．πC．D．﹣2
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣1＜0，﹣2＜0，≈1.732…，π≈3.141…，
∴四个数中最大的数是π．
故选：B．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2•x3＝2x6B．3x2÷2x＝x
C．（﹣x2y）3＝﹣x6y3D．（x+y）2＝x2+y2
【分析】利用同底数幂的乘法和除法及积的乘方运算法则、完全平方公式分别进行计算，再与各选项对比即可得到答案．
【解答】解：选项A、x2•x3＝x2+3＝x5，不符合题意；
选项B、3x2÷2x＝x，不符合题意；
选项C、（﹣x2y）3＝﹣x6y3，符合题意；
选项D、（x+y）2＝x2+2xy+y2，不符合题意；
故选：C．
3．（3分）如图，一个圆柱体被截去一部分，则该几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据主视图是从正面看到的图形，可得答案．
【解答】解：从正面看，是一个五边形（矩形的右上角缺了一个角）．
故选：C．
4．（3分）某校为了解学生的出行方式，通过调查制作了如图所示的条形统计图，由图可知，下列说法错误的是（ ）
A．步行的人数最少
B．骑自行车的人数为90
C．步行与骑自行车的总人数比坐公共汽车的人数要多
D．坐公共汽车的人数占总人数的50%
【分析】根据条形统计图中所反映的信息，逐项进行判断即可．
【解答】解：由条形统计图可知，出行方式中步行的有60人，骑自行车的有90人，乘公共汽车的有150人，
因此得出的总人数为60+90+150＝300（人），乘公共汽车占×100%＝50%，60+90＝150（人），
所以选项A、B、D都是正确的，因此不符合题意；
选项C是不正确的，因此符合题意；
故选：C．
5．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣7＝0的两根，则x12﹣x1+x2的值为（ ）
A．9B．7C．5D．3
【分析】x1，x2是方程x2﹣2x﹣7＝0的两根，可得x12﹣2x1﹣7＝0，x1+x2＝2，即可得出．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣7＝0的两根，
则x12﹣2x1﹣7＝0，x1+x2＝2，
∴x12﹣x1+x2＝x12﹣2x1+x1+x2＝7+2＝9，
故选：A．
6．（3分）如图所示的是反比例函数y1＝（x＞0）和一次函数y2＝mx+n的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．反比例函数的解析式是y1＝
B．一次函数的解析式为y2＝﹣x+6
C．当x＞6时，0＜y1＜1
D．若y1＜y2，则1＜x＜6
【分析】求得反比例函数解析式即可判断A；求得直线的解析式即可判断B；根据交点坐标结合图象即可判断C、D．
【解答】解：A、∵反比例函数y1＝（x＞0）的图象过点（1，5），
∴k＝1×5＝5，
∴反比例函数的解析式是y1＝，故结论错误；
B、把x＝6代入y1＝得，y＝，
∴反比例函数y1＝（x＞0）和一次函数y2＝mx+n的图象另一个交点为（6，），
把点（1，5），（6，）分别代入y2＝mx+n，
得，解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+，故结论错误；
C、由图象可知当x＞6时，0＜y1＜，故结论错误；
D、由函数图象知，双曲线在直线下方时x的范围是1＜x＜6，
∴y1＜y2，则1＜x＜6，故结论正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）因式分解：a3﹣4a＝ a（a+2）（a﹣2） ．
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a3﹣4a＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：a（a+2）（a﹣2）．
8．（3分）2020年10月9日23时，在我国首次火星探测任务飞行控制团队的控制下，“天问一号”探测器主发动机点火工作480余秒，顺利完成深空机动．此次轨道机动在距离地球大约2940万千米的深空实施，是“天问一号”第三次开启发动机进行变轨控制，也是本次火星探测任务到目前为止难度最大的一次．数据2940万用科学记数法表示为 2.94×107 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：2940万＝29400000＝2.94×107．
故答案为：2.94×107．
9．（3分）如图，AB∥CD，点B，C，E在同一直线上，点F在CD上，连接EF．若∠B＝130°，∠DFE＝105°，则∠E的大小为 55° ．
【分析】由题意和出平行线的性质可得∠BCF＝∠B＝130°，再由邻补角得到∠ECF＝50°，最后由∠DFE是△ECF的外角求出∠E的大小．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝130°，
∴∠BCF＝∠B＝130°，
∴∠ECF＝180°﹣∠BCF＝180°﹣130°＝50°，
∵∠DFE＝∠ECF+∠E，∠DFE＝105°，
∴∠E＝∠DFE﹣∠ECF＝105°﹣50°＝55°．
故答案为：55°．
10．（3分）中国古代十进位制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造．算筹计数的方法：如图，将个位、百位、万位…的数按纵式的数码摆出，将十位、千位、十万位…的数按横式的数码摆出．图1和图2都是借用算筹进行减法运算，例如：图1所示的图形表示的等式54﹣23＝31，34﹣3＝31，则图2所示的图形表示的等式为 386﹣273＝113（答案不唯一） ．（写出一个即可）
【分析】根据算筹计数的方法，列出算式计算即可求解．
【解答】解：图2所示的图形表示的等式为386﹣273＝113（答案不唯一）．
故答案为：386﹣273＝113（答案不唯一）．
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，将矩形沿CE折叠，点D的对应点F恰好落在边BC上，CE交BD于点H，连接HF．若BF＝HF，则∠ADB＝ 30 度．
【分析】设∠ADB＝α，依据折叠的性质可得∠CFH＝90°﹣α，依据平行线的性质以及等腰三角形的性质，即可得到∠BHF＝∠FBH＝α，最后根据三角形外角性质即可得到α的值．
【解答】解：设∠ADB＝α，则∠CDH＝∠CDE﹣∠HDE＝90°﹣α，
∵矩形沿CE折叠，点D的对应点F恰好落在BC上，
∴∠CFH＝∠CDH＝90°﹣α，
∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠ADB＝α，
又∵BF＝HF，
∴∠BHF＝∠FBH＝α，
∵∠CFH是△BFH的外角，
∴∠CFH＝∠BHF+∠FBH，
即90°﹣α＝α+α，
解得α＝30°，
∴∠ADB＝30°．
故答案为：30．
12．（3分）如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，P是边AB上的一个动点，过点P作PE⊥AB，交BC于点E，连接DP，DE．若AB＝8，△PDE是等腰三角形，则BP的长是 12﹣4或﹣3或4 ．
【分析】本题中由于△PDE为等腰三角形，利用等腰三角形的定义需要进行分类讨论①PE＝DE；②PE＝PD；③PD＝DE．
【解答】解：如图，作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N．
∴∠AMD＝∠DNC＝90°，
则△AMD、△DNC都是直角三角形．
∵△ABC是等边三角形，且AB＝8，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．
∵D为AC中点，
∴AD＝CD＝AC＝4．
在Rt△AMD中，
AM＝AD•cs∠A＝4×cs60°＝2，
DM＝AD•sin∠A＝4×sin60°＝2，
同理可得CN＝2，DN＝2．
∴BM＝AB﹣AM＝6，
BN＝BC﹣CN＝6．
设BP＝a，
∵EP⊥AB
∴∠EPB＝90°．
在Rt△EPB中，
PE＝BP•tan∠B＝a•tan60°＝a，
BE＝＝＝2a．
∴MP＝BM﹣BP＝6﹣a，
EN＝BN﹣BE＝6﹣2a．
当△PDE为等腰三角形时，
①当PE＝DE时，
在Rt△DEN中，由勾股定理得：
EN2+DN2＝DE2．
即（6﹣2a）2+（2）2＝（）2．
解得：a1＝12﹣4，a2＝12+4＞8（不合题意，舍去）．
即BP＝12﹣4．
②当PE＝PD时，
在Rt△DMP中，由勾股定理得：
MP2+DM2＝PD2．
即（6﹣a）2+（2）2＝（）2．
解得：a1＝﹣3，a2＝﹣﹣3（不合题意，舍去）．
即BP＝﹣3．
③当PD＝DE时，
在Rt△DMP和Rt△DEN中，由勾股定理得：
MP2+DM2＝PD2，
EN2+DN2＝DE2．
即MP2+DM2＝EN2+DN2．
（6﹣a）2+（2）2＝（6﹣2a）2+（）2．
解得：a1＝4，a2＝0（不合题意，舍去）．
综上所述，BP的长为12﹣4或﹣3或4．
故答案为12﹣4或﹣3或4．
三、（本大题共6小题，每小题3分，共30分）
13．（3分）解不等式：x﹣3＜．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项可得．
【解答】解：两边都乘以2，得：2（x﹣3）＜x+1，
去括号，得：2x﹣6＜x+1，
移项、合并，得：x＜7．
14．（3分）如图，已知四边形ABCD为菱形，延长AB到点E，使得BE＝AB，过点E作EF∥AD，交DB的延长线于点F，求证：DC＝EF．
【分析】由“AAS”可证△DCB≌△BEF，可得EF＝BC＝CD．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AB＝BC，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C＝∠CBE，
∵BE＝AB，
∴CD＝BE，
∵EF∥AD，
∴EF∥BC，
∴∠DBC＝∠F，∠E＝∠CBE，
∴∠C＝∠E，
在△DCB和△BEF中，
，
∴△DCB≌△BEF（AAS），
∴BC＝EF，
∴DC＝EF．
15．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝﹣．
【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，再x的值代入求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝﹣•
＝﹣，
当x＝﹣时，
原式＝＝2．
16．（6分）王老师参加监考相关工作，根据学校的安排，他将被随机分到A组（考务）、B组（司时）、C组（环境消杀）、D组（安保）中的一组．
（1）王老师被分到C组（环境消杀）的概率是 ．
（2）李老师也参加了此次监考工作，已知每组至少安排两位老师，请用画树状图或列表的方法，求他和王老师被分到同一组的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16个等可能的结果，李老师和王老师被分到同一组的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）王老师被分到C组（环境消杀）的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有16个等可能的结果，李老师和王老师被分到同一组的结果有4个，
∴李老师和王老师被分到同一组的概率为＝．
17．（6分）如图，在等腰△ABC和▱BECD中，AB＝AC，DB⊥BC，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中，作出△ABC的边BC上的高AM．
（2）在图2中，作出△BCD的边BD上的中线CN．
【分析】（1）如图1，连接DE交BC于M，连接AM即为所求；
（2）如图2，连接DE交BC于M，连接AM交CD于F，连接BF，DM交于G，连接CG并且延长交BD于N，CN即为所求．
【解答】解：（1）如图1，AM即为所求；
（2）如图2，CN即为所求．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形OABC是矩形，OA＝1，AB＝2，过点B的直线y＝3x+n与y轴交于点D，过点B作直线BE⊥BD交x轴于点E．
（1）求点D的坐标．
（2）求直线BE的解析式．
【分析】（1）根据题意可得到点B的坐标，代入直线表达式可求出直线表达式，进而求出点D的坐标；
（2）设直线BE的解析式为y＝kx+b，由BE⊥BD可知，k＝﹣，再代入点B的坐标即可．
【解答】解：（1）如图，∵OA＝1，AB＝2
∴B（1，2），
∵直线y＝3x+n过点B，
∴3×1+n＝2，解得n＝﹣1，
∴直线BD的解析式为：y＝3x﹣1，
∵直线y＝3x﹣1与y轴交于点D，
令x＝0，可得y＝﹣1，
∴D（0，﹣1）．
（2）设直线BE的解析式为y＝kx+b，
∵BE⊥BD，
∴k＝﹣，
∵B（1，2），
∴﹣×1+b＝2，解得b＝，
∴直线BE的解析式为y＝﹣x+．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
19．（8分）为了提高学生的安全意识，珍爱生命，某学校制作了8条安全出行警句，倡导全校1200名学生进行背诵，并在活动之后举办安全知识大赛．为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查他们安全警句的背诵情况，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示．
大赛结束一个月后，再次抽查这部分学生安全警句的背诵情况，并根据调查结果绘制成统计表：
请根据调查的信息，完成下列问题：
（1）补全条形统计图．
（2）活动启动之初学生安全警句的背诵情况的中位数为 4.5 ，表格中m的值为 10 ．
（3）估计大赛结束一个月后该校学生背诵出安全警句至少7条的人数．
（4）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校安全警句背诵系列活动的效果．
【分析】（1）求出“4条”的频数即可；
（2）根据中位数的意义求解即可，根据样本容量为120和各组的频数可得答案；
（3）求出“至少7条”所占得百分比即可；
（4）从活动开展前后背诵“条数”的变化情况得出结论．
【解答】解：（1）调查人数为20÷＝120（人），“4条”的人数为120×＝45（人），
补全条形统计图如图所示：
（2）将这120名学生的背诵情况从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为＝4.5，
因此中位数是4.5，
m＝120﹣10﹣15﹣40﹣25﹣20＝10（人），
故答案为：4.5，10；
（3）1200×＝450（人），
答：大赛结束一个月后该校学生背诵出安全警句至少7条的人数为450人；
（4）从中位数上看，活动开展前的中位数是4条，活动开展后的中位数是6条，
从背诵“6条及以上”人数的变化情况看，活动前是40人，活动后为85人，人数翻了一倍，从而得出活动的开展促进学生背诵能力的提高，活动开展的效果较好．
20．（8分）图1为台灯实物图，图2是其侧面示意图，台灯底座ABCD是矩形，点E在AB上，EF⊥AB，OP可绕着点O旋转，且AD＝1cm，EF＝5cm，OP＝OF＝28cm，∠OFE＝150°．（结果保留根号）
（1）当OP与桌面平行时，求点P到桌面的距离．
（2）为了减少光线对眼睛的影响，小明旋转OP，使得∠O＝90°，求此时点P到桌面的距离．
【分析】：（1）延长EF，交OP于点G，解直角三角形求出FG的长，即可求解；
（2）过点O作OH∥AB于，延长EF，交OH于点G，过点O作PH⊥OH于点H，解直角三角形求出PH的长，即可求解．
【解答】解：（1）延长EF，交OP于点G，如图，
∵EF⊥AB，OP∥AB，
∴FG⊥OP，
在Rt△OFG中，OF＝28cm，∠OFG＝180°﹣∠OFE＝30°，
∴FG＝OF•cs∠OFG＝28×＝14，
∴FG+EF+AD＝14+5+1＝14+6（cm），
即当OP与桌面平行时，点P到桌面的距离为（14+6）cm；
（2）过点O作OH∥AB，延长EF，交OH于点G，过点O作PH⊥OH于点H，如图，
由（1）知，FG⊥OH，FG＝14，∠OFG＝30°，
∴∠FOH＝90°﹣∠OFG＝60°，
∵∠POF＝90°，
∴∠POH＝∠POF﹣∠FOH＝30°，
在Rt△POH中，OP＝28cm，
∴PH＝OP＝14cm，
∴PH+FG+EF+AD＝14+14+5+1＝14+20（cm），
即此时点P到桌面的距离为（14+20）cm．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作⊙O的切线交AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DE⊥AC．
（2）如果⊙O的半径为5，cs∠DAB＝，求BF的长．
【分析】（1）连接OD，AB为⊙O的直径得∠ADB＝90°，由AB＝AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，根据平行线的性质和切线的性质即可得到结论；
（2）在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可计算出AD＝8，在Rt△ADE中可计算出AE，然后由OD∥AE，得△FDO∽△FEA，再利用相似比可计算出BF．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴AD平分BC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠EAD＝∠ADO，
∴AE∥OD，
∵EF是⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
∴DE⊥AC；
（2）解：∵cs∠DAB＝，而AB＝10，
∴AD＝8，
在Rt△ADE中，cs∠DAE＝＝，
∴AE＝，
∵OD∥AE，
∴△FDO∽△FEA，
∴，即＝，
∴BF＝．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22．（9分）某药店购进一批消毒液，进价为20元/瓶，要求利润率不低于20%，且不高于60%．该店通过分析销售情况，发现该消毒液一天的销售量y（瓶）与当天的售价x（元/瓶）满足下表所示的一次函数关系．
（1）若某天这种消毒液的售价为30元/瓶，求当天该消毒液的销售量．
（2）如果某天销售这种消毒液获利192元，那么当天该消毒液的售价为多少元？
（3）若客户在购买消毒液时，会购买相同数量（包）的口罩，且每包口罩的利润为20元，则当消毒液的售价定为多少时，可获得的日利润最大？最大日利润是多少元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y与x的函数关系式，然后将x＝30代入求得的函数解析式即可求得当天该消毒液的销售量；
（2）根据（1）中的函数关系式和题意，可以列出关于x的方程，从而可以解答本题，注意x的取值范围；
（3）根据题意可以得到利润关于x的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可解答本题．
【解答】】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
，解得：，
即y与x的函数关系式为y＝﹣2x+80，
∵20×（1+20%）＝24（元），20×（1+60%）＝32（元），
∴x的取值范围为：24≤x≤32，
将x＝30代入y＝﹣2x+80，得
y＝﹣2×30+80＝20，
答：当天该消毒液的销售量是20瓶；
（2）设售价为x元，
（x﹣20）×（﹣2x+80）＝192，
解得，x1＝28，x2＝32，
答：如果某天销售这种消毒液获利192元，那么当天该消毒液的售价为28元或32元；
（3）设利润为W元，
W＝（x﹣20）（﹣2x+80）+20（﹣2x+80）＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，
∵24≤x≤32，
∴当x＝24时，W取得最大值，此时W＝﹣2×（24﹣20）2+800＝768（元），
答：当消毒液的售价定为24元时，可获得的日利润最大，最大日利润是768元．
23．（9分）如图，已知抛物线C1：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0，m＞0，n＞0），与y轴交于点A，它的顶点为B．作抛物线C1关于原点对称的抛物线C2，与y轴交于点C，它的顶点为D．我们把C2称为C1的对偶抛物线．若A，B，C，D中任意三点都不在同一直线上，则称四边形ABCD为抛物线C1的对偶四边形，直线CD为抛物线C1的对偶直线．
（1）求证：对偶四边形ABCD是平行四边形．
（2）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2+1，求该抛物线的对偶直线CD的解析式．
（3）若抛物线C1的对偶直线是y＝﹣2x﹣5，且对偶四边形的面积为10，求抛物线C1的对偶抛物线C2的解析式．
【分析】（1）连接BD，由中心对称可知，B、O、D三点共线，且BO＝CO，同理AO＝CO，由对角线互相平分的四边形为平行四边形可证．
（2）由抛物线C1：y＝（x﹣1）2+1，分别求出点A、B坐标，利用中心对称求出C、D的坐标，最后用待定系数法求得直线CD的解析式．
（3）过点B作BE⊥AC于点E，由中心对称解得AC＝10，由对偶四边形的面积为10，求得点D横坐标为﹣1，点D在CD上，代入二次函数解析式即可求解．
【解答】解：（1）证明：连接BD，由点B关于原点对称性质可得B、O、D三点共线，
且BO＝DO，如解图1，
又点A、点C关于原点对称，
∴AO＝CO，
∴对偶四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
（2）由抛物线C1：y＝（x﹣1）2+1可得此时点A坐标为（0，2），
点B坐标为（1，1），根据中心对称可得点C（0，﹣2），
点D（﹣1，﹣1）．
设直线CD解析式为y＝kx﹣2，代入点D（﹣1，﹣1），
得k＝﹣1，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x﹣2．
（3）过点B作BE⊥AC于点E，如解图2．
当x＝0时，y＝﹣5，
故点C坐标为（0，﹣5）．
又点C与点A关于原点对称，
故点A坐标为（0，5）．
则AC＝10，
∵对偶四边形的面积为10，
∴，
∴BE＝1，
∴点B横坐标为1，即点D横坐标为﹣1，
把x＝﹣1代入y＝﹣2x﹣5中得y＝﹣3，
∴顶点D（﹣1，﹣3），顶点B（1，3）．
设抛物线C2：y＝a（x+1）2﹣3，代入点C（0，﹣5）得a＝﹣2，
故抛物线C2：y＝﹣2（x+1）2﹣3＝﹣2x2﹣4x﹣5．
∴抛物线C1的解析式为y＝﹣2x2﹣4x﹣5．
六、（本大题共12分）
24．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝AF，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接EF，GE，CE．
【特例感知】
（1）图1中GE与CE的数量关系是 GE＝CE ．
【结论探索】
（2）如图2，将图1中的△AEF绕着点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），连接FD并延长到点G，使得DG＝DF，连接GE，CE，BE，此时GE与CE还存在（1）中的数量关系吗？判断并说明理由．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，若AB＝5，AE＝3，当△EFG是以EF为直角边的直角三角形时，请直接写出GE的长．
【分析】（1）连接GC，证明△CDG≌△CBE，由全等三角形的性质得出CE＝CG，∠GCD＝∠ECB，得出△GCE为等腰直角三角形即可；
（2）类似（1）的方法，先证明△AFD≌△AEB（SAS），再证△CDG≌△CBE（SAS），得出△GCE为等腰直角三角形即可；
（3）根据E、F是直角顶点分类讨论，结合（2）中结论，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）连接GC，
∵AE＝AF，AD＝AB，
∴DF＝BE，
∵DG＝DF，
∴DG＝BE，
∵∠GDC＝∠B＝90°，DC＝BC，
∴△CDG≌△CBE（SAS），
∴CE＝CG，∠GCD＝∠ECB，
∵∠ECB+∠DCE＝90°，
∴∠GCE＝∠GCD+∠DCE＝90°，
∴GE＝CE；
故答案为：GE＝CE；
（2）存在，连接GC，
∵AE＝AF，AD＝AB，∠FAE＝∠DAB＝90°，
∴∠FAD＝∠EAB，
∴△FAD≌△EAB（SAS），
∴FD＝EB＝GD，∠FDA＝∠EBA，
∵∠GDC+∠FDA＝90°，∠EBC+∠EBA＝90°，
∴∠GDC＝∠EBC，
∵DC＝BD，
∴△CDG≌△CBE（SAS），
与（1）同理，GE＝CE；
（3）当∠FEG＝90°时（0°＜α＜90°），如图1，
∵∠FEA＝∠GEC＝45°，
∴A、E、C在一条直线上，
∵AB＝5，
∴AC＝5，
CE＝5﹣3＝2，
GE＝EC＝4；
当∠EFG＝90°时（0°＜α＜90°），如图3，∠AFD＝∠EFG+∠AFE＝135°，
由（2）得，∠AFD＝∠AEB＝135°，DF＝BE，
∴B、E、F在一条直线上，过点A作AM⊥EF，垂足为M，
∵AB＝5，AE＝3，
∴EF＝6，AM＝ME＝MF＝3，
∴＝4，
∴BE＝DF＝1，FG＝2，
∴GE＝＝2；
综上，EG的长为2或4．
数量
3条
4条
5条
6条
7条
8条
人数
10
m
15
40
25
20
售价x（元/瓶）
…
24
25
26
27
…
销售量y（瓶）
…
32
30
28
26
…
数量
3条
4条
5条
6条
7条
8条
人数
10
m
15
40
25
20
售价x（元/瓶）
…
24
25
26
27
…
销售量y（瓶）
…
32
30
28
26
…